2021届四川省内江市第六中学高三上学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

这是一份2021届四川省内江市第六中学高三上学期第一次月考数学（文）试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021届四川省内江市第六中学高三上学期第一次月考数学（文）试题


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】求出集合，利用补集的定义可求得集合.
【详解】
，，
因此，.
故选：D.
【点睛】
本题考查补集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
2．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直接根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；
【详解】
解：，
故选：C.
【点睛】
本题考查复数代数形式的除法运算，属于基础题.
3．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将抛物线方程化简为标准形式，然后直接得到焦点坐标.
【详解】
因为抛物线方程为即，
所以，所以焦点坐标为，
故选：B.
【点睛】
本题考查根据抛物线方程求解焦点坐标，难度较易.形如的抛物线的焦点坐标为，形如的抛物线的焦点坐标为.
4．若，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】首先判断当时，两边平方后能判断成立，反过来，判断是否成立，再判断充分必要条件.
【详解】
当时，且
，
，
若， ，
反过来，当时，满足，当此时 ，
当，.
故选：A
【点睛】
本题考查充分必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.
5．若，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用诱导公式进行变换，即可得答案；
【详解】
由题意可得，
故选：D.
【点睛】
本题考查诱导公式求值，考查运算求解能力.
6．已知椭圆经过点，过顶点，的直线与圆相切，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】把已知点的坐标代入椭圆方程，得关于，的方程，写出过，的直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列关于，的另一方程，联立求得与的值，则椭圆方程可求．
【详解】
解：由点在椭圆上，可得，①
过顶点，的直线方程为，即．
再由直线与圆相切，可得，②
联立①②解得，．
椭圆的方程为．
故选：．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用幂函数与对数函数的单调性与0等比较即可得出大小关系．
【详解】
解：，，则．
故选：A．
【点睛】
本题考查幂函数与对数函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
8．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，结合三视图求出相应的长度，利用柱体和椎体的体积公式，即可得到答案．
【详解】
根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，
半圆柱的底面半圆的直径为，高为，故半圆柱的体积为，
三棱柱的底面三角形的一边长为，该边上的高为，该三棱柱的高为，
故该三棱柱体积为，
所以该“柱脚”的体积为．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算．由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算．
9．已知函数的部分图象如图所示，则φ的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据周期求ω，再根据点坐标求φ的值.
【详解】
由题意，得，所以T=π，
由T=，得ω=2，
由图可知A=1，所以f(x)=sin(2x+φ).
又因为
故选：B
【点睛】
本题考查根据三角函数图象求解析式，考查数形结合思想方法，属基础题.
10．的三内角，，所对边长分别是，，，设向量，，若，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据，得到，再由正弦定理整理得到 ，然后由余弦定理求解.
【详解】
设向量，，
因为，
所以，
由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得，
因为，
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查平面向量共线的应用以及正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用函数在上单调递增，推出，则；得到在，上单调递增，利用函数的导数判断单调性，然后求解的范围即可．
【详解】
解：因为函数在上单调递增，
首先在上单调递增，
故，则①；
其次在，上单调递增，
而，
令，故或，故，即②；
最后，当时，③；
综合①②③，实数的取值范围为，
故选：．
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
12．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若的对称中心为坐标原点，则关于函数有下述四个结论：
①的最小正周期为 ②若的最大值为2，则
③在有两个零点 ④在区间上单调
其中所有正确结论的标号是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②④ D．①③
【答案】A
【解析】根据辅助角公式化简,根据平移后的图像关于原点中心对称可求得解析式.根据正弦函数的图像与性质可依次判断四个选项是否正确.
【详解】
函数,由辅助角公式可得

将图像向右平移单位长度可得
因为的对称中心为坐标原点,由正弦函数图像与性质可知过
即,可得
则
对于①的最小正周期为,所以①正确;
对于②若的最大值为2,则,解得,所以②错误
对于③,令,当时,满足,.解方程可得或,所以③正确;
对于④, ,则其一个单调递增区间为,解得,当时满足在区间上单调,所以④正确.
综上可知,正确的为①③④
故选:A
【点睛】
本题考查了正弦函数的图像与性质的综合应用,辅助角公式的用法,三角函数图像平移变换,综合性较强,属于中档题.


二、填空题
13．设、满足约束条件，则的最大值是__________．
【答案】16
【解析】作出不等式组表示的平面区域，由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越大，结合图象即可求解的最大值．
【详解】
作出、满足约束条件表示的平面区域，如图所示：
由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越大
作直线，然后把该直线向可行域平移，
当直线经过时，最大
由可得，此时．
故答案为：16．

【点睛】
本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中的几何意义．属于中档题.
14．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】分析：离心率公式计算可得m，再由渐近线方程即可得到所求方程.
解析：双曲线的离心率为，可得，
由题意可得，
解得.
双曲线方程为.
渐近线方程为.
故答案为.
点睛：区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中 ，而在双曲线中.
15．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】由奇函数的定义可解得a，再由得切线斜率，利用点斜式即可得解.
【详解】
函数．若为奇函数，则.
可得，所以，则.
曲线在点处的切线斜率为：.
所以切线方程为：，整理得.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义切线斜率，求在点处的切线方程，属于基础题.
16．在三棱锥中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，当其外接球的表面积为，且点到底面的距离等于时，则侧面的面积为__________.
【答案】4
【解析】设点在底面上的射影为，由条件可得出点为斜边的中点，设，由条件求出，然后建立方程求出，然后可算出侧面的面积.
【详解】

设点在底面上的射影为，
因为，所以 ，
则点为的外心，
又底面是以为斜边的等腰直角三角形，
点为斜边的中点，
设，则，
设外接球的半径为，由题设知，，所以，
设球心为，则在上，所以 ，
即，解得，
所以侧面的面积是.
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查的是几何体的外接球问题，找出球心是解决本类题目的关键，考查了学生分析问题的能力，属于中档题.

三、解答题
17．已知数列中，，，.
（1）求证：数列是等比数列;
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】(1)根据求得,化简成含的表达式再得即可.
(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列的通项公式,再代入即可求得数列的通项公式,再根据分组求和求解即可.
【详解】
（1）证明：因为
所以,
又因为,则,
所以数列是首项为2,公比为2的等比数列.
（2）由（1）知,所以,
所以


【点睛】
本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型.
18．第十三届全国人大第二次会议于2019年3月5日在北京开幕．为广泛了解民意，某人大代表利用网站进行民意调查．数据调查显示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)求；
(2)现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人接受现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；
(3)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有的把握认为是否关注民生与年龄有关？
附：

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，．
【答案】（1）；（2）；（3）没有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关．
【解析】(1)根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形的面积之和为1，即可计算出频率分布直方图中的值；

(2)根据分层抽样的公式计算出第1组和第2组中的人数，列出从这5人中随机抽取2人的所有基本事件及两人恰好属于不同组别的事件并求出相应的种数，再根据古典概型计算公式，即可求出这两人恰好属于不同组别的概率；

(3)根据已知可求出200人中不关注民生问题的青少年有30人，然后列出列联表，根据公式求，即可得出结论．
【详解】
(1)因为，
解得．
(2)由题意可知从第1组选取的人数为人，设为，，
从第2组选取的人数为人，设为，，．
从这5人中随机抽取2人的所有情况有：
，，，，，
，，，，，共10种．
这两人恰好属于不同组别有，，，，，，共6种．
所以所求的概率为．
(3)选出的200人中，各组的人数分别为：
第1组：人，
第2组：人，
第3组：人，
第4组：人，
第5组：人，
所以青少年组有人，中老年组有人，
因为参与调查者中关注此问题的约占，即有人不关心民生问题，
所以选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人．
于是得列联表：

关注民生问题
不关注民生问题
合计
青少年
90
30
120
中老年
70
10
80
合计
160
40
200
所以，
所以没有的把握认为是否关注民生与年龄有关．
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图，古典概型概率的计算及独立性检验，同时考查基本计算和数据处理能力．
19．如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点.

（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明，，再利用线面垂直的判定定理，即可得答案；
（2）利用等积法，即，即可得答案；
【详解】
解：（1）证明：由题意知，，，
∴平面，又平面，∴.
由题设知，∴，即，
又，∴平面.
（2）设点到平面的距离为，则即以为顶点、为底的三棱锥的高.
由（1）知，平面，是此三棱锥的高.为直角三角形，，.
易知是直角三角形且，又，
所以是直角三角形，
∵，∴，∴.
所以点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查线面垂直判定定理的运用、等积法求点到面的距离，考查空间想象能力、运算求解能力.
20．已知圆，动圆与圆外切，且与直线相切，该动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程
（2）过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点A的切线与交于点N，求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）4.
【解析】（1）先设，动圆半径为，根据题意，列出等量关系，化简整理，即可得出曲线方程；
（2）设，依题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及弦长公式，表示出，再表示出过点点的切线方程，求出点，根据点到直线距离公式，以及三角形面积公式，得到，即可得出结果.
【详解】
（1）设，动圆半径为，因为动圆与圆外切，
所以，
又动圆与直线相切，所以由题意可得：，
即，即，整理得：；
所以抛物线的方程为.
（2）设，依题意可知，直线的斜率存在，
故设直线的方程为：，
联立消去可得，.
则.
所以
.
由，得，
所以过点的切线方程为， 又，
所以切线方程可化为.令，可得,
所以点,
所以点到直线的距离，
所以，当时，等号成立
所以面积的最小值为4.
【点睛】
本题主要考查求轨迹方程，以及抛物线中三角形面积的最值问题，熟记求轨迹方程的一般步骤，以及抛物线的简单性质等即可，属于常考题型.
21．已知函数在定义域上满足恒成立．
(1)求实数的值；
(2)令在上的最小值为，求证：．
【答案】(1)；(2)见解析
【解析】(1) 若在上恒成立，则只需函数即可，，对进行分类讨论可确定函数的单调性，可得当时函数有最大值，利用导数法可判断，又，从而可求得的值；

(2)由(1)知，可得，令，可证，使得，从而可确定在上单调递减，在上单调递增，进而可得，即，即可证出．
【详解】
(1)的定义域为，且，
①当时，，故在上单调递增，
由于，所以当时，，不合题意．
②当时，，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即．
所以要使在时恒成立，则只需，
亦即．
令，则，
所以当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增．
又，所以满足条件的只有2，即．
(2)由(1)知，，
所以，
于是．
令，则，
由于，所以，即在上单调递增；
又，，所以，使得，即，
且当时，；当时，，
即在上单调递减；在上单调递增．
所以，即，
所以，
所以．
【点睛】
本题主要考查利用导数法求函数的最值及恒成立问题处理方法，第(2)问通过最值问题深化对函数的单调性的考查，同时考查转化与化归的思想，属于中档题．
22．已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2），是曲线上两点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)先消去参数将参数方程化成普通方程,再利用，将普通方程化成极坐标方程即可得到;
(2) 设点的极坐标为，则点的极坐标为．将化成,利用即可得到答案.
【详解】
（1）由（为参数），得曲线的普通方程为,
将，代入，得,
即,
所以曲线的极坐标方程为.
（2）由（1）知,
设点的极坐标为，
因为，则点的极坐标为,
所以
．
【点睛】
本题考查了参数方程化普通方程,考查了直角坐标方程化极坐标方程,考查了极坐标的几何意义,考查了同角公式,属于中档题.
23．已知正实数，满足．
（1）求最大值；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）4；（2）.
【解析】(1)平方后用基本不等式即可得到答案;
(2)利用基本不等式求得的最小值为3,利用绝对值三角不等式求得的最大值为,然后将恒成立转化为,解绝对值不等式即可得到答案.
【详解】
（1）因为
，当且仅当时取等号．
所以最大值为4．
（2）因为，
当且仅当，即，取等号，
所以的最小值为3,
又,
所以,
所以不等式对任意恒成立，只需,
所以,解得,
即实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查了基本不等式求积的最大值,和的最小值,考查了绝对值三角不等式,考查了不等式恒成立问题,属于中档题.