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2024年高考物理复习第一轮：第 1讲 电场力的性质
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这是一份2024年高考物理复习第一轮：第 1讲 电场力的性质，共21页。
第1讲 电场力的性质
[主干知识·填一填]
一、电荷及电荷守恒定律
1．元电荷、点电荷
(1)元电荷：e＝1.6×10－19C，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，其中质子、正电子的电荷量与元电荷相同．
(2)点电荷：当带电体本身的大小和形状对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷．
2．静电场
(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质．
(2)基本性质：对放入其中的电荷有力的作用．
3．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变．
(2)起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电．
(3)带电实质：物体带电的实质是得失电子．
二、库仑定律
1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比．作用力的方向在它们的连线上．
2．表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫静电力常量．
3．适用条件：真空中静止的点电荷．
三、电场强度、点电荷的场强
1．定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的电荷量q的比值．
2．定义式：E＝.单位：N/C或V/m.
3．点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度：E＝k.
4．方向：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点的电场强度方向．
5．电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，遵从平行四边形定则．
四、电场线的特点
1．电场线从正电荷或无限远处出发，终止于负电荷或无限远处．
2．在同一电场里，电场线越密的地方场强越大．
3．电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向．
4．电场线在电场中不相交．
5．电场线不是电荷在电场中的运动轨迹．
6．沿电场线方向电势逐渐降低．
7．电场线和等势面在相交处互相垂直．
[规律结论·记一记]
1．元电荷是最小的电荷单位，不是带电体，也不是点电荷，任何带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，说明电荷量是不连续的．
2．点电荷是理想化模型，类似于质点．均匀带电的绝缘球可以视为点电荷，而距离较近的带电金属球不能视为点电荷，因为金属球相互靠近时表面所带电荷要重新分布．
3．注意电场强度三个表达式的适用条件，E＝适用于一切电场，E＝k适用于真空中的点电荷，E＝适用于匀强电场．
4．电场强度是矢量，计算某点的合场强应选择合适的方法，利用平行四边形定则求出电场强度的矢量和，常用方法包括叠加法、对称法、补偿法、微元法等．
5．在研究带电粒子的运动轨迹时，不要误认为运动轨迹与电场线一定重合，只有在特定的条件下，两者才重合．
6．三个自由点电荷，只在彼此间库仑力作用下而平衡，则“三点共线、两同夹异、两大夹小、近小远大”．
[必刷小题·测一测]
一、易混易错判断
1．物体带电的实质是电子的转移．(√)
2．两个完全相同的带电金属球(电荷量不同)接触时，先发生正、负电荷的中和，然后再平分．(√)
3．相互作用的两个点电荷，电荷量大的，受到库仑力也大．(×)
4．根据F＝k，当r→0时，F→∞.(×)
5．E＝是电场强度的定义式，可知电场强度与电场力成正比．(×)
6．电场中某一点的场强与放入该点的试探电荷的正负无关．(√)
二、经典小题速练
1．(多选)M和N是两个不带电的物体，它们互相摩擦后M带正电且所带电荷量为1.6× 10－10 C，下列判断正确的有( )
A．摩擦前在M和N的内部没有任何电荷
B．摩擦的过程中电子从M转移到N
C．N在摩擦后一定带负电且所带电荷量为1.6×10－10 C
D．M在摩擦过程中失去1.6×10－10个电子
解析：BC 摩擦前M和N都不带电，是指这两个物体都呈电中性，没有“净电荷”，也就是没有得失电子，但内部仍有相等数量的正电荷和负电荷，选项A错误；M和N摩擦后M带正电荷，说明M失去电子，电子从M转移到N，选项B正确；根据电荷守恒定律，M和N这个与外界没有电荷交换的系统原来电荷量的代数和为0，摩擦后电荷量的代数和应仍为0，选项C正确；元电荷的值为1.60×10－19 C，摩擦后M带正电且所带电荷量为1.6×10－10 C，由于M带电荷量应是元电荷的整数倍，所以M在摩擦过程中失去109个电子，选项D错误．
2．真空中有两点电荷Q1、Q2相距r，若将Q2的电荷量增加为原来的3倍，并将两点电荷间的距离减为原来的一半，则在前后两种情况下，两电荷之间的作用力之比为( )
A．1∶16 B．1∶12
C．12∶1 D．6∶1
解析：B 根据库仑定律，F1＝k，F2＝k，
解得F1∶F2＝1∶12，B正确．
3．(多选)某电场区域的电场线如图所示，a、b是其中一条电场线上的两点，下列说法正确的是( )
A．负电荷在a点受到的电场力一定小于它在b点受到的电场力
B．a点的场强方向一定沿着a点的电场线向右
C．正电荷在a点受到的电场力一定大于它在b点受到的电场力
D．a点的场强一定大于b点的场强
解析：BCD 电场线越密，场强越大，电荷受到的电场力越大，与电荷的正、负无关，电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向，故A错误，B、C、D正确．
命题点一 库仑定律的理解及应用(自主学习)
[核心整合]
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
3．对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示．
(1)同种电荷：F＜k.
(2)异种电荷：F＞k.
4．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看成点电荷了．
5．两个点电荷间相互作用的库仑力满足牛顿第三定律，大小相等、方向相反．
6．库仑力存在极大值，由公式F＝k可以看出，在两带电体的间距及电量之和一定的条件下，当q1＝q2时，F最大．
[题组突破]
1．(库仑定律与电荷守恒定律的结合)使两个完全相同的金属小球(均可视为点电荷)分别带上－3Q和＋5Q的电荷后，将它们固定在相距为a的两点，它们之间库仑力的大小为F1.现用绝缘工具使两小球相互接触后，再将它们固定在相距为2a的两点，它们之间库仑力的大小为F2，则F1与F2之比为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．16∶1 D．60∶1
解析：D 开始时，由库仑定律得：F1＝k，相互接触并分开后，带电荷量均变为＋Q，距离变为原来的2倍，根据库仑定律得：F2＝k，可知＝，选项D正确．
2.(库仑力的叠加)如图所示，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝
B．a、b的电荷异号，k＝
C．a、b的电荷同号，k＝
D．a、b的电荷异号，k＝
解析：D 由于小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，根据受力分析知，a、b的电荷异号．根据库仑定律，a对c的库仑力为Fa＝k0①，b对c的库仑力为Fb＝k0②， 设合力向左，如图所示，根据相似三角形，得＝③，联立①②③式得k＝＝＝.
3．(三个自由电荷的平衡问题)如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q.现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为( )
A．正，B的右边0.4 m处
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
解析：C 要使三个电荷均处于平衡状态，必须满足“两同夹异”“两大夹小”“近小远大”的原则，所以点电荷C应在A左侧，带负电．设C带电荷量为q，A、C间的距离为x，A、B间距离用r表示，由于处于平衡状态，所以k＝，解得x＝0.2 m，选项C正确．
4.(库仑力作用下的加速问题)(多选)质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q.在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示．已知静电力常量为k，下列说法正确的是( )
A．B球的电荷量可能为＋2q
B．C球的电荷量为－2q
C．三个小球一起运动的加速度大小为
D．恒力F的大小为
解析：BC 根据对称性可知，A球的电荷量和B球的电荷量相同，故A错误；设C球的电荷量大小为qC，以A球为研究对象，B球对A球的库仑斥力为FBA＝，C球对A球的库仑引力为FCA＝，由题意可知小球运动的加速度方向与F的作用线平行，则有：FCAsin 30°＝FBA，FCAcos 30°＝ma，解得：qC＝2q，a＝，C球带负电，故C球的电荷量为－2q，故B、C正确；以三个小球整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得：F＝3ma＝，故D错误．
(1)两个完全相同的带电金属球接触时电荷的分配规律
①如果接触前两金属球带同种电荷，电荷量分别为q1和q2，两球接触时，总电荷量平均分配，两球的电荷量都等于.
②如果接触前两金属球带异种电荷，电荷量分别为q1和q2，且q1＞q2，接触时，先中和再将剩余的电荷量(q1－q2)平均分配，两球的电荷量都等于.
(2)“三个自由点电荷平衡”的问题
①平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合场强为零的位置．
②
命题点二 电场强度的理解和计算(多维探究)
1．电场强度的性质
矢量性
规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点场强的方向
唯一性
电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置
叠加性
如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的场强是各场源电荷单独存在时在该点所产生的场强的矢量和
2.电场强度的三个计算公式
第1维度：点电荷电场强度的叠加和计算…………………
直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图所示．M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为( )
A．，沿y轴正向 B．，沿y轴负向
C．，沿y轴正向 D．，沿y轴负向
解析：B 处于O点的正点电荷在G点处产生的场强大小E1＝k，方向沿y轴负向；因为G点处场强为零，所以M、N处两负点电荷在G点产生的合场强大小E2＝E1＝k，方向沿y轴正向；根据对称性，M、N处两负点电荷在H点产生的合场强大小E3＝E2＝k，方向沿y轴负向；将该正点电荷移到G处，该正点电荷在H点产生的场强大小E4＝k，方向沿y轴正向，所以H点的场强大小E＝E3－E4＝，方向沿y轴负向．
第2维度：非点电荷电场强度的叠加和计算…………………
(2022·江苏南京市模拟)如图所示，在点电荷－q的电场中，放着一块带有一定电荷量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心．点电荷－q 与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d，静电力常量为k，已知图中a点的电场强度为零，则带电薄板在图中b点产生的电场强度的大小和方向分别为( )
A．，水平向右 B．，水平向左
C．＋，水平向右 D．，水平向右
解析：A 因为a点的电场强度为零，所以带电薄板在a点产生的电场强度与点电荷－q在a点产生的电场强度等大反向，故带电薄板在a点产生的电场强度大小为E板a＝，方向水平向左，由对称性可知，带电薄板在b点产生的电场强度大小E板b＝E板a＝，方向水平向右，A正确．
[题组突破]
1．(对称法求电场强度)如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷，已知b点处的场强为零，则d点处场强为( )
A．k 水平向左
B．k 水平向右
C．k 水平向左
D．k 水平向右
解析：D 电荷量为q的点电荷在b点处产生的电场强度为E＝k，而b点处的场强为零，则圆盘在此处产生电场强度也为E＝k.由对称性可知圆盘在d点处产生电场强度大小仍为E＝k.而电荷量为q的点电荷在d点处产生的电场强度大小为E′＝k＝k，由于两者在d点处产生电场强度方向相同，所以d点处合场强大小为E＋E′＝k，方向水平向右，故选项D正确，A、B、C错误．
2.(填补法求电场强度)(多选)已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零，电势处处相等．如图所示，正电荷均匀分布在半球面上，Ox为通过半球顶点与球心O的轴线，A、B为轴上的点，且AO＝OB，则下列判断正确的是( )
A．A、B两点的电势相等
B．A、B两点的电场强度相同
C．点电荷从A点移动到B点，电场力一定做正功
D．同一个负电荷放在B点比放在A点的电势能大
解析：BD 根据电场的叠加原理可知，x轴上电场线方向向右，则A点的电势高于B点的电势，故A错误；将半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的场强大小分别为E1和E2.由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知 E1＝E2.根据对称性可知，左、右半球在B点产生的场强大小分别为E2和E1，且 E1＝E2.则在图示电场中，A的场强大小为E1，方向向右，B的场强大小为E2，方向向右，所以A点的电场强度与B点的电场强度相同，故B正确．点电荷从A点移到B点，电势降低，由于点电荷的电性未知，则电场力不一定做正功，故C错误．A点的电势高于B点的电势，根据负电荷在电势高处电势能小，在电势低处电势能大，知同一个负电荷放在B点比放在A点的电势能大，故D正确．
3．(微元法求电场强度)一半径为R的圆环上，均匀地带有电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心O的距离OP＝L.设静电力常量为k，关于P点的场强E，下列四个表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是( )
A． B．
C． D．
解析：D 设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝①
由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强
EP＝k＝k②
由对称性可知，各小段带电环在P处的场强垂直于轴向的分量Ey相互抵消，而轴向分量Ex之和即为带电环在P处的场强E，故
E＝nEx＝n··cos θ＝③
而r＝④
联立①②③④式，可得E＝，D正确．
命题点三 电场线的理解与应用(师生互动)
[核心整合]
1．六种典型电场的电场线
2．两种等量点电荷的电场分析
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线分布图
电荷连线上的电场强度
沿连线先变小后变大
O点最小，但不为零
O点为零
中垂线上的电场强度
O点最大，向外逐渐减小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称位置的电场强度
A与A′、B与B′、C与C′
等大同向
等大反向
3.电场线的应用
判断电场强度的大小
电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小，进而可判断电荷受力大小和加速度的大小
判断电场力的方向
正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反
判断电势的高低与电势降低的快慢
沿电场线的方向电势降低最快，且电场线密的地方比疏的地方降低更快
判断等势面的疏密
电场线越密的地方，等差等势面越密集；电场线越疏的地方，等差等势面越稀疏
如图所示，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆．带电粒子Q在P的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点．若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为aa、ab、ac，速度大小分别为va、vb、vc，则( )
A．aa>ab>ac，va>vc>vb
B．aa>ab>ac，vb>vc> va
C．ab>ac>aa，vb>vc> va
D．ab>ac>aa，va>vc>vb
解析：D 由点电荷电场强度公式E＝k可知，离场源点电荷P越近，电场强度越大，Q受到的电场力越大，由牛顿第二定律可知，加速度越大，由此可知，ab>ac>aa，A、B错误；由力与运动的关系可知，Q受到的库仑力指向运动轨迹凹的一侧，因此Q与P带同种电荷，Q从c到b的过程中，电场力做负功，动能减少，从b到a的过程中电场力做正功，动能增加，因此Q在b点的速度最小，由于c、b两点的电势差的绝对值小于a、b两点的电势差的绝对值，因此Q从c到b的过程中，动能的减少量小于从b到a的过程中动能的增加量，Q在c点的动能小于在a点的动能，即有va>vc>vb，C错误，D正确．
电场线与轨迹问题判断方法
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向)，从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况．
(2)“三不知时要用假设法”——电荷的正负、场强的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向，若已知其中的任意一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用假设法分别讨论各种情况．
[题组突破]
1.(等量异(同)种电荷电场线的分布)如图所示为两个等量点电荷的电场线，图中A点和B点、C点和D点皆关于两电荷连线的中点O对称，若将一电荷放在此电场中，则以下说法正确的是( )
A．电荷在O点受力最大
B．电荷沿直线由A到B的过程中，电场力先增大后减小
C．电荷沿直线由A到B的过程中，电势能先增大后减小
D．电荷沿直线由C到D的过程中，电场力先增大后减小
解析：D 根据电场线的疏密特点，在CD直线上，O点的电场强度最大，而在AB直线上，O点电场强度最小，因此电荷在O点受力不是最大，故A错误；根据电场线的疏密可知，从A到B的过程中，电场强度先减小后增大，则电场力也先减小后增大；同理从C到D的过程中，电场强度先增大后减小，则电场力也先增大后减小，故B错误，D正确；电荷沿直线由A到B的过程中，无法确定电场力做功的正负，因此无法确定电势能的变化，故C错误．
2.(根据粒子运动情况判断电场线分布)一负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的vt图像如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下图中的( )
解析：C 由vt图像可知负电荷在电场中做加速度越来越大的加速运动，故电场线应由B指向A且A到B的方向场强变大，电场线变密，选项C正确．
素养培优20 电场中的力电综合问题
带电体在电场中力电综合问题的分析思路
如图所示，上下平行放置的两带电金属板，相距为3l，板间有竖直向下的匀强电场E.距上板l处有一带电荷量为＋q的小球B，在B上方有带电荷量为－6q的小球A，他们质量均为m，用长度为l的绝缘轻杆相连．已知E＝.让两小球从静止释放，小球可以通过上板的小孔进入电场中(重力加速度为g)．求：
(1)B球刚进入电场时的速度v1大小；
(2)A球刚进入电场时的速度v2大小；
(3)B球是否能碰到下金属板？如能，求刚碰到时的速度v3大小．如不能，请通过计算说明理由．
解析：(1)B球进入电场前，两小球不受电场力作用，只受重力作用，做自由落体运动．
v＝2gl，解得v1＝.
(2)A球进入小孔前，只有B球受电场力，
F＝qE＝mg，方向竖直向下
系统受力分析如图甲所示
由牛顿第二定律可得：
F＋2mg＝2ma1
解得a1＝
系统做匀加速直线运动
v＝v＋2a1l
代入数据解得v2＝.
(3)当A、B球全部进入电场后，系统受力如图乙所示
6qE－qE－2mg＝2ma3
解得a3＝
设系统速度为零时没到达下金属板
设停下来时通过的距离为H
H＝，代入数据得：H＝<2l，
故B球不能碰到下金属板．
答案：(1) (2) (3)不能 理由见解析
限时规范训练
[基础巩固]
1.已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同．如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R.现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝πr3，则A点处检验电荷q受到的电场力的大小为( )
A． B．
C． D．
解析：B 实心大球对q的库仑力F1＝，挖出的实心小球的电荷量Q′＝Q＝，实心小球对q的库仑力F2＝＝，则检验电荷q所受的电场力F＝F1－F2＝，选项B正确．
2.(2019·全国卷Ⅰ)如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
解析：D 对P、Q整体进行受力分析可知，在水平方向上整体所受电场力为零，所以P、Q必带等量异种电荷，A、B错误；对P进行受力分析可知，匀强电场对它的电场力应水平向左，与Q对它的库仑力平衡，所以P带负电荷，Q带正电荷，D正确，C错误．
3．三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电荷量为q，球2的带电荷量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．由此可知( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝5 D．n＝6
解析：D 由于各球之间距离远大于小球的直径，小球带电时可视为点电荷．设小球1、2距离为R，由库仑定律知F＝k.又由于三小球相同，则接触时平分总电荷量，故有F＝k，解得n＝6，D正确．
4．(2022·洛阳联考)在雷雨天气中，大树就相当于一个电荷量较大的点电荷，1和2是以树为圆心的同心圆，有甲、乙、丙、丁四头相同的牛按如图所示位置和方向分别站在地面上，由此判断( )
A．丙牛所处位置的电场强度为零
B．乙牛和丙牛两处电场强度相同
C．丁牛处的电势一定高于乙牛处的电势
D．甲牛前后蹄电势差最大，处于最危险的状态
解析：D 根据点电荷周围电场的分布情况可知，丙牛所处位置的电场强度不为零，A选项错误；电场强度是矢量，乙牛和丙牛两处电场强度方向不同，B选项错误；沿着电场线的方向，电势逐渐降低，由于点电荷电性未知，故丁牛处的电势不一定高于乙牛处的电势，C选项错误；乙牛与丁牛前后蹄连线与等势圆半径垂直，而甲牛与丙牛前后蹄连线在等势圆半径上，由点电荷的电场分布及电势特点知甲牛前后蹄间电势差最大，处于最危险的状态，D选项正确．
5.如图所示，四个点电荷所带电荷量的绝对值均为Q，分别固定在正方形的四个顶点上，正方形边长为a，则正方形两条对角线交点处的电场强度( )
A．大小为，方向竖直向上
B．大小为，方向竖直向上
C．大小为，方向竖直向下
D．大小为，方向竖直向下
解析：C 一个点电荷在两条对角线交点O产生的场强大小为E＝＝，对角线上的两异种点电荷在O处的合场强为E合＝2E＝，故两等大的场强互相垂直，合场强为EO＝＝，方向竖直向下，故选C．
6.如图所示，在一绝缘斜面C上有一带正电的小物体A处于静止状态，现将一带正电的小球B沿以A为圆心的圆弧缓慢地从P点移至A正上方的Q点处，已知P、A在同一水平线上，且在此过程中物体A和C始终保持静止不动，A、B可视为质点．关于此过程，下列说法正确的是( )
A．地面对斜面C的摩擦力先增大后减小
B．地面对斜面C的摩擦力逐渐减小
C．物体A受到斜面的支持力一直减小
D．物体A受到斜面的支持力一直增大
解析：B 如图所示，以A和C整体为研究对象，设B对A的库仑力大小为F，与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件得Ff＝Fsin θ，由于F大小不变，θ减小，则知地面对斜面C的摩擦力逐渐减小，故A错误，B正确；以A为研究对象，分析可知，B对A的库仑力垂直于斜面方向的分力先逐渐增大后逐渐减小，设该分力为F′，斜面倾角为α，根据平衡条件，斜面对A的支持力FN′＝mgcos α＋F′，可知FN′先增大后减小，故C、D错误．
7．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则( )
A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小
B．在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合
C．粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能
D．粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行
解析：AC 在两个同种点电荷的电场中，一带同种电荷的粒子在两电荷的连线上自M点由静止开始运动，粒子的速度先增大后减小，A正确；带电粒子仅在电场力作用下运动，若运动到N点的动能为零，则带电粒子在N、M两点的电势能相等；仅在电场力作用下运动，带电粒子的动能和电势能之和保持不变，可知若粒子运动到N点时动能不为零，则粒子在N点的电势能小于在M点的电势能，即粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能，C正确；若静电场的电场线不是直线，带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹不会与电场线重合，B错误；若粒子运动轨迹为曲线，根据粒子做曲线运动的条件，可知粒子在N点所受电场力的方向一定不与粒子轨迹在该点的切线平行，D错误．
[能力提升]
8.如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的5条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒．每根细棒均匀带上等量的正电荷．现将电荷量为＋Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的电场场强为零．若移走＋Q及AB边上的细棒，则O点电场强度大小为(k为静电力常量，不考虑绝缘棒及＋Q之间的相互影响)( )
A． B．
C． D．
解析：D 根据对称性，AF与CD上的细棒在O点产生的电场强度叠加为零，AB与ED上的细棒在O点产生的电场强度叠加为零，BC中点的点电荷在O点产生的电场强度为＝，因EF上的细棒与BC中点的点电荷在O点产生的电场强度叠加为零，故EF上的细棒在O点产生的电场强度大小为，故每根细棒在O点产生的电场强度大小均为，移走＋Q及AB边上的细棒，O点的电场强度为EF与ED上的细棒在O点产生的电场强度的叠加，这两个电场强度夹角为60°，所以叠加后电场强度大小为2·cos 30°＝，故D正确．
9.(2022·安徽宣城市第二次模拟)如图，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态．下列说法正确的是( )
A．小球a、b、c带同种电荷
B．小球a、b带异种电荷
C．小球a、b电荷量之比为
D．小球a、b电荷量之比为
解析：D 对c小球受力分析可得，a、b小球必须带同种电荷，c小球才能平衡；对b小球受力分析可得，b、c小球带异种电荷，b小球才能平衡，故A、B错误．设环的半径为R，a、b、c球的带电荷量分别为q1、q2和q3，由几何关系可得lac＝R，lbc＝R，a与b对c的作用力都是吸引力，它们对c的作用力在水平方向的分力大小相等，则有·sin 60°＝·sin 30°，所以＝，故C错误，D正确．
10．(2021·湖南卷)如图，在(a，0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零．则Q的位置及电荷量分别为( )
A．(0，2a)，q B．(0，2a)，2q
C．(2a，0)，q D．(2a，0)，2q
解析：B (a，0)和(0，a)两点处的电荷量为q的点电荷在P点产生的电场强度的矢量和E＝，方向如图所示[由点(a，a)指向点(0，2a)]，由在距P点为a的某点处放置的正点电荷Q使得P点电场强度为零可知，此正电荷位于(0，2a)点，且电荷量Q满足＝，解得Q＝2q，B正确．
11．(2022·日照模拟)如图所示，实线为两个点电荷Q1、Q2 产生的电场的电场线，虚线为一电子在只受电场力作用下从A点运动到B点的运动轨迹，则下列判断正确的是( )
A．A 点的场强小于B点的场强
B．Q1的电荷量大于Q2 的电荷量
C．电子在A点的电势能大于在B点的电势能
D．电子在A点的速度大于在B点的速度
解析：D 根据在同一电场中，电场线较密的地方表示场强较大可知，A点的场强比B点的场强大，选项A错误；根据电场线分布情况可知，Q1、Q2是同种电荷，由点电荷Q2周围电场线较密可知点电荷Q2带电荷量较多，即Q1＜Q2，故B错误；电子做曲线运动，受到的合力方向指向曲线的凹侧，可知电子从A点运动到B点的过程中，受到的电场力F方向斜向下，电场力方向与速度方向的夹角总是大于90°，电场力做负功，电势能增大，动能减小，即电子在A点的电势能小于在B点的电势能，电子在A点的速度大于在B点的速度，故C错误，D正确．
12.(多选)如图所示，已知带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB，A球固定，B球用长为L的绝缘丝线悬挂在O点，静止时A、B相距为d.若A球电荷量保持不变，B球缓慢漏电，不计两小球半径，则下列说法正确的是( )
A．丝线对B球的拉力逐渐变大
B．A球对B球的库仑力逐渐变小
C．当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的
D．当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的
解析：BD 对B受力分析，由B受力平衡可得：＝＝，B球缓慢漏电，可知F减小，则d逐渐减小，FT不变，A错误，B正确；当AB间距离减为时，则库仑力减小到原来的，根据F＝k可知B球的电荷量减小为原来的，C错误，D正确．
13．(2022·攀枝花模拟)如图所示，真空中三个质量相等的小球A、B、C，带电荷量分别为QA＝6q，QB＝－3q，QC＝8q.现用恰当大小的恒力F拉C，可使A、B、C沿光滑水平面做匀加速直线运动，运动过程中A、B、C保持相对静止，且A、B间距离与B、C间距离相等．不计电荷运动产生磁场的影响，小球可视为点电荷，则此过程中B、C之间的作用力大小为( )
A．F B．F
C．F D．F
解析：A 对三个球的整体：F＝3ma；对A、B的整体：F1＝2ma，解得F1＝F，即A、B对C的库仑力的合力大小为F；因＝k∶k＝，分析库仑力的方向后可知FBC－FAC＝F，解得FBC＝F.A正确．
14．(2021·河北卷)(多选)如图，四个电荷量均为q(q＞0)的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为(4l，0)、(－4l，0)、(0，y0)和(0，－y0)，其中x轴上的两个点电荷位置固定，y轴上的两个点电荷可沿y轴对称移动(y0≠0)，下列说法正确的是( )
A．除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零
B．当y0取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点
C．当y0＝8l时，将一带负电的试探电荷由点(4l，5l)移至点(0，－3l)，静电力做正功
D．当y0＝4l时，将一带负电的试探电荷放置在点(l，l)处，其所受到的静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上
解析：ACD 由对称及电场叠加原理可知，除无穷远处之外，菱形外部各点电场强度处处不为零，故A正确．分析可知O点电场强度等于零，由对称及电场叠加原理可知，除O点外，菱形内部的电场强度为零的点都是成对出现的，所以在菱形内部不可能只存在两个电场强度为零的点，故B错误．当y0＝8l时，由对称性可知点(0，－3l)和点(0，3l)的电势相等，将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，－3l)和从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力做功相同，由等量同种点电荷形成的电场的特点可知，在x、y正半轴上的两个点电荷形成的电场中，点(4l，5l)和点(0，3l)是两点电荷连线的中垂线上对称的两点，电势相等，所以将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力不做功；在x负半轴的点电荷形成的电场中，将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力做正功；在y负半轴的点电荷形成的电场中，将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力做正功；综上所述，当y0＝8l时，将一带负电的试探电荷由点(4l，5l)移到点(0，－3l)，电场力做正功，故C正确．当y0＝4l时，x、y正半轴的两个点电荷在点(l，l)处的合场强与x轴负方向的夹角为45°，倾斜向下，大小为·，x、y负半轴的两个点电荷在点(l，l)的合场强与x轴正方向的夹角为45°，倾斜向上，大小为·，故该点的合场强与x轴负方向的夹角为45°，倾斜向下，负点电荷受到的电场力与x轴正方向的夹角为45°，倾斜向上，故D正确．
第1讲 电场力的性质
[主干知识·填一填]
一、电荷及电荷守恒定律
1．元电荷、点电荷
(1)元电荷：e＝1.6×10－19C，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，其中质子、正电子的电荷量与元电荷相同．
(2)点电荷：当带电体本身的大小和形状对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷．
2．静电场
(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质．
(2)基本性质：对放入其中的电荷有力的作用．
3．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变．
(2)起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电．
(3)带电实质：物体带电的实质是得失电子．
二、库仑定律
1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比．作用力的方向在它们的连线上．
2．表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫静电力常量．
3．适用条件：真空中静止的点电荷．
三、电场强度、点电荷的场强
1．定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的电荷量q的比值．
2．定义式：E＝.单位：N/C或V/m.
3．点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度：E＝k.
4．方向：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点的电场强度方向．
5．电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，遵从平行四边形定则．
四、电场线的特点
1．电场线从正电荷或无限远处出发，终止于负电荷或无限远处．
2．在同一电场里，电场线越密的地方场强越大．
3．电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向．
4．电场线在电场中不相交．
5．电场线不是电荷在电场中的运动轨迹．
6．沿电场线方向电势逐渐降低．
7．电场线和等势面在相交处互相垂直．
[规律结论·记一记]
1．元电荷是最小的电荷单位，不是带电体，也不是点电荷，任何带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，说明电荷量是不连续的．
2．点电荷是理想化模型，类似于质点．均匀带电的绝缘球可以视为点电荷，而距离较近的带电金属球不能视为点电荷，因为金属球相互靠近时表面所带电荷要重新分布．
3．注意电场强度三个表达式的适用条件，E＝适用于一切电场，E＝k适用于真空中的点电荷，E＝适用于匀强电场．
4．电场强度是矢量，计算某点的合场强应选择合适的方法，利用平行四边形定则求出电场强度的矢量和，常用方法包括叠加法、对称法、补偿法、微元法等．
5．在研究带电粒子的运动轨迹时，不要误认为运动轨迹与电场线一定重合，只有在特定的条件下，两者才重合．
6．三个自由点电荷，只在彼此间库仑力作用下而平衡，则“三点共线、两同夹异、两大夹小、近小远大”．
[必刷小题·测一测]
一、易混易错判断
1．物体带电的实质是电子的转移．(√)
2．两个完全相同的带电金属球(电荷量不同)接触时，先发生正、负电荷的中和，然后再平分．(√)
3．相互作用的两个点电荷，电荷量大的，受到库仑力也大．(×)
4．根据F＝k，当r→0时，F→∞.(×)
5．E＝是电场强度的定义式，可知电场强度与电场力成正比．(×)
6．电场中某一点的场强与放入该点的试探电荷的正负无关．(√)
二、经典小题速练
1．(多选)M和N是两个不带电的物体，它们互相摩擦后M带正电且所带电荷量为1.6× 10－10 C，下列判断正确的有( )
A．摩擦前在M和N的内部没有任何电荷
B．摩擦的过程中电子从M转移到N
C．N在摩擦后一定带负电且所带电荷量为1.6×10－10 C
D．M在摩擦过程中失去1.6×10－10个电子
解析：BC 摩擦前M和N都不带电，是指这两个物体都呈电中性，没有“净电荷”，也就是没有得失电子，但内部仍有相等数量的正电荷和负电荷，选项A错误；M和N摩擦后M带正电荷，说明M失去电子，电子从M转移到N，选项B正确；根据电荷守恒定律，M和N这个与外界没有电荷交换的系统原来电荷量的代数和为0，摩擦后电荷量的代数和应仍为0，选项C正确；元电荷的值为1.60×10－19 C，摩擦后M带正电且所带电荷量为1.6×10－10 C，由于M带电荷量应是元电荷的整数倍，所以M在摩擦过程中失去109个电子，选项D错误．
2．真空中有两点电荷Q1、Q2相距r，若将Q2的电荷量增加为原来的3倍，并将两点电荷间的距离减为原来的一半，则在前后两种情况下，两电荷之间的作用力之比为( )
A．1∶16 B．1∶12
C．12∶1 D．6∶1
解析：B 根据库仑定律，F1＝k，F2＝k，
解得F1∶F2＝1∶12，B正确．
3．(多选)某电场区域的电场线如图所示，a、b是其中一条电场线上的两点，下列说法正确的是( )
A．负电荷在a点受到的电场力一定小于它在b点受到的电场力
B．a点的场强方向一定沿着a点的电场线向右
C．正电荷在a点受到的电场力一定大于它在b点受到的电场力
D．a点的场强一定大于b点的场强
解析：BCD 电场线越密，场强越大，电荷受到的电场力越大，与电荷的正、负无关，电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向，故A错误，B、C、D正确．
命题点一 库仑定律的理解及应用(自主学习)
[核心整合]
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
3．对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示．
(1)同种电荷：F＜k.
(2)异种电荷：F＞k.
4．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看成点电荷了．
5．两个点电荷间相互作用的库仑力满足牛顿第三定律，大小相等、方向相反．
6．库仑力存在极大值，由公式F＝k可以看出，在两带电体的间距及电量之和一定的条件下，当q1＝q2时，F最大．
[题组突破]
1．(库仑定律与电荷守恒定律的结合)使两个完全相同的金属小球(均可视为点电荷)分别带上－3Q和＋5Q的电荷后，将它们固定在相距为a的两点，它们之间库仑力的大小为F1.现用绝缘工具使两小球相互接触后，再将它们固定在相距为2a的两点，它们之间库仑力的大小为F2，则F1与F2之比为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．16∶1 D．60∶1
解析：D 开始时，由库仑定律得：F1＝k，相互接触并分开后，带电荷量均变为＋Q，距离变为原来的2倍，根据库仑定律得：F2＝k，可知＝，选项D正确．
2.(库仑力的叠加)如图所示，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝
B．a、b的电荷异号，k＝
C．a、b的电荷同号，k＝
D．a、b的电荷异号，k＝
解析：D 由于小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，根据受力分析知，a、b的电荷异号．根据库仑定律，a对c的库仑力为Fa＝k0①，b对c的库仑力为Fb＝k0②， 设合力向左，如图所示，根据相似三角形，得＝③，联立①②③式得k＝＝＝.
3．(三个自由电荷的平衡问题)如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q.现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为( )
A．正，B的右边0.4 m处
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
解析：C 要使三个电荷均处于平衡状态，必须满足“两同夹异”“两大夹小”“近小远大”的原则，所以点电荷C应在A左侧，带负电．设C带电荷量为q，A、C间的距离为x，A、B间距离用r表示，由于处于平衡状态，所以k＝，解得x＝0.2 m，选项C正确．
4.(库仑力作用下的加速问题)(多选)质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q.在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示．已知静电力常量为k，下列说法正确的是( )
A．B球的电荷量可能为＋2q
B．C球的电荷量为－2q
C．三个小球一起运动的加速度大小为
D．恒力F的大小为
解析：BC 根据对称性可知，A球的电荷量和B球的电荷量相同，故A错误；设C球的电荷量大小为qC，以A球为研究对象，B球对A球的库仑斥力为FBA＝，C球对A球的库仑引力为FCA＝，由题意可知小球运动的加速度方向与F的作用线平行，则有：FCAsin 30°＝FBA，FCAcos 30°＝ma，解得：qC＝2q，a＝，C球带负电，故C球的电荷量为－2q，故B、C正确；以三个小球整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得：F＝3ma＝，故D错误．
(1)两个完全相同的带电金属球接触时电荷的分配规律
①如果接触前两金属球带同种电荷，电荷量分别为q1和q2，两球接触时，总电荷量平均分配，两球的电荷量都等于.
②如果接触前两金属球带异种电荷，电荷量分别为q1和q2，且q1＞q2，接触时，先中和再将剩余的电荷量(q1－q2)平均分配，两球的电荷量都等于.
(2)“三个自由点电荷平衡”的问题
①平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合场强为零的位置．
②
命题点二 电场强度的理解和计算(多维探究)
1．电场强度的性质
矢量性
规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点场强的方向
唯一性
电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置
叠加性
如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的场强是各场源电荷单独存在时在该点所产生的场强的矢量和
2.电场强度的三个计算公式
第1维度：点电荷电场强度的叠加和计算…………………
直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图所示．M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为( )
A．，沿y轴正向 B．，沿y轴负向
C．，沿y轴正向 D．，沿y轴负向
解析：B 处于O点的正点电荷在G点处产生的场强大小E1＝k，方向沿y轴负向；因为G点处场强为零，所以M、N处两负点电荷在G点产生的合场强大小E2＝E1＝k，方向沿y轴正向；根据对称性，M、N处两负点电荷在H点产生的合场强大小E3＝E2＝k，方向沿y轴负向；将该正点电荷移到G处，该正点电荷在H点产生的场强大小E4＝k，方向沿y轴正向，所以H点的场强大小E＝E3－E4＝，方向沿y轴负向．
第2维度：非点电荷电场强度的叠加和计算…………………
(2022·江苏南京市模拟)如图所示，在点电荷－q的电场中，放着一块带有一定电荷量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心．点电荷－q 与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d，静电力常量为k，已知图中a点的电场强度为零，则带电薄板在图中b点产生的电场强度的大小和方向分别为( )
A．，水平向右 B．，水平向左
C．＋，水平向右 D．，水平向右
解析：A 因为a点的电场强度为零，所以带电薄板在a点产生的电场强度与点电荷－q在a点产生的电场强度等大反向，故带电薄板在a点产生的电场强度大小为E板a＝，方向水平向左，由对称性可知，带电薄板在b点产生的电场强度大小E板b＝E板a＝，方向水平向右，A正确．
[题组突破]
1．(对称法求电场强度)如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷，已知b点处的场强为零，则d点处场强为( )
A．k 水平向左
B．k 水平向右
C．k 水平向左
D．k 水平向右
解析：D 电荷量为q的点电荷在b点处产生的电场强度为E＝k，而b点处的场强为零，则圆盘在此处产生电场强度也为E＝k.由对称性可知圆盘在d点处产生电场强度大小仍为E＝k.而电荷量为q的点电荷在d点处产生的电场强度大小为E′＝k＝k，由于两者在d点处产生电场强度方向相同，所以d点处合场强大小为E＋E′＝k，方向水平向右，故选项D正确，A、B、C错误．
2.(填补法求电场强度)(多选)已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零，电势处处相等．如图所示，正电荷均匀分布在半球面上，Ox为通过半球顶点与球心O的轴线，A、B为轴上的点，且AO＝OB，则下列判断正确的是( )
A．A、B两点的电势相等
B．A、B两点的电场强度相同
C．点电荷从A点移动到B点，电场力一定做正功
D．同一个负电荷放在B点比放在A点的电势能大
解析：BD 根据电场的叠加原理可知，x轴上电场线方向向右，则A点的电势高于B点的电势，故A错误；将半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的场强大小分别为E1和E2.由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知 E1＝E2.根据对称性可知，左、右半球在B点产生的场强大小分别为E2和E1，且 E1＝E2.则在图示电场中，A的场强大小为E1，方向向右，B的场强大小为E2，方向向右，所以A点的电场强度与B点的电场强度相同，故B正确．点电荷从A点移到B点，电势降低，由于点电荷的电性未知，则电场力不一定做正功，故C错误．A点的电势高于B点的电势，根据负电荷在电势高处电势能小，在电势低处电势能大，知同一个负电荷放在B点比放在A点的电势能大，故D正确．
3．(微元法求电场强度)一半径为R的圆环上，均匀地带有电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心O的距离OP＝L.设静电力常量为k，关于P点的场强E，下列四个表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是( )
A． B．
C． D．
解析：D 设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝①
由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强
EP＝k＝k②
由对称性可知，各小段带电环在P处的场强垂直于轴向的分量Ey相互抵消，而轴向分量Ex之和即为带电环在P处的场强E，故
E＝nEx＝n··cos θ＝③
而r＝④
联立①②③④式，可得E＝，D正确．
命题点三 电场线的理解与应用(师生互动)
[核心整合]
1．六种典型电场的电场线
2．两种等量点电荷的电场分析
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线分布图
电荷连线上的电场强度
沿连线先变小后变大
O点最小，但不为零
O点为零
中垂线上的电场强度
O点最大，向外逐渐减小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称位置的电场强度
A与A′、B与B′、C与C′
等大同向
等大反向
3.电场线的应用
判断电场强度的大小
电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小，进而可判断电荷受力大小和加速度的大小
判断电场力的方向
正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反
判断电势的高低与电势降低的快慢
沿电场线的方向电势降低最快，且电场线密的地方比疏的地方降低更快
判断等势面的疏密
电场线越密的地方，等差等势面越密集；电场线越疏的地方，等差等势面越稀疏
如图所示，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆．带电粒子Q在P的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点．若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为aa、ab、ac，速度大小分别为va、vb、vc，则( )
A．aa>ab>ac，va>vc>vb
B．aa>ab>ac，vb>vc> va
C．ab>ac>aa，vb>vc> va
D．ab>ac>aa，va>vc>vb
解析：D 由点电荷电场强度公式E＝k可知，离场源点电荷P越近，电场强度越大，Q受到的电场力越大，由牛顿第二定律可知，加速度越大，由此可知，ab>ac>aa，A、B错误；由力与运动的关系可知，Q受到的库仑力指向运动轨迹凹的一侧，因此Q与P带同种电荷，Q从c到b的过程中，电场力做负功，动能减少，从b到a的过程中电场力做正功，动能增加，因此Q在b点的速度最小，由于c、b两点的电势差的绝对值小于a、b两点的电势差的绝对值，因此Q从c到b的过程中，动能的减少量小于从b到a的过程中动能的增加量，Q在c点的动能小于在a点的动能，即有va>vc>vb，C错误，D正确．
电场线与轨迹问题判断方法
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向)，从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况．
(2)“三不知时要用假设法”——电荷的正负、场强的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向，若已知其中的任意一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用假设法分别讨论各种情况．
[题组突破]
1.(等量异(同)种电荷电场线的分布)如图所示为两个等量点电荷的电场线，图中A点和B点、C点和D点皆关于两电荷连线的中点O对称，若将一电荷放在此电场中，则以下说法正确的是( )
A．电荷在O点受力最大
B．电荷沿直线由A到B的过程中，电场力先增大后减小
C．电荷沿直线由A到B的过程中，电势能先增大后减小
D．电荷沿直线由C到D的过程中，电场力先增大后减小
解析：D 根据电场线的疏密特点，在CD直线上，O点的电场强度最大，而在AB直线上，O点电场强度最小，因此电荷在O点受力不是最大，故A错误；根据电场线的疏密可知，从A到B的过程中，电场强度先减小后增大，则电场力也先减小后增大；同理从C到D的过程中，电场强度先增大后减小，则电场力也先增大后减小，故B错误，D正确；电荷沿直线由A到B的过程中，无法确定电场力做功的正负，因此无法确定电势能的变化，故C错误．
2.(根据粒子运动情况判断电场线分布)一负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的vt图像如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下图中的( )
解析：C 由vt图像可知负电荷在电场中做加速度越来越大的加速运动，故电场线应由B指向A且A到B的方向场强变大，电场线变密，选项C正确．
素养培优20 电场中的力电综合问题
带电体在电场中力电综合问题的分析思路
如图所示，上下平行放置的两带电金属板，相距为3l，板间有竖直向下的匀强电场E.距上板l处有一带电荷量为＋q的小球B，在B上方有带电荷量为－6q的小球A，他们质量均为m，用长度为l的绝缘轻杆相连．已知E＝.让两小球从静止释放，小球可以通过上板的小孔进入电场中(重力加速度为g)．求：
(1)B球刚进入电场时的速度v1大小；
(2)A球刚进入电场时的速度v2大小；
(3)B球是否能碰到下金属板？如能，求刚碰到时的速度v3大小．如不能，请通过计算说明理由．
解析：(1)B球进入电场前，两小球不受电场力作用，只受重力作用，做自由落体运动．
v＝2gl，解得v1＝.
(2)A球进入小孔前，只有B球受电场力，
F＝qE＝mg，方向竖直向下
系统受力分析如图甲所示
由牛顿第二定律可得：
F＋2mg＝2ma1
解得a1＝
系统做匀加速直线运动
v＝v＋2a1l
代入数据解得v2＝.
(3)当A、B球全部进入电场后，系统受力如图乙所示
6qE－qE－2mg＝2ma3
解得a3＝
设系统速度为零时没到达下金属板
设停下来时通过的距离为H
H＝，代入数据得：H＝<2l，
故B球不能碰到下金属板．
答案：(1) (2) (3)不能 理由见解析
限时规范训练
[基础巩固]
1.已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同．如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R.现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝πr3，则A点处检验电荷q受到的电场力的大小为( )
A． B．
C． D．
解析：B 实心大球对q的库仑力F1＝，挖出的实心小球的电荷量Q′＝Q＝，实心小球对q的库仑力F2＝＝，则检验电荷q所受的电场力F＝F1－F2＝，选项B正确．
2.(2019·全国卷Ⅰ)如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
解析：D 对P、Q整体进行受力分析可知，在水平方向上整体所受电场力为零，所以P、Q必带等量异种电荷，A、B错误；对P进行受力分析可知，匀强电场对它的电场力应水平向左，与Q对它的库仑力平衡，所以P带负电荷，Q带正电荷，D正确，C错误．
3．三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电荷量为q，球2的带电荷量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．由此可知( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝5 D．n＝6
解析：D 由于各球之间距离远大于小球的直径，小球带电时可视为点电荷．设小球1、2距离为R，由库仑定律知F＝k.又由于三小球相同，则接触时平分总电荷量，故有F＝k，解得n＝6，D正确．
4．(2022·洛阳联考)在雷雨天气中，大树就相当于一个电荷量较大的点电荷，1和2是以树为圆心的同心圆，有甲、乙、丙、丁四头相同的牛按如图所示位置和方向分别站在地面上，由此判断( )
A．丙牛所处位置的电场强度为零
B．乙牛和丙牛两处电场强度相同
C．丁牛处的电势一定高于乙牛处的电势
D．甲牛前后蹄电势差最大，处于最危险的状态
解析：D 根据点电荷周围电场的分布情况可知，丙牛所处位置的电场强度不为零，A选项错误；电场强度是矢量，乙牛和丙牛两处电场强度方向不同，B选项错误；沿着电场线的方向，电势逐渐降低，由于点电荷电性未知，故丁牛处的电势不一定高于乙牛处的电势，C选项错误；乙牛与丁牛前后蹄连线与等势圆半径垂直，而甲牛与丙牛前后蹄连线在等势圆半径上，由点电荷的电场分布及电势特点知甲牛前后蹄间电势差最大，处于最危险的状态，D选项正确．
5.如图所示，四个点电荷所带电荷量的绝对值均为Q，分别固定在正方形的四个顶点上，正方形边长为a，则正方形两条对角线交点处的电场强度( )
A．大小为，方向竖直向上
B．大小为，方向竖直向上
C．大小为，方向竖直向下
D．大小为，方向竖直向下
解析：C 一个点电荷在两条对角线交点O产生的场强大小为E＝＝，对角线上的两异种点电荷在O处的合场强为E合＝2E＝，故两等大的场强互相垂直，合场强为EO＝＝，方向竖直向下，故选C．
6.如图所示，在一绝缘斜面C上有一带正电的小物体A处于静止状态，现将一带正电的小球B沿以A为圆心的圆弧缓慢地从P点移至A正上方的Q点处，已知P、A在同一水平线上，且在此过程中物体A和C始终保持静止不动，A、B可视为质点．关于此过程，下列说法正确的是( )
A．地面对斜面C的摩擦力先增大后减小
B．地面对斜面C的摩擦力逐渐减小
C．物体A受到斜面的支持力一直减小
D．物体A受到斜面的支持力一直增大
解析：B 如图所示，以A和C整体为研究对象，设B对A的库仑力大小为F，与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件得Ff＝Fsin θ，由于F大小不变，θ减小，则知地面对斜面C的摩擦力逐渐减小，故A错误，B正确；以A为研究对象，分析可知，B对A的库仑力垂直于斜面方向的分力先逐渐增大后逐渐减小，设该分力为F′，斜面倾角为α，根据平衡条件，斜面对A的支持力FN′＝mgcos α＋F′，可知FN′先增大后减小，故C、D错误．
7．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则( )
A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小
B．在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合
C．粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能
D．粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行
解析：AC 在两个同种点电荷的电场中，一带同种电荷的粒子在两电荷的连线上自M点由静止开始运动，粒子的速度先增大后减小，A正确；带电粒子仅在电场力作用下运动，若运动到N点的动能为零，则带电粒子在N、M两点的电势能相等；仅在电场力作用下运动，带电粒子的动能和电势能之和保持不变，可知若粒子运动到N点时动能不为零，则粒子在N点的电势能小于在M点的电势能，即粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能，C正确；若静电场的电场线不是直线，带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹不会与电场线重合，B错误；若粒子运动轨迹为曲线，根据粒子做曲线运动的条件，可知粒子在N点所受电场力的方向一定不与粒子轨迹在该点的切线平行，D错误．
[能力提升]
8.如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的5条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒．每根细棒均匀带上等量的正电荷．现将电荷量为＋Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的电场场强为零．若移走＋Q及AB边上的细棒，则O点电场强度大小为(k为静电力常量，不考虑绝缘棒及＋Q之间的相互影响)( )
A． B．
C． D．
解析：D 根据对称性，AF与CD上的细棒在O点产生的电场强度叠加为零，AB与ED上的细棒在O点产生的电场强度叠加为零，BC中点的点电荷在O点产生的电场强度为＝，因EF上的细棒与BC中点的点电荷在O点产生的电场强度叠加为零，故EF上的细棒在O点产生的电场强度大小为，故每根细棒在O点产生的电场强度大小均为，移走＋Q及AB边上的细棒，O点的电场强度为EF与ED上的细棒在O点产生的电场强度的叠加，这两个电场强度夹角为60°，所以叠加后电场强度大小为2·cos 30°＝，故D正确．
9.(2022·安徽宣城市第二次模拟)如图，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态．下列说法正确的是( )
A．小球a、b、c带同种电荷
B．小球a、b带异种电荷
C．小球a、b电荷量之比为
D．小球a、b电荷量之比为
解析：D 对c小球受力分析可得，a、b小球必须带同种电荷，c小球才能平衡；对b小球受力分析可得，b、c小球带异种电荷，b小球才能平衡，故A、B错误．设环的半径为R，a、b、c球的带电荷量分别为q1、q2和q3，由几何关系可得lac＝R，lbc＝R，a与b对c的作用力都是吸引力，它们对c的作用力在水平方向的分力大小相等，则有·sin 60°＝·sin 30°，所以＝，故C错误，D正确．
10．(2021·湖南卷)如图，在(a，0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零．则Q的位置及电荷量分别为( )
A．(0，2a)，q B．(0，2a)，2q
C．(2a，0)，q D．(2a，0)，2q
解析：B (a，0)和(0，a)两点处的电荷量为q的点电荷在P点产生的电场强度的矢量和E＝，方向如图所示[由点(a，a)指向点(0，2a)]，由在距P点为a的某点处放置的正点电荷Q使得P点电场强度为零可知，此正电荷位于(0，2a)点，且电荷量Q满足＝，解得Q＝2q，B正确．
11．(2022·日照模拟)如图所示，实线为两个点电荷Q1、Q2 产生的电场的电场线，虚线为一电子在只受电场力作用下从A点运动到B点的运动轨迹，则下列判断正确的是( )
A．A 点的场强小于B点的场强
B．Q1的电荷量大于Q2 的电荷量
C．电子在A点的电势能大于在B点的电势能
D．电子在A点的速度大于在B点的速度
解析：D 根据在同一电场中，电场线较密的地方表示场强较大可知，A点的场强比B点的场强大，选项A错误；根据电场线分布情况可知，Q1、Q2是同种电荷，由点电荷Q2周围电场线较密可知点电荷Q2带电荷量较多，即Q1＜Q2，故B错误；电子做曲线运动，受到的合力方向指向曲线的凹侧，可知电子从A点运动到B点的过程中，受到的电场力F方向斜向下，电场力方向与速度方向的夹角总是大于90°，电场力做负功，电势能增大，动能减小，即电子在A点的电势能小于在B点的电势能，电子在A点的速度大于在B点的速度，故C错误，D正确．
12.(多选)如图所示，已知带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB，A球固定，B球用长为L的绝缘丝线悬挂在O点，静止时A、B相距为d.若A球电荷量保持不变，B球缓慢漏电，不计两小球半径，则下列说法正确的是( )
A．丝线对B球的拉力逐渐变大
B．A球对B球的库仑力逐渐变小
C．当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的
D．当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的
解析：BD 对B受力分析，由B受力平衡可得：＝＝，B球缓慢漏电，可知F减小，则d逐渐减小，FT不变，A错误，B正确；当AB间距离减为时，则库仑力减小到原来的，根据F＝k可知B球的电荷量减小为原来的，C错误，D正确．
13．(2022·攀枝花模拟)如图所示，真空中三个质量相等的小球A、B、C，带电荷量分别为QA＝6q，QB＝－3q，QC＝8q.现用恰当大小的恒力F拉C，可使A、B、C沿光滑水平面做匀加速直线运动，运动过程中A、B、C保持相对静止，且A、B间距离与B、C间距离相等．不计电荷运动产生磁场的影响，小球可视为点电荷，则此过程中B、C之间的作用力大小为( )
A．F B．F
C．F D．F
解析：A 对三个球的整体：F＝3ma；对A、B的整体：F1＝2ma，解得F1＝F，即A、B对C的库仑力的合力大小为F；因＝k∶k＝，分析库仑力的方向后可知FBC－FAC＝F，解得FBC＝F.A正确．
14．(2021·河北卷)(多选)如图，四个电荷量均为q(q＞0)的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为(4l，0)、(－4l，0)、(0，y0)和(0，－y0)，其中x轴上的两个点电荷位置固定，y轴上的两个点电荷可沿y轴对称移动(y0≠0)，下列说法正确的是( )
A．除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零
B．当y0取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点
C．当y0＝8l时，将一带负电的试探电荷由点(4l，5l)移至点(0，－3l)，静电力做正功
D．当y0＝4l时，将一带负电的试探电荷放置在点(l，l)处，其所受到的静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上
解析：ACD 由对称及电场叠加原理可知，除无穷远处之外，菱形外部各点电场强度处处不为零，故A正确．分析可知O点电场强度等于零，由对称及电场叠加原理可知，除O点外，菱形内部的电场强度为零的点都是成对出现的，所以在菱形内部不可能只存在两个电场强度为零的点，故B错误．当y0＝8l时，由对称性可知点(0，－3l)和点(0，3l)的电势相等，将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，－3l)和从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力做功相同，由等量同种点电荷形成的电场的特点可知，在x、y正半轴上的两个点电荷形成的电场中，点(4l，5l)和点(0，3l)是两点电荷连线的中垂线上对称的两点，电势相等，所以将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力不做功；在x负半轴的点电荷形成的电场中，将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力做正功；在y负半轴的点电荷形成的电场中，将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力做正功；综上所述，当y0＝8l时，将一带负电的试探电荷由点(4l，5l)移到点(0，－3l)，电场力做正功，故C正确．当y0＝4l时，x、y正半轴的两个点电荷在点(l，l)处的合场强与x轴负方向的夹角为45°，倾斜向下，大小为·，x、y负半轴的两个点电荷在点(l，l)的合场强与x轴正方向的夹角为45°，倾斜向上，大小为·，故该点的合场强与x轴负方向的夹角为45°，倾斜向下，负点电荷受到的电场力与x轴正方向的夹角为45°，倾斜向上，故D正确．
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