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    2020届四川省成都市石室中学高考一诊试卷数学(理科)
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    2020届四川省成都市石室中学高考一诊试卷数学(理科)

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    这是一份2020届四川省成都市石室中学高考一诊试卷数学(理科),共9页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2020年四川省成都市石室中学高考一诊试卷

    数学(理科)

    题号

    总分

    得分

     

     

     

     

     

    一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)

    1. 已知集合A={xN|x1}B={x|x5},则AB=(  )

    A. {x|1x5} B. {x|x1}
    C. {234} D. {12345}

    1. 已知复数z满足iz=1+i,则z的共轭复数=(  )

    A. 1+i B. 1-i C.  D. -1-i

    1. 若等边ABC的边长为4,则=(  )

    A. 8 B. -8 C.  D. -8

    1. 在(2x-1)(x-y6的展开式中x3y3的系数为(  )

    A. 50 B. 20 C. 15 D. -20

    1. 若等比数列{an}满足:a1=1a5=4a3a1+a2+a3=7,则该数列的公比为(  )

    A. -2 B. 2 C. ±2 D.

    1. 若实数ab满足|a||b|,则(  )

    A. eaeb
    B. sinasinb
    C.
    D.

    1. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4AB=2,点EF分别为棱BB1CC1上两点,且BE=BB1CF=CC1,则(  )

    A. D1EAF,且直线D1EAF异面 B. D1EAF,且直线D1EAF相交
    C. D1E=AF,且直线D1EAF异面 D. D1E=AF,且直线D1EAF相交

    1. 设函数,若fx)在点(3f3))的切线与x轴平行,且在区间[m-1m+1]上单调递减,则实数m的取值范围是(  )

    A. m≤2 B. m≥4 C. 1m≤2 D. 0m≤3

    1. 国际羽毛球比赛规则从20065月开始,正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制,并且每次得分者发球,所有单项的每局获胜分至少是21分,最高不超过30分,即先到21分的获胜一方赢得该局比赛,如果双方比分为2020时,获胜的一方需超过对方2分才算取胜,直至双方比分打成2929时,那么先到第30分的一方获胜.在一局比赛中,甲发球赢球的概率为,甲接发球赢球的概率为,则在比分为2020,且甲发球的情况下,甲以2321赢下比赛的概率为(  )

    A.  B.  C.  D.

    1. 函数fx=的图象大致为(  )

    A.  B.
    C.  D.

    1. 设圆Cx2+y2-2x-3=0,若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦,则线段PC长度的最大值为(  )

    A.  B. 2 C. 4 D.

    1. 设函数fx=cos|2x|+|sinx|,下述四个结论:
      fx)是偶函数;②fx)的最小正周期为π
      fx)的最小值为0;④fx)在[02π]上有3个零点.
      其中所有正确结论的编号是(  )

    A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④

    二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)

    1. 若等差数列{an}满足:a1=1a2+a3=5,则an=______
    2. 今年由于猪肉涨价太多,更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查,其中不买猪肉的人有30位,买了肉的人有90位,买猪肉且买其它肉的人共30位,则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为______
    3. 已知双曲线Cx2-=1的左,右焦点分别为F1F2,过F1的直线l分别与两条渐进线交于AB两点,若=0,则λ=______
    4. 若函数fx=恰有2个零点,则实数a的取值范围是______

    三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)

    1. 某汽车美容公司为吸引顾客,推出优惠活动:对首次消费的顾客,按200/次收费,并注册成为会员,对会员逐次消费给予相应优惠,标准如表:

    消费次第

    1

    2

    3

    4

    ≥5

    收费比例

    1

    0.95

    0.90

    0.85

    0.80

    该公司从注册的会员中,随机抽取了100位进行统计,得到统计数据如表:

    消费次第

    1

    2

    3

    4

    5

    频数

    60

    20

    10

    5

    5

    假设汽车美容一次,公司成本为150元,根据所给数据,解答下列问题:
    1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率;
    2)某会员仅消费两次,求这两次消费中,公司获得的平均利润;
    3)以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,设该公司为一位会员服务的平均利润为X元,求X的分布列和数学期望EX).






     

    1. ABC的内角ABC的对边分别为abc,设
      )求sinB
      )若ABC的周长为8,求ABC的面积的取值范围.






       
    2. 如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的菱形,且ADC=60°
      )证明:平面CDD1平面ABCD
      )求二面角D1-AD-C的余弦值.










     

    1. 设椭圆,过点A21)的直线APAQ分别交C于不同的两点PQ,直线PQ恒过点B40).
      )证明:直线APAQ的斜率之和为定值;
      )直线APAQ分别与x轴相交于MN两点,在x轴上是否存在定点G,使得|GM||GN|为定值?若存在,求出点G的坐标,若不存在,请说明理由.






       
    2. 设函数
      )证明:fx≤0
      )当时,不等式恒成立,求m的取值范围.






       
    3. 在直角坐标系xOy中,直线lt为参数)与曲线Cm为参数)相交于不同的两点AB
      )当α=时,求直线l与曲线C的普通方程;
      )若|MA||MB|=2||MA|-|MB||,其中M0),求直线l的倾斜角.






       
    4. 已知函数fx=|x+1|+|ax-1|
      )当a=1时,求不等式fx≤4的解集;
      )当x≥1时,不等式fx≤3x+b成立,证明:a+b≥0







    答案和解析

    1.【答案】C
    2.【答案】A
    3.【答案】A
    4.【答案】B
    5.【答案】B
    6.【答案】C
    7.【答案】A
    8.【答案】C
    9.【答案】B
    10.【答案】D
    11.【答案】C
    12.【答案】B
    13.【答案】n
    14.【答案】0.4
    15.【答案】1
    16.【答案】[1{2}[e+∞
    17.【答案】解:(1100位会员中,至少消费两次的会员有40人,
    估计一位会员至少消费两次的概率为
    2)该会员第一次消费时,公司获得利润为200-150=50(元),
    2次消费时,公司获得利润为200×0.95-150=40(元),
    公司这两次服务的平均利润为(元).
    3)由(2)知,一位会员消费次数可能为1次,2次,3次,4次,5次,当会员仅消费1次时,利润为50元,当会员仅消费2次时,平均利润为45元,当会员仅消费3次时,平均利润为40元,当会员仅消费4次时,平均利润为35元,当会员仅消费5次时,平均利润为30元,
    X的所有可能取值为5045403530X的分布列为:

    X

    50

    45

    40

    35

    30

    P

    0.6

    0.2

    0.1

    0.05

    0.05

    X数学期望为EX=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25(元).
     

    【解析】(1100位会员中,至少消费两次的会员有40人,即可得出估计一位会员至少消费两次的概率.
    2)该会员第一次消费时,公司获得利润为200-150=50(元),第2次消费时,公司获得利润为200×0.95-150=40(元),即可得出公司这两次服务的平均利润.
    3)由(2)知,一位会员消费次数可能为1次,2次,3次,4次,5次,当会员仅消费1次时,利润为50元,当会员仅消费2次时,平均利润为45元,当会员仅消费3次时,平均利润为40元,当会员仅消费4次时,平均利润为35元,当会员仅消费5次时,平均利润为30元,故X的所有可能取值为5045403530,即可得出X的分布列.
    本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    18.【答案】解:(1sinA+C=sinB
    ,又




    2)由题意知:a+b+c=8,故b=8-a+c




    (舍),即
    (当a=c时等号成立)
    综上,ABC的面积的取值范围为
     

    【解析】(1)直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果.
    2)利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果.
    本题考查的知识要点:三角函数关系式的变换,正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.
    19.【答案】(1)证明:令CD的中点为O,连接OAOD1AC

    D1ODC
    底面ABCD为边长为2的菱形,且ADC=60°
    AO=

    D1OOA
    OADC平面ABCDOADC=O
    D1O平面CDD1
    平面CDD1平面ABCD
    2)过O作直线OHADH,连接D1H
    D1O平面ABCD
    D1OADAD平面OHD1
    ADHD1
    ∴∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角,
    OD=1ODA=60°


     

    【解析】(1)令CD的中点为O,连接OAOD1AC,证明D1ODCD1OOA,然后证明平面CDD1平面ABCD
    2)过O作直线OHADH,连接D1H,说明D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角,通过求解三角形,求解即可.
    本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用,二面角的平面角的求法,考查空间想象能力以及计算能力,是中档题.
    20.【答案】解:()证明:设Px1y1),Qx2y2),
    直线PQAPAQ的斜率分别为kk1k2
    得(1+4k2x2-32k2x+64k2-8=0
    0,可得:
    =
    =
    )设Mx30),Nx40),
    y-1=k1x-2),令y=0,得x3=2-,即M2-0),
    同理,即N2-0),
    x轴上存在定点Gx00),

    =|x0-22+x0-2)(+|=
    要使|GM||GN|为定值,即x0-2=1x0=3
    x轴上存在定点G30)使|GM||GN|为定值,该定值为1
     

    【解析】()设Px1y1),Qx2y2),联立直线y=kx-4)和椭圆方程,运用韦达定理,直线PQAPAQ的斜率分别为kk1k2,运用直线的斜率公式,化简整理即可得到得证;
    )设Mx30),Nx40),由y-1=k1x-2),令y=0,求得M的坐标,同理可得N的坐标,再由两点的距离公式,化简整理可得所求乘积.
    本题考查椭圆的方程和运用,注意联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理,考查直线的斜率公式,以及存在性问题的解法,考查化简运算能力,属于中档题.
    21.【答案】解:(f′(x=-cosxx[0]上单调递增,f′(x[-1]
    所以存在唯一x00),f′(x0=0.当x0x0),f′(x)<0fx)递减;当xx0),f′(x)>0fx)递增.
    所以fxmax=max=0fx≤00≤x
    g′(x=-sinx+mx-),g″(x=-cosx+m
    m≥0时,g′(x≤0,则gx)在[0]上单调递减,所以gxmin=g=,满足题意.
    -m0时,g″(x)在x上单调递增.g''0=+m0
    所以存在唯一x10),g″(x1=0
    x0x1),g″(x)<0,则g′(x)递减;当xx1),g″(x)>0,则g′(x)递增.
    g′(0=-m0g′(=0,所以存在唯一x2g′(x2=0
    x0x2),g′(x)>0,则gx)递增;xg′(x)<0,则gx)递减.
    要使gx恒成立,即,解得m,所以m0
    m≤-时,g″(x≤0,当x[0]g′(x)递减,又g′(x≥0
    所以gx)在递增.则gxg=与题意矛盾.
    综上:m的取值范围为[+∞).
     

    【解析】()利用fx)的导数可先判断出其单调区间,比较可求出函数的最大值,即可证;
    )对gx)二次求导判断出m≥0时,可求出gxmin=g=,当-m0时,与题意矛盾,综合可求出m的取值范围.
    本题考查利用导数求函数单调区间,求函数最值问题,还涉及函数恒成立问题,属于中档题.
    22.【答案】解:()当α=时,直线lt为参数)化为
    消去参数t,可得直线l的普通方程为y=x-
    由曲线Cm为参数),消去参数m,可得曲线C的普通方程为y2=2x
    )将直线lt为参数)代入y2=2x


    |MA||MB|=2||MA|-|MB||,得|t1t2|=2|t1+t2|
    ,解得|cosα|=
    直线l的倾斜角为
     

    【解析】()当α=时,直线lt为参数)化为,消去参数t,可得直线l的普通方程;直接把曲线C的参数方程消去参数m,可得曲线C的普通方程;
    )将直线lt为参数)代入y2=2x,化为关于t的一元二次方程,利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cosα|=,则直线l的倾斜角可求.
    本题考查参数方程化普通方程,关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用,是中档题.
    23.【答案】()解:当a=1时,fx=|x+1|+|x-1|=
    fx≤4-1≤x≤1
    1x≤2-1≤x≤1-2≤x-1-2≤x≤2
    不等式的解集为{x|-2≤x≤2}
    )证明:当x≥1时,不等式fx≤3x+b成立,
    x+1+|ax-1|≤3x+b
    |ax-1|≤2x+b-1
    -2x-b+1≤ax-1≤2x+b-1

    x≥1
    a+b≥0
     

    【解析】()将a=1代入fx)中,然后将fx)写出分段函数的形式,再根据fx≤4分别解不等式即可;
    )根据当x≥1时,不等式fx≤3x+b成立,可得|ax-1|≤2x+b-1,然后解不等式,进一步得到a+b≥0
    本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式,考查了分类讨论思想和转化思想,属中档题.
     

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