【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--1.4_1.5 常用逻辑用语（单元教学设计）

常用逻辑用语单元教学设计

内容及其解析：

本单元知识结构图：

         抽象概括       逻辑推理

1.1内容

（1）充分条件、必要条件以及充要条件的意义；判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，数学定义与充要条件的关系。

（2）全称量词与存在量词。全称量词命题与存在量词命题的否定。

1.2内容解析

内容本质：常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。

本单元主要研究：充分条件，必要条件，充要条件，全称量词与存在量词，全称量词命题与存在量词命题的否定。

通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。理解充要条件的意义，理解定义与充要条件的关系。由于中学数学中的许多命题都可以写成“若p,则q”的形式，通过判断命题的真假，分析条件p和结论q的关系，可以得到三个逻辑用语。也就是说，“若p,则q”是真命题，即由p能推出q,则p是q的充分条件，即p成立，足以保证q成立；同时，q是p的必要条件，即p成立，首先必须q成立。反之，“若q,则p”也是真命题，则p也是q的必要条件，此时，p是q的充分必要条件。由上述分析，也就获得了辨析充分条件、必要条件以及充要条件的方法：即将判断“p是q的什么条件”的问题转化为判断命题“若p,则q”及其逆命题的真假的问题。具体包括四种情况：若              ”且“”，则p为q的充分必要条件；若，且qp,则p为q的充分不必要条件：若pq且，则p为q的必要不充分条件；若pq，且qp，，则p为q的既非充分又非必要条件。

在数学知识体系中，数学定义、判定定理和性质定理是重要的组成部分，它们都可以用逻辑用语表述。每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件，每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。运用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，可以提高交流的严谨性和准确性。

（2）“全称量词与存在量词”以丰富数学实例创设情境，从对命题的判断入手，通过对比，引入全称量词和存在量词的概念、符号以及全称量词命题和存在量词命题的概念；并在此基础上，探究如何写出全称量词命题和存在量词命题的否定，即根据量词的含义，先直接对原命题进行否定，得到这些命题的否定的一种表述形式，然后通过多次转化，将过于形式化的表述一步步改写较为自然的、符合语言习惯的表述，由此观察出原命题和它的否定在形式上的变化，建立全称存在）量词命题的否定与存在（全称）量词命题之间的关系。

基于以上分析，确定本单元的教学重点：充分条件，必要条件，充要条件的意义，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

本单元内容是预备知识，逻辑用语是数学语言的重要组成部分。要在建立单元学习框架的基础上，通过具体实例，学习充分条件，必要条件，充要条件，全称量词与存在量词，全称量词命题与存在量词命题的否定这些最基本概念，培养学生数学抽象素养；通过分析判断命题的真假，从而理解充分条件与必要条件，通过对具体的数学实例的分析让学生体会理解全称量词和存在量词的意义。进而会使用存在量词对全称量词命题进行否定，会使用全称量词命题对存在量词命题进行否定。从而提升学生数学抽象和逻辑推理的素养。

蕴含的思想方法：

相对于初中的数学知识，常用逻辑用语这部分内容比较抽象，对学生的逻辑推理、数学语言的运用等能力要求较高，是学生高中阶段数学学习的一个难点.为了降低学生的认知难度，教科书紧 密联系初中学习过典型数学命题，通过分析、判断、归纳等方法 逐步形式化（符号化），提升学生的逻辑推理素养。

对于充分条件和必要条件的理解和判断，能转化为对命题及其逆命题的真假判断的理解和判断体现了化归于转化的数学思想；

充分条件，必要条件以及充要条件的定义都是通过对具体的，特殊的，具有代表性的例子进行分析归纳概括得到的，再利用一般化的定义与符号去解决具体的，特殊的问题，体现了特殊与一般的思想方法。学生在落实四基、发展四能过程中，提升了数学抽象、逻辑推理、等核心素养.

知识的上下位关系：

在初中学习命题知识的基础上，认识命题的条件和结论。结合具体的学生熟悉的实例，在判断若p则q形式命题真假的过程中，明确命题的真假与由p推出q的关系，从而展开充分条件和必要条件的学习。在让学生回顾初中学习过的判定定理性质定理和定义，把他们都用命题的形式表示出来，在进一步去体会充分条件与必要条件，加深对初中学过的知识的认识和理解；通过对初中学过的实例的分析，体会全称量词和存在量词的意义及其他们的否定。提高学生用逻辑用语表达数学知识的能力。通过本章的学习，学生掌握了常用逻辑用语的知识，初步熟悉了这种数学语言，在此基础上，后续的数学学习都要使用它们，而且有些数学对象需要用这些语言给出定义，比如样本空间、随机事件等，用数学语言表述数学对象，特别是符号语言，是一个提升数学抽象素养的过程。因此，在后续学习中，教师要多鼓励学生使用集合与常用逻辑用语表述数学对象，特别是符号语言，例如，在本册接下来的章节，教科书特别注意“”等符号的使用，像从自然语言抽象到符号语言的函数单调性；辨析定理的充分必要条件；等等，也即，通过本册书的学习，学生能够习惯于用像常用逻辑用语表述和交流数学对像，从而在今后学习概率，立体几何，解析几何等知识时，能够自觉地运用它们去交流和表述，逐步提高数学抽象和逻辑推理素养。

总之,可以说逻辑用语伴随学生今后整个数学的学习过程之中，它可以使学生正确理解数学概念，合理论证数学结论，准确表达数学内容。

育人价值：

常用逻辑用语也是基于初中学习过的命题等知识，在高中阶段继续学习充分条件、必要条件、充要条件和量词，在探究基本概念的过程中，感受由特殊到一般、具体到抽样的思想，培养学生数学抽象、逻辑推理、等核心素养。再将它们相联系，加强“如何严谨准确地进行数学表述”，让学生逐渐习惯用数学的思维和符号表述、研究数学结论。逻辑用语也是日常交往，学习和工作中必不可少的工具，正确使用逻辑用语是每一位公民应具备的基本素养。

教学重点：充分条件，必要条件以及充要条件的意义，全称量词和存在量词的意义；使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定。

二、单元目标和目标解析

2.1单元目标

（1)理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；

（2)理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；

（3)理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；

（4）全程量词和存在量词的意义，判定全称量词命题和存在量词命题的真假，使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定。

（4)初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养．

2.2目标解析

达成上述目标的标志：

（2）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词，了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．

（3）通过使用三种逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会并能说明常用逻辑用语在表达数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的逻辑性和准确性，逐步提升逻辑推理素养。

三：学情分析

3.1学生已有基础分析

知识准备：学生在初中已经学习了命题、真命题、假命题等概念，会判断一些简单命题的真假。充分条件、必要条件以及充要条件的判断是建立在命题真假判断基础上的。“若p,则q”为真命题，那么“p是q的充分条件”，也就相当于“命题的条件”是“命题的结论”的充分条件，这与学生已有的推理经验（由p推出q)是一致的，所以学生比较容易理解。但是对于“q是p的必要条件”，相当于“命题的结论”是“命题的条件”的必要条件，学生不明白这样分析命题的意义，不容易理解。而且在判断q是否为p的必要条件时，需要判断命题“若p,则q”的真假，而判断p是否为q的必要条件时，需要判断命题“若q,则p”的真假，所以学生在判断必要条件时对于命题的条件和结论也容易混淆。

思维准备、研究方法：通过之前的学习，学生的逻辑表达意识及思想较少，积累经验不多，数学抽象能力较低，相对于义务教育阶段的数学知识，高中阶段的数学知识较为抽象，所以学生不仅感到数学知识变难了，而且会有无从下手、不知如何学习的感觉。因此，初高中的过渡，一是知识量的增加和知识难度的提高，二是学习心理的调整和学习方法的掌握。数学语言虽然简洁、准确，但是符号较多、形式化程度高。学生难以体会到它们的作用，容易产生为什么要学的困惑。因此，本章教学时，在初次接触时，教师特别需要关注学生数学学习心理的调整和学习方法的引导，例如让学生想一想，为什么学习逻辑用语，形式化可以克服很多逻辑错误，如根据“,p(x)””否定的一般形式为“ p(x)”，可以知道“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“存在一个矩形，它不是平行四边形”，而不是“所有的矩形都不是平行四边形”；等等。关于学习心理和学习方法，教科书在“主编寄语”“本册导引”“章引言”“节引言”“小结”等处或有明确的论述，或有隐形的提示，建议教学时既能总揽全局，从全套教科书到每一节；也能细致人微，充分利用一篇寄语，一句引言让学生体会数学的作用和学习方法，引领学生以良好的心理状态进入数学学习，以有效的学习方法学习数学。

3.2.学生基础与目标的差距

（1）缺乏基本活动经验.

    学生对逻辑用语的的认知经验较少，少量的“可能性”直觉经验、已学过的有关命题和集合的知识不足以作为高中常用逻辑用语学习基础的直接经验，致使学生对必要条件概念理解不充分，导致学生对充分条件与必要条件，和量词的认识不牢固，对内涵理解不深入，使后续的学习缺乏必要的基础。

破解的方法:遵循从具体到抽象的原则，通过熟悉的实例，发挥具体实例的作用，创设使用语言的情境，同时让学生自己举些例子互相表达和交流。厘清知识逻辑顺序，引导学生进行归纳，明确逻辑表达的准确性简洁性的基本特征。再通过具体实例进行辨析、理解。全称量词与存在量词引入了许多符号，符号的特点是简洁、准确，但是形式化、抽象化程度都比较高，教学时应多选取一些数学实例，多鼓励学生使用符号语言，从而能让学生习惯于运用符号语言表达一些数学内容。

本单元的教学重点：充分条件，必要条件，充要条件的意义，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

教学难点:对必要条件的意义，充要条件和数学定义之间的关系的理解。判断全称量词命题的和存在量词命题的真假，能正确写出含有一个量词的全称命题和存在量词命题的否定。

教学支持条件

利用信息技术互动平台开展课堂互动，提高教学效益，同时培养学生利用信息技术处理数学问题的习惯.

五、课时教学设计

本单元共4课时，具体分配如下：

第1课时，充分条件与必要条件

第2课时，充要条件

第3课时，全称量词与存在量词

第4课时，全称量词命题与存在量词命题的否定