2022-2023学年广东省揭阳市榕城区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省揭阳市榕城区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省揭阳市榕城区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，是轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是(    )
A. 2、4、7 B. 3、5、2 C. 7、5、3 D. 9、5、3
3. 下列说法正确的是(    )
A. 两点之间，直线最短
B. 不相交的两条直线叫做平行线
C. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
4. 盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有7个，黄球有2个，黑球有1个.幸幸从中任意摸一个球，下面说法正确的是(    )
A. 一定是红球 B. 摸出红球的可能性最大
C. 不可能是黑球 D. 摸出黄球的可能性最小
5. 等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于(    )
A. 22 B. 29 C. 37 D. 29或37
6. 如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，并交AC于点D，连接BD.若AD=3cm，AC=9cm，则BD的长为(    )
A. 6cm
B. 7cm
C. 8cm
D. 9cm
7. 下列运算正确的是(    )
A. (2a3b)2=2a6b2 B. (−3)−2=19
C. (b−1)2=b2−1 D. (x+6)(x−6)=x2−6
8. 如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：不能使△ABC≌△AED的条件(    )
A. BC=ED
B. AB=AE
C. ∠C=∠D
D. ∠B=∠E
9. 已知2n=a，3n=b，24n=c，那么a，b，c之间满足的等量关系是(    )
A. c=3a+b B. c=a3+b C. c=3ab D. c=a3b
10. 如图，点D、E分别是△ABC边BC、AC上一点，BD=2CD，AE=CE，连接AD、BE交于点F，若△ABC的面积为12，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF−S△AEF等于(    )


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 数据0.0000314用科学记数法可表示为______ ．
12. 计算−m4⋅(−m)2的结果是______ ．
13. 某地高山上温度从山脚起每升高100米降低0.6℃，已知山脚下温度是20℃，则温度y(℃)与上升高度x(米)之间关系式为______ ．
14. 已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a−b−c|+|b−c+a|+|c−a−b|= ______ ．
15. 如图，在△ABC，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，AE是△ABC的中线，动点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿A→C→E运动，最终到达点E，当点P运动______ s时，△APE的面积等于9cm2．


三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB=BD．
(1)尺规作图：作BE平分∠ABC，交AC于点E，连接DE(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求证：∠AEB=∠DEB．

17. (本小题8.0分)
先化简再求值：x2(x−2)+2x(x2+1)−(3x−1)(2x−3)，其中x=3．
18. (本小题8.0分)
如图，在长方形ABCD中，BC=8，CD=6，点E为边AD上一动点，连接CE，随着点E的运动，△DCE的面积也发生变化．
(1)写出△DCE的面积y与AE的长x(0 (2)当x=3时，求y的值．

19. (本小题9.0分)
在一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
(1)摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是黄球的概率是多少？
(2)为了使摸出红球和黄球的概率相同，再放进去7个球，那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少？
20. (本小题9.0分)
如图，△ABC中，∠B=90°，AD//BC，DE⊥AC，垂足为E．
(1)若∠C=40°，求∠D的度数；
(2)若AD=AC，求证：△DEA≌△ABC．

21. (本小题9.0分)
定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=60°，则∠B的度数是______ ；
(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
①如图，若AD是∠BAC的平分线，请判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠ABC=24°，则∠EAC的度数是______ ．

22. (本小题12.0分)
定义一种幂的新运算：xa⊕xb=xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题．
(1)求22⊕23的值；
(2)2p=3，2q=5，3q=6，求2p⊕2q的值；
(3)若运算9⊕32t的结果为810，则t的值是多少？
23. (本小题12.0分)
如图(1)，AE与BD相交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=4cm，点P从点A出发，沿A−B−A的路径以3cm/s的速度运动；点Q从点D出发，沿D−E的方向以1cm/s的速度运动.P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t(s)．
(1)求证：AB//DE；
(2)用含t的式子表示线段AP的长；
(3)连接PQ，当线段PQ经过点C时(如图2)，求t的值．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：选项B能找到这样一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、C、D不能找到这样一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
依据轴对称图形的定义进行判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题主要考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】C 
【解析】解：A、2+4<7，不能构成三角形，不符合题意；
B、2+3=5，不能构成三角形，不符合题意；
C、3+5>7，能构成三角形，符合题意；
D、3+5<9，不能构成三角形，不符合题意；
故选：C．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．

3.【答案】C 
【解析】解：A.两点之间，线段最短，故A不符合题意．
B.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故B不符合题意．
C.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C符合题意．
D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故D不符合题意．
故选：C．
分别根据线段的性质，平行线的定义，垂线、点到直线的距离的定义判断即可．
本题主要考查了线段的性质，平行线的定义，垂线、点到直线的距离的定义，能熟记知识点是解此题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：从中任意摸出一个球，有可能是红球，有可能是黄球，有可能是黑球，由红球有7个，黄球有2个，黑球有1个，所以摸出红球的概率最大，摸出黑球的概率最小；
故A、C、D选项说法错误；
故选：B．
根据概率的相关概念可进行排除选项．
本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：当7是腰时，则7+7<15，不能组成三角形，应舍去；
当15是腰时，则三角形的周长是7+15×2=37．
故选：C．
分两种情况讨论：当7是腰时或当15是腰时．根据三角形的三边关系，知7，7，15不能组成三角形，应舍去．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．

6.【答案】A 
【解析】解：∵AD=3cm，AC=9cm，
∴CD=AC−AD=6cm，
∵MN垂直平分BC，
∴BD=CD=6cm，
故选：A．
先求出CD的长，根据线段垂直平分线的性质可得BD=CD，即可求出BD的长．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：A、(2a3b)2=4a6b2，计算错误，不符合题意；
B、(−3)−2=19，计算正确，符合题意；
C、(b−1)2=b2−2b+1，计算错误，不符合题意；
D、(x+6)(x−6)=x2−36，计算错误，不符合题意；
故选：B．
根据积的乘方，负整数指数幂，完全平方公式和平方差公式求解判断即可．
本题主要考查了积的乘方，负整数指数幂，完全平方公式和平方差公式，正确计算是解题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，
即∠CAB=∠DAE，
A、加上条件BC=ED不能证明△ACB≌△ADE；
B、加上条件AB=AE可利用SAS定理证明△ACB≌△ADE；
C、加上条件∠C=∠D可利用ASA证明△ACB≌△ADE；
D、加上条件∠B=∠E可利用AAS证明△ACB≌△ADE；
故选：A．
由∠1=∠2结合等式的性质可得∠CAB=∠DAE，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了三角形全等的判定方法，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

9.【答案】D 
【解析】解：∵2n=a，3n=b，24n=c，
∴24n=c，
(3×8)n=c，
3n×8n=c，
3n×(2n)3=c，
b⋅a3=c，
即c=a3b.
故选：D．
利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

10.【答案】B 
【解析】解：∵S△ABC=12BC⋅hBC=12AC⋅hAC=12，
∴S△ABC=12(BD+CD)⋅hBC=12(AE+CE)⋅hAC=12，
∵AE=CE=12AC，S△AEB=12AE⋅hAC，S△BCE=12EC⋅hAC，
∴S△AEB=S△CEB=12S△ABC=12×12=6，
即S△AEF+S△ABF=6①，
同理：∵BD=2CD，BD+CD=BC，
∴BD=23BC，S△ABD=12BD⋅hBC，
∴S△ABD=23S△ABC=23×12=8，
即S△BDF+S△ABF=8②，
①−②得：S△BDF−SAEF=(S△BDF+S△ABF)−(S△AEF+S△ABF)=8−6=2，
故选：B．
由△ABC的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．
本题主要考查三角形的面积，掌握等积变换是解答此题的关键．

11.【答案】3.14×10−5 
【解析】解：数据0.0000314用科学记数法可表示为：3.14×10−5，
故答案为：3.14×10−5．
根据用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可得到答案．
本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

12.【答案】−m6 
【解析】解：−m4⋅(−m)2=−m4⋅m2=−m6．
故答案为：−m6．
根据积的乘方以及同底数幂的乘法运算法则计算即可．
本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法的运算，熟练掌握相应运算法则是解题的关键．

13.【答案】y=20−0.006x 
【解析】解：每升高100m降低0.6℃，则每上升1m，降低0.006℃，
则关系式为：y=20−0.006x；
故答案为：y=20−0.006x．
每升高100m降低0.6℃，则每上升1m，降低0.006℃，则上升的高度x m，下降0.006x℃，据此即可求得函数解析式．
本题考查了列函数解析式，理解每升高100m降低0.7℃，则每上升1m，降低0.007℃是关键．

14.【答案】a+3b−c 
【解析】解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a+b>c，b+c>a，a+b>c，
∴a−b−c<0，b−c+a>0，c−a−b<0，
∴|a−b−c|+|b−c+a|+|c−a−b|=−a+b+c+b−c+a−(c−a−b)=a+3b−c．
故答案为：a+3b−c．
此题的关键是根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值．
本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．

15.【答案】32或73 
【解析】解：在△ABC，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，
∴AB= 82+62=10；
设点P运动的时间为t s，
当0≤t≤3时，AP=3t cm，CE=4cm，
根据题意得12×3t×4=9，
解得t=32；
当3 根据题意得12×(10−3t)×6=9，
解得t=73，
综上所述，当点P运动的时间为32或73时，△APE的面积等于9cm2．
故答案为：32或73．
设点P运动的时间为t s，当0≤t≤3时，AP=3tcm，CE=4cm，利用三角形面积公式得到12×3t×4=10；当3 本题考查了三角形的面积：熟练掌握三角形的面积公式是解答本题的关键：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．

16.【答案】(1)解：如图，BE即为所求．

(2)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE，
∵AB=BD，BE=BE，
∴△ABE≌△DBE(SAS)，
∴∠AEB=∠DEB． 
【解析】(1)根据角平分线的作图方法作图即可．
(2)根据全等三角形的判定证明△ABE≌△DBE，即可得∠AEB=∠DEB．
本题考查作图−基本作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及角平分线的作图方法是解答本题的关键．

17.【答案】解：x2(x−2)+2x(x2+1)−(3x−1)(2x−3)
=x3−2x2+2x3+2x−(6x2−9x−2x+3)
=x3−2x2+2x3+2x−6x2+9x+2x−3
=3x3−8x2+13x−3，
当x=3时，原式=3×33−8×32+13×3−3
=3×27−8×9+39−3
=81−72+39−3
=9+39−3
=48−3
=45． 
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：(1)由三角形的面积公式得，
y=12CD⋅DE
=12×6×(8−x)
=−3x+24，
答：△DCE的面积y与AE的长x(0 (2)当x=3时，y=−9+24=15，
答：当x=3时，y=15． 
【解析】(1)根据三角形的面积公式即可得出答案；
(2)将x=3代入(1)中的函数关系式进行计算即可．
本题考查函数关系式，掌握三角形面积的计算方法是正确解答的前提．

19.【答案】解：(1)∵袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，
∴摸出每一球的可能性相同，
∴摸出红球的概率是99+6=35，摸出黄球的概率是69+6=25；
(2)设放入红球x个，则黄球为(7−x)个，
由题意得：9+x9+6+7=6+(7−x)9+6+7，
解得：x=2，
则7−x=5，
∴放进去的这7个球中红球2个，黄球5个． 
【解析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)设放入红球x个，则黄球为(7−x)个，由题意：摸出两种球的概率相同，列出方程，解方程即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20.【答案】(1)解：∵AD//BC，∠C=40°
∴∠DAC=∠C=40°
∵DE⊥AC
∴∠D=90°−∠DAC=50°；
(2)证明：在△DEA和△ABC中，
∠DEA=∠B=90°∠DAE=∠CAD=AC，
∴△DEA≌△ABC(AAS)． 
【解析】(1)首先根据平行线的性质得到∠DAC=∠C=40°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠D的度数；
(2)直接利用AAS证明即可．
此题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

21.【答案】15°  123°或114° 
【解析】解：(1)∵△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=60°，
∴∠A+2∠B=90°，
∴∠B=15°，
故答案为：15°；
(2)①△ABD是“准互余三角形”，
理由：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠BAD，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴2∠BAD+∠B=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”，
②∵△ABE是“准互余三角形”
∴2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°，
∵∠ABC=24°，
∴∠EAB=42°或∠EAB=33°，
当∠EAB=42°，∠ABC=24°时，∠AEB=114°，
当∠EAB=33°，∠ABC=24°时，∠AEB=123°，
∴∠AEB的度数为：123°或114°．
(1)根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是180°，∠C>90°，∠A=60°，只能是∠A+2∠B=90°；
(2)①由题意可得∠ADB>90°，所以只要证明∠B与∠BAD满足2α+β=90°，即可解答，
②由题意可得∠AEB>90°，所以分两种情况，∠B+2∠BAE=90°，2∠B+∠BAE=90°．
本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．

22.【答案】解：(1)22⊕23
=22×3+22+3
=26+25
=64+32
=96；
(2)当2p=3，2q=5，3q=6时，
2p⊕2q
=2pq+2p+q
=(2p)q+2p×2q
=3q+3×5
=6+15
=21；
(3)∵9⊕9t=810，
∴9t+91+t=810，
9t+9×9t=810，
10×9t=810，
9t=81，
9t=92，
∴t=2． 
【解析】(1)根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可；
(2)结合幂的乘方的法则进行运算即可；
(3)根据新定义的运算，结合幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算的法则的掌握．

23.【答案】(1)证明：在△ABC和△EDC中，
AC=EC∠ACB=∠ECDBC=DC，
∴△ABC≌△EDC(SAS)，
∴∠A=∠E，
∴AB//DE；
(2)解：当0≤t≤43时，
AP=3tcm，
当43 BP=(3t−4)cm，
则AP=4−(3t−4)=(8−3t)cm．
综上所述，线段AP的长为3t cm或(8−3t)cm；
(3)解：由(1)得：∠A=∠E，ED=AB=4cm，
在△ACP和△ECQ中，
∠A=∠EAC=EC∠ACP=∠ECQ，
∴△ACP≌△ECQ(ASA)，
∴AP=EQ，
当0 3t=4−t，
解得：t=1；
当43 8−3t=4−t，
解得：t=2．
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1s或2s． 
【解析】(1)利用全等三角形的判定与性质和平行线的判定定理解答即可；
(2)利用分类讨论的思想方法分：点P未到达点B和到达点B后两种情形解答，利用路程=速度×时间的关系式表示出相应线段即可；
(3)用分类讨论的思想方法分：点P未到达点B和到达点B后两种情形解答，利用全等三角形的判定与性质得到AP=EQ，由此列出关于t的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，分类讨论的思想方法，本题是动点问题，利用路程=速度×时间关系式表示出相应线段的长度是解题的关键．