2021届山西省太原市第五中学高三上学期9月阶段性考试 数学（理） PDF版

月考题答案

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】A  解：由题意得集合，所以，

2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为   

A.  B.
C.  D.

【答案】D  解：因为函数的定义域为，
所以函数的自变量的取值为：
，解得或或，
所以该函数的定义域为：．

3. 函数的零点所在的区间为

A.  B.  C.  D.

【答案】C解：易知函数单调递增，最多只有一个零点，因为，所以，故零点在上．

4. 已知e为自然对数的底数，又，，，则   

A.  B.  C.  D.

【答案】B  解：，，，．

5. 函数的图象大致是

A. B. C.  D.

【答案】C【解析】解：函数的定义域为，
，则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，
当时，，排除D，
故选：C．

6. 已知函数且关于x的方程f 有两个实根，则实数a的取值范围为

A.  B.  C.  D.

【答案】A   解：函数
作出函数 的图象如图，

关于x的方程f 有两个实根，
即的图象与直线有两个交点，
欲使 的图象和直线有两个交点，
由图象可知．

7. 已知奇函数在R上单调递增，则不等式的解集为 

A.  B.  C.  D.

【答案】D   解：函数时R上的奇函数，
，
，即，
又函数在R上单调递增，，解得，
则不等式的解集为．

8. 函数在上单调递增，则实数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】A   解：

9. 已知函数，，若与在公共点处的切线相同，则

A.  B. 1 C. 2 D. 5

【答案】B解：的公共点设为，，
则，解得，

10. 函数，，若存在使得成立，则整数a的最小值为

A.  B. 0 C. 1 D. 2

【答案】B

【解析】解：由函数，可得，即为偶函数，
当时，，导数为，当时，，递增，可得的最小值为，则在R上的最小值为0；
由，即为为偶函数，
当时，递增，可得的最小值为，则在R上的最小值为a，，的图象如右图，
存在使得成立，在R上有解，
由对称性，可考虑时，成立，
设，，可得导数为，
当时，，递增；当时，，递减，
可得在处取得极小值，且为最小值，
则，而，可得整数a的最小值为0．

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

11. 已知函数是幂函数，则曲线恒过定点________．

【答案】  解：函数是幂函数，，，
曲线为，由得，，
曲线恒过定点．

12. 曲线与直线围成的封闭图形的面积为________．
    【答案】解：作出两条曲线对应的封闭区域如图：
    由得，即，

解得或，
则根据积分的几何意义可知所求的几何面积
，            

13. 已知条件，条件若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______．

【答案】解：由，解得．因为p是q的必要不充分条件，
所以有．故填

14. 已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则__________．

【答案】  解：因为函数的图象关于原点对称，则为奇函数，所以，因为，所以，
所以，则是周期为4的函数，
则，又，
所以，所以，
即，又当时，，
所以，解得．

三、解答题（本大题共4小题，共44分）

15. 已知是定义在R上的偶函数，且当时．
    （1）求的表达式；
    （2）若，求实数a取值范围．

【答案】解：（1）f(x)是定义在R上的偶函数，当时，则，
故
（2）f(x)是定义在R的偶函数，且在区间是减函数，
在是增函数．
由于，．解得，
即a取值范围为．

16. 已知函数，．
    当时，且，求函数的值域；
    若关于x的方程在上有两个不同实根，求a的取值范围．

【答案】解：当时，令，由，得， ，当时，；当时，   
函数的值域为； 
令，由知，且函数在单调递增． 
 原问题转化为方程在上有两个不等实根，求a的取值范围．   
设，则，即，解得 
  实数a的取值范围是

17. 已知函数.

（1）当时，求函数在区间的最小值.

(2) 讨论函数的单调性；

.解：(Ⅰ) 当时，,.

当时，,在区间单调递减，

当时，,在区间单调递增，

所以

（Ⅱ）函数的定义域为，        

，                 

  当时，，所以在定义域为上单调递增；

（2）当时，令，得（舍去），，

当变化时，，的变化情况如下：

此时，在区间单调递减，

在区间上单调递增；               

（3）当时，令，得，（舍去），

当变化时，，的变化情况如下：

此时，在区间单调递减，

在区间上单调递增.   

18. 已知函数．

（1）当a=0时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，求函数的极大值．

【答案】解：（1）

（2）由，
当时，，与在上恒成立矛盾，故不符合题意．
当时，由于时，，故，，
在递减，
故，故在上恒成立，
符合题意；综上可得：实数a的取值范围是；
（3）函数的定义域为，当时，，
令，，则在递减．
又，
存在，使得，即，
故当，，即，则在递增．
当，，即，则在递减．
，又，，
故．