高考物理一轮复习8.1静电场--静电场中力的性质-(原卷版+解析)

这是一份高考物理一轮复习8.1静电场--静电场中力的性质-(原卷版+解析)，共63页。试卷主要包含了库仑力的应用--叠加与平衡，电场强度的理解和叠加计算等内容，欢迎下载使用。


考向一 库仑定律与电荷守恒定律的结合
考向二 库仑力的应用--叠加与平衡
考向三 电场强度的理解和叠加计算
考向四 电场线与轨迹
考向一 库仑定律与电荷守恒定律的结合
一、电荷 电荷守恒定律
1．元电荷、点电荷
(1)元电荷：e＝1.60×10－19 C，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍。
(2)点电荷：代表带电体的有一定电荷量的点，忽略带电体的大小、形状及电荷分布状况的理想化模型。
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移过程中，电荷的总量保持不变。
(2)三种起电方式：摩擦起电、感应起电、接触起电。
(3)带电实质：物体得失电子。
(4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体，接触后再分开，二者带等量同种电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分。
二、库仑定律
1.内容
真空中两个静止点电荷之间的作用力(斥力或引力)与这两个电荷所带电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线。
2.表达式
F＝keq \f(Q1Q2,r2)，式中k＝9.0×109 N· m2/C2，叫做静电力常量。
3．适用条件
真空中的静止点电荷。
(1)在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式。
(2)当两个带电体间的距离远大于其本身的大小时，可以把带电体看成点电荷。
4．库仑力的方向
由相互作用的两个带电体决定，即同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
【典例1】(2022·临汾适应性训练)如图是库仑做实验用的库仑扭秤．带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比．现用一个电荷量是小球C的三倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D．4
【答案】C
【解析】设A带电荷量为qA，C球带电荷量为qC，库仑力与旋钮旋转的角度成正比，则有θ＝k1F，依题意有θ1＝k1F1＝k1eq \f(kqAqC,r2)，由题可知D球带电荷量为qD＝3qC，接触后分开，电荷量将均分，有qC′＝eq \f(3qC＋qC,2)＝2qC，依题意有θ2＝k1F2＝k1eq \f(kqC′qA,r2)＝2k1eq \f(kqAqC,r2)，联立可得eq \f(θ2,θ1)＝2.
【典例2】(2022·安徽安庆一中三模)已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同．如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R.现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝eq \f(4,3)πr3，则A点处检验电荷q受到的电场力的大小为( )
A．eq \f(5kqQ,36R2) B．eq \f(7kqQ,36R2) C．eq \f(7kqQ,32R2) D．eq \f(3kqQ,16R2)
【答案】B
【解析】实心大球对q的库仑力F1＝eq \f(kqQ,4R2)，挖出的实心
小球的电荷量Q′＝eq \f(\f(R,2)3,R3)Q＝eq \f(Q,8)，实心小球对q的库仑力F2＝eq \f(kq\f(Q,8),\f(3,2)R2)＝eq \f(kqQ,18R2)，则检验电荷q所受的电场力F＝F1－F2＝eq \f(7kqQ,36R2)，选项B正确．
练习1、(2022·四川资阳等六市一诊)如图所示为某电子秤示意图。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球a，稳定后，电子秤示数为F。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球b与a球充分接触后，再移至小球a正上方L处，待系统稳定后，电子秤示数为F1；用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，电子秤示数为F2。若两小球完全相同，则( )
A．F1＜F2
B．F1＝4F2
C．若小球a带负电，L增大，则F1增大
D．若小球a带正电，L减小，则F2增大
【答案】D
【解析】小球b与a球充分接触后b对a有个向下的库仑力，设为F′，则F′＝keq \f(\f(Q,2)×\f(Q,2),L2)＝keq \f(Q2,4L2)，示数为F1＝F＋F′，用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，b对a向下的库仑力F″，F″＝keq \f(\f(Q,4)×\f(Q,4),L2)＝keq \f(Q2,16L2)，电子秤示数为F2＝F＋F″，因此F1＞F2，但F1≠4F2，A、B错误；若小球a带负电，L增大，根据库仑定律可知，F′减小，则F1减小，C错误；若小球a带正电，L减小，根据库仑定律可知，F″增大，则F2增大，D正确。
练习2、(2022上海长宁区模拟)如图所示的仪器叫作库仑扭秤，是法国科学家库仑精心设计的，他用此装置找到了电荷间相互作用的规律，总结出库仑定律．下列说法中正确的是( )
A．装置中A、C为带电金属球，B为不带电的平衡小球
B．实验过程中一定要使A、B球带等量同种电荷
C．库仑通过该实验计算出静电力常量k的值
D．库仑通过该实验测量出电荷间相互作用力的大小
【答案】A
【解析】根据库仑扭秤实验装置可知，在悬丝下面悬挂一根绝缘棒，棒的一端有一个带电金属小球A，另一端有一个不带电的平衡小球B，在离A球某一距离的地方放一个带电金属小球C，故A正确，B错误；本实验当悬丝弹力的力矩与静电力的力矩平衡时，从悬丝扭转过的角度可以比较电荷间作用力的大小，改变A和C之间的距离得出规律，但由于在库仑那个年代，还不知道怎样测量物体所带电荷量，连单位都没有，所以C、D错误．
【巧学妙记】
①库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
②对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
③对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示．
同种电荷：F＜keq \f(q1q2,r2)；
异种电荷：F＞keq \f(q1q2,r2).
④不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了．
考向二 库仑力的应用
【典例3】（2022年山东省普通高中学业水平等级性考试）半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于延长线上距O点为的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为（ ）
A. 正电荷，B. 正电荷，
C. 负电荷，D. 负电荷，
【答案】C
【解析】取走A、B处两段弧长均为的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O点产生的电场强度为与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，如图所示，因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有
由图可知，两场强的夹角为，则两者的合场强为
根据O点的合场强为0，则放在D点的点电荷带负电，大小为
根据
联立解得
故选C。
【典例4】(2021·海南高考)如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为( )
A.eq \f(\r(3),6) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),3)
【答案】D
【解析】 滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带同种电荷，两者之间库仑斥力设为F，两滑块的受力分析如图所示。对滑块Q在沿着斜面方向有mgcs30°＝Fcs30°，可得F＝mg，而对滑块P动摩擦因数最小时有N2＝F＋mgsin30°，f＝μN2，f＝mgcs30°，联立解得μ＝eq \f(\r(3),3)，故选D。
练习3、(多选)(2022·全国高三专题练习)A、C是两个带电小球，质量分别是mA、mC，电荷量大小分别是QA、QC，用两条等长绝缘细线悬挂在同一点O，两球静止时如图所示，此时细线对两球的拉力分别为FTA、FTC，两球连线AC与O所在竖
直线的交点为B，且ABA．QA>QC
B．mA∶mC＝FTA∶FTC
C．FTA＝FTC
D．mA∶mC＝BC∶AB
【答案】BD
【解析】利用相似三角形知识可得，A球所受三个力F、FTA、mAg构成的矢量三角形与三角形OBA相似，eq \f(mAg,OB)＝eq \f(F,AB)＝eq \f(FTA,AO)；C球所受三个力F、FTC、mCg构成的矢量三角形与三角形OBC相似，eq \f(mCg,OB)＝eq \f(F,CB)＝eq \f(FTC,CO)；因OA＝OC，所以mA∶mC＝FTA∶FTC；mA∶mC＝BC∶AB，选项B、D正确，C错误；因两球之间的作用力是相互作用力，无法判断两球带电荷量的多少，选项A错误．
练习4、(2022·四川德阳市三诊)光滑绝缘的水平面上固定着三个带电小球A、B、C，它们的质量均为m，间距均为r，A、B带等量正电荷q.现对C球施一水平力F的同时，将三个小球都放开，如图所示，欲使得三个小球在运动过程中保持间距r不变，求：
(1)C球的电性和电荷量；
(2)力F的大小及小球的加速度a.
【答案】详解结解析
【解析】欲使三个小球在运动过程中保持距离r不变，即三个小球以共同的加速度a运动．以A、B、C系统为研究对象，由牛顿第二定律得：F＝3ma.
再以A为研究对象，受力如图所示才符合题意，则C球带负电；由库仑定律、力的分解、牛顿第二定律得：
F1＝eq \f(kq2,r2)，F2＝eq \f(kqqc,r2)，F1＝F2cs 60°，
F2sin 60°＝ma，五式联立得：
qc＝2q，a＝eq \f(\r(3)kq2,mr2)，F＝eq \f(3\r(3)kq2,r2).
【巧学妙记】
1.分析点电荷平衡问题的方法步骤
点电荷平衡问题的分析方法与前段力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多了一个电场力．具体步骤如下：
考向三 电场强度的理解和叠加计算
1．等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示．
【典例5】(多选)(2020·全国Ⅱ卷)如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷．a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等．则( )
A．a、b两点的场强相等 B．a、b两点的电势相等
C．c、d两点的场强相等 D．c、d两点的电势相等
【答案】ABC
【解析】如图所示，为等量异种电荷周围空间的电场分布图．本题的带电圆环，可拆解成这样无数对等量异种电荷的电场，沿竖直直径平行放置．它们有共同的对称轴PP′，PP′所在的水平面与每一条电场线都垂直，即为等势面，延伸到无限远处，电势为零．故在PP′上的点电势为零，即φa＝φb＝0；而从M点到N点，电势一直在降低，即φc>φd，故B正确，D错误；上下两侧电场线分布对称，左右两侧电场线分布也对称，由电场的叠加原理可知AC正确．
2．对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
【典例6】(2022·黑龙江省实验中学开学考试)如图所示，在均匀带正电的无穷大薄平板右侧距离3l处有一个带电荷量为＋q的小球，在小球到平板垂线上距平板为2l的P处，场强恰好为零．已知无穷大平板产生的电场的电场线自正电荷发出，终止于无穷远处，静电力常量为k，则P点关于薄平板对称的M点的场强大小是( )
A.eq \f(26kq,25l2) B.eq \f(10kq,9l2)
C.eq \f(4kq,3l2) D.eq \f(kq,l2)
【答案】A
【解析】P处场强恰好为零，所以正电薄平板在P处产生的场强和带电荷量为＋q的小球在P处产生的场强大小相等，方向相反，即正电薄平板在P处产生的场强E＝keq \f(q,l2)，方向水平向右．根据对称关系可知，正电薄平板在M处产生的场强大小E2＝keq \f(q,l2)，方向水平向左，而带电荷量为＋q的小球在M处产生的场强E1＝keq \f(q,5l2)，方向水平向左，所以M点的场强大小EM＝E1＋E2＝keq \f(26q,25l2)，方向水平向左，A正确．
3．填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
【典例7】(2022·福建三明市期末质量检测)如图甲所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电荷量为σ，其轴线上任意一点P(坐标为x)的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E＝2πkσeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R2＋x2))\f(1,2))))，方向沿x轴．现考虑单位面积带电荷量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图乙所示．则圆孔轴线上任意一点Q(坐标为x)的电场强度为( )
A．2πkσ0eq \f(x,r2＋x2\f(1,2)) B．2πkσ0eq \f(r,r2＋x2\f(1,2)) C．2πkσ0eq \f(x,r) D．2πkσ0eq \f(r,x)
【答案】A
【解析】当R→∞时，eq \f(x,R2＋x2\f(1,2))＝0，则无限大带电平板产生的电场的场强为E＝2πkσ0.当挖去半径为r的圆板时，应在E中减掉该圆板对应的场强Er＝2πkσ0eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(x,r2＋x2\f(1,2))))，即E′＝2πkσ0eq \f(x,r2＋x2\f(1,2))，选项A正确．
4．微元法
将带电体分成许多元电荷，每个元电荷看成点电荷，先根据库仑定律求出每个元电荷的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强．
【典例8】 (2022·北京市第二次合格性考试)一半径为R的圆环上，均匀地带有电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心O的距离OP＝L.设静电力常量为k，关于P点的场强E，下列四个表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是( )
A．eq \f(kQ,R2＋L2) B．eq \f(kQL,R2＋L2) C．eq \f(kQR,\r(R2＋L23)) D．eq \f(kQL,\r(R2＋L23))
【答案】 D
【解析】设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝eq \f(Q,n)①
由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强
EP＝keq \f(Q,nr2)＝keq \f(Q,nR2＋L2)②
由对称性可知，各小段电环在P处的场强垂直于轴向的分量Ey相互抵消，而轴向分量Ex之和即为带电环在P处的场强E，故
E＝nEx＝neq \f(kQ,nL2＋R2)cs θ＝eq \f(kQL,rL2＋R2)③
而r＝eq \r(L2＋R2)④
联立①②③④式，可得E＝eq \f(kQL,\r(R2＋L23))，D正确．
练习5、（2021年湖南省普通高中学业水平选择性考试）4. 如图，在位置放置电荷量为的正点电荷，在位置放置电荷量为的负点电荷，在距为的某点处放置正点电荷，使得点的电场强度为零。则的位置及电荷量分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】.C
【解析】本题考查电场叠加、点电荷电场强度公式，主要考查对点电荷电场强度公式和平行四边形定则的应用能力。（a，0）位置电荷量为q的正点电荷在P（a，a）处产生的电场的场强E+=k，方向沿y轴正方向，（0， a）位置电荷量为q的负点电荷在P（a，a）处产生的电场的场强E-=k，方向沿x轴负方向，合场强为E合=k，方向与y轴正方向夹角为45°，在距离P（a，a）为a的某点放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零，根据电场叠加原理， k=k，解得Q=2q，Q的位置为（0,2a），选项C正确。
练习6、（多选）（（2022年全国高考乙卷物理试题） 如图，两对等量异号点电荷、固定于正方形的4个顶点上。L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O为内切圆的圆心，M为切点。则（ ）
A. L和N两点处的电场方向相互垂直
B. M点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C. 将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做正功
D. 将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功为零
【答案】AB
【解析】A．两个正电荷在N点产生的场强方向由N指向O，N点处于两负电荷连线的中垂线上，则两负电荷在N点产生的场强方向由N指向O，则N点的合场强方向由N指向O，同理可知，两个负电荷在L处产生的场强方向由O指向L，L点处于两正电荷连线的中垂线上，两正电荷在L处产生的场强方向由O指向L，则L处的合场方向由O指向L，由于正方形两对角线垂直平分，则L和N两点处的电场方向相互垂直，故A正确；
B．正方形底边的一对等量异号电荷在M点产生的场强方向向左，而正方形上方的一对等量异号电荷在M点产生的场强方向向右，由于M点离上方一对等量异号电荷距离较远，则M点的场方向向左，故B正确；
C．由图可知，M和O点位于两等量异号电荷的等势线上，即M和O点电势相等，所以将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做功为零，故C错误；
D．由图可知，L点的电势低于N点电势，则将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功不为零，故D错误。
故选AB。
练习7、(2022·江西九江二模)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R.已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为( )
A.eq \f(kq,2R2)－E B.eq \f(kq,4R2)
C.eq \f(kq,4R2)－E D.eq \f(kq,4R2)＋E
【答案】A
【解析】左半球面AB上的正电荷产生的电场等效为带正电荷为2q的整个球面的电场和带电荷－q的右半球面的电场的合电场，则E＝eq \f(k·2q,2R2)－E′，E′为带电荷－q的右半球面在M点产生的场强大小．带电荷－q的右半球面在M点的场强大小与带电荷为＋q的左半球面AB在N点的场强大小相等，则EN＝E′＝eq \f(k·2q,2R2)－E＝eq \f(kq,2R2)－E，则A正确．
练习8、(2022湖北名师联盟月考)如图所示，电荷量为q的正点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心．若图中A点的电场强度为0，则带电薄板在图中B点产生的电场强度( )
A．大小为keq \f(q,d2)，方向水平向左 B．大小为keq \f(q,d2)，方向水平向右
C．大小为keq \f(q,9d2)，方向水平向左 D．大小为keq \f(q,9d2)，方向水平向右
【答案】C
【解析】正点电荷在A点产生的电场强度的大小为EA＝keq \f(q,3d2)＝eq \f(kq,9d2)，方向水平向左，因A点场强为零，故薄板在A点的场强方向水平向右，大小为eq \f(kq,9d2)，由于A、B两点关于薄板对称，可知薄板在B点产生的电场强度大小为EB＝eq \f(kq,9d2)，方向水平向左，选项A、B、D错误，C正确．
【巧学妙记】
1．孤立点电荷场强公式E＝eq \f(kq,r2)，由此可知点电荷电场中某点场强由场源电荷和该点到场源电荷的距离决定，与引入的试探电荷无关．
2．若空间中有几个点电荷同时存在，则每个电荷在周围空间独立的激发电场，与是否有其他电荷无关；此时空间中某点场强等于每个点电荷在该点产生场强的矢量和．
考向四 电场线与轨迹
电场线的特点
(1)电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷．
(2)电场线在电场中不相交．
(3)在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏．
(4)电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向．
(5)沿电场线方向电势逐渐降低．
(6)电场线和等势面在相交处相互垂直．
几种典型电场的电场线
如图所示是几种典型电场的电场线分布图。
【典例9】（多选）（2022年6月浙江省普通高中学业水平等级性考试）15. 如图为某一径向电场的示意图，电场强度大小可表示为， a为常量。比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则（ ）
A. 轨道半径r小的粒子角速度一定小
B. 电荷量大的粒子的动能一定大
C. 粒子的速度大小与轨道半径r一定无关
D. 当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动
【答案】BC
【解析】A．根据电场力提供向心力可得，解得
可知轨道半径r小的粒子角速度大，故A错误；
BC．根据电场力提供向心力可得，解得
又
联立可得
可知电荷量大的粒子的动能一定大，粒子的速度大小与轨道半径r一定无关，故BC正确；
D．磁场的方向可能垂直纸面向内也可能垂直纸面向外，所以粒子所受洛伦兹力方向不能确定，粒子可能做离心运动，也可能做近心运动，故D错误。
故选BC。
【典例10】(2022·攀枝花第二次统考)如图所示的实线为某静电场的电场线，虚线是仅在电场力作用下某带负电粒子的运动轨迹，A、B、C、D是电场线上的点，其中A、D两点在粒子的轨迹上，下列说法正确的是( )
A．该电场可能是正点电荷产生的
B．由图可知，同一电场的电场线在空间是可以相交的
C．将该粒子在C点由静止释放，它可能一直沿电场线运动
D．该粒子在A点的速度一定大于在D点的速度
【答案】D
【解析】正点电荷周围的电场线是从正点电荷出发，呈辐射状分布的，A错误；同一电场的电场线在空间不能相交，否则同一点具有两个电场强度方向，B错误；电场中的带电粒子受力的方向沿电场线的切线方向，由于C点所在电场线为曲线，所以将该粒子在C点由静止释放，它一定不能沿电场线运动，C错误；由于做曲线运动的物体受力的方向指向曲线的内侧，该粒子带负电，可知场强方向应是从B到C，A点的电势高于D点的电势，故从A到D电场力对粒子做负功，粒子的动能减少，则粒子在A点的速度较大，D正确。
练习8、（多选）(2022·济南二模)如图所示，A、B两点有等量同种正点电荷，A、B连线的中垂线上的C、D两点关于AB对称，t＝0时刻，一带正电的点电荷从C点以初速度v0沿CD方向射入，点电荷只受静电力。则点电荷由C到D运动的v­t图像，以下可能正确的是( )
【答案】BD
【解析】由于A、B两点处有等量同种正点电荷，所以在AB中垂线上，A、B连线中点的场强为零，无穷远处场强也为零，其间有一点电场强度最大，所以该点电荷从C点向A、B连线中点运动的过程中，加速度可能一直减小，也可能先增大后减小，再根据对称性可知，A、C错误，B、D正确。
练习9、(多选)(2022·四川资阳等六市一诊)如图所示，图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，若带电粒子在运动过程中只受电场力作用，根据此图可做出的正确判断是( )
A.带电粒子所带电荷的正、负 B.带电粒子在a、b两点的受力方向
C.带电粒子在a、b两点的加速度何处较大
D.带电粒子在a、b两点的速度何处较大
【答案】BCD
【解析】由轨迹的弯曲情况，可知电场力应沿电场线向左，但因不知电场线的方向，故带电粒子所带电荷的符号不能确定．由电场线的疏密程度知a点场强大于b点场强，带电粒子在a点所受电场力较大，从而在a点时加速度较大，综上所述B、C、D正确．
【巧学妙记】
分析电场中运动轨迹问题的方法
1．“运动与力两线法”——画出运动轨迹在初始位置的切线(“速度线”)与在初始位置电场线的切线(“力线”)方向，从二者的夹角情况来分析曲线运动的情况。
2．“三不知时要假设”——电荷的正负、场强的方向(或等势面电势的高低)、电荷运动的方向，是题意中相互制约的三个方面。若已知其中的任一个，可顺次分析判定各待求量；若三个都不知，则要用“假设法”分别讨论各种情况。
1. (2022浙江考前冲刺)利用如图所示的装置研究点电荷之间的相互作用力，当A带电荷量为＋Q、质量为M，B带电荷量为＋q、质量为m时，绝缘轻绳摆开的角度为θ，且两点电荷相距L，连线水平，已知静电力常量为k，则( )
A．tan θ＝eq \f(kQq,mgL2)
B．若仅将B的质量增大，则轻绳摆开的角度增大
C．若仅将A的质量增大，则轻绳摆开的角度增大
D．若仅将A向左移动，则轻绳摆开的角度增大
2．(2022·安徽安庆一中三模)根据科学研究表明，地球是一个巨大的带电体，而且表面带有大量的负电荷．如果在距离地球表面高度为地球半径一半的位置由静止释放一个带负电的尘埃，恰好能悬浮在空中，若将其放在距离地球表面高度与地球半径相等的位置时，则此带电尘埃将 ( )
A．向地球表面下落 B．远离地球向太空运动
C．仍处于悬浮状态 D．无法判断
3. (2022·北京海淀区期末)关于电场强度，下列说法中正确的是( )
A．若在电场中的某点不放试探电荷，则该点的电场强度为0
B．真空中点电荷的电场强度公式E＝keq \f(Q,r2)表明，点电荷周围某点电场强度的大小，与该点到场源电荷距离r的二次方成反比，在r减半的位置上，电场强度变为原来的4倍
C．电场强度公式E＝eq \f(F,q)表明，电场强度的大小与试探电荷的电荷量q成反比，若q减半，则该处的电场强度变为原来的2倍
D．匀强电场中电场强度处处相同，所以任何电荷在其中受力都相同
4. (2022·河北迁西县第一中学高三月考)将两个质量均为m的小球a、b用绝缘细线相连，竖直悬挂于O点，其中球a带正电、电荷量为q，球b不带电，现加一电场强度方向平行纸面的匀强电场(没画出)，使整个装置处于平衡状态，且绷紧的绝缘细线Oa与竖直方向的夹角为θ＝30°，如图所示，则所加匀强电场的电场强度大小可能为( )
A．eq \f(mg,4q) B．eq \f(mg,q) C．eq \f(mg,2q) D．eq \f(\r(3)mg,4q)
5、(2022·安徽安庆一中三模)如图所示，在点电荷－q的电场中，放着一块带有一定电荷量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心．点电荷－q与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d.已知图中a点的电场强度为零，则带电薄板在图中b点产生的电场强度的大小和方向分别为( )
A．eq \f(kq,d2)，水平向右 B．eq \f(kq,d2)，水平向左
C．eq \f(kq,d2)＋eq \f(kq,9d2)，水平向右 D．eq \f(kq,9d2)，水平向右
6、(多选)(2022·四川雅安市上学期一诊)如图所示，带电质点P1固定在光滑的水平绝缘面上，在水平绝缘面上距P1一定距离处有另一个带电质点P2，P2在水平绝缘面上运动，某一时刻质点P2以速度v沿垂直于P1P2的连线方向运动，则下列说法正确的是( )
A．若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做速度变大的曲线运动
B．若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做加速度变大的曲线运动
C．若P1、P2带异种电荷，以后P2的速度和加速度可能都不变
D．若P1、P2带异种电荷，以后P2可能做加速度、速度都变小的曲线运动
7．(2022·江西高三月考)如图所示，在光滑绝缘水平面上有三个孤立的点电荷A、B、C，带电荷量分别为Q1、Q2、Q，C恰好静止不动，A、B围绕C做匀速圆周运动，在运动过程中三个点电荷始终共线．已知A、B分别与C相距r1、r2，不计点电荷间的万有引力，下列说法正确的是( )
A．A、B的电荷量之比为r1∶r2
B．A、B的电荷量之比为r2∶r1
C．A、B的质量之比为r2∶r1
D．A、B的质量之比为r1∶r2
8、(2022河南郑州模拟)如图所示，真空中三个质量相等的小球A、B、C，带电量分别为QA＝6q，QB＝3q，QC＝8q.现用恰当大小的恒力F拉C，可使A、B、C沿光滑绝缘水平面做匀加速直线运动，运动过程中A、B、C保持相对静止，且A、B间距离与B、C间距离相等．不计电荷运动产生磁场的影响，小球可视为点电荷，则此过程中B、C之间的作用力大小为( )
A.eq \f(4,3)F B．F C.eq \f(2,3)F D.eq \f(1,3)F
9．(2022·东北三省四市教研联合体模拟)如图所示，a和b是点电荷电场中的两点，a点电场强度Ea与ab连线夹角为60°，b点电场强度Eb与ab连线夹角为30°，则关于此电场，下列分析中正确的是( )
A．这是一个正点电荷产生的电场，Ea∶Eb＝1∶eq \r(3)
B．这是一个正点电荷产生的电场，Ea∶Eb＝3∶1
C．这是一个负点电荷产生的电场，Ea∶Eb＝eq \r(3)∶1
D．这是一个负点电荷产生的电场，Ea∶Eb＝3∶1
10．(多选)(2022·河北张家口市5月模拟)如图所示，带电粒子只在电场力作用下由A点运动到B点．图中实线为电场线，虚线为粒子运动轨迹，由图可知( )
A．粒子带负电
B．粒子电性不确定
C．带电粒子在A点时的加速度小于在B点时的加速度大小
D．带电粒子在A点时的速度小于在B点时的速度大小
11(2022四川乐山模拟)如图所示，真空中a、b、c、d四点共线且等距，a、b、c、d连线水平．先在a点固定一点电荷＋Q，测得b点场强大小为E.若再将另一点电荷＋2Q放在d点，则( )
A．b点场强大小为eq \f(E,2)，方向水平向右
B．b点场强大小为eq \f(3,2)E，方向水平向左
C．c点场强大小为eq \f(9,4)E，方向水平向右
D．c点场强大小为eq \f(9,4)E，方向水平向左
12.(2022常州高三检测)(多选)如图所示，实线为正电荷与接地的很大的平板带电体电场的电场线，虚线为一以点电荷为中心的圆，a、b、c是圆与电场线的交点，下列说法正确的是( )
A．虚线为该电场的一条等势线
B．a点的电场强度大于b点的电场强度
C．a点的电势高于b点的电势
D．检验电荷－q在b点的电势能比c点的大
1.(2022·湖北省开学摸底)在如图所示的四种电场中，分别标记有a、b两点。其中a、b两点电场强度大小相等、方向相反的是( )
A．甲图中与点电荷等距的a、b两点
B．乙图中两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
C．丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
D．丁图中非匀强电场中的a、b两点
2. (2022·湖南省株洲市高三教学质量统一检测)如图所示，两个电荷量为q的点电荷分别位于带电的半径相同的eq \f(1,4)球壳和eq \f(3,4)球壳的球心，这两个球壳上电荷均匀分布且电荷面密度相同，若甲图中带电eq \f(1,4)球壳对点电荷q的库仑力的大小为F，则乙图中带电的eq \f(3,4)球壳对点电荷q的库仑力的大小为( )
A.eq \f(3,2)F B．eq \f(\r(2),2)F
C．eq \f(1,2)F D．F
3、(2022·深圳中学月考)如图所示，在x轴上关于原点O对称的两点A、B分别固定放置点电荷＋Q1和－Q2，x轴上的P点位于B点的右侧，且P点电场强度为零，则下列判断正确的是( )
A．x轴上P点右侧电场强度方向沿x轴正方向
B．Q1C．在A、B连线上还有一点与P点电场强度相同
D．与P点关于O点对称的M点电场强度可能为零
4、(2022·辽宁省重点高中高三上9月月考)(多选)甲、乙两固定的点电荷产生的电场的电场线如图所示。下列说法正确的是( )
A．甲、乙带同种电荷
B．甲、乙带异种电荷
C．若将甲、乙接触后放回原处，则甲、乙间的静电力变大
D．若将甲、乙接触后放回原处，则甲、乙间的静电力变小
5、(2022·安徽省高三月考)如图所示，在光滑绝缘的水平面上，三个相同的不带电小球由三根相同的绝缘轻弹簧连接构成等边三角形，轻弹簧均处于原长．现让每个小球带上相同的电荷量q，当三角形的面积增大到原来的4倍时重新达到平衡状态．已知每根弹簧的原长为l0，静电力常量为k，则每根弹簧的劲度系数为( )
A.eq \f(kq2,4l03) B.eq \f(kq2,2l03) C.eq \f(kq2,4l02) D.eq \f(kq2,l03)
6.(2022·四川省乐山市高三上第一次调研)在边长为a的正方形的每一顶点都放置一个电荷量大小为q的点电荷，点电荷的正负如图所示．静电力常量为k.如果保持它们的位置不变，则A电荷受到其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
A.eq \f(2kq2,a2) B．(eq \r(2)－eq \f(1,2))eq \f(kq2,a2) C．(eq \f(1,2)＋eq \r(2))eq \f(kq2,a2) D.eq \f(3kq2,2a2)
7.(2022·福建漳州市第一次教学质检)如图所示，倾角为θ的光滑绝缘斜面固定在水平面上．为了使质量为m、带电荷量为＋q的小球静止在斜面上，可加一平行纸面的匀强电场(未画出)，重力加速度为g，则( )
A．电场强度的最小值为E＝eq \f(mgtan θ,q)
B．若电场强度E＝eq \f(mg,q)，则电场强度方向一定竖直向上
C．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度逐渐增大
D．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度先减小后增大
8、(2022·安徽皖南八校4月联考)如图2所示，A、B、C三个带电小球间的距离相等，其中C球置于绝缘竖直杆上，A、B置于光滑、绝缘的水平地面上，三球都保持静止，下列说法正确的是( )
A.A、B两球电性可能相反 B.B、C两球电性可能相同
C.A、B两球所带电荷量不一定相等 D.C球所带电荷量一定是A球所带电荷量的2倍
9、(2022·宁夏吴忠一轮联考)如图所示，E、F、G、H为矩形ABCD各边的中点，O为EG、HF的交点，AB边的长度为d。E、G两点各固定一等量正点电荷，另一电荷量为Q的负点电荷置于H点时，F点处的电场强度恰好为零。若将H点的负电荷移到O点，则F点处场强的大小和方向为(静电力常量为k)( )
A.eq \f(4kQ,d2)，方向向右 B.eq \f(4kQ,d2)，方向向左
C.eq \f(3kQ,d2)，方向向右 D.eq \f(3kQ,d2)，方向向左
10、(多选)(2022·福建三明市期末质量检测)如图所示，已知带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB，A球固定，B球用长为L的绝缘丝线悬挂在O点，静止时A、B相距为d。若A球电荷量保持不变，B球缓慢漏电，不计两小球半径，则下列说法正确的是( )
A.丝线对B球的拉力逐渐变大
B.A球对B球的库仑力逐渐变小
C.当AB间距离减为eq \f(d,3)时，B球的电荷量减小为原来的eq \f(1,9)
D.当AB间距离减为eq \f(d,3)时，B球的电荷量减小为原来的eq \f(1,27)
11、(2022·四川德阳市三诊)用两段轻质细线将a、b两个小球(可视为质点)连接并悬挂于O点，如图甲所示，球a受到水平向右的力7F的作用，球b受到水平向左的力F的作用，系统平衡时两段轻质细线相互垂直，细线都被拉紧，两球的位置情况如图乙所示。已知细线ab段的长度是细线Oa段长度的 eq \r(3) 倍，则a、b两球质量之比为( )

A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．2∶3
12、(多选)(2022·佛山南海区摸底)如图abcd是菱形，bd连线在竖直方向，∠dab＝60°，在a、b两点均放置＋Q的点电荷，c点放置－Q的点电荷，此时d点的电场强度大小为E，以下说法正确的是( )
A．d点场强方向竖直向上
B．若将c点的电荷换成＋Q的点电荷，d点的场强大小不变
C．若将c点的电荷移至d点，c点的场强大小为eq \f(\r(10),6)E
D．将一负电荷从d点沿db移动至接近b点的过程中，其电势能先减小后增加
13.(2022·福建漳州市第一次教学质检)如图所示，质量为m的小球A穿在光滑绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电(可视为点电荷)，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正点电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求：
(1)A球刚释放时的加速度是多大；
(2)当A球的动能最大时，A球与B点间的距离。
1.（多选）（（2022年全国高考乙卷物理试题）一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（ ）
A. 粒子3入射时的动能比它出射时的大
B. 粒子4入射时的动能比它出射时的大
C. 粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能
D. 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能
2．(2020·浙江卷1月)如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接．A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0＞0，qB＝－q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列．已知静电力常量为k，重力加速度为g，则( )
A．qC＝eq \f(4,7)q0
B．弹簧伸长量为eq \f(Mgsin α,k0)
C．A球受到的库仑力大小为2Mg
D．相邻两小球间距为q0eq \r(\f(3k,7Mg))
3．(2020·上海卷)以下图中p表示质子，e表示电子，距离D>d.其中O点电场强度最大的排布方式为( )
4．(2018·全国卷Ⅰ)如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm，小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )

A．a、b的电荷同号，k＝eq \f(16,9)
B．a、b的电荷异号，k＝eq \f(16,9)
C．a、b的电荷同号，k＝eq \f(64,27)
D．a、b的电荷异号，k＝eq \f(64,27)
5、(2021湖北卷)如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右．两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O.两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q(q＞0)．平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ＝45°.若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡．已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是( )
A．M带正电荷 B．N带正电荷
C．q＝Leq \r(\f(mg,k)) D．q＝3Leq \r(\f(mg,k))
6、(2019·全国卷Ⅰ)如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
新课程标准
1.通过实验，了解静电现象。能用原子结构模型和电荷守恒的知识分析静电现象。
2．知道点电荷模型。知道两个点电荷间相互作用的规律。体会探究库仑定律过程中的科学思想和方法。
3．知道电场是一种物质。了解电场强度，体会用物理量之比定义新物理量的方法。会用电场线描述电场。
命题特点
考查的内容主要体现对物理观念的认识、运动与相互作用的观念等物理学科的核心素养。命题点主要集中在点电荷周围的电场、匀强电场的特点以及带电粒子在电场中运动的特点。
试题
情境
生活实践类
人体带电头发散开，静电吸附
学习探究类
观察静电感应现象，探究电荷间的作用力的影响因素，库仑扭秤实验，模拟电场线，
考点24 静电场--静电场中力的性质
考向一 库仑定律与电荷守恒定律的结合
考向二 库仑力的应用--叠加与平衡
考向三 电场强度的理解和叠加计算
考向四 电场线与轨迹
考向一 库仑定律与电荷守恒定律的结合
一、电荷 电荷守恒定律
1．元电荷、点电荷
(1)元电荷：e＝1.60×10－19 C，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍。
(2)点电荷：代表带电体的有一定电荷量的点，忽略带电体的大小、形状及电荷分布状况的理想化模型。
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移过程中，电荷的总量保持不变。
(2)三种起电方式：摩擦起电、感应起电、接触起电。
(3)带电实质：物体得失电子。
(4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体，接触后再分开，二者带等量同种电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分。
二、库仑定律
1.内容
真空中两个静止点电荷之间的作用力(斥力或引力)与这两个电荷所带电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线。
2.表达式
F＝keq \f(Q1Q2,r2)，式中k＝9.0×109 N· m2/C2，叫做静电力常量。
3．适用条件
真空中的静止点电荷。
(1)在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式。
(2)当两个带电体间的距离远大于其本身的大小时，可以把带电体看成点电荷。
4．库仑力的方向
由相互作用的两个带电体决定，即同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
【典例1】(2022·临汾适应性训练)如图是库仑做实验用的库仑扭秤．带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比．现用一个电荷量是小球C的三倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D．4
【答案】C
【解析】设A带电荷量为qA，C球带电荷量为qC，库仑力与旋钮旋转的角度成正比，则有θ＝k1F，依题意有θ1＝k1F1＝k1eq \f(kqAqC,r2)，由题可知D球带电荷量为qD＝3qC，接触后分开，电荷量将均分，有qC′＝eq \f(3qC＋qC,2)＝2qC，依题意有θ2＝k1F2＝k1eq \f(kqC′qA,r2)＝2k1eq \f(kqAqC,r2)，联立可得eq \f(θ2,θ1)＝2.
【典例2】(2022·安徽安庆一中三模)已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同．如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R.现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝eq \f(4,3)πr3，则A点处检验电荷q受到的电场力的大小为( )
A．eq \f(5kqQ,36R2) B．eq \f(7kqQ,36R2) C．eq \f(7kqQ,32R2) D．eq \f(3kqQ,16R2)
【答案】B
【解析】实心大球对q的库仑力F1＝eq \f(kqQ,4R2)，挖出的实心
小球的电荷量Q′＝eq \f(\f(R,2)3,R3)Q＝eq \f(Q,8)，实心小球对q的库仑力F2＝eq \f(kq\f(Q,8),\f(3,2)R2)＝eq \f(kqQ,18R2)，则检验电荷q所受的电场力F＝F1－F2＝eq \f(7kqQ,36R2)，选项B正确．
练习1、(2022·四川资阳等六市一诊)如图所示为某电子秤示意图。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球a，稳定后，电子秤示数为F。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球b与a球充分接触后，再移至小球a正上方L处，待系统稳定后，电子秤示数为F1；用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，电子秤示数为F2。若两小球完全相同，则( )
A．F1＜F2
B．F1＝4F2
C．若小球a带负电，L增大，则F1增大
D．若小球a带正电，L减小，则F2增大
【答案】D
【解析】小球b与a球充分接触后b对a有个向下的库仑力，设为F′，则F′＝keq \f(\f(Q,2)×\f(Q,2),L2)＝keq \f(Q2,4L2)，示数为F1＝F＋F′，用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，b对a向下的库仑力F″，F″＝keq \f(\f(Q,4)×\f(Q,4),L2)＝keq \f(Q2,16L2)，电子秤示数为F2＝F＋F″，因此F1＞F2，但F1≠4F2，A、B错误；若小球a带负电，L增大，根据库仑定律可知，F′减小，则F1减小，C错误；若小球a带正电，L减小，根据库仑定律可知，F″增大，则F2增大，D正确。
练习2、(2022上海长宁区模拟)如图所示的仪器叫作库仑扭秤，是法国科学家库仑精心设计的，他用此装置找到了电荷间相互作用的规律，总结出库仑定律．下列说法中正确的是( )
A．装置中A、C为带电金属球，B为不带电的平衡小球
B．实验过程中一定要使A、B球带等量同种电荷
C．库仑通过该实验计算出静电力常量k的值
D．库仑通过该实验测量出电荷间相互作用力的大小
【答案】A
【解析】根据库仑扭秤实验装置可知，在悬丝下面悬挂一根绝缘棒，棒的一端有一个带电金属小球A，另一端有一个不带电的平衡小球B，在离A球某一距离的地方放一个带电金属小球C，故A正确，B错误；本实验当悬丝弹力的力矩与静电力的力矩平衡时，从悬丝扭转过的角度可以比较电荷间作用力的大小，改变A和C之间的距离得出规律，但由于在库仑那个年代，还不知道怎样测量物体所带电荷量，连单位都没有，所以C、D错误．
【巧学妙记】
①库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
②对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
③对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示．
同种电荷：F＜keq \f(q1q2,r2)；
异种电荷：F＞keq \f(q1q2,r2).
④不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了．
考向二 库仑力的应用
【典例3】（2022年山东省普通高中学业水平等级性考试）半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于延长线上距O点为的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为（ ）
A. 正电荷，B. 正电荷，
C. 负电荷，D. 负电荷，
【答案】C
【解析】取走A、B处两段弧长均为的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O点产生的电场强度为与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，如图所示，因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有
由图可知，两场强的夹角为，则两者的合场强为
根据O点的合场强为0，则放在D点的点电荷带负电，大小为
根据
联立解得
故选C。
【典例4】(2021·海南高考)如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为( )
A.eq \f(\r(3),6) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),3)
【答案】D
【解析】 滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带同种电荷，两者之间库仑斥力设为F，两滑块的受力分析如图所示。对滑块Q在沿着斜面方向有mgcs30°＝Fcs30°，可得F＝mg，而对滑块P动摩擦因数最小时有N2＝F＋mgsin30°，f＝μN2，f＝mgcs30°，联立解得μ＝eq \f(\r(3),3)，故选D。
练习3、(多选)(2022·全国高三专题练习)A、C是两个带电小球，质量分别是mA、mC，电荷量大小分别是QA、QC，用两条等长绝缘细线悬挂在同一点O，两球静止时如图所示，此时细线对两球的拉力分别为FTA、FTC，两球连线AC与O所在竖
直线的交点为B，且ABA．QA>QC
B．mA∶mC＝FTA∶FTC
C．FTA＝FTC
D．mA∶mC＝BC∶AB
【答案】BD
【解析】利用相似三角形知识可得，A球所受三个力F、FTA、mAg构成的矢量三角形与三角形OBA相似，eq \f(mAg,OB)＝eq \f(F,AB)＝eq \f(FTA,AO)；C球所受三个力F、FTC、mCg构成的矢量三角形与三角形OBC相似，eq \f(mCg,OB)＝eq \f(F,CB)＝eq \f(FTC,CO)；因OA＝OC，所以mA∶mC＝FTA∶FTC；mA∶mC＝BC∶AB，选项B、D正确，C错误；因两球之间的作用力是相互作用力，无法判断两球带电荷量的多少，选项A错误．
练习4、(2022·四川德阳市三诊)光滑绝缘的水平面上固定着三个带电小球A、B、C，它们的质量均为m，间距均为r，A、B带等量正电荷q.现对C球施一水平力F的同时，将三个小球都放开，如图所示，欲使得三个小球在运动过程中保持间距r不变，求：
(1)C球的电性和电荷量；
(2)力F的大小及小球的加速度a.
【答案】详解结解析
【解析】欲使三个小球在运动过程中保持距离r不变，即三个小球以共同的加速度a运动．以A、B、C系统为研究对象，由牛顿第二定律得：F＝3ma.
再以A为研究对象，受力如图所示才符合题意，则C球带负电；由库仑定律、力的分解、牛顿第二定律得：
F1＝eq \f(kq2,r2)，F2＝eq \f(kqqc,r2)，F1＝F2cs 60°，
F2sin 60°＝ma，五式联立得：
qc＝2q，a＝eq \f(\r(3)kq2,mr2)，F＝eq \f(3\r(3)kq2,r2).
【巧学妙记】
1.分析点电荷平衡问题的方法步骤
点电荷平衡问题的分析方法与前段力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多了一个电场力．具体步骤如下：
考向三 电场强度的理解和叠加计算
1．等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示．
【典例5】(多选)(2020·全国Ⅱ卷)如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷．a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等．则( )
A．a、b两点的场强相等 B．a、b两点的电势相等
C．c、d两点的场强相等 D．c、d两点的电势相等
【答案】ABC
【解析】如图所示，为等量异种电荷周围空间的电场分布图．本题的带电圆环，可拆解成这样无数对等量异种电荷的电场，沿竖直直径平行放置．它们有共同的对称轴PP′，PP′所在的水平面与每一条电场线都垂直，即为等势面，延伸到无限远处，电势为零．故在PP′上的点电势为零，即φa＝φb＝0；而从M点到N点，电势一直在降低，即φc>φd，故B正确，D错误；上下两侧电场线分布对称，左右两侧电场线分布也对称，由电场的叠加原理可知AC正确．
2．对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
【典例6】(2022·黑龙江省实验中学开学考试)如图所示，在均匀带正电的无穷大薄平板右侧距离3l处有一个带电荷量为＋q的小球，在小球到平板垂线上距平板为2l的P处，场强恰好为零．已知无穷大平板产生的电场的电场线自正电荷发出，终止于无穷远处，静电力常量为k，则P点关于薄平板对称的M点的场强大小是( )
A.eq \f(26kq,25l2) B.eq \f(10kq,9l2)
C.eq \f(4kq,3l2) D.eq \f(kq,l2)
【答案】A
【解析】P处场强恰好为零，所以正电薄平板在P处产生的场强和带电荷量为＋q的小球在P处产生的场强大小相等，方向相反，即正电薄平板在P处产生的场强E＝keq \f(q,l2)，方向水平向右．根据对称关系可知，正电薄平板在M处产生的场强大小E2＝keq \f(q,l2)，方向水平向左，而带电荷量为＋q的小球在M处产生的场强E1＝keq \f(q,5l2)，方向水平向左，所以M点的场强大小EM＝E1＋E2＝keq \f(26q,25l2)，方向水平向左，A正确．
3．填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
【典例7】(2022·福建三明市期末质量检测)如图甲所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电荷量为σ，其轴线上任意一点P(坐标为x)的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E＝2πkσeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R2＋x2))\f(1,2))))，方向沿x轴．现考虑单位面积带电荷量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图乙所示．则圆孔轴线上任意一点Q(坐标为x)的电场强度为( )
A．2πkσ0eq \f(x,r2＋x2\f(1,2)) B．2πkσ0eq \f(r,r2＋x2\f(1,2)) C．2πkσ0eq \f(x,r) D．2πkσ0eq \f(r,x)
【答案】A
【解析】当R→∞时，eq \f(x,R2＋x2\f(1,2))＝0，则无限大带电平板产生的电场的场强为E＝2πkσ0.当挖去半径为r的圆板时，应在E中减掉该圆板对应的场强Er＝2πkσ0eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(x,r2＋x2\f(1,2))))，即E′＝2πkσ0eq \f(x,r2＋x2\f(1,2))，选项A正确．
4．微元法
将带电体分成许多元电荷，每个元电荷看成点电荷，先根据库仑定律求出每个元电荷的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强．
【典例8】 (2022·北京市第二次合格性考试)一半径为R的圆环上，均匀地带有电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心O的距离OP＝L.设静电力常量为k，关于P点的场强E，下列四个表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是( )
A．eq \f(kQ,R2＋L2) B．eq \f(kQL,R2＋L2) C．eq \f(kQR,\r(R2＋L23)) D．eq \f(kQL,\r(R2＋L23))
【答案】 D
【解析】设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝eq \f(Q,n)①
由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强
EP＝keq \f(Q,nr2)＝keq \f(Q,nR2＋L2)②
由对称性可知，各小段电环在P处的场强垂直于轴向的分量Ey相互抵消，而轴向分量Ex之和即为带电环在P处的场强E，故
E＝nEx＝neq \f(kQ,nL2＋R2)cs θ＝eq \f(kQL,rL2＋R2)③
而r＝eq \r(L2＋R2)④
联立①②③④式，可得E＝eq \f(kQL,\r(R2＋L23))，D正确．
练习5、（2021年湖南省普通高中学业水平选择性考试）4. 如图，在位置放置电荷量为的正点电荷，在位置放置电荷量为的负点电荷，在距为的某点处放置正点电荷，使得点的电场强度为零。则的位置及电荷量分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】.C
【解析】本题考查电场叠加、点电荷电场强度公式，主要考查对点电荷电场强度公式和平行四边形定则的应用能力。（a，0）位置电荷量为q的正点电荷在P（a，a）处产生的电场的场强E+=k，方向沿y轴正方向，（0， a）位置电荷量为q的负点电荷在P（a，a）处产生的电场的场强E-=k，方向沿x轴负方向，合场强为E合=k，方向与y轴正方向夹角为45°，在距离P（a，a）为a的某点放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零，根据电场叠加原理， k=k，解得Q=2q，Q的位置为（0,2a），选项C正确。
练习6、（多选）（（2022年全国高考乙卷物理试题） 如图，两对等量异号点电荷、固定于正方形的4个顶点上。L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O为内切圆的圆心，M为切点。则（ ）
A. L和N两点处的电场方向相互垂直
B. M点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C. 将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做正功
D. 将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功为零
【答案】AB
【解析】A．两个正电荷在N点产生的场强方向由N指向O，N点处于两负电荷连线的中垂线上，则两负电荷在N点产生的场强方向由N指向O，则N点的合场强方向由N指向O，同理可知，两个负电荷在L处产生的场强方向由O指向L，L点处于两正电荷连线的中垂线上，两正电荷在L处产生的场强方向由O指向L，则L处的合场方向由O指向L，由于正方形两对角线垂直平分，则L和N两点处的电场方向相互垂直，故A正确；
B．正方形底边的一对等量异号电荷在M点产生的场强方向向左，而正方形上方的一对等量异号电荷在M点产生的场强方向向右，由于M点离上方一对等量异号电荷距离较远，则M点的场方向向左，故B正确；
C．由图可知，M和O点位于两等量异号电荷的等势线上，即M和O点电势相等，所以将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做功为零，故C错误；
D．由图可知，L点的电势低于N点电势，则将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功不为零，故D错误。
故选AB。
练习7、(2022·江西九江二模)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R.已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为( )
A.eq \f(kq,2R2)－E B.eq \f(kq,4R2)
C.eq \f(kq,4R2)－E D.eq \f(kq,4R2)＋E
【答案】A
【解析】左半球面AB上的正电荷产生的电场等效为带正电荷为2q的整个球面的电场和带电荷－q的右半球面的电场的合电场，则E＝eq \f(k·2q,2R2)－E′，E′为带电荷－q的右半球面在M点产生的场强大小．带电荷－q的右半球面在M点的场强大小与带电荷为＋q的左半球面AB在N点的场强大小相等，则EN＝E′＝eq \f(k·2q,2R2)－E＝eq \f(kq,2R2)－E，则A正确．
练习8、(2022湖北名师联盟月考)如图所示，电荷量为q的正点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心．若图中A点的电场强度为0，则带电薄板在图中B点产生的电场强度( )
A．大小为keq \f(q,d2)，方向水平向左 B．大小为keq \f(q,d2)，方向水平向右
C．大小为keq \f(q,9d2)，方向水平向左 D．大小为keq \f(q,9d2)，方向水平向右
【答案】C
【解析】正点电荷在A点产生的电场强度的大小为EA＝keq \f(q,3d2)＝eq \f(kq,9d2)，方向水平向左，因A点场强为零，故薄板在A点的场强方向水平向右，大小为eq \f(kq,9d2)，由于A、B两点关于薄板对称，可知薄板在B点产生的电场强度大小为EB＝eq \f(kq,9d2)，方向水平向左，选项A、B、D错误，C正确．
【巧学妙记】
1．孤立点电荷场强公式E＝eq \f(kq,r2)，由此可知点电荷电场中某点场强由场源电荷和该点到场源电荷的距离决定，与引入的试探电荷无关．
2．若空间中有几个点电荷同时存在，则每个电荷在周围空间独立的激发电场，与是否有其他电荷无关；此时空间中某点场强等于每个点电荷在该点产生场强的矢量和．
考向四 电场线与轨迹
电场线的特点
(1)电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷．
(2)电场线在电场中不相交．
(3)在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏．
(4)电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向．
(5)沿电场线方向电势逐渐降低．
(6)电场线和等势面在相交处相互垂直．
几种典型电场的电场线
如图所示是几种典型电场的电场线分布图。
【典例9】（多选）（2022年6月浙江省普通高中学业水平等级性考试）15. 如图为某一径向电场的示意图，电场强度大小可表示为， a为常量。比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则（ ）
A. 轨道半径r小的粒子角速度一定小
B. 电荷量大的粒子的动能一定大
C. 粒子的速度大小与轨道半径r一定无关
D. 当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动
【答案】BC
【解析】A．根据电场力提供向心力可得，解得
可知轨道半径r小的粒子角速度大，故A错误；
BC．根据电场力提供向心力可得，解得
又
联立可得
可知电荷量大的粒子的动能一定大，粒子的速度大小与轨道半径r一定无关，故BC正确；
D．磁场的方向可能垂直纸面向内也可能垂直纸面向外，所以粒子所受洛伦兹力方向不能确定，粒子可能做离心运动，也可能做近心运动，故D错误。
故选BC。
【典例10】(2022·攀枝花第二次统考)如图所示的实线为某静电场的电场线，虚线是仅在电场力作用下某带负电粒子的运动轨迹，A、B、C、D是电场线上的点，其中A、D两点在粒子的轨迹上，下列说法正确的是( )
A．该电场可能是正点电荷产生的
B．由图可知，同一电场的电场线在空间是可以相交的
C．将该粒子在C点由静止释放，它可能一直沿电场线运动
D．该粒子在A点的速度一定大于在D点的速度
【答案】D
【解析】正点电荷周围的电场线是从正点电荷出发，呈辐射状分布的，A错误；同一电场的电场线在空间不能相交，否则同一点具有两个电场强度方向，B错误；电场中的带电粒子受力的方向沿电场线的切线方向，由于C点所在电场线为曲线，所以将该粒子在C点由静止释放，它一定不能沿电场线运动，C错误；由于做曲线运动的物体受力的方向指向曲线的内侧，该粒子带负电，可知场强方向应是从B到C，A点的电势高于D点的电势，故从A到D电场力对粒子做负功，粒子的动能减少，则粒子在A点的速度较大，D正确。
练习8、（多选）(2022·济南二模)如图所示，A、B两点有等量同种正点电荷，A、B连线的中垂线上的C、D两点关于AB对称，t＝0时刻，一带正电的点电荷从C点以初速度v0沿CD方向射入，点电荷只受静电力。则点电荷由C到D运动的v­t图像，以下可能正确的是( )
【答案】BD
【解析】由于A、B两点处有等量同种正点电荷，所以在AB中垂线上，A、B连线中点的场强为零，无穷远处场强也为零，其间有一点电场强度最大，所以该点电荷从C点向A、B连线中点运动的过程中，加速度可能一直减小，也可能先增大后减小，再根据对称性可知，A、C错误，B、D正确。
练习9、(多选)(2022·四川资阳等六市一诊)如图所示，图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，若带电粒子在运动过程中只受电场力作用，根据此图可做出的正确判断是( )
A.带电粒子所带电荷的正、负 B.带电粒子在a、b两点的受力方向
C.带电粒子在a、b两点的加速度何处较大
D.带电粒子在a、b两点的速度何处较大
【答案】BCD
【解析】由轨迹的弯曲情况，可知电场力应沿电场线向左，但因不知电场线的方向，故带电粒子所带电荷的符号不能确定．由电场线的疏密程度知a点场强大于b点场强，带电粒子在a点所受电场力较大，从而在a点时加速度较大，综上所述B、C、D正确．
【巧学妙记】
分析电场中运动轨迹问题的方法
1．“运动与力两线法”——画出运动轨迹在初始位置的切线(“速度线”)与在初始位置电场线的切线(“力线”)方向，从二者的夹角情况来分析曲线运动的情况。
2．“三不知时要假设”——电荷的正负、场强的方向(或等势面电势的高低)、电荷运动的方向，是题意中相互制约的三个方面。若已知其中的任一个，可顺次分析判定各待求量；若三个都不知，则要用“假设法”分别讨论各种情况。
1. (2022浙江考前冲刺)利用如图所示的装置研究点电荷之间的相互作用力，当A带电荷量为＋Q、质量为M，B带电荷量为＋q、质量为m时，绝缘轻绳摆开的角度为θ，且两点电荷相距L，连线水平，已知静电力常量为k，则( )
A．tan θ＝eq \f(kQq,mgL2)
B．若仅将B的质量增大，则轻绳摆开的角度增大
C．若仅将A的质量增大，则轻绳摆开的角度增大
D．若仅将A向左移动，则轻绳摆开的角度增大
【答案】A
【解析】以B为研究对象进行受力分析，如图所示．根据平衡条件得F＝keq \f(Qq,L2)＝mgtan θ，解得tan θ＝eq \f(kQq,mgL2)，选项A正确；若仅将B的质量增大，由tan θ＝eq \f(kQq,mgL2)可知，tan θ减小，则轻绳摆开的角度减小，角度与A的质量无关，选项B、C错误；若仅将A向左移动，即L增大，由tan θ＝eq \f(kQq,mgL2)可知，tan θ减小，则轻绳摆开的角度减小，选项D错误．
2．(2022·安徽安庆一中三模)根据科学研究表明，地球是一个巨大的带电体，而且表面带有大量的负电荷．如果在距离地球表面高度为地球半径一半的位置由静止释放一个带负电的尘埃，恰好能悬浮在空中，若将其放在距离地球表面高度与地球半径相等的位置时，则此带电尘埃将 ( )
A．向地球表面下落 B．远离地球向太空运动
C．仍处于悬浮状态 D．无法判断
【答案】C
【解析】设带电尘埃的质量为m，电荷量为q，地球的质量为M，地球所带负电荷总量为Q，地球半径为R，当尘埃放在距离地球表面高度为地球半径一半时，恰好悬浮，由库仑定律和万有引力定律可得：eq \f(kQq,1.5R2)＝Geq \f(Mm,1.5R2)，得kQq＝GMm①；当尘埃放在距离地球表面高度与地球半径相等时，受到的万有引力F＝eq \f(GMm,2R2)，受到的库仑力F′＝eq \f(kQq,2R2)，则eq \f(F,F′)＝eq \f(GMm,kQq)②；联立①②式可得：eq \f(F,F′)＝1，选项C正确．
3. (2022·北京海淀区期末)关于电场强度，下列说法中正确的是( )
A．若在电场中的某点不放试探电荷，则该点的电场强度为0
B．真空中点电荷的电场强度公式E＝keq \f(Q,r2)表明，点电荷周围某点电场强度的大小，与该点到场源电荷距离r的二次方成反比，在r减半的位置上，电场强度变为原来的4倍
C．电场强度公式E＝eq \f(F,q)表明，电场强度的大小与试探电荷的电荷量q成反比，若q减半，则该处的电场强度变为原来的2倍
D．匀强电场中电场强度处处相同，所以任何电荷在其中受力都相同
【答案】B
【解析】电场强度由电场本身决定，与放不放试探电荷无关，故A错误；公式E＝keq \f(Q,r2)是真空中点电荷电场强度的决定式，则点电荷周围某点电场强度的大小，与该点到场源电荷距离r的二次方成反比，在r减半的位置上，电场强度变为原来的4倍，故B正确；公式E＝eq \f(F,q)是电场强度的定义式，电场强度由电场本身决定，电场中某点的电场强度的大小与试探电荷所带的电荷量大小无关，故C错误；电荷在电场中所受电场力F＝qE，电荷在电场中所受电场力与q、E有关，匀强电场中的电场强度处处相同，电荷的电荷量q不同，电荷在其中受力不同，故D错误。
4. (2022·河北迁西县第一中学高三月考)将两个质量均为m的小球a、b用绝缘细线相连，竖直悬挂于O点，其中球a带正电、电荷量为q，球b不带电，现加一电场强度方向平行纸面的匀强电场(没画出)，使整个装置处于平衡状态，且绷紧的绝缘细线Oa与竖直方向的夹角为θ＝30°，如图所示，则所加匀强电场的电场强度大小可能为( )
A．eq \f(mg,4q) B．eq \f(mg,q) C．eq \f(mg,2q) D．eq \f(\r(3)mg,4q)
【答案】 B
【解析】 取小球a、b整体作为研究对象，则受重力2mg、悬线拉力FT和电场力F作用处于平衡，此三力满足如图所示的三角形关系，由图知F的最小值为2mgsin 30°＝mg，由F＝qE知A、C、D错，B对．
5、(2022·安徽安庆一中三模)如图所示，在点电荷－q的电场中，放着一块带有一定电荷量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心．点电荷－q与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d.已知图中a点的电场强度为零，则带电薄板在图中b点产生的电场强度的大小和方向分别为( )
A．eq \f(kq,d2)，水平向右 B．eq \f(kq,d2)，水平向左
C．eq \f(kq,d2)＋eq \f(kq,9d2)，水平向右 D．eq \f(kq,9d2)，水平向右
【答案】 A
【解析】薄板在a点的场强与点电荷－q在a点的场强等大反向，故大小为Ea＝E点＝eq \f(kq,d2)，水平向左，由对称性可知，薄板在b点的场强大小Eb＝Ea＝eq \f(kq,d2)，方向水平向右．
6、(多选)(2022·四川雅安市上学期一诊)如图所示，带电质点P1固定在光滑的水平绝缘面上，在水平绝缘面上距P1一定距离处有另一个带电质点P2，P2在水平绝缘面上运动，某一时刻质点P2以速度v沿垂直于P1P2的连线方向运动，则下列说法正确的是( )
A．若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做速度变大的曲线运动
B．若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做加速度变大的曲线运动
C．若P1、P2带异种电荷，以后P2的速度和加速度可能都不变
D．若P1、P2带异种电荷，以后P2可能做加速度、速度都变小的曲线运动
【答案】AD
【解析】若P1、P2带同种电荷，P1、P2之间的库仑力为排斥力，并且力的方向和速度的方向不在一条直线上，所以质点P2一定做曲线运动，由于两者之间的距离越来越大，它们之间的库仑力也就越来越小，所以P2的加速度减小，速度增大，故A正确，B错误；若P1、P2为异种电荷，P1、P2之间的库仑力为吸引力，当P1、P2之间的库仑力恰好等于P2做圆周运动所需的向心力时，P2就绕着P1做匀速圆周运动，此时P2速度的大小和加速度的大小都不变，但是方向改变，故C错误；若P1、P2为异种电荷，P1、P2之间的库仑力为吸引力，若速度较大，吸引力小于P2做圆周运动所需的向心力，P2做离心运动，吸引力减小，则加速度减小，引力做负功，速度减小，P2做加速度、速度都变小的曲线运动，故D正确．
7．(2022·江西高三月考)如图所示，在光滑绝缘水平面上有三个孤立的点电荷A、B、C，带电荷量分别为Q1、Q2、Q，C恰好静止不动，A、B围绕C做匀速圆周运动，在运动过程中三个点电荷始终共线．已知A、B分别与C相距r1、r2，不计点电荷间的万有引力，下列说法正确的是( )
A．A、B的电荷量之比为r1∶r2
B．A、B的电荷量之比为r2∶r1
C．A、B的质量之比为r2∶r1
D．A、B的质量之比为r1∶r2
【答案】C
【解析】点电荷C恰好静止不动，根据库仑定律，则有eq \f(kQQ1,req \\al(2,1))＝eq \f(kQQ2,req \\al(2,2))，所以A、B的电荷量之比eq \f(Q1,Q2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r1,r2)))eq \s\up12(2)，故A、B错误；对A、B，FAC－FAB＝mAω2r1，FBC－FAB＝mBω2r2，FAC＝FBC，则mAω2r1＝mBω2r2，得eq \f(mA,mB)＝eq \f(r2,r1)，故C正确，D错误．
8、(2022河南郑州模拟)如图所示，真空中三个质量相等的小球A、B、C，带电量分别为QA＝6q，QB＝3q，QC＝8q.现用恰当大小的恒力F拉C，可使A、B、C沿光滑绝缘水平面做匀加速直线运动，运动过程中A、B、C保持相对静止，且A、B间距离与B、C间距离相等．不计电荷运动产生磁场的影响，小球可视为点电荷，则此过程中B、C之间的作用力大小为( )
A.eq \f(4,3)F B．F C.eq \f(2,3)F D.eq \f(1,3)F
【答案】A
【解析】对三个球的整体：F＝3ma；对A、B的整体：F1＝2ma，解得F1＝eq \f(2,3)F；即A、B对C的库仑力的合力为eq \f(2,3)F；因：eq \f(FBC,FAC)＝keq \f(3q·8q,L2)∶keq \f(6q·8q,4L2)＝eq \f(2,1)，分析库仑力的方向后可知FBC－FAC＝eq \f(2,3)F，解得FBC＝eq \f(4,3)F，故选A.
9．(2022·东北三省四市教研联合体模拟)如图所示，a和b是点电荷电场中的两点，a点电场强度Ea与ab连线夹角为60°，b点电场强度Eb与ab连线夹角为30°，则关于此电场，下列分析中正确的是( )
A．这是一个正点电荷产生的电场，Ea∶Eb＝1∶eq \r(3)
B．这是一个正点电荷产生的电场，Ea∶Eb＝3∶1
C．这是一个负点电荷产生的电场，Ea∶Eb＝eq \r(3)∶1
D．这是一个负点电荷产生的电场，Ea∶Eb＝3∶1
【答案】D
【解析】设点电荷的电荷量为Q，将Ea、Eb延长相交，交点即为点电荷Q的位置，如图所示，从图中可知电场方向指向场源电荷，故这是一个负点电荷产生的电场，A、B错误；设a、b两点到Q的距离分别为ra和rb，由几何知识得到ra∶rb＝1∶eq \r(3)，由公式E＝keq \f(Q,r2)可得Ea∶Eb＝3∶1，故C错误，D正确．
10．(多选)(2022·河北张家口市5月模拟)如图所示，带电粒子只在电场力作用下由A点运动到B点．图中实线为电场线，虚线为粒子运动轨迹，由图可知( )
A．粒子带负电
B．粒子电性不确定
C．带电粒子在A点时的加速度小于在B点时的加速度大小
D．带电粒子在A点时的速度小于在B点时的速度大小
【答案】CD
【解析】由题知，实线为电场线，虚线为粒子运动轨迹，则该粒子做曲线运动，其合外力应指向轨迹的凹侧，则说明该粒子带正电，A、B错误；由于带电粒子只在电场力作用下由A点运动到B点，则粒子的合外力为电场力，而电场强度的疏密程度代表场强的大小，由图可看出A点到B点电场线越来越密集，则带电粒子在A点时的加速度小于在B点时的加速度大小，C正确；已知正电荷电场力的方向是电场线的切线方向、速度的方向为轨迹的切线方向，由图可看出粒子从A点到B点受到电场力的方向与速度的方向一直小于90°，则电场力做正功，粒子的速度增大，D正确．故选CD.
11(2022四川乐山模拟)如图所示，真空中a、b、c、d四点共线且等距，a、b、c、d连线水平．先在a点固定一点电荷＋Q，测得b点场强大小为E.若再将另一点电荷＋2Q放在d点，则( )
A．b点场强大小为eq \f(E,2)，方向水平向右
B．b点场强大小为eq \f(3,2)E，方向水平向左
C．c点场强大小为eq \f(9,4)E，方向水平向右
D．c点场强大小为eq \f(9,4)E，方向水平向左
【答案】A
【解析】设ab＝bc＝cd＝L，点电荷＋Q在b点产生电场的场强大小为E，方向水平向右；由点电荷的场强公式得Eb1＝keq \f(Q,L2)，点电荷＋2Q在b点产生电场的场强大小为Eb2＝keq \f(2Q,2L2)＝keq \f(Q,2L2)＝eq \f(1,2)E，方向水平向左，所以b点的场强大小为Eb＝E－eq \f(1,2)E＝eq \f(1,2)E，方向水平向右，故A正确，B错误；点电荷＋Q在c点产生电场的场强大小为Ec1＝keq \f(Q,2L2)＝eq \f(1,4)E，方向水平向右，点电荷＋2Q在c点产生电场的场强大小为Ec2＝keq \f(2Q,L2)＝2E，方向水平向左，所以c点的场强大小为Ec＝2E－eq \f(1,4)E＝eq \f(7,4)E，方向水平向左，故C、D错误．
12.(2022常州高三检测)(多选)如图所示，实线为正电荷与接地的很大的平板带电体电场的电场线，虚线为一以点电荷为中心的圆，a、b、c是圆与电场线的交点，下列说法正确的是( )
A．虚线为该电场的一条等势线
B．a点的电场强度大于b点的电场强度
C．a点的电势高于b点的电势
D．检验电荷－q在b点的电势能比c点的大
【答案】CD
【解析】虚线上各点的电场线与虚线不都是垂直的，则虚线不是该电场的等势线，A错误；因b点的电场线比a点密集，则a点的电场强度小于b点的电场强度，B错误；正电荷到a点的平均场强比正电荷到b点的平均场强小，则正电荷与a点间电势差小于正电荷与b点间电势差，可知a点的电势高于b点的电势，C正确；同理可知正电荷与c点间电势差小于正电荷与b点间电势差，b点的电势低于c点，则检验电荷－q在b点的电势能比c点的大，D正确．
1.(2022·湖北省开学摸底)在如图所示的四种电场中，分别标记有a、b两点。其中a、b两点电场强度大小相等、方向相反的是( )
A．甲图中与点电荷等距的a、b两点
B．乙图中两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
C．丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
D．丁图中非匀强电场中的a、b两点
【答案】C
【解析】甲图中与点电荷等距的a、b两点，电场强度大小相同，方向不相反，故A错误；对乙图，根据电场线的疏密及对称性可判断，a、b两点的电场强度大小相等、方向相同，故B错误；丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点，电场强度大小相同，方向相反，故C正确；对丁图，根据电场线的疏密可判断，b点的电场强度大于a点的电场强度，故D错误。
2. (2022·湖南省株洲市高三教学质量统一检测)如图所示，两个电荷量为q的点电荷分别位于带电的半径相同的eq \f(1,4)球壳和eq \f(3,4)球壳的球心，这两个球壳上电荷均匀分布且电荷面密度相同，若甲图中带电eq \f(1,4)球壳对点电荷q的库仑力的大小为F，则乙图中带电的eq \f(3,4)球壳对点电荷q的库仑力的大小为( )
A.eq \f(3,2)F B．eq \f(\r(2),2)F
C．eq \f(1,2)F D．F
【答案】 D
【解析】将图乙中的均匀带电eq \f(3,4)球壳分成三个eq \f(1,4)带电球壳，关于球心对称的两个eq \f(1,4)带电球壳对点电荷的库仑力的合力为零，因此乙图中带电的eq \f(3,4)球壳对点电荷的库仑力的大小和甲图中均匀带电eq \f(1,4)球壳对点电荷的库仑力的大小相等，D正确。
3、(2022·深圳中学月考)如图所示，在x轴上关于原点O对称的两点A、B分别固定放置点电荷＋Q1和－Q2，x轴上的P点位于B点的右侧，且P点电场强度为零，则下列判断正确的是( )
A．x轴上P点右侧电场强度方向沿x轴正方向
B．Q1C．在A、B连线上还有一点与P点电场强度相同
D．与P点关于O点对称的M点电场强度可能为零
【答案】 A
【解析】根据题述可知P点的电场强度为零，根据点电荷电场强度公式和场强叠加原理可知，＋Q1的电荷量一定大于－Q2的电荷量，A、B连线上各点电场强度都不为零，故B、C错误；由于＋Q1的电荷量大于－Q2的电荷量，可知P点右侧电场方向沿x轴正方向，故A正确；由于Q1>Q2，M点和P点关于O点对称，P点电场强度为零，由点电荷电场强度公式和场强叠加原理可知，M点电场强度一定不为零，D错误。
4、(2022·辽宁省重点高中高三上9月月考)(多选)甲、乙两固定的点电荷产生的电场的电场线如图所示。下列说法正确的是( )
A．甲、乙带同种电荷
B．甲、乙带异种电荷
C．若将甲、乙接触后放回原处，则甲、乙间的静电力变大
D．若将甲、乙接触后放回原处，则甲、乙间的静电力变小
【答案】AC
【解析】类比两等量异种电荷、两等量同种电荷电场线分布可知，甲、乙应带同种电荷，且乙的电荷量较大，A正确，B错误；设甲、乙带电量分别为q1、q2，原来两电荷间的静电力为F＝keq \f(q1q2,r2)，接触后放回原处，总电荷量平分，两电荷间的静电力变为F′＝keq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(q1＋q2,2)))2,r2)，由数学知识可知eq \f(q1＋q2,2)＞eq \r(q1q2)，则F′＞F，即甲、乙间的静电力变大，C正确，D错误。
5、(2022·安徽省高三月考)如图所示，在光滑绝缘的水平面上，三个相同的不带电小球由三根相同的绝缘轻弹簧连接构成等边三角形，轻弹簧均处于原长．现让每个小球带上相同的电荷量q，当三角形的面积增大到原来的4倍时重新达到平衡状态．已知每根弹簧的原长为l0，静电力常量为k，则每根弹簧的劲度系数为( )
A.eq \f(kq2,4l03) B.eq \f(kq2,2l03) C.eq \f(kq2,4l02) D.eq \f(kq2,l03)
【答案】A
【解析】三角形的面积为S＝eq \f(1,2)l2sin 60°，则当面积增大到原来的4倍时，边长变为原来的2倍，即当每个小球带上相同的电荷量时，弹簧伸长了l0，则对其中一个小球受力分析可知2Kl0cs 30°＝2keq \f(q2,2l02)cs 30°，解得K＝eq \f(kq2,4l03)，故选A.
6.(2022·四川省乐山市高三上第一次调研)在边长为a的正方形的每一顶点都放置一个电荷量大小为q的点电荷，点电荷的正负如图所示．静电力常量为k.如果保持它们的位置不变，则A电荷受到其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
A.eq \f(2kq2,a2) B．(eq \r(2)－eq \f(1,2))eq \f(kq2,a2) C．(eq \f(1,2)＋eq \r(2))eq \f(kq2,a2) D.eq \f(3kq2,2a2)
【答案】D
【解析】电荷D对电荷A的静电力大小为F1＝keq \f(q2,\r(2)a2)，B电荷和C电荷对电荷A的静电力大小均为F2＝F3＝keq \f(q2,a2)，根据力的合成法则，A电荷所受的静电力大小为F＝eq \r(F12＋\r(2)F22)＝eq \r([\f(kq2,\r(2)a2)]2＋[\f(\r(2)kq2,a2)]2)＝eq \f(3kq2,2a2)，故选D.
7.(2022·福建漳州市第一次教学质检)如图所示，倾角为θ的光滑绝缘斜面固定在水平面上．为了使质量为m、带电荷量为＋q的小球静止在斜面上，可加一平行纸面的匀强电场(未画出)，重力加速度为g，则( )
A．电场强度的最小值为E＝eq \f(mgtan θ,q)
B．若电场强度E＝eq \f(mg,q)，则电场强度方向一定竖直向上
C．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度逐渐增大
D．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度先减小后增大
【答案】C
【解析】对小球受力分析，如图所示，静电力与支持力垂直时，所加的电场强度最小，此时场强方向沿斜面向上，mgsin θ＝qEmin，解得电场强度的最小值为Emin＝eq \f(mgsin θ,q)，选项A错误；若电场强度E＝eq \f(mg,q)，则静电力与重力大小相等，由图可知，静电力方向可能竖直向上，也可能斜向左下，选项B错误；由图可知，若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则静电力逐渐变大，电场强度逐渐增大，选项C正确，D错误．
8、(2022·安徽皖南八校4月联考)如图2所示，A、B、C三个带电小球间的距离相等，其中C球置于绝缘竖直杆上，A、B置于光滑、绝缘的水平地面上，三球都保持静止，下列说法正确的是( )
A.A、B两球电性可能相反 B.B、C两球电性可能相同
C.A、B两球所带电荷量不一定相等 D.C球所带电荷量一定是A球所带电荷量的2倍
【答案】D
【解析】对C球受力分析，A、B两球对C球的库仑力的合力一定在竖直方向上，根据库仑定律和平行四边形定则可知A、B两球带电性质相同，且两球所带电荷量一定相等；对B球受力分析，A球对B球的库仑力方向水平向右，根据平衡条件可知C球对B球的库仑力方向一定是B球指向C球，所以B、C两球电性一定相反；设A、B两球间距为L，根据平衡条件则有eq \f(kqAqB,L2)＝eq \f(kqCqB,L2)cs 60°，解得qC＝2qA，故A、B、C错误，D正确。
9、(2022·宁夏吴忠一轮联考)如图所示，E、F、G、H为矩形ABCD各边的中点，O为EG、HF的交点，AB边的长度为d。E、G两点各固定一等量正点电荷，另一电荷量为Q的负点电荷置于H点时，F点处的电场强度恰好为零。若将H点的负电荷移到O点，则F点处场强的大小和方向为(静电力常量为k)( )
A.eq \f(4kQ,d2)，方向向右 B.eq \f(4kQ,d2)，方向向左
C.eq \f(3kQ,d2)，方向向右 D.eq \f(3kQ,d2)，方向向左
【答案】D
【解析】当负点电荷在H点时，F点处电场强度恰好为零，根据公式E＝keq \f(Q,r2)可得负点电荷在F点产生的电场强度大小为E＝keq \f(Q,d2)，方向水平向左，故两个正点电荷在F点的合场强大小为E＝keq \f(Q,d2)，方向水平向右；负点电荷移到O点，在F点产生的电场强度大小为E1＝keq \f(4Q,d2)，方向水平向左，所以F点的合场强为keq \f(4Q,d2)－keq \f(Q,d2)＝keq \f(3Q,d2)，方向水平向左，故D正确，A、B、C错误。
10、(多选)(2022·福建三明市期末质量检测)如图所示，已知带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB，A球固定，B球用长为L的绝缘丝线悬挂在O点，静止时A、B相距为d。若A球电荷量保持不变，B球缓慢漏电，不计两小球半径，则下列说法正确的是( )
A.丝线对B球的拉力逐渐变大
B.A球对B球的库仑力逐渐变小
C.当AB间距离减为eq \f(d,3)时，B球的电荷量减小为原来的eq \f(1,9)
D.当AB间距离减为eq \f(d,3)时，B球的电荷量减小为原来的eq \f(1,27)
【答案】BD
【解析】对B受力分析，由B受力平衡可得：eq \f(G,OA)＝eq \f(FT,OB)＝eq \f(F,d)，B球缓慢漏电，可知F减小，则d逐渐减小，FT不变，A错误，B正确；当AB间距离减为eq \f(d,3)时，则库仑力减小到原来的eq \f(1,3)，根据F＝keq \f(QAQB,d2)可知B球的电荷量减小为原来的eq \f(1,27)，C错误，D正确。
11、(2022·四川德阳市三诊)用两段轻质细线将a、b两个小球(可视为质点)连接并悬挂于O点，如图甲所示，球a受到水平向右的力7F的作用，球b受到水平向左的力F的作用，系统平衡时两段轻质细线相互垂直，细线都被拉紧，两球的位置情况如图乙所示。已知细线ab段的长度是细线Oa段长度的 eq \r(3) 倍，则a、b两球质量之比为( )

A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．2∶3
【答案】A
【解析】对小球b受力分析如图甲所示，由几何关系可知θ＝30°，对b球由平衡条件可得tan 30°＝eq \f(F,mbg)，对a、b整体受力分析如图乙所示，由平衡条件可得tan 30°＝eq \f(mag＋mbg,6F)，联立解得ma＝mb，则a、b两球质量之比为1∶1。

12、(多选)(2022·佛山南海区摸底)如图abcd是菱形，bd连线在竖直方向，∠dab＝60°，在a、b两点均放置＋Q的点电荷，c点放置－Q的点电荷，此时d点的电场强度大小为E，以下说法正确的是( )
A．d点场强方向竖直向上
B．若将c点的电荷换成＋Q的点电荷，d点的场强大小不变
C．若将c点的电荷移至d点，c点的场强大小为eq \f(\r(10),6)E
D．将一负电荷从d点沿db移动至接近b点的过程中，其电势能先减小后增加
【答案】BC
【解析】a、b、c三点处点电荷在d点的场强方向及合场强方向如图所示。设菱形边长为L，则ac＝eq \r(3)L，a、c两点处的点电荷在d点产生的合场强为E1＝eq \r(3)eq \f(kQ,L2)，方向水平向右，b处点电荷在d点产生的电场强度Eb＝eq \f(kQ,L2)，方向竖直向上，d点的电场强度E＝eq \r(Eeq \\al(2,1)＋Eeq \\al(2,b))＝eq \f(2kQ,L2)，方向与竖直方向成60°斜向右上方，故A错误；若将c点的电荷换成＋Q后，a、c两点处的点电荷在d点产生的合场强为E2＝eq \f(kQ,L2)，方向竖直向上，d点的电场强度E′＝Eb＋E2＝eq \f(2kQ,L2)，方向竖直向上，故B正确；若将c点的电荷移至d点，b、d两点处的电荷在c点产生的合场强E3＝eq \f(kQ,L2)，方向竖直向上，a处电荷在c点的电场强度Ea′＝eq \f(kQ,3L2)，方向水平向右，c点的电场强度Ec＝eq \r(Eeq \\al(2,3)＋Ea′2)＝eq \f(\r(10)kQ,3L2)＝eq \f(\r(10),6)E，故C正确；直线bd为a、c处两点电荷形成的电场的等势线，故沿db移动电荷时，a、c处两点电荷对移动电荷不做功，仅b处电荷对移动电荷做功，故将一负电荷从d点沿db移动至接近b点的过程中，电场力一直做正功，电势能一直减少，故D错误。
13.(2022·福建漳州市第一次教学质检)如图所示，质量为m的小球A穿在光滑绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电(可视为点电荷)，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正点电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求：
(1)A球刚释放时的加速度是多大；
(2)当A球的动能最大时，A球与B点间的距离。
【答案】(1)gsin α－eq \f(kQqsin2α,mH2) (2)eq \r(\f(kQq,mgsin α))
【解析】(1)小球A刚释放时，由牛顿第二定律有
mgsin α－F＝ma
根据库仑定律有F＝keq \f(qQ,r2)，又r＝eq \f(H,sin α)
联立解得a＝gsin α－eq \f(kQqsin2α,mH2)。
(2)当A球受到的合力为零，即加速度为零时，动能最大。
设此时A球与B点间的距离为d。
则mgsin α＝eq \f(kQq,d2)，解得d＝eq \r(\f(kQq,mgsin α))。
1.（多选）（（2022年全国高考乙卷物理试题）一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（ ）
A. 粒子3入射时的动能比它出射时的大
B. 粒子4入射时的动能比它出射时的大
C. 粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能
D. 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能
【答案】BD
【解析】C．在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，可设为
带正电的同种粒子1、2在均匀辐向电场中做匀速圆周运动，则有，
可得
即粒子1入射时的动能等于粒子2入射时的动能，故C错误；
A．粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做向心运动，电场力做正功，则动能增大，粒子3入射时的动能比它出射时的小，故A错误；
B．粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做离心运动，电场力做负功，则动能减小，粒子4入射时的动能比它出射时的大，故B正确；
D．粒子3做向心运动，有可得
粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能，故D正确；
故选BD。
2．(2020·浙江卷1月)如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接．A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0＞0，qB＝－q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列．已知静电力常量为k，重力加速度为g，则( )
A．qC＝eq \f(4,7)q0
B．弹簧伸长量为eq \f(Mgsin α,k0)
C．A球受到的库仑力大小为2Mg
D．相邻两小球间距为q0eq \r(\f(3k,7Mg))
【答案】A
【解析】三小球间距r均相等，对C球受力分析可知C球带正电，根据平衡条件：Mgsin α＋keq \f(q0qC,（2r）2)＝keq \f(q0qC,r2)，对B小球受力分析，根据平衡条件：Mgsin α＋keq \f(q0qC,r2)＝keq \f(qeq \\al(2,0),r2)，两式联立解得：qC＝eq \f(4,7)q0，r＝q0eq \r(\f(3k,7Mgsin α))，故A正确，D错误；对A、B、C三小球整体受力分析，根据平衡条件：3Mgsin α＝k0x，弹簧伸长量：x＝eq \f(3Mgsin α,k0)，故B错误；对A球受力分析，根据平衡条件：Mgsin α＋F库＝kx，解得A球受到的库仑力为：F库＝2Mg·sin α，C错误；故选A.
3．(2020·上海卷)以下图中p表示质子，e表示电子，距离D>d.其中O点电场强度最大的排布方式为( )
【答案】C
【解析】由点电荷的电场强度公式keq \f(Q,r2)和电子电荷量和质子电荷量大小相等设为Q，则有：A选项中两质子在O点产生的场强方向相反，即EAO＝keq \f(Q,d2)－keq \f(Q,D2)，B选项中两质子在O点产生的电场强度方向相同，即EBO＝keq \f(Q,（d＋D）2)＋keq \f(Q,D2)，C选项中质子和电子在O点产生的电场强度方向相同，即ECO＝keq \f(Q,d2)＋keq \f(Q,D2)，D选项中两质子在O点产生的电场强度相反，即EBO＝keq \f(Q,D2)－keq \f(Q,（d＋D）2)，很明显C选项图中O点电场强度最大，故选C.
4．(2018·全国卷Ⅰ)如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm，小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )

A．a、b的电荷同号，k＝eq \f(16,9)
B．a、b的电荷异号，k＝eq \f(16,9)
C．a、b的电荷同号，k＝eq \f(64,27)
D．a、b的电荷异号，k＝eq \f(64,27)
【答案】D
【解析】如果a、b带同种电荷，则a、b两小球对c的作用力均为斥力或引力，此时c在垂直于a、b连线的方向上的合力一定不为零，因此a、b不可能带同种电荷，A、C错误；a、b带异种电荷，假设a对c的作用力为斥力，则b对c的作用力一定为引力，受力分析如图所示，由题意知c所受库仑力的合力方向平行于a、b的连线，则Fa、Fb在垂直于a、b连线的方向上的合力为零，由几何关系可知eq \f(Fa,Fb)＝eq \f(1,tan α)＝eq \f(4,3)，又由库仑定律得eq \f(Fa,Fb)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(qa,qb)))·eq \f(req \\al(2,bc),req \\al(2,ac))，联立解得k＝|eq \f(qa,qb)|＝eq \f(64,27)，若a对c的作用力为引力，b对c的作用力为斥力，求得结论与上同，所以B错误，D正确．
5、(2021湖北卷)如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右．两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O.两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q(q＞0)．平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ＝45°.若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡．已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是( )
A．M带正电荷 B．N带正电荷
C．q＝Leq \r(\f(mg,k)) D．q＝3Leq \r(\f(mg,k))
【答案】BC
【解析】两小球带等量异号电荷，根据“异种电荷互相吸引”可知两个小球相互吸引，所以匀强电场对M的电场力方向向左，故M带负电；匀强电场对N的电场力方向向右，故N带正电，故A错误，B正确；设匀强电场的电场强度为E，根据几何关系可得两个小球之间的距离为：r＝eq \r(2)L；当两个小球带电荷量大小均为q时，对M受力分析如图所示，根据平衡条件可得：
(qE－F库)＝mgtan θ，其中F库＝eq \f(kq2,r2)
仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡，对M根据平衡条件可得：
(2qE－F′库)＝mgtan θ，其中F′库＝eq \f(4kq2,r2)
联立解得：q＝Leq \r(\f(mg,k))，故C正确、D错误．
6、(2019·全国卷Ⅰ)如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
【答案】D
【解析】细绳竖直，把P、Q看作整体，在水平方向所受合力为零，对外不显电性，带异种电荷，A、B错误；P、Q带不同性质的电荷，有两种情况：P带正电，Q带负电，或P带负电，Q带正电，两种情况的受力分别如图所示，由图知，P带负电，Q带正电时符合题意，C错误，D正确。

新课程标准
1.通过实验，了解静电现象。能用原子结构模型和电荷守恒的知识分析静电现象。
2．知道点电荷模型。知道两个点电荷间相互作用的规律。体会探究库仑定律过程中的科学思想和方法。
3．知道电场是一种物质。了解电场强度，体会用物理量之比定义新物理量的方法。会用电场线描述电场。
命题特点
考查的内容主要体现对物理观念的认识、运动与相互作用的观念等物理学科的核心素养。命题点主要集中在点电荷周围的电场、匀强电场的特点以及带电粒子在电场中运动的特点。
试题
情境
生活实践类
人体带电头发散开，静电吸附
学习探究类
观察静电感应现象，探究电荷间的作用力的影响因素，库仑扭秤实验，模拟电场线，