2022-2023学年辽宁省沈阳七中七年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳七中七年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年辽宁省沈阳七中七年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知a≠0，下列运算中正确的是(    )
A. a2⋅a3=a6 B. a5−a3=a2 C. (−a3)2=a5 D. a⋅a3=a4
2. 成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m，数0.000007245用科学记数法表示是(    )
A. 7.245×10−5 B. 7.245×10−6 C. 7.245×10−7 D. 7.245×10−9
3. 如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，垂足是点O.若OC平分∠AOE，则下列结论错误的是(    )
A. ∠COE与∠BOD互余
B. ∠COE与∠AOD互补
C. ∠AOC与∠BOD是对顶角
D. ∠AOD与∠EOD是对顶角
4. 在下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是(    )
A. B.
C. D.
5. 已知3a=4，3b=5，3c=8.则32a−3b+c的值是(    )
A. 3225 B. 64125 C. 12825 D. 128125
6. 已知a=−20，b=(12)−1，c=(−0.125)2012×82012，比较它们的大小(    )
A. a 7. 比较图1和图2你可以得到①，如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，CF为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和S1+S2=26，求图中阴影部分的面积是②(    )


A. ①(a+b)2=(a−b)2+4ab；②26
B. ①(a+b)2−(a−b)2=+4ab；②192
C. ①(a+b)(a−b)=a2−b2；②192
D. ①(a+b)2−(a−b)2=+4ab；②26
8. 有一块长为3a+2，宽为2b−1的长方形纸片，剪去一个长为2a+4，宽为b的小长方形，则剩余部分面积是(    )



A. 4ab−3a−2
B. 6ab−3a+4b
C. 6ab−3a+8b−2
D. 4ab−3a+8b−2
9. 小明一家自驾车到离家500km的某景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了行驶路程x(km)与油箱余油量y(L)之间的部分数据：
行驶路程x(km)
0
50
100
150
200
…
油箱余油量y(L)
45
41
37
33
29
…
下列说法不正确的是(    )
A. 该车的油箱容量为45L
B. 该车每行驶100km耗油8L
C. 油箱余油量y(L)与行驶路程x(km)之间的关系式为y=45−8x
D. 当小明一家到达景点时，油箱中剩余5L油
10. 在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是(    )


A. 如图1，展开后测得∠1=∠2
B. 如图3，测得∠1=∠2
C. 如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
D. 在图4，展开后测得∠1+∠2=180°
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 直接写出计算结果：(ax−1)2⋅ax+1÷a2x−1= ______ ．
12. 如图，在灌溉时，要把河水引到农田P处，为保证渠道最短，挖渠的位置这样确定：过点P作PQ⊥AB于Q，垂线段PQ即为渠道的位置，其中的数学依据是：______．

13. 下列计算：①(3a+4)(3a−4)=9a2−4；②(2x2−y)(2x2+y)=4x2−y2；③(3−y)(y+3)=9−y2；④(−x+y)(x+y)=−(x−y)(x+y)=−x2−y2.其中错误的有______ ．
14. 如图，在三角形ABC中，已知AB⊥AC，AD⊥BC，AC=3，AB=4，BC=5，有下列结论：①∠B与∠C不是同旁内角；②点A到直线BC的距离为2.4；③过点A仅能作一条直线与BC垂直；④过直线AC外一点有且只有一条直线与直线AC平行．其中正确的结论序号有______．
15. 如图，直线a//b，直线m⊥n，垂足O在直线b上.若∠1=112°，则∠2的度数为        ．


16. 已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G.∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，∠A=∠EBF=60°，现将图中的△EFB绕点F按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△EFB恰有一边与AB平行的时间为______ 秒.
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题30.0分)
计算：
(1)(−1)2018+32−(π−3.14)0+(−13)−2；
(2)4x(x−2y)−(2x−3y)2；
(3)(x+2y−3)(x−2y−3)；
(4)(m+2n)2(m−2n)2；
(5)−491213×50113；
(6)2012−203×197(利用乘法公式简便运算)．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：[(xy+2)(xy−2)−2(x2y2−2)+4x]÷12x，其中x=−1，y=−2．
19. (本小题10.0分)
科学家研究发现，声音在空气中传播的速度y(米/秒)与气温x(℃)之间有关，它们之间的关系如表所示：
气温/℃
…
0
5
10
15
20
…
速度/(米/秒)
…
331
334
337
340
343
…
(1)上表中，自变量是______，因变量是______；
(2)气温每上升5℃，声音在空气中的速度就增加______米/秒；
(3)直接写出y与x的关系式：______；
(4)当声音在空气中传播的速度为403米/秒时，气温x=______℃.
20. (本小题6.0分)
已知：如图，点D、E分别在AB、BC上，DE//AC，∠1=65°，∠2=65°，请说明：∠F=∠CBF.(不必注明依据)

21. (本小题8.0分)
看图填空，并在括号内注明说理依据．
如图，已知AB//DE，∠BAE=∠EDC，AD⊥AE，垂足为A，请在下划线内补全求∠ADC的度数的解题过程或依据．
解：∵AB//DE(已知)，
∴∠BAE= ______ (______ ).
∵∠BAE=EDC(已知)，
∴ ______ (等量代换)．
∴ ______ (______ ).
∴ ______ (两直线平行，同旁内角互补)．
又∵AD⊥AE(已知)，
∴∠EAD= ______ (垂直的概念)．
∴∠ADC= ______ (两直线平行，同旁内角互补)．

22. (本小题10.0分)
我国著名数学家曾说：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”数形结合思想是解决问题的有效途径.请阅读材料完成：
(1)算法赏析：若x满足(1−x)(x−5)=2，求(1−x)2+(x−5)2的值．
解：设(1−x)=a，(x−5)=b，则(1−x)(x−5)=ab=2，a+b=(1−x)+(x−5)=−4
∴(1−x)2+(x−5)2=a2+b2……
请继续完成计算．
(2)算法体验：若x满足(30−x)(x−20)=−580，求(30−x)2+(x−20)2的值；
(3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13.以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，延长ED交FC于P.若正方形ACFG与正方形ABDE面积的和为119，求长方形AEPC的面积．

23. (本小题12.0分)
如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME．

(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点G是射线MD上一动点(不与点M，F重合)，EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β．
①当点G在点F的右侧时，若α=30°，直接写出β的度数为______ ；
②当点G在运动过程中，直接写出α和β之间的数量关系______ ．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、原式=a5，故不符合题意；
B、a5与a3不是同类项，故不能合并，故不符合题意；
C、原式=−a6，故不符合题意；
D、原式=a4，故符合题意．
故选：D．
根据同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算以及合并同类项法则即可求出答案．
本题考查同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算以及合并同类项法则，本题属于基础题型．

2.【答案】B 
【解析】解：0.000007245m=7.245×10−6m.
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】D 
【解析】解：因为OE⊥AB于点O，
所以∠AOE=90°，∠AOC+∠COE=90°，
因为OC平分∠AOE，
所以∠AOC=∠COE，
因为∠BOD与∠AOC是对顶角且相等，
所以∠COE+∠BOD=90°，
故A和C正确，
因为∠AOC=∠COE，∠AOC+∠AOD=180°，
所以∠COE+∠AOD=180°，
故B正确；
由图可知∠BOC与∠AOD是对顶角，
故D不正确．
故选：D．
由已知条件和观察图形可知∠AOC与∠COE互余，OC平分∠AOE，∠AOC=∠COE，∠BOC与∠AOD是对顶角，可得结论．∠COB与∠AOC互补，利用这些关系可解此题．
本题考查了垂线的定义，余角和补角的定义，对顶角相等的性质，熟记概念，准确识图求出各角的度数是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，
∴线段PQ是P到直线MN的垂线段，PQ⊥MN，
选项B，C，D中PQ与MN不垂直，选项A符合题意．
故选：A．
直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断．
本题考查点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离的定义．

5.【答案】D 
【解析】解：∵3a=4，3b=5，3c=8，
∴32a−3b+c
=32a÷33b×3c
=(3a)2÷(3b)3×3c
=42÷53×8
=128125，
故选：D．
根据幂的乘方的性质，同底数幂相乘、底数不变指数相加，同底数幂相除、底数不变指数相减，把所求算式转化为已知条件的形式，然后代入计算即可．
本题考查幂的乘方的性质以及同底数幂的乘除法的性质的运用．熟记性质，把所求算式转化为已知条件的形式是解题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：∵a=−2，b=2，c=0.1252012×82012=(0.125×8)2012=1，
∴a 故选：A．
根据零指数幂的意义得到a=−2，根据负整数指数幂的意义得到b=2，根据有理数乘方的意义得到c=0.1252012×82012=(0.125×8)2012=1，然后根据正数大于0，负数小于0进行大小比较．
本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．也考查了零指数幂、负整数指数幂和有理数乘方．

7.【答案】B 
【解析】解：①大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+(a−b)2，
大正方形边长为a+b，故面积也可以表达为：(a+b)2，
因此(a+b)2=(a−b)2+4ab，
即(a+b)2−(a−b)2=+4ab，
②设AC=a，CF=b，
因为AB=8，S1+S2=26，
所以a+b=8，a2+b2=26，
因为(a+b)2=a2+b2+2ab，
所以64=26+2ab，解得ab=19，
由题意：∠ACF=90°，
所以S阴影=12ab=192，
故选：B．
①利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式，②用数形结合思想用完全平方公式解决几何面积问题．
本题主要考查了完全平方公式和正方形的性质，掌握完全平方公式的定义以及变式是关键．

8.【答案】A 
【解析】解：剩余部分面积：
(3a+2)(2b−1)−b(2a+4)
=6ab−3a+4b−2−2ab−4b
=4ab−3a−2；
故选：A．
根据长方形的面积分别表示大长方形和小长方形的面积，再进行相减即可．
本题考查了多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘，掌握这两个运算法则，去括号时注意符号的变化是解题关键．

9.【答案】C 
【解析】
【分析】
通过表格给出的信息理解题意，可得此题答案．
此题考查了表格表示变量之间的关系．
【解答】
解：∵当x=0时y=45，
∴该车的油箱容量为45L，
∴选项A不符合题意；
∵由表格可得该车每行驶100km耗油8L，
∴选项B不符合题意；
∵由题意可得油箱余油量y(L)与行驶路程x(km)之间的关系式为y=45−0.08x，
∴选项C符合题意；
∵由45−0.08×500=5(L)，
即当小明一家到达景点时，油箱中剩余5L油，
∴选项D不符合题意；
故选：C．  
10.【答案】B 
【解析】解：A、当∠1=∠2时，a//b，故此选项不符合题意；
B、∠1=∠2不能判定a，b互相平行，故此选项符合题意；
C、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90°，∴a//b，故此选项不符合题意；
D、由∠1+∠2=180°可知a//b，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键．

11.【答案】ax 
【解析】解：(ax−1)2⋅ax+1÷a2x−1
=a2x−2⋅ax+1÷a2x−1
=a2x−2+x+1−(2x−1)
=ax．
故答案为：ax．
运用幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．⋅

12.【答案】垂线段最短 
【解析】解：∵PQ⊥AB，
∴PQ为农田P河水的距离最短，其中的数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
根据垂线段的性质得出即可．
本题考查了垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这两个中去选择．

13.【答案】①②④ 
【解析】解：①(3a+4)(3a−4)=9a2−16≠9a2−4，故①计算错误；
②(2x2−y)(2x2+y)=4x4−y2≠4x2−y2，故②计算错误；
③(3−y)(y+3)=(3−y)(3+y)=9−y2，故③计算正确；
④(−x+y)(x+y)=−(x−y)(x+y)=−x2+y2≠−x2−y2，故④计算错误；
∴错误的有①②④．
故答案为：①②④．
利用平方差公式进行计算即可．
本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2是解题的关键．

14.【答案】②③④ 
【解析】解：∵∠B与∠C是直线AB、AC被直线BC所截形成的同旁内角，
故①错误，不符合题意；
∵AD⊥BC于点D，
∴点A到直线BC的距离是线段AD的长，
∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AD，
AC=3，AB=4，BC=5，
∴12×4×3=12×5⋅AD，
∴AD=2.4，
故②正确，符合题意；
∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
∴过点A仅能作一条直线与BC垂直，
故③正确，符合题意；
∵过直线外一点有且只有一条直线与直线平行，
∴过直线AC外一点有且只有一条直线与直线AC平行，
故④正确，符合题意；
故答案为：②③④．
根据平行线的平行公理推论、点到直线的距离、垂线的性质等判断求解即可．
此题考查了平行线的判定、点到直线的距离、垂线的性质等知识，熟练掌握平行线的平行公理推论、点到直线的距离、垂线的性质等是解题的关键．

15.【答案】22° 
【解析】解：如图：

∵a//b，
∴∠1=∠3=112°，
∴∠4=180°−∠3=68°，
∵m⊥n，
∴∠5=90°，
∴∠2=180°−∠4−∠5=22°，
故答案为：22°．
先利用平行线的性质可得∴1=∠3=112°，从而可得∠4=68°，然后再利用垂直定义可得∠5=90°，从而利用平角定义，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

16.【答案】52或5或252 
【解析】解：根据题意：△ABC和△DEF是完全相同的两个直角三角形，且∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，∠A=∠EBF=60°，
①如图，当DE//AB时，
∴∠FGB=∠E=30°，
∴∠CFG=∠FGB+∠B=30°+30°=60°，
∴∠DFB=180°−∠CFG−∠EFD=180°−60°−90°=30°，
∴旋转时间为：3012=52(秒)；

②如图，当EF//AB时，
∴∠EFC=∠B=30°，
∴∠DFB=180°−∠CFE−∠EFD=180°−30°−90°=60°，
∴旋转时间为：6012=5(秒)；

③如图，当DF//AB时，
∴∠DFB=180°−∠B=180°−30°=150°，
∴旋转时间为：15012=252(秒)；
综上所述，旋转时间为52秒或5秒或252秒时，△EFB恰有一边与AB平行．
故答案为：52或5或252．

分三种情形讨论：①当DE//AB时，②当EF//AB时，③当DF//AB时，分别求出∠DFB即可解决问题．
本题考查旋转的性质、平行线的性质、旋转的速度、旋转角度、旋转时间之间的关系，三角形外角的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．

17.【答案】解：(1)(−1)2018+32−(π−3.14)0+(−13)−2
=1+9−1+9
=18；
(2)4x(x−2y)−(2x−3y)2
=4x2−8xy−(4x2−12xy+9y2)
=4x2−8xy−4x2+12xy−9y2
=4xy−9y2；
(3)(x+2y−3)(x−2y−3)
=[(x−3)+2y][(x−3)−2y]
=(x−3)2−(2y)2
=x2−6x+9−4y2；
(4)(m+2n)2(m−2n)2
=[(m+2n)(m−2n)]2
=(m2−4n2)2
=m4−8m2n2+16n4；
(5)−491213×50113
=−(50−113)×(50+113)
=−[(50)2−(113)2]
=−(2500−1169)
=−2499168169；
(6)2012−203×197
=(200+1)2−(200+3)×(200−3)
=2002+2×200×1+12−(2002−32)
=2002+400+1−2002+9
=410． 
【解析】(1)利用有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算即可；
(2)利用单项式乘多项式运算法则和完全平方公式将原式展开，再去括号合并同类项即可；
(3)利用平方差公式和完全平方公式将原式展开，再合并同类项即可；
(4)利用积的乘方，平方差公式和完全平方公式将原式展开，再合并同类项即可；
(5)将原式转化为−(50−113)×(50+113)，再利用平方差公式进行计算即可；
(6)将原式转化为(200+1)2−(200+3)×(200−3)，再利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
本题考查实数的运算，整式的运算和简便运算．解题的关键是熟练运用运算法则和乘法公式．

18.【答案】解：[(xy+2)(xy−2)−2(x2y2−2)+4x]÷12x
=(x2y2−4−2x2y2+4+4x)÷12x
=(−x2y2+4x)÷12x
=−2xy2+8，
当x=−1，y=−2时，
原式=−2×(−1)×(−2)2+8=8+8=16． 
【解析】根据平方差公式，去括号法则和合并同类项法则将中括号内的式子进行化简，再利用多项式除以单项式的运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
本题考查整式的化简求值．掌握运算法则和乘法公式是解题的关键．

19.【答案】(1)x；y；
(2)3；
(3)y=331+35x；
(4)120 
【解析】解：(1)上表中，自变量是x，因变量是y；
(2)气温每上升5℃，声音在空气中的速度就增加3米/秒；
(3)∵气温每上升1℃，声音在空气中的速度就增加35米/秒，
∴y与x的关系式：y=331+35x；
(4)当声音在空气中传播的速度为403米/秒时，403=331+35x，
解得x=120．
故答案为：(1)x；y；
(2)3；
(3)y=331+35x；
(4)120．
(1)声音在空气中传播的速度y(米/秒)随着气温x(℃)的变化而变化；
(2)依据表格相邻两个数据，即可得到气温每上升5℃，声音在空气中的速度增加3米/秒；
(3)依据气温每上升1℃，声音在空气中的速度就增加35米/秒，即可得到y与x的关系式；
(4)依据声音在空气中传播的速度为403米/秒，即可得出气温x的值．
本题主要考查了一次函数的实际应用，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．

20.【答案】证明：∵DE//AC，∠1=65°，∠2=65°，
∴∠C=∠1=65°，
∴∠C=∠2，
∴AF//BC，
∴∠F=∠CBF． 
【解析】根据平行线的性质得出∠C=∠1=65°，得出∠C=∠2，根据平行线的判定得出AF//BC，再根据平行线的性质即可得证．
本题考查平行线的判定和性质，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解题的关键．

21.【答案】∠AED  两直线平行，内错角相等  ∠AED=∠EDC  AE//DC  内错角相等，两直线平行  ∠EAD+∠ADC=180°  90°  90° 
【解析】解：∵AB//DE(已知)，
∴∠BAE=∠AED(两直线平行，内错角相等)．
∵∠BAE=∠EDC(已知)，
∴∠AED=∠EDC(等量代换)．
∴AE//DC(内错角相等，两直线平行)．
∴∠EAD+∠ADC=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又∵AD⊥AE(已知)，
∴∠EAD=90°(垂直的概念)．
∴∠ADC=90°(两直线平行，同旁内角互补)．
根据AB//DE，可得∠BAE=∠AED，从而得到∠AED=∠EDC，进而得到AE//DC，可得到∠EAD+∠ADC=180°，∠EAD+∠ADC=180°，再由AD⊥AE即可求解．
本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．

22.【答案】解：(1)设(1−x)=a，(x−5)=b，
则(1−x)(x−5)=ab=2，a+b=(1−x)+(x−5)=−4，
∴(1−x)2+(x−5)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=(−4)2−2×2=16−4=12；
(2)设(30−x)=a，(x−20)=b，
则(30−x)(x−20)=ab=−580，a+b=10，(30−x)2+(x−20)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=100−(−1160)=1260；
(3)正方形ACFG的边长为13−m，面积为(13−m)2，正方形ABDE的边长为10−m，面积为(10−m)2，
则有(13−m)2+(10−m)2=119，
设13−m=p，10−m=q，
则p2+q2=(13−m)2+(10−m)2=119，p−q=13−m−10+m=3，
所以长方形AEPC的面积为：pq=(p2+q2)−(p−q)22=119−92=55． 
【解析】(1)根据完全平方公式可得a2+b2=(a+b)2−2ab求解即可；
(2)按(1)方法进行即可求解；
(3)正方形ACFG的边长为13−m，面积为(13−m)2，正方形ABDE的边长为10−m，面积为(10−m)2，则有(13−m)2+(10−m)2=119，设13−m=p，10−m=q，则p2+q2=(13−m)2+(10−m)2=119，p−q=13−m−10+m=3，利用pq=(p2+q2)−(p−q)22求解即可．
本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键．

23.【答案】60° α=12β或α=90°−12β 
【解析】解：(1)AB//CD．
理由：如图1中，
∵EM平分∠AEF交CD于点M，
∴∠AEM=∠FEM，
∵∠FEM=∠FME，
∴∠AEM=∠FME，
∴AB//CD．
(2)①如图2中，设∠EHN=α，∠EGF=β，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE=90°，
∵α=30°，
∴∠HEN=180°−90°−∠EHN=90°−30°=60°，
∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF=∠HEG，
∵∠AEM=∠FEM，
∴∠HEN=12∠FEG+12∠AEF=12∠AEG=60°，
∴∠AEG=120°，
∴∠GEB=180°−∠AEG=180°−120°=60°，
∵AB//CD，
∴β=∠EGF=∠GEB=60°，
故答案为：60°；
②猜想：α=12β或α=90°−12β．
理由：①当点G在点F的右侧时，
∵AB//CD，
∴∠BEG=∠EGF=β，
∴∠AEG=180°−∠BEG=180°−β，
∵∠AEM=∠FEM，∠HEF=∠HEG，
∴∠HEN=∠MEF+HEF=12∠FEG+12∠AEF=12∠AEG=90°−12β，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE=90°，
∴α=∠EHN=180°−90°−∠HEN=90°−(90°−12β)=12β；
②当点G在点F的左侧时，如图3，

∵AB//CD，
∴∠BEG=180°−∠EGF=180°−β，∠AEG=∠EGF=β，
∵∠AEM=∠FEM，∠HEF=∠HEG，
∴∠HEN=∠MEF−∠HEF=12(∠AEF−∠FEG)=12∠AEG=12β，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE=90°，
∴α=∠EHN=180°−90°−∠HEN=90°−12β；
综上所述，α和β之间的数量关系为α=12β或α=90°−12β，
故答案为：α=12β或α=90°−12β．
(1)根据角平分线的性质及等量代换证明∠AEM=∠FME即可；
(2)①根据三角形内角和定理得出∠HEN=60°，根据角平分线的定义∠HEN=12∠FEG+12∠AEF=60°，利用平角的定义求出∠GEB的度数，根据平行线的性质求∠EGF，即可解决问题．
②结论：α=12β或α=90°−12β.根据平行线的性质求∠BEG，利用平角的定义表示∠AEG的度数，根据角平分线的定义表示∠HEN即可解决问题，分当点G在点F的右侧时和当点G在点F的左侧时两种情况进行讨论．
本题考查三角形内角和定理的应用，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键．