2023届东北三省四市教研联合体高三二模数学试题含解析

这是一份2023届东北三省四市教研联合体高三二模数学试题含解析，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届东北三省四市教研联合体高三二模数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，结合集合的交集的概念及运算，即可求解.【详解】由集合，所以.故选：C.2．等差数列中，.则前13项和（    ）A．133 B．130 C．125 D．120【答案】B【分析】根据等差数列下标和性质求出，再根据等差数列求和公式计算可得.【详解】因为，又，所以，所以.故选：B3．要得到函数的图象，只需把函数的图象（    ）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】A【分析】先利用辅助角公式得到，进而利用左右平移满足“左加右减”进行求解.【详解】，把函数的图象向左平移个单位得到，满足要求，A正确，其他选项均不合要求.故选：A4．已知，则在上的投影向量的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据投影向量的定义即可求解.【详解】在上的投影向量为，故选：C5．哈尔滨防洪胜利纪念塔，坐落在风景如画的松花江南岸，是为纪念哈尔滨市人民战胜1957年的特大洪水，于1958年建成的，是这座英雄城市的象征，它象征着20世纪的哈尔滨人民力量坚不可摧.小明同学想利用镜面反射法测量防洪纪念塔主体的高度.如图所示，小明测量并记录人眼距离地面高度，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到楼顶的位置，测量人与镜子的距离为，将镜子后移，重复前面中的操作，测量人与镜子的距离为.根据数据可求出防洪纪念塔的高度为（    ）（单位：）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形相似即可求解.【详解】作出图形如图所示，由题意可知，，易知设，则化简得，所以防洪纪念塔的高度为.故选：B.6．如图，圆的半径为1，从中剪出扇形围成一个圆锥（无底），所得的圆锥的体积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆锥的体积公式，结合不等式或者利用导数求解单调性，即可求解最值.【详解】设圆锥的底面圆半径为 则圆锥的高为，所以圆锥的体积为，当且仅当时取等号，或者：，令 ，则，故当 时， ，此时 单调递增，当 ，此时 单调递减，故当时，取最大值，故体积的最大值为，故选：D7．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由，构造函数，通过求导讨论的单调性，再构造函数，通过求导讨论的单调性，得到，从而得到，从而判断出；再由，，求出，比较和的大小，从而判断出，即可得到.【详解】因为，，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，即，，即所以，所以；由，得，由，得，所以，因为，所以，所以，所以，即，所以，综上所述.故选：A8．已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线交的右支于点.设的内切圆圆心为轴，则的离心率为（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】利用M在渐进线和圆上，可得M坐标，利用M坐标结合可得直线方程，后利用韦达定理可得点P坐标，后利用可得答案.【详解】设M，因M在渐进线上，则，又M在圆上，则，则.又由题可得，则直线方程为：，将其与双曲线方程联立，消去得：.由题，其判别式大于0，设，由韦达定理，，则，.又，则，又，则，.即.故选：B 二、多选题9．已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则至少有一条与直线垂直D．若，则【答案】BCD【分析】根据空间直线与平面间的位置关系进行判断A，由线面、面面垂直的判定写性质判断BCD．【详解】若，可能平行也可能异面，A错；，则，又，则，B正确；若，假设与不垂直，过直线任一点在平面内作直线，因为，所以，又，则，又，是平面内两相交直线，因此，而，所以，即直线中如果有一条不与垂直，则另一条必定与直线垂直，C正确；若，如图，设，，过直线上一点在平面内作直线，则，同理过在平面内作直线，则，因为过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，所以重合，即重合为平面和的交线，所以，D正确．故选：BCD． 三、单选题10．七巧板是古代中国劳动人民的发明，顾名思义，它由七块板组成，其中包括五个等腰直角三角形，一个正方形和一个平行四边形.利用七巧板可以拼出人物､动物等图案一千余种.下列说法正确的是（    ）A．七块板中等腰直角三角形的直角边边长有3个不同的数值，它们的比为B．从这七块板中任取两块板，可拼成正方形的概率为C．从这七块板中任取两块板，面积相等的概率为D．使用一套七巧板中的块，可拼出不同大小的正方形3种【答案】A【分析】设小正方形的边长为a，得到等腰直角三角形的直角边边长由小到大为，然后逐项判断.【详解】如图所示：设小正方形的边长为a，则等腰直角三角形的直角边边长由小到大为，所以它们的比为，故A正确；从这七块板中任取两块板，若能拼成正方形，则选则两个相同的等腰直角三角形，所以拼成正方形的概率为，故B错误；由题意得，则从这七块板中任取两块板，面积相等的概率为，故错误；由C知拼成的正方形的边长分别为，拼成的正方形的面积分别为，所以可拼出不同大小的正方形有4种，故D错误；故选：A 四、多选题11．设抛物线的焦点为为其上一动点.当运动到点时，，直线与抛物线相交于两点，点.下列结论正确的是（    ）A．抛物线的方程为B．的最小值为6C．以为直径的圆与轴相切D．若以为直径的圆与抛物线的准线相切，则直线过焦点【答案】BCD【分析】对于A、B、C：根据题意结合抛物线的定义分析运算；对于D：根据圆的性质结合韦达定理分析运算.【详解】对于A：因为抛物线的准线为，设点到的距离为，则，解得，所以抛物线的方程为，故A错误；可得抛物线的方程为的焦点，准线.对于B：若，则，解得，即点在抛物线内，可得，当且仅当点为过点作的垂线与抛物线的交点时，等号成立，故B正确；对于C：设的中点为，过作y轴的垂线，垂足为，则，因为，可得，所以以为直径的圆与轴相切，故C正确；对于D：设直线，联立方程，消去x得，则，可得，，即的中点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，则，即，整理得，即，此时，满足题意，此时直线过焦点，故D正确；故选：BCD.12．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“做切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当与的近似值相等时，该近似值即作为函数的一个零点的近似值.下列说法正确的是（    ）A．B．利用牛顿迭代法求函数的零点的近似值（精确到0.1），取，需要做两条切线即可确定的近似值C．利用二分法求函数的零点的近似值（精确度为0.1），给定初始区间为，需进行4次区间二分可得到零点的近似值D．利用牛顿迭代法求函数的零点的近似值，任取，总有【答案】BCD【分析】根据牛顿切线法的做法，即可由切线方程求解A,根据，即可求解B，由二分法的做法，即可计算函数值求解C，令，进而构造函数，求导得函数单调性证明，再根据，证明即可得答案．【详解】曲线在点处的切线为，令 ，则，所以，故A错误，对于B，， ，则，，由于 符合精确度的要求，故只需要求两次切线即可求解近似值,B正确，对于C， ， ,故第一次确定零点位于 ，，故第二次确定零点位于 ，,故第三次确定零点位于，此时，第四次分区间时，区间长度为，此时一定可以确定近视值所在区间，故C正确，对于D，,则，所以对任意的，曲线在,处的切线方程为：，故令，令，所以，当时，，单调递增，当，时，，单调递减，所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立，另一方面， ，且当时，，（若，则，故任意，显然矛盾），因为是的零点，所以，因为为单调递增函数，所以，对任意的时，总有，又因为，所以，对于任意，均有，所以，，，所以，综上，当，总有．故D正确，故选:BCD【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 五、填空题13．已知双曲线过点，则其渐近线方程为______．【答案】【分析】由双曲线经过可求得，从而即得渐近线方程.【详解】因为双曲线过点，即有，解得或（舍），而，故渐近线方程，即.故答案为：14．在正四棱台中，上､下底面边长分别为，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的高为__________.【答案】1或7【分析】求出外接球半径，找到球心的位置，分球心在线段上和在的延长线上两种情况，求出高.【详解】设正四棱台的外接球的半径为，则，解得，连接相交于点，连接相交于点，连接，则球心在直线上，连接，如图1，当球心在线段上时，则，因为上､下底面边长分别为，所以，由勾股定理得，，此时该正四棱台的高为，如图2，当球心在的延长线上时，同理可得，，此时该正四棱台的高为.故答案为：1或715．有一个密码锁，它的密码是由三个数字组成的.只有当我们正确输入每个位置的数字时，这个密码锁才能够打开.现如今我们并不知道密码是多少，当输入246时，提示1个数字正确，并且位置正确；输入258时，提示1个数字正确，但位置错误；输入692时，提示2个数字正确，但位置全错；输入174时，提示没有一个数字是对的；输入419时，提示1个数字正确，但位置错误.则正确的密码为__________.【答案】986【分析】根据所给数字的特征判断各个数位的数字.【详解】由输入174时，提示没有一个数字是对的，说明不含有1，7，4；由输入258时，提示1个数字正确，但位置错误；由当输入246时，提示1个数字正确，并且位置正确，所以不含数字2；由输入692时，提示2个数字正确，但位置全错，所以含有数字6，且6在个位；由输入419时，提示1个数字正确，但位置错误，所以含有数字9，且9在百位；由输入258时，提示1个数字正确，但位置错误，当含有数字5时，5在十位，与位置错误矛盾，所以含有数字8，在十位.故数字为986.故答案为：986.16．已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是______.【答案】或或【分析】借助导数求得的取值范围，再换元，数形结合求a的取值范围.【详解】因为，所以，所以，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，如图，设，则，显然不是方程的解，则（且），如下图所示，（1）当时，直线与曲线（且）无交点，则方程无实数解，（2）当时，直线与曲线（且）有唯一交点，其横坐标为，此时直线与曲线有唯一交点，即方程有唯一实数解（3）当时，直线与曲线（且）有唯一交点，其横坐标为，此时直线与曲线有两个交点，即方程有两个实数解，（4）当，直线与曲线（且）有两个交点，设其横坐标分别为，（），此时直线和直线与曲线各有两个交点，即方程有四个实数解，（5）当时，直线与曲线（且）有两个交点，设其横坐标分别为（），，此时直线与曲线各有两个交点，直线与曲线有唯一的交点，即方程有三个实数解，（6）当时，直线与曲线（且）有唯一个交点，设其横坐标分别为（），此时直线与曲线有两个交点，即方程有两个实数解，（7）当时，直线与曲线有两个公共点，对应的t有两个负值，设为，此时直线和直线与曲线各有一个交点，即方程有两个实数解，综上，当或或时，方程有两个不同的实数根.【点睛】关键点点睛：复合方程解的个数问题的解题策略为：首先要能观察出复合的形式，分清内外层；其次要能根据复合的特点进行分析，将方程问题转化为函数的交点问题；最后通过数形结合的方式解决问题. 六、解答题17．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角的对边分别为，且满足__________.(1)求角；(2)若的面积为的中点为，求的最小值.【答案】(1)(2)4 【分析】（1）选①，利用正弦定理的边角互化以及诱导公式可求解；选②，利用三角形面积公式和向量的数量积，即可求解；选③，利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可求解.（2）利用三角形的面积公式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.【详解】（1）选①，由正弦定理可得又因为，可得即，所以，又因为，所以所以，解得选②由题意，选③，由正弦定理可得，，.（2），解得，由余弦定理可得，所以，当且仅当时，即取等号，所以的最小值为418．已知数列中，(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析，(2) 【分析】（1）对两边同时除以，即可证明数列是等差数列，再由等差数列的通项公式求出数列的通项公式；（2）由（1）求出，再由裂项相消法求和求出，则，即，求解即可.【详解】（1）两边同时除以，数列是首项，公差为2的等差数列，，.（2），可得，，即，即恒成立..19．在世界杯期间，学校组织了世界杯足球知识竞赛，有单项选择题和多项选择题（都是四个选项）两种：(1)甲在知识竞赛中，如果不会单项选择题那么就随机猜测.已知甲会单项选择题和甲不会单项选择题随机猜测的概率分别是.问甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他会这道单项选择题的概率；(2)甲在做某多项选择题时，完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，他选择一个选项､两个选项､二个选项的概率分别为.已知多项选择题每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.某个多项选择题有三个选项是正确的，记甲做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）记事件为“该单项选择题回答正确”，事件为“甲会该单项选择题”，根据独立事件和互斥事件的概率公式，求得，结合条件概率的公式，即可求解.（2）由题意得到所有可能的取值为，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】（1）解：记事件为“该单项选择题回答正确”，事件为“甲会该单项选择题”，因为，所以，甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，会这道单项选择题的概率是.（2）解：由题意知：所有可能的取值为，设事件表示甲选择了个选项，事件表示选择的选项是正确的，所以，，，所以随机变量的分布列为：025所以期望为.20．如图，在四棱锥中，且，其中为等腰直角三角形，，且平面平面.(1)求的长；(2)若平面与平面夹角的余弦值是，求的长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题目中的垂直条件结合平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的判定定理把放到一个直角三角形中，从而可求长度.（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用求平面与平面夹角的方法列式即可求解.【详解】（1）取的中点，则，又平面平面，平面平面平面，平面，平面，，，平面，平面，平面，，又.（2）在平面内过作的垂线以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，，取.设，设平面的法向量为，，平面与平面夹角的余弦值是，，，或（舍），.21．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且.(1)求曲线和曲线的标准方程；(2)过的直线交曲线于两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值.【答案】(1)，(2). 【分析】（1）根据离心率以及抛物线的焦半径即可求解 ，进而可根据 的关系求解，（2）联立直线与抛物线的方程得韦达定理，根据弦长公式求解弦长，进而根据向量共线得面积的关系为，结合对勾函数的性质即可求解最值.【详解】（1）椭圆，又,椭圆,抛物线（2）因为直线斜率不为0，设为，设，联立整理得，.所以，所以，，设四边形的面积为，则，令，再令，则在单调递增，所以时，，此时取得最小值4，所以.【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到面积的关系，对于简化计算起到了重要的作用22．已知与有相同的最小值.(1)求实数的值；(2)已知，函数有两个零点，求证：.【答案】(1)1(2)证明见解析 【分析】（1）利用导数求得和的最小值，由它们相等可得参数的值；（2）由有零点得，不妨令，利用利用导数得出，令，证明，从而证得，令，证明，从而证明，再由不等式得证结论成立．【详解】（1），则，若单调递减，若单调递增．.，若，则无最小值，.若单调递减，若单调递增，，，，，令，则，在上单调递增.又，；（2），，，则，时，，时，，在上单调递减，上单调递增，不妨令，则，①令，单调递增，，∴，，，，②令，单调递增，，，，由上知，，，，．【点睛】难点点睛：利用导数证明与函数的两个零点有关的不等式，常用方法是利用得出之间的关系，从而达到消元的目的，化二元为一元，然后利用一元函数进行证明．本题难点在于对两个零点分别进行处理，为此需要引入两个函数和，利用它们分别证明和，然后由不等式的性质得出结论．这种方法的掌握需要平时多多积累．