2023届四川省内江市威远中学校高三上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

2023届四川省内江市威远中学校高三上学期第三次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件求出函数的值域化简集合B，再利用并集的定义直接计算作答.

【详解】函数中，，则，当且仅当时取“=”，即函数的值域是，

于是得，而，

所以.

故选：C

2．

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.

详解：选D.

点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.

3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合正弦定理，求出，再结合角的取值范围，即可求解.

【详解】在中，，

由正弦定理可得，

所以，即，

因为，所以，因为，所以.

故选：D.

4．的值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】根据指数幂的运算可得答案.

【详解】.

故选：D.

5．若实数，满足约束条件，则的最小值是（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据不等式组作出可行域，由目标函数的几何意义求得最小值.

【详解】根据不等式组作出可行域，如图所示，

的最小值表示直线在y轴上的截距的最小值，即A点，易知，

此时，

故选：C

6．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

7．函数的图像大致为

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.

详解：函数过定点，排除，

求得函数的导数，

由得，

得或，此时函数单调递增，排除，故选D.

点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.

8．设是等比数列，且，，则（    ）

A．12 B．24 C．30 D．32

【答案】D

【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.

【详解】设等比数列的公比为，则，

，

因此，.

故选：D.

【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．

9．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由正弦函数的性质可得，结合已知单调区间列不等式组求解集即可.

【详解】由函数解析式知：在上单调递增，

∴，单调递增，

又∵在区间上单调递增，

∴，解得，所以当时，有，

故选：B

【点睛】关键点点睛：利用整体代入法得到，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围.

10．已知函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由图可知，，，从而可求出，，进而由可求得答案

【详解】解：由图可知，，

所以，，或，

因为，所以，所以，

因为，所以，

所以，，或

因为，所以，

所以，

由，

解得，

所以的单调递减区间为，

故选：D

【点睛】此题考查由三角函数的部分图像求解析式，考查三角函数的图像和性质，属于中档题

11．设函数,则使成立的的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.

【解析】抽象函数的不等式.

【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可．

12．设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

A．函数有极大值 和极小值

B．函数有极大值 和极小值

C．函数有极大值 和极小值

D．函数有极大值 和极小值

【答案】D

【详解】则函数增；

则函数减；

则函数减；

则函数增；选D.

【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减

二、填空题

13．在中，若，则的形状是____．

【答案】钝角三角形

【详解】试题分析：判断三角形形状，一般利用余弦定理.

因为，所以由正弦定理得：，

再由余弦定理得：因此的形状是钝角三角形

【解析】余弦定理

14．若，则__.

【答案】

【分析】根据二倍角的正弦公式先化简，再利用同角三角函数间的基本关系求解即可.

【详解】解：若，

则

，

故答案为：.

【点评】本题考查二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，属于基础题.

15．已知数列的通项公式则数列的前n项和___________.

【答案】

【分析】根据题意，由裂项相消求和即可.

【详解】因为，

，

．

故答案为：

16．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则__________.

【答案】2

【分析】由奇偶性和对称性求出函数周期，求出一个周期内函数值，进而得解.

【详解】因为，所以函数关于直线对称，

则，又函数是定义域为的奇函数，

所以，则函数的周期，

因为，则，，

，所以，

由于，所以．

故答案为：.

三、解答题

17．已知在数列中，为其前项和，且，数列为等比数列，公比，，且，，成等差数列．

（1）求与的通项公式；

（2）令，求的前项和．

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）根据与的关系可求，利用等比中项以及等比数列的通项公式即可求解.

（2）利用错位相减法即可求解.

【详解】（1）∵，，

∴，当时，满足上式，

，，

由于，∴，∴

（2）由（1）得，，①

∴，②

①②得，

∴.

【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、错位相减法求和，考查了考生的计算能力，属于基础题.

18．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且满足：.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求面积的最大值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（1）根据向量平行的坐标关系，得到关于三角形边角关系式，运用正弦定理，化边为角，结合两角和差公式，即可求解；

（2）由（1）求出，用余弦定理得出关系式，运用基本不等式，可求出结论.

【详解】解：（Ⅰ）由，，

得，，

在中，由正弦定理

得，

化简得，

因，所以.

（Ⅱ）在中，由（1）得，由余弦定理得，

，所以，

当且仅当时“”成立.

因，

所以当且仅当时，面积的最大值为.

【点睛】本题考查向量平行的坐标关系，考查正余弦定理解三角形，以及基本不等式求最值，属于中档题.

19．已知函数，

(1)讨论的单调性；

(2)若不等式对任意恒成立，求的最大值．

【答案】(1)单调性见解析；

(2)

【分析】（1）求出导函数，通过，时，求解导函数的正负，判断导函数的符号，求解函数的单调区间即可．（2）对任意恒成立，等价于 恒成立. 构造函数求出导数，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后转化求解即可．

【详解】（1）解：，

当时，恒成立， 在上单调递增；

当时，令得，令得，在上单调递增，在上单调递减；

综上所述：当时， 在上单调递增；

当时， 在上单调递增，在上单调递减；

（2）依题意得：对任意恒成立，等价于恒成立.

令，则，则当时，，当时，，又，

在上单调递减，在上单调递增，

，

，即的最大值为.

【点睛】思路点睛：函数中恒成立或有解问题，可分离变量，转化为或来求.

20．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：

（1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？

（2）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，问2名学生中有1名男生的概率是多少？

（3）学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由.

附：

【答案】（1）；（2）；（3）有关系，理由见解析.

【分析】（1）利用不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生人数除以学生总数，即可求得结果；

（2）对名学生进行标记，采用古典概型的概率计算方法，利用基本事件数的比求解出对应概率；

（3）根据表格数据计算出的值，然后将与附表数据比较大小，由此可得到结论.

【详解】（1）由题知，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，总人数为50人，

所以；

（2）设这7名学生分别为，，，，，，（大写为男生，小写为女生），则从中抽取两名学生的情况有：

，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，

共21种情况，其中有1名男生的有10种情况，

∴；

故2名学生中有1名男生的概率是；

（3）由题意得，，

故有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系.

21．已知函数.

（I）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.

试题解析：（I）的定义域为.当时，

，

曲线在处的切线方程为

（II）当时，等价于

设，则

，

（i）当，时，，故在上单调递增，因此；

（ii）当时，令得

.

由和得，故当时，，在单调递减，因此.

综上，的取值范围是

【解析】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性

【名师点睛】求函数的单调区间的方法：

（1）确定函数y＝f（x）的定义域；

（2）求导数y′＝f′（x）；

（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

22．数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线：（，）被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．

（1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；

（2）射线，的极坐标方程分别为，（，），，分别交曲线于点，两点，求的最小值．

【答案】（1），，；（2）4.

【解析】（1）将单位圆与三叶玫瑰线联立，解得，求得的值，进而求得单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；

（2）代入极坐标方程，求得点所对应的极径分别为，，得到，即可求得的最小值.

【详解】（1）将单位圆与三叶玫瑰线联立，解得，

所以，，

因为，取0，1，2，得，，，

从而得到单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标为，，．

（2）将，代入：，

点，所对应的极径分别为，，所以，，即，，

当且仅当时，取得最小值4．

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)记函数的最小值为，若、、均为正实数，，求的最小值．

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；

（2）分析函数的单调性，可求得的值，然后利用柯西不等式可求得的最小值.

【详解】（1）解：当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时.

综上所述，不等式的解集为或.

（2）解：由（1）可知，

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以，，所以，，

因为、、均为正实数，由柯西不等式可得，

所以，，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.