2021届内蒙古赤峰学院附中高三上学期周练8数学（理）试题

这是一份2021届内蒙古赤峰学院附中高三上学期周练8数学（理）试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

赤峰学院附属中学2021届高三上学期周练8
数学(理科)试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 已知集合P = {x|x2 - 2x ³ 0}, Q = {x|1 < x £ 2}, 则(CUP)∩Q =
A. [0, 1) B. (0, 2] C. (1, 2) D. [1, 2]
2. 设复数z满足: (1 + i)z = 2 - i, 则z的虚部为
A.i B. C. -i D. -
3. 为比较甲、乙两名高中学生的数学素养, 对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分, 分值高者为优), 根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图, 则下面叙述不正确的是





A. 甲的数据分析素养优于乙 B. 乙的数据分析素养与数学建模素养相同
C. 甲的六大素养整体水平优于乙 D. 甲的六大素养中数学运算最强
4. (1 - x)(1 + 2x)3展开式中x2项的系数为
A. 5 B. 6 C. - 6 D. - 4
5. 已知f(x) = xcosx + (a - 1)x2是奇函数, 则曲线y = f(x)在点(0, f(0))处的切线方程是
A. 2x - y = 0 B. x - y = 0 C. 2x +y = 0 D. x - 2y = 0
6. 已知a是锐角, 若sin(a -) =, 则cos2a =
A. - B. C. - D.
7. 给出下列说法:
①回归直线恒过样本点的中心, 且至少过一个样本点；
②两个变量相关性越强,则相关系数|r|就越接近1;
③某7个数的平均数为4, 方差为2, 现加入一个新数据4, 此时这8个数的方差小于2;
④在回归直线方程中, 当解释变量x增加一个单位时, 预报变量平均减少0.5个单位.
其中说法正确的是
A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④
8. 标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独
创的视力记录方式, 标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标,
且从视力5.2的视标所在行开始往上, 每一行“E”的边长都是下
方一行“E”边长的倍, 若视力4.1的视标边长为a, 则视力
4.9的视标边长为
A.a B.a C.a D.a
9. 已知双曲线- y2= 1(a > 0)上关于原点对称的两个点
P, Q, 右顶点为A, 线段AP的中点为E, 直线QE交x轴于
M(1, 0), 则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
10. 已知f(x) = x×2|x|, a = f(log3), b = f(log3), c = f(ln3), 则
A. c > b > a B. b > c > a C. a > b > c D. c > a > b
11. 已知函数f(x) = Asin(wx + j)(A > 0, w > 0, |j| <)的最大值为, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为且f(x)的图象关于点(-, 0)对称, 则下列判断中正确的是
A. 函数f(x)的图象关于直线x =对称 B. 函数f(x)在[,]上单调递增
C. 要得到函数f(x)的图象, 只需将y =cos2x的图象向右平移个单位
D. 当x Î [-,]时, 函数f(x)的最小值为-
12. 把方程+= 1表示的曲线作为函数y = f(x)的图象, 则下列结论正确的是
A. y = f(x)的图象不经过第一象限 B. f(x)在R上单调递增
C. y = f(x)的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3
D. 函数g(x) = 4f(x) + 3x不存在零点
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13. 已知向量a = (3, - 1), b = (t, 1),若a^(a - 2b), 则向量a与向量b的夹角为　　　．
14. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 且a5 = 13, S5 = 35, 则S7 =________.
15. 如图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行
驶, 到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方
向上, 行驶600 m后到达B处, 测得此山顶在西偏北75°
的方向上, 仰角为30°, 则此山的高度CD =______m.
16. 函数f(x) = 2sinx + sin2x的最小值是________.
三、解答题
0
3
4
5
6
7
8
时间: 小时
0.050
0.150
0.250
甲班
0.500

0
时间: 小时

3
4
5
6
7
8
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
乙班
17. (本小题12分)学生提供了多种网络课程资源以供选择使用. 活动开展一个月后, 某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查, 统计学生每天的学习时间, 将样本数据分成[3, 4), [4, 5), [5, 6), [6, 7), [7, 8]五组, 并整理得到如下频率分布直方图:






(1)已知该校高三年级共有600名学生, 根据甲班的统计数据, 估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数;
(2)已知这两个班级各有40名学生, 从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人, 记从甲班抽到的学生人数为X, 求X的分布列和数学期望.
18. (本小题12分)在DABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且满足
a =bcosC - csinB.
(1)求B;
(2)若b = 2, AD为BC边上的中线, 当DABC的面积取得最大值时, 求AD的长.
19. (本小题12分)如图, 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD为菱形, PA^平面ABCD, E为PD的中点.
(1)证明: PB//平面AEC;
(2)设PA = 1, ÐABC = 60°, 三棱锥E - ACD的
体积为, 求二面角D - AE - C的余弦值.

20. (本小题12分)已知动圆Q经过定点F(0, a), 且与定直线l: y = - a相切(a为常数, 且a > 0). 记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程, 并说明C是什么曲线?
(2)设点P的坐标为(0, - a), 过点P作曲线C的切线, 切点为A, 若过点P的直线m与曲线C交于M, N两点, 证明: ÐAFM = ÐAFN.
21. (本小题12分)已知函数f(x) =- alnx - 1.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有两个零点x1, x2, 且x1 > x2, 求证: 11x2 + x1 > 11a.

选做题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 已知平面直角坐标系中, 曲线C1的参数方程为(t为参数,
t Î R), 以原点O为极点, x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为r = 2sinq(0 £ q £ 2p).
(1)求曲线C1的极坐标方程；
(2)射线l的极坐标方程为q = a(0 £ a £ p, r ³ 0), 若射线l与曲线C1, C2分别交于异于原点的A, B两点, 且|OA| = 4|OB|, 求a的值.
23. 已知f(x) = 2|x - 2| + |x + a|.
(1)当a = 2时, 求不等式f(x) > 5的解集;
(2)设不等式f(x) £ |2x + 1|的解集为B, 若[3, 6] Í B, 求a的取值范围.
周考 数学(理科)参考答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题
1. C 2. D
3. D
解析: A：甲的数据分析素养优于乙，故A正确；
B：乙的数据分析优于数学建模素养相同；故B正确；
C：甲的六大素养整体水平优于乙，故C正确；
D：甲的六大素养中，直观想象，数据分析与逻辑推理能力最强，故D错误.
故选：D.
4. B
解析: (1 - x)(1 + 2x)3 = (1 + 2x)3 - x(1 + 2x)3，项为. 故答案为：6.
5. B
解析: a = 1, f(0) = 0, f ¢(0) = 1.
6. A B
8. C
解析: 设第行视标边长为，第行视标边长为,
由题意可得：, 则数列为首项为，公比为的等比数列, 即, 则视力4.9的视标边长为, 故选C.
9. D
解析: 由已知得M为的重心，∴，又，∴，即，故选D．
10. D
解析: 当x < 0时, f(x) = x×()x < 0, 又log3< 0, ∴b < 0.
当x ≥ 0时, f(x) = x×2x, 其导数f ′(x) = 2x + x×2xln2 > 0, 则f(x)在[0, + ∞)上为增函数,
∴当x > 0时, f(x) > f(0) = 0, 又0 < log3< 1 < ln3, 则0 < a < c,
综合可得: c > a > b, 故选D.
11. B
解析: 函数，函数的最大值是，则，
其图象相邻两条对称轴之间的距离为，，解得，
的图象关于点对称，，
解得，，，又，解得，所以，
对于A，的对称轴由，可得，直线不是其对称轴，故A错误；
对于B，将的图象向右平移个单位，可得，
的图象，故B正确；
对于C，时，，可得，故C错误；
对于D，由，可得：，
由正弦函数的图象和性质可得函数在上单调递减，故D错误．故选B.
12. B
解析: 当，方程是不表示任何曲线，故A正确；
当 ，方程是，即 ，
当 ，方程是 ，即，
当 ，方程是，即 ，
如图画出图象

由图判断函数在上单调递减，故B不正确；
由图判断图象上的点到原点距离的最小值点应在的图象上，
即满足 ，设图象上的点,
当时取得最小值3，故C正确；
当 ，即 ，
函数的零点，就是函数 和的交点，
而是曲线，和的渐近线，所以没有交点，由图象可知和，没有交点，
所以函数不存在零点，故D正确.
故选B.
二、填空题
13.
14. 70
解析: 设等差数列的公差为，依题意，，
所以，，则. 故答案为：70.
15.

16. -

三、解答题
17. 解析: (1)根据甲班的统计数据，该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为；
(2)甲班每天学习时间不足4小时的学生人数为，
乙班每天学习时间不足4小时的学生人数为，
从甲班抽到的学生人数可取的值为，.
则，，，
所以的分布列为：
X
0
1
2




则的数学期望为：.........................10分
18. 解析: (1)由正弦定理及已知得，
结合，得，
因为，所以，由，得.
(2)在中，由余弦定得，因为，所以，
当且仅当时，的面积取得最大值，此时.
在中，由余弦定理得
.即.
19. 解析: (1)连接交于点，连接，则为中点，为的中点，所以，

平面，平面，所以平面；
(2)设菱形的边长为，，
，则．
取中点，连接．以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，
以方向为轴，建立如图所示坐标系．

，，，, ，，
设平面的法向量为，
由，，得，令，则，, ∴，
平面的一个法向量为
，即二面角的余弦值为．
20. 解析: (1)设，由题意得，化简得，
所以动圆圆心Q的轨迹方程为，它是以F为焦点，以直线为准线的抛物线.
(2)不妨设.
因为，所以，从而直线的斜率为，解得，即，
又，所以轴.
要使，只需.
设直线m的方程为，代入并整理，得.
所以，解得或.
设，，则，.

.
故存在直线m，使得，
此时直线m的斜率的取值范围为.
21. 解析: (1)的定义域为，．........1分
当时，，则在上是增函数．........................2分
当时，；，
所以在上是减函数，在上是增函数．.....................4分
综上，当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数．..............5分
(2)若函数有两个零，点，，根据（1），可得．
不妨设，由，得..............6分
两式相减，得，解得，
要证明，即证，即证，
设，则．
则，则，
所以在上为增函数，从而，即成立，
因此，成立．即.
22. 解析: (1)曲线的参数方程为（为参数，），
消去参数得曲线的普通方程为，
将代入得，
或，包含，
的极坐标方程为；
(2)射线与曲线，分别交于异于原点的两点，
设的极坐标方程为，
则，
依题意，
又，或.
23. 解析: (1)当时，即
当，解得，
当 ，解得，
当 ， 解得，
故不等式解集为或，即不等式的解集为
(2)若则原不等式在上恒成立，
即，即，即
, 即，所以 ， 解得
故满足条件的的取值范围是