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四川省成都市石室中学2023届高三下学期三诊数学（理科）复习题（五）
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这是一份四川省成都市石室中学2023届高三下学期三诊数学（理科）复习题（五），共12页。
成都石室中学高2023届高三下期数学三诊复习题五（理科）
姓名
一．选择题
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ）
A．的虚部是 B． z的实部是
C．复数在复平面内对应的点在第四象限 D．
3.已知命题p:“”的否定是“”；命题q：“”的一个充分不必要条件是“”,则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
4．已知,则( )
A. B. C. D.
5．如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱，其三视图如图所示，
则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6．我们经常听到这样一种说法:一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上,因为纸张本身有厚度,我们并不能将纸张无限次对折,当我们的厚度超过纸张的长边时,便不能继续对折了.一张长边为,厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折,则经过两次对折,长边变为,厚度变为.在理想情况下,对折次数有下列关系:(注:).根据以上信息,一张长为cm,厚度为mm的纸最多能对折( )次.
A.8 B. C.7 D.
7． 直线l与直线垂直，且与x轴关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. 或2 D. 或
8．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知菱形的各边长为．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
10.已知的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
11．已知, ,若对,,使得成立,若在区间上的值域为,则实数的最大值为（ ）
A． B . C． D
12．设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
13. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为_________.
14.设函数,其中,,存在使得成立,则实数的值为 ．
15.设是抛物线的焦点，抛物线上动点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为,则
16.在数列中给定 ，且函数的导函数有唯一的零点， 为数列前n项和， ,则 的范围 ．
三．解答题
17．已知是递增的等比数列，前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；（2）各项均为正数的数列的首项，其前项和为，且______，若数列满足，求的前项和.在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题.①；②，；③.
18．如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，点是的中点，且.
(1)证明：；
(2)已知，，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小.
19. 为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了100人，其中男生占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的32%，学校为了考察学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下2×2列联表：
不适应寄宿生活
适应寄宿生活
合计
男生
女生
合计
（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；
（2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
20.已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设点为轴上 （不同于）一定点， 若过点的动直线与的交点为， 直线与 直线和直线分别交于两点，当时，请比较与大小并说明理由．
21. 设函数（）．
（1）求的单调区间；
（2）若的两个零点且，求证：
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求的极坐标方程以及曲线上的动点到直线的距离的最大值.（2）与是曲线上的两点，若，求的值.
23.已知函数．
(1)若，求的解集；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
成都石室中学高2023届高三下期数学三诊复习题五（理科）
姓名
一．选择题
1. 已知集合,,则( C )
A. B. C. D.
2．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ B ）
A．的虚部是 B． z的实部是
C．复数在复平面内对应的点在第四象限 D．
3.已知命题p:“”的否定是“”；命题q：“”的一个充分不必要条件是“”,则下列命题为真命题的是（ D ）
A. B. C. D.
4．已知,则( A )
A. B. C. D.
5．如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱，其三视图如图所示，
则异面直线与所成角的余弦值为（ D ）
A. B. C. D.
6．我们经常听到这样一种说法:一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上,因为纸张本身有厚度,我们并不能将纸张无限次对折,当我们的厚度超过纸张的长边时,便不能继续对折了.一张长边为,厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折,则经过两次对折,长边变为,厚度变为.在理想情况下,对折次数有下列关系:(注:).根据以上信息,一张长为cm,厚度为mm的纸最多能对折( A )次.
A.8 B. C.7 D.
7．直线l与直线垂直，且与x轴关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率为（ C ）
A. B. C. 或2 D. 或
8．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ C）
A． B． C． D．
9．已知菱形的各边长为．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（ D ）
A． B． C． D．
10.已知的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则面积的最大值为( A )
A. B. C. D.
11．已知, ,若对,,使得成立,若在区间上的值域为,则实数的最大值为（ B ）
A． B . C． D
12．设，，，则（ D ）
A. B. C. D.
二．填空题
13. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为_________.
14.设函数,其中,,存在使得成立,则实数的值为 ．
15. 设是抛物线的焦点，抛物线上动点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为,则_________ .254
16.在数列中给定 ，且函数的导函数有唯一的零点， 为数列前n项和， ,则 的范围 ．
三．解答题
17．已知是递增的等比数列，前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；（2）各项均为正数的数列的首项，其前项和为，且______，若数列满足，求的前项和.在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题.①；②，；③.
17.【详解】（1）设数列的公比为，由题意有，所以，所以，即，解得或
因为是递增的等比数列，所以，所以，所以，所以.
（2）选择①：因为，所以，，两式相减得，即，因为，所以
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故，因此，，
，两式相减得，即，所以.
选择②：由，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故，因此，以下同①；
选择③：由得，是以为首项为公差的等差的数列，，，所以，检验时也满足，所以，，以下同①.
18．如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，点是的中点，且.
(1)证明：；
(2)已知，，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）分别证明出和，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）以B为原点，建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的平面角.
(1)
因为点在底面内的射影是点，
平面，
平面，
.
在三角形中，，
，，
平面，
平面，
.
(2)
平面，直线与底面所成角的大小为，
，.
以为坐标原点，过点作，以的方向为轴正方向，分别以，的方向为轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，，
，.
设平面的法向量为，
可取.
平面的一个法向量是，
，
二面角的大小为.
19. 为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了100人，其中男生占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的32%，学校为了考察学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下2×2列联表：
不适应寄宿生活
适应寄宿生活
合计
男生
女生
合计
（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；
（2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
【解析】（1）
不适应寄宿生活
适应寄宿生活
合计
男生
8
32
40
女生
32
28
60
合计
40
60
100
（表格填对2分） 根据列联表中的数据，经计算得到：
（5分）
所以有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联. （6分）
（2）抽取的10人中，有2人不适应寄宿生活，有8人适应寄宿生活 （7分）
随机变量的取值可以说0，1，2
，， （10分）
0
1
2
（12分） （没有分布列，扣1分，算对一个给1分）
20.如图所示， 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设点为轴上 （不同于）一定点， 若过点的动直线与的交点为， 直线与 直线和直线分别交于两点，当时，请比较与大小并说明理由．
（1）解：设点P的坐标为，
由题设得，
故所求的点P的轨迹的方程为．……… 4分
（2）解：设，由题设知，直线MN的斜率存在，
不妨设直线MN的方程为，将代入，可得，则，同理．
由，可得，所以，即，… 6分
且，
由消去y并整理得，
则且，……… 8分
可得
……………………… 10分
又因为，所以
所以当时．……… 12分
21. 设函数（）．
（1）求的单调区间；
（2）若的两个零点且，求证：
【解析】
（1）由已知，
当时，在恒成立，在上单调递增；
当时，由得，
若时，，在上单调递增，
若时，，在上单调递减；
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由题：（）
因为是函数的两个零点，
所以，，即，，
要证，
只需证明，即证，
只需证，即证，
令，而，则，只需证明，
令函数，，求导得：
令函数，，
求导得，
则函数在上单调递增，于是有，
因此，函数在上单调递减，
所以，即成立，
所以原不等式得证．
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程以及曲线上的动点到直线的距离的最大值.（2）与是曲线上的两点，若，求的值.
【解析】（1）极坐标方程为（2分） 设，则，
当时，最大值为 （5分）
（2）曲线的极坐标方程为，
令，，则 （7分） ，所以 的值．（10分）
23.已知函数．
(1)若，求的解集；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
（1）由题知，即．当时，．
当时，，解得，；
当时，，恒成立，；
当时，，解得，，
的解集为．…………………… 5分
（2）由，即．
令，，当且仅当时等号成立，
，，∴，解得或，
实数a的取值范围为．………… 10分
成都石室中学高2023届高三下期数学三诊复习题五（理科）
姓名
一．选择题
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ）
A．的虚部是 B． z的实部是
C．复数在复平面内对应的点在第四象限 D．
3.已知命题p:“”的否定是“”；命题q：“”的一个充分不必要条件是“”,则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
4．已知,则( )
A. B. C. D.
5．如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱，其三视图如图所示，
则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6．我们经常听到这样一种说法:一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上,因为纸张本身有厚度,我们并不能将纸张无限次对折,当我们的厚度超过纸张的长边时,便不能继续对折了.一张长边为,厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折,则经过两次对折,长边变为,厚度变为.在理想情况下,对折次数有下列关系:(注:).根据以上信息,一张长为cm,厚度为mm的纸最多能对折( )次.
A.8 B. C.7 D.
7． 直线l与直线垂直，且与x轴关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. 或2 D. 或
8．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知菱形的各边长为．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
10.已知的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
11．已知, ,若对,,使得成立,若在区间上的值域为,则实数的最大值为（ ）
A． B . C． D
12．设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
13. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为_________.
14.设函数,其中,,存在使得成立,则实数的值为 ．
15.设是抛物线的焦点，抛物线上动点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为,则
16.在数列中给定 ，且函数的导函数有唯一的零点， 为数列前n项和， ,则 的范围 ．
三．解答题
17．已知是递增的等比数列，前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；（2）各项均为正数的数列的首项，其前项和为，且______，若数列满足，求的前项和.在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题.①；②，；③.
18．如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，点是的中点，且.
(1)证明：；
(2)已知，，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小.
19. 为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了100人，其中男生占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的32%，学校为了考察学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下2×2列联表：
不适应寄宿生活
适应寄宿生活
合计
男生
女生
合计
（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；
（2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
20.已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设点为轴上 （不同于）一定点， 若过点的动直线与的交点为， 直线与 直线和直线分别交于两点，当时，请比较与大小并说明理由．
21. 设函数（）．
（1）求的单调区间；
（2）若的两个零点且，求证：
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求的极坐标方程以及曲线上的动点到直线的距离的最大值.（2）与是曲线上的两点，若，求的值.
23.已知函数．
(1)若，求的解集；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
成都石室中学高2023届高三下期数学三诊复习题五（理科）
姓名
一．选择题
1. 已知集合,,则( C )
A. B. C. D.
2．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ B ）
A．的虚部是 B． z的实部是
C．复数在复平面内对应的点在第四象限 D．
3.已知命题p:“”的否定是“”；命题q：“”的一个充分不必要条件是“”,则下列命题为真命题的是（ D ）
A. B. C. D.
4．已知,则( A )
A. B. C. D.
5．如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱，其三视图如图所示，
则异面直线与所成角的余弦值为（ D ）
A. B. C. D.
6．我们经常听到这样一种说法:一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上,因为纸张本身有厚度,我们并不能将纸张无限次对折,当我们的厚度超过纸张的长边时,便不能继续对折了.一张长边为,厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折,则经过两次对折,长边变为,厚度变为.在理想情况下,对折次数有下列关系:(注:).根据以上信息,一张长为cm,厚度为mm的纸最多能对折( A )次.
A.8 B. C.7 D.
7．直线l与直线垂直，且与x轴关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率为（ C ）
A. B. C. 或2 D. 或
8．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ C）
A． B． C． D．
9．已知菱形的各边长为．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（ D ）
A． B． C． D．
10.已知的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则面积的最大值为( A )
A. B. C. D.
11．已知, ,若对,,使得成立,若在区间上的值域为,则实数的最大值为（ B ）
A． B . C． D
12．设，，，则（ D ）
A. B. C. D.
二．填空题
13. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为_________.
14.设函数,其中,,存在使得成立,则实数的值为 ．
15. 设是抛物线的焦点，抛物线上动点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为,则_________ .254
16.在数列中给定 ，且函数的导函数有唯一的零点， 为数列前n项和， ,则 的范围 ．
三．解答题
17．已知是递增的等比数列，前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；（2）各项均为正数的数列的首项，其前项和为，且______，若数列满足，求的前项和.在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题.①；②，；③.
17.【详解】（1）设数列的公比为，由题意有，所以，所以，即，解得或
因为是递增的等比数列，所以，所以，所以，所以.
（2）选择①：因为，所以，，两式相减得，即，因为，所以
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故，因此，，
，两式相减得，即，所以.
选择②：由，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故，因此，以下同①；
选择③：由得，是以为首项为公差的等差的数列，，，所以，检验时也满足，所以，，以下同①.
18．如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，点是的中点，且.
(1)证明：；
(2)已知，，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）分别证明出和，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）以B为原点，建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的平面角.
(1)
因为点在底面内的射影是点，
平面，
平面，
.
在三角形中，，
，，
平面，
平面，
.
(2)
平面，直线与底面所成角的大小为，
，.
以为坐标原点，过点作，以的方向为轴正方向，分别以，的方向为轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，，
，.
设平面的法向量为，
可取.
平面的一个法向量是，
，
二面角的大小为.
19. 为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了100人，其中男生占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的32%，学校为了考察学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下2×2列联表：
不适应寄宿生活
适应寄宿生活
合计
男生
女生
合计
（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；
（2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
【解析】（1）
不适应寄宿生活
适应寄宿生活
合计
男生
8
32
40
女生
32
28
60
合计
40
60
100
（表格填对2分） 根据列联表中的数据，经计算得到：
（5分）
所以有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联. （6分）
（2）抽取的10人中，有2人不适应寄宿生活，有8人适应寄宿生活 （7分）
随机变量的取值可以说0，1，2
，， （10分）
0
1
2
（12分） （没有分布列，扣1分，算对一个给1分）
20.如图所示， 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设点为轴上 （不同于）一定点， 若过点的动直线与的交点为， 直线与 直线和直线分别交于两点，当时，请比较与大小并说明理由．
（1）解：设点P的坐标为，
由题设得，
故所求的点P的轨迹的方程为．……… 4分
（2）解：设，由题设知，直线MN的斜率存在，
不妨设直线MN的方程为，将代入，可得，则，同理．
由，可得，所以，即，… 6分
且，
由消去y并整理得，
则且，……… 8分
可得
……………………… 10分
又因为，所以
所以当时．……… 12分
21. 设函数（）．
（1）求的单调区间；
（2）若的两个零点且，求证：
【解析】
（1）由已知，
当时，在恒成立，在上单调递增；
当时，由得，
若时，，在上单调递增，
若时，，在上单调递减；
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由题：（）
因为是函数的两个零点，
所以，，即，，
要证，
只需证明，即证，
只需证，即证，
令，而，则，只需证明，
令函数，，求导得：
令函数，，
求导得，
则函数在上单调递增，于是有，
因此，函数在上单调递减，
所以，即成立，
所以原不等式得证．
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程以及曲线上的动点到直线的距离的最大值.（2）与是曲线上的两点，若，求的值.
【解析】（1）极坐标方程为（2分） 设，则，
当时，最大值为 （5分）
（2）曲线的极坐标方程为，
令，，则 （7分） ，所以 的值．（10分）
23.已知函数．
(1)若，求的解集；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
（1）由题知，即．当时，．
当时，，解得，；
当时，，恒成立，；
当时，，解得，，
的解集为．…………………… 5分
（2）由，即．
令，，当且仅当时等号成立，
，，∴，解得或，
实数a的取值范围为．………… 10分
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