初中数学湘教版九年级上册3.5 相似三角形的应用精品同步练习题

3.5 相似三角形的应用

班级：___________姓名：___________得分：__________

（满分：100分，考试时间：40分钟）

一．选择题（共5小题，每题5分）

1．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD=∠C，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AB2=AC•BD   B．AB•AD=BD•BC 

C．AB2=BC•BD   D．AB•AD=BD•CD 

2．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）

A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m 

3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若AB=2，BC=4．则DC的长度为（　　）

A．1 B． C．3 D．2 

4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　）

A．五丈 B．四丈五尺  C．一丈 D．五尺 

5．如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图．等腰直角三角板的斜边BD与地面AF平行，当小明的视线恰好沿BC经过旗杆顶部点E时，测量出此时他所在的位置点A与旗杆底部点F的距离为10米．如果小明的眼睛距离地面1.7米，那么旗杆EF的高度为（　　）

A．10米 B．11.7米 C．米 D．米

二．填空题（共5小题，每题5分）

6．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树髙AB为　   　．

7．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，已知AB=6，BC=9，则图中线段的长BD=　   　，AD=　   　，AC=　   　．

8．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树AB的树根7.2m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树稍顶点A，再用皮尺量得DE=2.4m，观测者目高CD=1.6m，则树高AB约是　   　．

9．如图，AB⊥BC于B，CE⊥BC于C，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，则河宽AB为　   　m．

10．我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作《海岛算经》中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？

译文：今要测量海岛上一座山峰AH的高度，在B处和D处树立标杆BC和DE，标杆的高都是3丈，B和D两处相隔1000步（1丈=10 尺，1步=6 尺），并且AH，CB和DE在同一平面内．从标杆BC后退123步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆ED后退127步的G处可以看到顶峰A和标杆顶端E在同一直线上．则山峰AH的高度是　   　．

　三．解答题（共4小题，每题12.5分）

11．在“三爱三节”活动中，小明准备从一张废弃的三角形铁片上剪出一个正方形做一个圆柱侧面．如图，四边形DEFG是△ABC的内接正方形，D、G分别在AB、AC上，E、F在BC上，AH是△ABC的高，已知BC=20，AH=16，求正方形DEFG的边长．

12．数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：

①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD=2米，小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5米；

②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH=3米；

③计算树的高度AB；

解：设AB=x米，BC=y米

∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD

∴△ABC∽△EDC

∴=……

请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．

13．周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN=M′N′，露台的宽CD=GE．实际测得，GE=5米，EN=15.5米，NN′=6.2米．请根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？

14．【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；

【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，

（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；

（2）若DE=2CE，求OF的长．

试题解析

一．选择题

1．【分析】先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC=BD：AB，然后根据比例性质得到AB2=BC•BD．

【解答】解：∵∠BAD=∠C，

而∠ABD=∠CBA，

∴△BAD∽△BCA，

∴AB：BC=BD：AB，

∴AB2=BC•BD．

故选：C．

【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．

2．【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得=，将已知数据代入即可得．

【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABO=∠CDO=90°，

又∵∠AOB=∠COD，

∴△ABO∽△CDO，

则=，

∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，

∴=，

解得：CD=0.4，

故选：C．

【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．

3．【分析】由已知先证△ABC∽△DAC，可证=，即可求DC的长．

【解答】解：∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠ADC=∠BAC=90°，

∵∠C=∠C，

∴△ABC∽△DAC，

∴=，

∵AB=2，BC=4，

∴AC=2，

∴=，

∴DC=3．

故选：C．

【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，有两角对应相等则此两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．

4．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．

【解答】解：设竹竿的长度为x尺，

∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，

∴，解得x=45（尺）．

故选：B．

【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．

5．【分析】延长BD交EF于H，如图，利用四边形ABHF为矩形得到AF=BH=10，HF=AB=1.7，再利用△BCD为等腰直角三角形，可判断△BHE为等腰直角三角形，所以EH=BH=10，

然后计算EH+HF即可．

【解答】解：延长BD交EF于H，如图，

∵BD∥AF，EF⊥AF，

∴BH⊥EF，

易得四边形ABHF为矩形，

∴AF=BH=10，HF=AB=1.7，

∵△BCD为等腰直角三角形，

∴∠CBD=45°，

∴△BHE为等腰直角三角形，

∴EH=BH=10，

∴EF=EH+HF=10+1.7=11.7．

答：旗杆EF的高度为11.7m．

故选：B．

【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．也考查了等腰直角三角形的性质．

二．填空题

6．【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．

【解答】解：∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，

∴△DEF∽△DCB，

∴=，

∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，

∴由勾股定理求得DE=40cm，

∴=，

∴BC=15米，

∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．

故答案为：16.5m．

【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．

7．【分析】根据射影定理得AB2=BD•BC，则可计算出BD=4，再计算出CD=BC﹣BD=5，然后根据AD2=BD•CD计算出AD，利用AC2=CD•BC计算出AC．

【解答】解：∵AB⊥AC，AD⊥BC，

∴AB2=BD•BC，即62=BD•9，解得BD=4，

∴CD=BC﹣BD=5，

∵AD2=BD•CD，

∴AD==2，

∵AC2=CD•BC，

∴AC==3．

故答案为4，2，3．

【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．

9．【分析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算AB的长即可．

【解答】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，

∴AB∥CE，

∴△ABD∽△ECD，

∴=，即=，

∴AB=100（m）．

故答案为：100．

【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．

10．【分析】根据题意得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，进而利用相似三角形的性质求出即可．

【解答】解：由题意，得，AH⊥HG，CB⊥HG，

∴∠AHF=90°，∠CBF=90°，

∴∠AHF=∠CBF，

∵∠AFB=∠CFB，

∴△CBF∽△AHF，

∴=，

同理可得 =，

∵BF=123，BD=1000，DG=127，

∴HF=HB+123，HG=HB+1000+127=HB+1127，

∴=，=，

解得HB=30750，HA=753丈=1255步，

故答案为：1255步．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG是解题关键．

三．解答题

11．【分析】根据正方形的性质得到DG∥BC，证明△ADG∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．

【解答】解：设正方形DEFG的边长为x，

∵DG∥BC，

∴△ADG∽△ABC，

∴=，即=，

解得，x=．

【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

12．【分析】根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．

【解答】解：设AB=x米，BC=y米．

∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD

∴△ABC∽△EDC

∴=，

∴=，

∵∠ABF=∠GHF=90°，∠AFB=∠GFH，

∴△ABF∽△GHF，

∴=，

∴=，

∴=，

解得：y=20，

把y=20代入=中，得=，

解得x=15，

∴树的高度AB为15米．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．

13．【分析】直接利用相似三角形的判定方法得出Rt△ACD∽Rt△DHM，△ABD∽△MM′D，进而得出AB的值，求出答案即可．

【解答】解：延长MM′交DE于H，如图，

则HM=EN=15.5米，CD=GE=5米，

MM′=NN′=6.2米，∵CD∥HM，

∴∠ADC=∠DMH，

∴Rt△ACD∽Rt△DHM，

∴==，

∵AB∥MM′，

∴△ABD∽△MM′D，

∴==，

即=，

解得AB=2（米），

答：遮阳篷的宽AB是2米．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．

14．【分析】【问题情境】通过证明Rt△ACD∽Rt△ABC得到AC：AB=AD：AC，然后利用比例性质即可得到AC2=AD•AB；

【结论运用】（1）根据射影定理得BC2=BO•BD，BC2=BF•BE，则BO•BD=BF•BE，即=，加上∠OBF=∠EBD，于是可根据相似三角形的判定得到△BOF∽△BED；

（2）先计算出DE=4，CE=2，BE=2，OB=3，再利用（1）中结论△BOF∽△BED得到=，即=，然后利用比例性质求OF．

【解答】【问题情境】

证明：如图1，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

而∠CAD=∠BAC，

∴Rt△ACD∽Rt△ABC，

∴AC：AB=AD：AC，

∴AC2=AD•AB；

【结论运用】

（1）证明：如图2，

∵四边形ABCD为正方形，

∴OC⊥BO，∠BCD=90°，

∴BC2=BO•BD，

∵CF⊥BE，

∴BC2=BF•BE，

∴BO•BD=BF•BE，

即=，

而∠OBF=∠EBD，

∴△BOF∽△BED；

（2）∵BC=CD=6，

而DE=CE，

∴DE=4，CE=2，

在Rt△BCE中，BE==2，

在Rt△OBC中，OB=BC=3，

∵△BOF∽△BED，

∴=，即=，

∴OF=．

【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．