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山西省临汾市2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷
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这是一份山西省临汾市2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷，共22页。
2022-2023学年山西省临汾市八年级下学期期末数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
2．（3分）一粒种子重约0.000005克，将0.000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×105 B．5×10﹣5 C．5×106 D．5×10﹣6
3．（3分）有20个数据，其中8个数的平均数为11，另12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是（ ）
A．11.5 B．11.6 C．23.2 D．232
4．（3分）已知A＝，B＝+，则A，B的关系为（ ）
A．A＝B B．AB＝1 C．A+B＝0 D．不能确定
5．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，AC＝10，则这个平行四边形面积为（ ）
A．24 B．40 C．20 D．12
6．（3分）某工厂中标生产一批5G手机配件的定单，该工厂未完成的定单任务量y（件）与生产时间x（天）之间的函数关系如图所示（AB∥CD，BC∥x轴）．下列结论：
（1）该工厂这批定单平均每天生产500件；
（2）该工厂这批定单任务量是10000件；
（3）该工厂生产这批定单中途停产了2天；
（4）该工厂完成这批定单时间少于22天；
其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
8．（3分）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．点（﹣2，1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．它的图象经过原点
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
9．（3分）若分式方程+2＝0有增根，则a的值是（ ）
A．a＝2 B．a＝ C．a＝﹣ D．a＝﹣3．
10．（3分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．那么对于这个图中各部分的面积关系，说法不一定成立的是（ ）
A．S矩形NFGD＝S矩形EFMB B．S△ABC＝S△ADC
C．S△ANF＝S矩形FMCG D．S△AEF＝S△ANF
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）直线y＝﹣2x﹣3向上平移2个单位后的解析式为 ．
12．（3分）在芯片制作过程中，需要对AB＝2cm，AD＝3cm的矩形区域进行划区处理，划成如图所示的“M0+N1”的形式，其中M0为竖式矩形（＝），N1为横式矩形（＝），则芯片被利用区域的长AG的值为 cm．
13．（3分）一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为8，方差为12．若增加一个数据8，那么这组新数据的平均数＝ ，方差 12（第二空请填“＞，＝，＜”）．
14．（3分）如图，点A、B为反比例函数y＝在第一象限上的两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，若点B的横坐标是点A横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为k﹣3，则k的值为 ．
15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，P是边BC上的动点（与B，C两点不重合），过点P作PM∥OC，PN∥OB，分别交OB，OC于点M，N两点，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：（）﹣1+|2﹣|﹣．
（2）解分式方程：+1＝．
17．（6分）小杰同学在做“先化简，再求值：•÷x3，其中x＝﹣3．“这道题时，错将x＝﹣3看成x＝3，但是他的答案却是正确的，你能找出其中的原因吗？
18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线AC上的一点，过点B作BQ∥AC，且BQ＝CP，连接PD，PQ，AQ．
（1）求证：△PDC≌△QAB；
（2）若PA平分∠DPQ，求证：四边形AQPD为菱形．
19．（10分）我市到杭州的高速公路大约长180km，一辆轿车从我市出发开往杭州，轿车到达杭州的时间t（h）和行驶的平均速度v（km/h）之间有怎样的关系？v是t的反比例函数吗？
20．（8分）为了了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 ；
（2）扇形图中a的值为 ，圆心角β的度数为 ；
（3）补全条形统计图；
（4）若该校有3000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？
21．（10分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．
（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式．（每件销售利润＝售价﹣进价﹣销售成本）
22．（12分）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB与AC满足怎样数量关系时，四边形AECF为菱形．
23．（12分）如图，点P是反比例函数y＝上第一象限上一个动点，点A、点B为坐标轴上的点，A（0，k），B（k，0）．已知△OAB的面积为．
（1）求k的值；
（2）连接PA、PB、AB，设△PAB的面积为S，点P的横坐标为t．请直接写出S与t的函数关系式；
（3）阅读下面的材料回答问题：
a+＝（）2+（）2＝（）2﹣2•+（）2+2＝（﹣）2+2．
∵（﹣）2≥0，
∴（﹣）2+2≥2，即a+≥2．
由此可知：当﹣＝0时，即a＝1时，a+取得最小值2．
问题：请你根据上述材料探索（2）中△PAB的面积S有没有最小值？若有，请直接写出S的最小值；若没有，说明理由．
2022-2023学年山西省临汾市八年级下学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【答案】A
【解答】解：过点E向x轴画垂线，垂足在x轴上对应的实数是1，因此点E的横坐标为1；
同理，过点E向y轴画垂线，点E的纵坐标为2．
所以点E的坐标为（1，2）．
故选：A．
2．（3分）一粒种子重约0.000005克，将0.000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×105 B．5×10﹣5 C．5×106 D．5×10﹣6
【答案】D
【解答】解：将0.000005用科学记数法表示为5×10﹣6．
故选：D．
3．（3分）有20个数据，其中8个数的平均数为11，另12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是（ ）
A．11.5 B．11.6 C．23.2 D．232
【答案】B
【解答】解：根据平均数的求法：共20个数，这些数之和为8×11+12×12＝232，
所以这些数的平均数是＝11.6．
故选：B．
4．（3分）已知A＝，B＝+，则A，B的关系为（ ）
A．A＝B B．AB＝1 C．A+B＝0 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：A+B＝++
＝+﹣
＝+
＝﹣
＝0，
故选：C．
5．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，AC＝10，则这个平行四边形面积为（ ）
A．24 B．40 C．20 D．12
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，
∴AE＝CE＝AC＝5，BE＝DE＝BD，
∵∠CBD＝90°，BC＝4，
∴BE＝＝＝3，
∴BD＝2BE＝6，
则这个平行四边形面积为BD•BC＝6×4＝24，
故选：A．
6．（3分）某工厂中标生产一批5G手机配件的定单，该工厂未完成的定单任务量y（件）与生产时间x（天）之间的函数关系如图所示（AB∥CD，BC∥x轴）．下列结论：
（1）该工厂这批定单平均每天生产500件；
（2）该工厂这批定单任务量是10000件；
（3）该工厂生产这批定单中途停产了2天；
（4）该工厂完成这批定单时间少于22天；
其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：由图象得：从第10天到16天生产了6000﹣3000＝3000（件），每天生产：3000÷（16﹣10）＝500（件），
∵AB∥CD，BC∥x轴，
∴从开始到8天每天生产500件，生产了500×8＝4000（件），该工厂生产这批定单中途停产了10﹣8＝2（天），故（3）正确；
∴该工厂这批定单任务量是6000+4000＝10000（件），故（2）正确；
16天时未完成的定单任务量是3000件，由图象得16天后每天每天生产量增加了，
∴剩余的任务量所需时间小于3000÷500＝6（天），
∴该工厂完成这批定单时间少于16+6＝22（天），故（4）正确；
由于工厂完成这批定单时间不定，所以无法求出该工厂这批定单平均每天生产多少件，故（1）不正确．
故选：C．
7．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
【答案】D
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故A选项正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
8．（3分）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．点（﹣2，1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．它的图象经过原点
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【答案】B
【解答】解：A、点（﹣2，﹣1）在它的图象上，不符合题意；
B、反比例函数中的k＝2＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，符合题意；
C、反比例函数的图象是双曲线，不经过原点，不符合题意；
D、反比例函数中的k＝2＞0，其在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；
故选：B．
9．（3分）若分式方程+2＝0有增根，则a的值是（ ）
A．a＝2 B．a＝ C．a＝﹣ D．a＝﹣3．
【答案】C
【解答】解：去分母得：ax+2a+1+2x2﹣8＝0，
由分式方程有增根，得到x＝2或x＝﹣2，
把x＝2代入整式方程得：4a+1＝0，即a＝﹣；
把x＝﹣2代入整式方程，无解，
则a的值为﹣，
故选：C．
10．（3分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．那么对于这个图中各部分的面积关系，说法不一定成立的是（ ）
A．S矩形NFGD＝S矩形EFMB B．S△ABC＝S△ADC
C．S△ANF＝S矩形FMCG D．S△AEF＝S△ANF
【答案】C
【解答】解：∵AD∥EG∥BC，MN∥AB∥CD，
∴四边形AEFN是平行四边形，四边形FMCG是平行四边形，
∴S△AEF＝S△AFN，S△FMC＝S△CGF，S△ABC＝S△ACD，
∴S矩形BEFM＝S矩形NFGD，
∴选项A、B、D是正确的，
当AN＝2ND时，S△ANF＝S矩形NFGD，所以此式子不一定成立，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）直线y＝﹣2x﹣3向上平移2个单位后的解析式为 y＝﹣2x﹣1 ．
【答案】y＝﹣2x﹣1．
【解答】解：将直线y＝﹣2x﹣3向上平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为：y＝﹣2x﹣3+2，
即y＝﹣2x﹣1，
故答案为y＝﹣2x﹣1．
12．（3分）在芯片制作过程中，需要对AB＝2cm，AD＝3cm的矩形区域进行划区处理，划成如图所示的“M0+N1”的形式，其中M0为竖式矩形（＝），N1为横式矩形（＝），则芯片被利用区域的长AG的值为 2 cm．
【答案】2．
【解答】解：∵AB＝2cm，＝，
∴AE＝cm，
∵EF＝AB＝1（cm），＝，
∴EG＝cm，
∴AG＝AE+EG＝2（cm），
故答案为：2．
13．（3分）一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为8，方差为12．若增加一个数据8，那么这组新数据的平均数＝ 8 ，方差 ＜ 12（第二空请填“＞，＝，＜”）．
【答案】8，＜．
【解答】解：若增加一个数据8，共有6个数据
x1，x2，x3，x4，x5，x6，平均数＝＝8，
6个数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，方差＝[（x1﹣8）2+（x2﹣8）2+…+（x5﹣8）2+（8﹣8）2]＜[（x1﹣8）2+（x2﹣8）2+…+（x5﹣8）2]，
故答案为：8，＜．
14．（3分）如图，点A、B为反比例函数y＝在第一象限上的两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，若点B的横坐标是点A横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为k﹣3，则k的值为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：设B（t，），
∵AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，若点B的横坐标是点A横坐标的一半，
∴A （2t，），
根据三角形中位线定理，EM＝OD＝t，EN＝OC＝，
∴阴影部分的面积＝EM•BE+EN•AE＝×t×+××t＝k﹣3，
解得：k＝4，
故答案为：4．
15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，P是边BC上的动点（与B，C两点不重合），过点P作PM∥OC，PN∥OB，分别交OB，OC于点M，N两点，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
【答案】．
【解答】解：如图，连接OP，设△BOC中BC边的高为h，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，
∴，
∵PM∥OC，PN∥OB，
∴PM⊥OB，PN⊥OC，
∴∠BOC＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形ONPM是矩形，
∴MN＝OP，
当OP⊥BC时，OP最小，此时MN最小，最小值为h，
∵S△BOC＝OB•OC＝BC•h．
∴，解得：．
即MN的最小值为．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：（）﹣1+|2﹣|﹣．
（2）解分式方程：+1＝．
【答案】（1）﹣；
（2）x＝1．
【解答】解：（1）（）﹣1+|2﹣|﹣
＝2+﹣2﹣2
＝﹣；
（2）+1＝，
方程两边都乘x﹣2，得x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，
所以x＝1是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝1．
17．（6分）小杰同学在做“先化简，再求值：•÷x3，其中x＝﹣3．“这道题时，错将x＝﹣3看成x＝3，但是他的答案却是正确的，你能找出其中的原因吗？
【答案】理由见解答过程．
【解答】解：原式＝••
＝，
当x＝﹣3时，＝，
当x＝3时，＝，
∴错将x＝﹣3看成x＝3，但是他的答案都是正确的．
18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线AC上的一点，过点B作BQ∥AC，且BQ＝CP，连接PD，PQ，AQ．
（1）求证：△PDC≌△QAB；
（2）若PA平分∠DPQ，求证：四边形AQPD为菱形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠DCP＝∠BAC，
∵BQ∥AC，
∴∠BAC＝∠ABQ，
∴∠DCP＝∠ABQ，
在△PDC和△QAB中，
，
∴△PDC≌△QAB（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BQ∥AC，且BQ＝CP，
∴四边形BCPQ是平行四边形，
∴PQ＝BC，PQ∥BC，
∴AD∥PQ，AD＝PQ，
∴四边形AQPD是平行四边形，∠DAP＝∠QPA，
∵PA平分∠DPQ，
∴∠DPA＝∠QPA，
∴∠QPA＝∠DAP，
∴DA＝DP，
∴平行四边形AQPD是菱形．
19．（10分）我市到杭州的高速公路大约长180km，一辆轿车从我市出发开往杭州，轿车到达杭州的时间t（h）和行驶的平均速度v（km/h）之间有怎样的关系？v是t的反比例函数吗？
【答案】v＝（t＞0）．
【解答】解：根据题意得，这辆汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为v＝（t＞0）．
故答案为：v＝（t＞0）．
20．（8分）为了了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 60 ；
（2）扇形图中a的值为 20 ，圆心角β的度数为 144° ；
（3）补全条形统计图；
（4）若该校有3000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？
【答案】（1）60；
（2）20，144°；
（3）见解答；
（4）1500名．
【解答】解：（1）本次抽样的人数为18÷30%＝60（人），
∴样本容量为60，
故答案为：60；
（2）A组所占的百分比为，
∴a的值为20，
β＝40%×360°＝144°，
故答案为：20，144°；
（3）C组的人数为40%×60＝24（人），
统计图如下：
（4）总时间少于24小时的学生的百分比为，
3000×50%＝1500（名），
答：全校寒假阅读的总时间少于24小时的学生估计有1500名．
21．（10分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．
（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式．（每件销售利润＝售价﹣进价﹣销售成本）
【答案】（1）一件A型丝绸的进价为500元、一件B型丝绸的进价为400元；
（2）①16≤m≤25；
②w＝．
【解答】解：（1）设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为（x+100）元，
由题意可得：，
解得x＝400，
经检验：x＝400为原方程的解，
∴x+100＝500，
答：一件A型丝绸的进价为500元、一件B型丝绸的进价为400元；
（2）①∵A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，
∴，
解得16≤m≤25；
②设销售这批丝绸的利润为y元，
由题意可得：y＝（800﹣500﹣2n）m+（600﹣400﹣n）（50﹣m）＝（100﹣n）m+10000﹣50n，
∵50≤n≤150，
∴当50≤n＜100时，100﹣n＞0，
则当m＝25时，销售这批丝绸的最大利润w＝25（100﹣n）+10000﹣50n＝﹣75n+12500；
当n＝100时，100﹣n＝0，
销售这批丝绸的最大利润w＝5000；
当100＜n≤150时，100﹣n＜0，
则当m＝16时，销售这批丝绸的最大利润w＝﹣66n+11600；
综上所述：w＝．
22．（12分）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB与AC满足怎样数量关系时，四边形AECF为菱形．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）AC＝2AB．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠CAB＝∠ACD．
由折叠的性质可得∠EAB＝∠EAC，∠ACF＝∠FCD，
又∵∠CAB＝∠ACD，
∴∠EAC＝∠ACF，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形AECF是菱形，
理由：∵∠B＝90°，AC＝2AB，
∴∠ACB＝30°，
由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴EA＝EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
23．（12分）如图，点P是反比例函数y＝上第一象限上一个动点，点A、点B为坐标轴上的点，A（0，k），B（k，0）．已知△OAB的面积为．
（1）求k的值；
（2）连接PA、PB、AB，设△PAB的面积为S，点P的横坐标为t．请直接写出S与t的函数关系式；
（3）阅读下面的材料回答问题：
a+＝（）2+（）2＝（）2﹣2•+（）2+2＝（﹣）2+2．
∵（﹣）2≥0，
∴（﹣）2+2≥2，即a+≥2．
由此可知：当﹣＝0时，即a＝1时，a+取得最小值2．
问题：请你根据上述材料探索（2）中△PAB的面积S有没有最小值？若有，请直接写出S的最小值；若没有，说明理由．
【答案】（1）1；（2）S关于t的函数关系式为S＝+﹣，t的取值范围为t＞0．（3）﹣．
【解答】解：（1）由图可知：2k＞0，即k＞0，
则S△OAB＝OB•OA＝k2＝．
解得：k1＝1，k2＝﹣1．
∵k＞0，
∴k＝1．
（2）过点P作PH⊥x轴于H，作PG⊥y轴于G，连接OP，如图，
∵xP＝t，
∴yP＝，
∴PG＝t，PH＝．
则S＝S四边形OAPB﹣S△OAB
＝S△OAP+S△OBP﹣S△OAB
＝OA•PG+OB•PH﹣
＝×1×t+×1×﹣
＝+﹣，
∵点P在第一象限，
∴t＞0．
∴S关于t的函数关系式为S＝+﹣，t的取值范围为t＞0．
（3）S＝+﹣
＝（t+﹣1）
＝（t+﹣2+2﹣1）
＝[（﹣）2+2﹣1]
＝（﹣）2+﹣．
∴当＝即t＝时，S取到最小值，最小值为﹣．
2022-2023学年山西省临汾市八年级下学期期末数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
2．（3分）一粒种子重约0.000005克，将0.000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×105 B．5×10﹣5 C．5×106 D．5×10﹣6
3．（3分）有20个数据，其中8个数的平均数为11，另12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是（ ）
A．11.5 B．11.6 C．23.2 D．232
4．（3分）已知A＝，B＝+，则A，B的关系为（ ）
A．A＝B B．AB＝1 C．A+B＝0 D．不能确定
5．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，AC＝10，则这个平行四边形面积为（ ）
A．24 B．40 C．20 D．12
6．（3分）某工厂中标生产一批5G手机配件的定单，该工厂未完成的定单任务量y（件）与生产时间x（天）之间的函数关系如图所示（AB∥CD，BC∥x轴）．下列结论：
（1）该工厂这批定单平均每天生产500件；
（2）该工厂这批定单任务量是10000件；
（3）该工厂生产这批定单中途停产了2天；
（4）该工厂完成这批定单时间少于22天；
其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
8．（3分）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．点（﹣2，1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．它的图象经过原点
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
9．（3分）若分式方程+2＝0有增根，则a的值是（ ）
A．a＝2 B．a＝ C．a＝﹣ D．a＝﹣3．
10．（3分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．那么对于这个图中各部分的面积关系，说法不一定成立的是（ ）
A．S矩形NFGD＝S矩形EFMB B．S△ABC＝S△ADC
C．S△ANF＝S矩形FMCG D．S△AEF＝S△ANF
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）直线y＝﹣2x﹣3向上平移2个单位后的解析式为 ．
12．（3分）在芯片制作过程中，需要对AB＝2cm，AD＝3cm的矩形区域进行划区处理，划成如图所示的“M0+N1”的形式，其中M0为竖式矩形（＝），N1为横式矩形（＝），则芯片被利用区域的长AG的值为 cm．
13．（3分）一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为8，方差为12．若增加一个数据8，那么这组新数据的平均数＝ ，方差 12（第二空请填“＞，＝，＜”）．
14．（3分）如图，点A、B为反比例函数y＝在第一象限上的两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，若点B的横坐标是点A横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为k﹣3，则k的值为 ．
15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，P是边BC上的动点（与B，C两点不重合），过点P作PM∥OC，PN∥OB，分别交OB，OC于点M，N两点，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：（）﹣1+|2﹣|﹣．
（2）解分式方程：+1＝．
17．（6分）小杰同学在做“先化简，再求值：•÷x3，其中x＝﹣3．“这道题时，错将x＝﹣3看成x＝3，但是他的答案却是正确的，你能找出其中的原因吗？
18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线AC上的一点，过点B作BQ∥AC，且BQ＝CP，连接PD，PQ，AQ．
（1）求证：△PDC≌△QAB；
（2）若PA平分∠DPQ，求证：四边形AQPD为菱形．
19．（10分）我市到杭州的高速公路大约长180km，一辆轿车从我市出发开往杭州，轿车到达杭州的时间t（h）和行驶的平均速度v（km/h）之间有怎样的关系？v是t的反比例函数吗？
20．（8分）为了了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 ；
（2）扇形图中a的值为 ，圆心角β的度数为 ；
（3）补全条形统计图；
（4）若该校有3000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？
21．（10分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．
（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式．（每件销售利润＝售价﹣进价﹣销售成本）
22．（12分）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB与AC满足怎样数量关系时，四边形AECF为菱形．
23．（12分）如图，点P是反比例函数y＝上第一象限上一个动点，点A、点B为坐标轴上的点，A（0，k），B（k，0）．已知△OAB的面积为．
（1）求k的值；
（2）连接PA、PB、AB，设△PAB的面积为S，点P的横坐标为t．请直接写出S与t的函数关系式；
（3）阅读下面的材料回答问题：
a+＝（）2+（）2＝（）2﹣2•+（）2+2＝（﹣）2+2．
∵（﹣）2≥0，
∴（﹣）2+2≥2，即a+≥2．
由此可知：当﹣＝0时，即a＝1时，a+取得最小值2．
问题：请你根据上述材料探索（2）中△PAB的面积S有没有最小值？若有，请直接写出S的最小值；若没有，说明理由．
2022-2023学年山西省临汾市八年级下学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【答案】A
【解答】解：过点E向x轴画垂线，垂足在x轴上对应的实数是1，因此点E的横坐标为1；
同理，过点E向y轴画垂线，点E的纵坐标为2．
所以点E的坐标为（1，2）．
故选：A．
2．（3分）一粒种子重约0.000005克，将0.000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×105 B．5×10﹣5 C．5×106 D．5×10﹣6
【答案】D
【解答】解：将0.000005用科学记数法表示为5×10﹣6．
故选：D．
3．（3分）有20个数据，其中8个数的平均数为11，另12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是（ ）
A．11.5 B．11.6 C．23.2 D．232
【答案】B
【解答】解：根据平均数的求法：共20个数，这些数之和为8×11+12×12＝232，
所以这些数的平均数是＝11.6．
故选：B．
4．（3分）已知A＝，B＝+，则A，B的关系为（ ）
A．A＝B B．AB＝1 C．A+B＝0 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：A+B＝++
＝+﹣
＝+
＝﹣
＝0，
故选：C．
5．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，AC＝10，则这个平行四边形面积为（ ）
A．24 B．40 C．20 D．12
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，
∴AE＝CE＝AC＝5，BE＝DE＝BD，
∵∠CBD＝90°，BC＝4，
∴BE＝＝＝3，
∴BD＝2BE＝6，
则这个平行四边形面积为BD•BC＝6×4＝24，
故选：A．
6．（3分）某工厂中标生产一批5G手机配件的定单，该工厂未完成的定单任务量y（件）与生产时间x（天）之间的函数关系如图所示（AB∥CD，BC∥x轴）．下列结论：
（1）该工厂这批定单平均每天生产500件；
（2）该工厂这批定单任务量是10000件；
（3）该工厂生产这批定单中途停产了2天；
（4）该工厂完成这批定单时间少于22天；
其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：由图象得：从第10天到16天生产了6000﹣3000＝3000（件），每天生产：3000÷（16﹣10）＝500（件），
∵AB∥CD，BC∥x轴，
∴从开始到8天每天生产500件，生产了500×8＝4000（件），该工厂生产这批定单中途停产了10﹣8＝2（天），故（3）正确；
∴该工厂这批定单任务量是6000+4000＝10000（件），故（2）正确；
16天时未完成的定单任务量是3000件，由图象得16天后每天每天生产量增加了，
∴剩余的任务量所需时间小于3000÷500＝6（天），
∴该工厂完成这批定单时间少于16+6＝22（天），故（4）正确；
由于工厂完成这批定单时间不定，所以无法求出该工厂这批定单平均每天生产多少件，故（1）不正确．
故选：C．
7．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
【答案】D
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故A选项正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
8．（3分）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．点（﹣2，1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．它的图象经过原点
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【答案】B
【解答】解：A、点（﹣2，﹣1）在它的图象上，不符合题意；
B、反比例函数中的k＝2＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，符合题意；
C、反比例函数的图象是双曲线，不经过原点，不符合题意；
D、反比例函数中的k＝2＞0，其在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；
故选：B．
9．（3分）若分式方程+2＝0有增根，则a的值是（ ）
A．a＝2 B．a＝ C．a＝﹣ D．a＝﹣3．
【答案】C
【解答】解：去分母得：ax+2a+1+2x2﹣8＝0，
由分式方程有增根，得到x＝2或x＝﹣2，
把x＝2代入整式方程得：4a+1＝0，即a＝﹣；
把x＝﹣2代入整式方程，无解，
则a的值为﹣，
故选：C．
10．（3分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．那么对于这个图中各部分的面积关系，说法不一定成立的是（ ）
A．S矩形NFGD＝S矩形EFMB B．S△ABC＝S△ADC
C．S△ANF＝S矩形FMCG D．S△AEF＝S△ANF
【答案】C
【解答】解：∵AD∥EG∥BC，MN∥AB∥CD，
∴四边形AEFN是平行四边形，四边形FMCG是平行四边形，
∴S△AEF＝S△AFN，S△FMC＝S△CGF，S△ABC＝S△ACD，
∴S矩形BEFM＝S矩形NFGD，
∴选项A、B、D是正确的，
当AN＝2ND时，S△ANF＝S矩形NFGD，所以此式子不一定成立，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）直线y＝﹣2x﹣3向上平移2个单位后的解析式为 y＝﹣2x﹣1 ．
【答案】y＝﹣2x﹣1．
【解答】解：将直线y＝﹣2x﹣3向上平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为：y＝﹣2x﹣3+2，
即y＝﹣2x﹣1，
故答案为y＝﹣2x﹣1．
12．（3分）在芯片制作过程中，需要对AB＝2cm，AD＝3cm的矩形区域进行划区处理，划成如图所示的“M0+N1”的形式，其中M0为竖式矩形（＝），N1为横式矩形（＝），则芯片被利用区域的长AG的值为 2 cm．
【答案】2．
【解答】解：∵AB＝2cm，＝，
∴AE＝cm，
∵EF＝AB＝1（cm），＝，
∴EG＝cm，
∴AG＝AE+EG＝2（cm），
故答案为：2．
13．（3分）一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为8，方差为12．若增加一个数据8，那么这组新数据的平均数＝ 8 ，方差 ＜ 12（第二空请填“＞，＝，＜”）．
【答案】8，＜．
【解答】解：若增加一个数据8，共有6个数据
x1，x2，x3，x4，x5，x6，平均数＝＝8，
6个数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，方差＝[（x1﹣8）2+（x2﹣8）2+…+（x5﹣8）2+（8﹣8）2]＜[（x1﹣8）2+（x2﹣8）2+…+（x5﹣8）2]，
故答案为：8，＜．
14．（3分）如图，点A、B为反比例函数y＝在第一象限上的两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，若点B的横坐标是点A横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为k﹣3，则k的值为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：设B（t，），
∵AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，若点B的横坐标是点A横坐标的一半，
∴A （2t，），
根据三角形中位线定理，EM＝OD＝t，EN＝OC＝，
∴阴影部分的面积＝EM•BE+EN•AE＝×t×+××t＝k﹣3，
解得：k＝4，
故答案为：4．
15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，P是边BC上的动点（与B，C两点不重合），过点P作PM∥OC，PN∥OB，分别交OB，OC于点M，N两点，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
【答案】．
【解答】解：如图，连接OP，设△BOC中BC边的高为h，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，
∴，
∵PM∥OC，PN∥OB，
∴PM⊥OB，PN⊥OC，
∴∠BOC＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形ONPM是矩形，
∴MN＝OP，
当OP⊥BC时，OP最小，此时MN最小，最小值为h，
∵S△BOC＝OB•OC＝BC•h．
∴，解得：．
即MN的最小值为．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：（）﹣1+|2﹣|﹣．
（2）解分式方程：+1＝．
【答案】（1）﹣；
（2）x＝1．
【解答】解：（1）（）﹣1+|2﹣|﹣
＝2+﹣2﹣2
＝﹣；
（2）+1＝，
方程两边都乘x﹣2，得x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，
所以x＝1是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝1．
17．（6分）小杰同学在做“先化简，再求值：•÷x3，其中x＝﹣3．“这道题时，错将x＝﹣3看成x＝3，但是他的答案却是正确的，你能找出其中的原因吗？
【答案】理由见解答过程．
【解答】解：原式＝••
＝，
当x＝﹣3时，＝，
当x＝3时，＝，
∴错将x＝﹣3看成x＝3，但是他的答案都是正确的．
18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线AC上的一点，过点B作BQ∥AC，且BQ＝CP，连接PD，PQ，AQ．
（1）求证：△PDC≌△QAB；
（2）若PA平分∠DPQ，求证：四边形AQPD为菱形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠DCP＝∠BAC，
∵BQ∥AC，
∴∠BAC＝∠ABQ，
∴∠DCP＝∠ABQ，
在△PDC和△QAB中，
，
∴△PDC≌△QAB（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BQ∥AC，且BQ＝CP，
∴四边形BCPQ是平行四边形，
∴PQ＝BC，PQ∥BC，
∴AD∥PQ，AD＝PQ，
∴四边形AQPD是平行四边形，∠DAP＝∠QPA，
∵PA平分∠DPQ，
∴∠DPA＝∠QPA，
∴∠QPA＝∠DAP，
∴DA＝DP，
∴平行四边形AQPD是菱形．
19．（10分）我市到杭州的高速公路大约长180km，一辆轿车从我市出发开往杭州，轿车到达杭州的时间t（h）和行驶的平均速度v（km/h）之间有怎样的关系？v是t的反比例函数吗？
【答案】v＝（t＞0）．
【解答】解：根据题意得，这辆汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为v＝（t＞0）．
故答案为：v＝（t＞0）．
20．（8分）为了了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 60 ；
（2）扇形图中a的值为 20 ，圆心角β的度数为 144° ；
（3）补全条形统计图；
（4）若该校有3000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？
【答案】（1）60；
（2）20，144°；
（3）见解答；
（4）1500名．
【解答】解：（1）本次抽样的人数为18÷30%＝60（人），
∴样本容量为60，
故答案为：60；
（2）A组所占的百分比为，
∴a的值为20，
β＝40%×360°＝144°，
故答案为：20，144°；
（3）C组的人数为40%×60＝24（人），
统计图如下：
（4）总时间少于24小时的学生的百分比为，
3000×50%＝1500（名），
答：全校寒假阅读的总时间少于24小时的学生估计有1500名．
21．（10分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．
（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式．（每件销售利润＝售价﹣进价﹣销售成本）
【答案】（1）一件A型丝绸的进价为500元、一件B型丝绸的进价为400元；
（2）①16≤m≤25；
②w＝．
【解答】解：（1）设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为（x+100）元，
由题意可得：，
解得x＝400，
经检验：x＝400为原方程的解，
∴x+100＝500，
答：一件A型丝绸的进价为500元、一件B型丝绸的进价为400元；
（2）①∵A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，
∴，
解得16≤m≤25；
②设销售这批丝绸的利润为y元，
由题意可得：y＝（800﹣500﹣2n）m+（600﹣400﹣n）（50﹣m）＝（100﹣n）m+10000﹣50n，
∵50≤n≤150，
∴当50≤n＜100时，100﹣n＞0，
则当m＝25时，销售这批丝绸的最大利润w＝25（100﹣n）+10000﹣50n＝﹣75n+12500；
当n＝100时，100﹣n＝0，
销售这批丝绸的最大利润w＝5000；
当100＜n≤150时，100﹣n＜0，
则当m＝16时，销售这批丝绸的最大利润w＝﹣66n+11600；
综上所述：w＝．
22．（12分）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB与AC满足怎样数量关系时，四边形AECF为菱形．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）AC＝2AB．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠CAB＝∠ACD．
由折叠的性质可得∠EAB＝∠EAC，∠ACF＝∠FCD，
又∵∠CAB＝∠ACD，
∴∠EAC＝∠ACF，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形AECF是菱形，
理由：∵∠B＝90°，AC＝2AB，
∴∠ACB＝30°，
由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴EA＝EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
23．（12分）如图，点P是反比例函数y＝上第一象限上一个动点，点A、点B为坐标轴上的点，A（0，k），B（k，0）．已知△OAB的面积为．
（1）求k的值；
（2）连接PA、PB、AB，设△PAB的面积为S，点P的横坐标为t．请直接写出S与t的函数关系式；
（3）阅读下面的材料回答问题：
a+＝（）2+（）2＝（）2﹣2•+（）2+2＝（﹣）2+2．
∵（﹣）2≥0，
∴（﹣）2+2≥2，即a+≥2．
由此可知：当﹣＝0时，即a＝1时，a+取得最小值2．
问题：请你根据上述材料探索（2）中△PAB的面积S有没有最小值？若有，请直接写出S的最小值；若没有，说明理由．
【答案】（1）1；（2）S关于t的函数关系式为S＝+﹣，t的取值范围为t＞0．（3）﹣．
【解答】解：（1）由图可知：2k＞0，即k＞0，
则S△OAB＝OB•OA＝k2＝．
解得：k1＝1，k2＝﹣1．
∵k＞0，
∴k＝1．
（2）过点P作PH⊥x轴于H，作PG⊥y轴于G，连接OP，如图，
∵xP＝t，
∴yP＝，
∴PG＝t，PH＝．
则S＝S四边形OAPB﹣S△OAB
＝S△OAP+S△OBP﹣S△OAB
＝OA•PG+OB•PH﹣
＝×1×t+×1×﹣
＝+﹣，
∵点P在第一象限，
∴t＞0．
∴S关于t的函数关系式为S＝+﹣，t的取值范围为t＞0．
（3）S＝+﹣
＝（t+﹣1）
＝（t+﹣2+2﹣1）
＝[（﹣）2+2﹣1]
＝（﹣）2+﹣．
∴当＝即t＝时，S取到最小值，最小值为﹣．
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