高考数学一轮复习教案 第3章_第5节_三角恒等变换（含答案解析）

第五节　三角恒等变换

[考纲传真]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．

3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

4．能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；

(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；

(3)tan(α±β)＝.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α；

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)tan 2α＝.

1．公式T(α±β)的变形：

(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；

(2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．

2．公式C2α的变形：

(1)sin2α＝(1－cos 2α)；

(2)cos2α＝(1＋cos 2α)．

3．公式逆用：

(1)sin＝cos；

(2)sin＝cos；

(3)sin＝cos.

4．辅助角公式

asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)，

特别的

sin α±cos α＝sin；

sin α±cos α＝2sin；

sin α±cos α＝2sin.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　　)

(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B的大小关系不确定．(　　)

(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．                            (　　)

(4)函数y＝3sin x＋4cos x的最大值为7. (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)

A．－　　　B.　　　C．－　　　D.

D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.]

3．(教材改编)已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos的值为(　　)

A.         B．－   C.   D．－

A　[由cos α＝－，α是第三象限角知sin α＝－，

则cos＝coscos α－sinsin α＝×－×＝.故选A.]

4．已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝________.

　[由sin(α－π)＝，得sin α＝－，则

cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.]

5．(教材改编)－＝________.

　[－＝＝＝tan 30°＝. ]

1．已知sin＝cos，则tan α＝(　　)

A．－1　　　　B．0　　　　C.　　　　D．1

A　[因为sin＝cos，

所以cos α－sin α＝cos α－sin α.

所以cos α＝sin α.

所以tan α＝＝－1，故选A.]

2．计算的值为(　　)

A．－          B.   C.   D．－

B　[＝

＝＝＝.]

3．已知θ∈，且sin θ－cos θ＝－，则＝(　　)

A.           B.   C.   D.

D　[由sin θ－cos θ＝－

得sin＝，

因为θ∈，

所以0＜－θ＜，

所以cos＝.

＝

＝＝

＝2cos＝.]

4．已知0＜θ＜π，则＝________.

－cos θ　[原式＝

＝＝.

因为0＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos ＞0.所以原式＝－cos θ.]

►考法1　给值求值

【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)

A.         B.   C．－   D．－

(2)(2019·太原模拟)已知角α是锐角，若sin＝，则cos等于(　　)

A.   B.

C.   D.

(3)若α，β是锐角，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan(α－β)＝________.

(1)B　(2)A　(3)－　[(1)cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.

(2)由0＜α＜得－＜α－＜

又sin＝，

∴cos＝＝＝

∴cos＝cos＝coscos＋sinsin

＝×＋×＝，故选A.

(3)因为sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，

即2－2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝，

因为α、β是锐角，且sin α－sin β＝－＜0，

所以0＜α＜β＜.所以－＜α－β＜0.

所以sin(α－β)＝－＝－.

所以tan(α－β)＝＝－.]

►考法2　给角求值

【例2】　(1)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝________.

(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝________.

(1)　(2)1　[(1)由tan(20°＋40°)＝＝得

tan 20°＋tan 40°＝(1－tan 20°tan 40°)

∴原式＝(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40°＝.

(2)sin 50°(1＋tan 10°)

＝sin 50°

＝sin 50°×

＝sin 50°×

＝＝＝＝1.]

►考法3　给值求角

【例3】　(1)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)

A.   B.

C.或   D.或

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．

(1)A　(2)－　[(1)∵α∈，∴2α∈.

又sin 2α＝＞0，∴2α∈，

∴cos 2α＝－且α∈.

又β∈，∴β－α∈.

∵sin(β－α)＝＞0，

∴cos(β－α)＝－且β－α∈，

∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝.

∵2α∈，β－α∈，∴α＋β∈，

∴α＋β＝，故选A.

(2)因为tan α＝tan[(α－β)＋β]

＝

＝＝＞0，

所以0＜α＜，

又因为tan 2α＝＝＝＞0，所以0＜2α＜，

所以tan(2α－β)＝＝＝1.

因为tan β＝－＜0，

所以＜β＜π，－π＜2α－β＜0，

所以2α－β＝－.]

(1)若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos＝(　　)

A.　　　B．－　　　C.　　　D．－

(2)＝________.

(3)(2019·长春模拟)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β值是________．

(1)A　(2)　(3)　[(1)由0＜α＜得＜＋α＜，又cos＝，

∴sin＝，由－＜β＜0得＜－＜.

又cos＝，∴sin＝.

∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.

(2)原式＝＝＝.

(3)∵α，β均为锐角，∴－＜α－β＜.

又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.

又sin α＝，∴cos α＝，

∴sin β＝sin[α－(α－β)]

＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝×－×＝.

∴β＝.]

【例4】　(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

[解]　(1)由已知得

f(x)＝－

＝－cos 2x

＝sin 2x－cos 2x＝sin.

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)由(1)知f(x)＝sin.

∵－≤x≤，

∴－≤2x－≤，

∴当2x－＝－，即x＝－时，f(x)有最小值，

且f＝－，

当2x－＝，即x＝时，f(x)有最大值，

且f＝.

所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.

(2019·温州模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若－＜α＜0，f(α)＝，求sin 2α的值．

[解]　(1)∵函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x

＝sin 2x＋

＝sin＋，

∴函数f(x)的最小正周期为＝π.

(2)若－＜α＜0，

则2α＋∈，

∴f(α)＝sin＋＝，

∴sin＝，

∴2α＋∈，

∴cos

＝＝，

∴sin 2α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.

1．(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sinx＋＋cos的最大值为(　　)

A.　　　B．1　　　C.　　　D.

A　[法一：∵f(x)＝sin＋cos

＝＋cos x＋sin x

＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x

＝sin x＋cos x＝sin，

∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.

故选A.

法二：∵＋＝，

∴f(x)＝sin＋cos

＝sin＋cos

＝sin＋sin

＝sin≤.

∴f(x)max＝，故选A.]

2．(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α＝(　　)

A.   B.

C．－   D．－

D　[因为cos＝，

所以sin 2α＝cos＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.]

3．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)

A.   B.

C.   D．1

B　[由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.]

4．(2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－＝，则tan α＝________.

　[法一：因为tan α－＝，

所以＝，即＝，

解得tan α＝.

法二：因为tanα－＝，

所以tan α＝tanα－＋

＝＝＝.]

5．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．

　[f(x)＝2cos x＋sin x＝，

设sin α＝，cos α＝，

则f(x)＝sin(x＋α)，

∴函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为.]