2021届山西省太原市第五中学高三上学期9月阶段性考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2021届山西省太原市第五中学高三上学期9月阶段性考试数学（文）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021届山西省太原市第五中学高三上学期9月阶段性考试数学（文）试题


一、单选题
1．已知，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用诱导公式和二倍角公式化简，然后代值求解即可
【详解】
解：因为，
所以，
故选：A.
【点睛】
此题考查诱导公式和二倍角公式的应用，属于基础题
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先利用诱导公式化简，再利用，将要求式除以，
然后分子分母同时除以即可求解.
【详解】
由题意，，
则
．
故选B．
【点睛】
本题考查诱导公式和同角关系式，属于基础题.
3．已知函数，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】由题意可得，函数f(x)=，设平移量为，得到函数，又g(x)为奇函数，所以即，所以选C
【点睛】
三角函数图像变形：
路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移||个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A (横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinωx的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
4．如图在中，，P为CD上一点，且满足，则实数m的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据平面向量共线基本定理,可设,结合向量的加法与减法运算,化简后由,即可求得参数的值.
【详解】
因为为上一点,设
因为
所以
则由向量的加法与减法运算可得





因为
所以,解得
故选：B
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理的应用,平面向量基本定理的应用,向量的加法与减法的线性运算,属于中档题.
5．已知非零向量、满足且 则、的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设向量、的夹角为，将转化为，利用平面向量数量积的定义和运算律求出的值，可得出、的夹角.
【详解】
由于，且，则，
即，得.
，，因此，、的夹角为，故选D.
【点睛】
本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，解题的关键在于将向量垂直转化为平面向量的数量积为零，考查化归与转化数学思想，属于中等题.
6．设等差数列的前项和为，若成等差数列，且，则的值为（ ）
A．28 B．36 C．42 D．46
【答案】B
【解析】先根据等差数列的性质和前项和公式求出首项和公差的关系，再根据求出首项和公差，最后利用等差数列的前项和公式即可求出结果.
【详解】
成等差数列，
，
设的公差为，则，
解得，
，，
，，
.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质以及前项和公式，考查学生的运算求解能力，求解本题的关键是熟练掌握等差数列的有关公式，并灵活运用，属于基础题.
7．已知函数.则关于该函数性质的说法中，正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．将其图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称
C．对称中心为 D．上单调递减
【答案】B
【解析】首先利用三角恒等变换化简解析式，然后分析的周期性、对称性、单调性，结合三角函数图象变换的知识，选出正确选项.
【详解】
依题意，.
所以：的最小正周期为， A选项错误.
将图象向右平移个单位得到为偶函数，图象关于轴对称，B选项正确.
由，得，所以对称中心为，C选项错误.
由于，即，所以在上单调递减不成立，D选项错误.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象与性质，属于中档题.
8．若，且，那么是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】【详解】
解析：由题设可得
由题设可得，
即该三角形是等边三角形，应选答案B．
9．已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知为锐角，，即，故仍为锐角，再根据两角和的正弦公式计算即可．
【详解】
由已知为锐角，，
所以，
即，故仍为锐角，
因此，
所以．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查由三角函数值求函数值，考查两角和的正弦公式，辅助角公式等，属于基础题．
10．将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．
【详解】
函数的图象先向右平移个单位长度，
可得的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，
得到函数的图象，
∴周期，
若函数在上没有零点，
∴ ，
∴ ，
，解得，
又，解得，
当k=0时，解，
当k=-1时，，可得，
.
故答案为：A.
【点睛】
本题考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.


二、填空题
11．已知向量，若，则在上的投影是_________．
【答案】
【解析】首先由，得到，然后代入投影公式计算即可．
【详解】
∵，，
∴，
∴，
∴在上的投影是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查向量的投影的求法，考查向理垂直的充要条件应用，是基础题．
12．已知函数（）的部分图象如图所示，则的解析式是___________.

【答案】
【解析】试题分析：由图可知，，得，从而，所以，然后将代入，得，又，得，因此，，注意最后确定的值时，一定要代入，而不是，否则会产生增根.
【考点】三角函数的图象与性质.
13．已知数列的前n项和为，若，则数列的通项公式为_________．
【答案】
【解析】令，得，当时，，由此推导出数列是首项为3，公比为3的等比数列，从而得到．
【详解】
解：令，得，解得，
当时，
由，
得
两式相减得，
即，
整理得，
∴数列是首项为，公比为3的等比数列，
∴，∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，考查递推关系，是中档题．
14．在中，，，，点D在BC边上，，则AD的长为_____．
【答案】
【解析】由余弦定理求得BC的值，由正弦定理求得，再求出，过点D作，利用直角三角形求得AD的值．
【详解】
解：如图所示，由，，，

在中，由余弦定理得

，
∴.
在中，由正弦定理得，
∴，因为，故为锐角，
∴.
过点D作AB的垂线DE，垂足为E，
由得：，.
中，．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，注意根据已知的边和角确定合适的定理求解三角形，本题是基础题．
15．在等腰梯形ABCD中,已知,点E和点F分别在线段BC和CD上,且 则的值为 ．
【答案】
【解析】在等腰梯形ABCD中,由,得,, ,所以
.【考点】平面向量的数量积.


三、解答题
16．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）讨论在区间上的单调性；
【答案】（1）.（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.
【解析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；
（2）先求得在上的单调增区间，结合区间，即可求得结果.
【详解】
（1）依题意，

所以.
（2）依题意，令，，
解得，
所以的单调递增区间为，.
设，，易知，
所以当时，在区间上单调递增；
在区间上单调递减.
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求角的大小；
（2）设，，求b和的值．
【答案】（1）；（2），.
【解析】（1）由正弦定理得，又，由此可解得B．
（2）由余弦定理得，由，得，则，由此能求出．
【详解】
解：（1）在中，由正弦定理，
可得，
又由，得，
即，
又因为，所以，
可得．
（2）在中，由余弦定理及，，，
由，故，
由，可得，
因为，故，
因此，
，
所以
，
所以．
【点睛】
本题主要考查两角和差的三角函数公式，正弦定理，余弦定理，以及二倍角公式的应用，属于中档题．
18．已知等差数列的前n项和，，，，数列的前n项和， ．
（1）证明：是等比数列，并求；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【解析】（1）通过递推关系，用“两式相减法”可得，从而可得，即可求解；
（2）设等差数列的公差为d，由题意可建立方程组，解得，，从而可得，运用错位相减法与分组转化法求解数列的前n项和即可．
【详解】
（1）证明：由得，
因为当时，，
可得，
从而由得，，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，

得；
（2）解：根据题意，设等差数列的公差为d，首项为，
则，，
解得，，
∴．
所以，
设，
则，
两式相减得，
，
所以，
由．
所以数列的前n项和为．
【点睛】
本题考查等比数列的判定和证明，等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的通项公式和求和公式，错位相减法求和，属于中档题．
19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量，，且，为锐角．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用向量共线的条件，建立等式，结合A为锐角，即可求角A的大小；
（Ⅱ）根据，利用余弦定理及基本不等式，结合三角形面积公式，即可求的面积的最大值．
【详解】
解：（Ⅰ）∵，，且，
∴，
∴，
∴，
∴
∵为锐角
∴；
（Ⅱ）∵，∴，
∴（当且仅当时等号成立），
∴时，取得最大值4，
∵的面积等于，
∴的面积的最大值为．
【点睛】
本题考查向量共线的条件，考查余弦定理，考查基本不等式，考查三角形的面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．