高考数学一轮复习考点测试刷题本36 二元一次不等式组与简单的线性规划（含答案解析）
展开2020高考数学(文数)考点测试刷题本36
二元一次不等式组与简单的线性规划
1.已知点(a，b)是平面区域内的任意一点，则3a-b的最小值为( )
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
A．(-∞，2] B．[2，3] C．[3，＋∞) D．[2，＋∞)
3.在如图所示的平面区域内有A(5，3)，B(1，1)，C(1，5)三点，若使目标函数z=ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的值是( )
A. B. C．2 D.
4.已知实数x，y满足约束条件，则|y-x|的最大值是( )
A．2 B. C．4 D．3
A．2 B．3 C．4 D．5
6.某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为( )
A．11280元 B．12480元 C．10280元 D．11480元
7.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x＋5y的最大值为( )
A．6 B．19 C．21 D．45
8.已知x，y满足约束条件，若z=ax＋y的最大值为4，则a=( )
A．2 B.0.5 C．-2 D．-0.5
9.如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为 .
10.若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y-x的最小值是________．
11.设变量x，y满足约束条件则的最大值为________．
12.某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两个工种，已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元，该厂每个月木工最多完成8000个工作时，漆工最多完成1300个工作时，根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．
(1)求目标函数z=x-y＋的最值；
(2)若目标函数z=ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．
(1)指出x，y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
15.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
16.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
原料 肥料 | A | B | C |
甲 | 4 | 8 | 3 |
乙 | 5 | 5 | 10 |
现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.
已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.
分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能够产生最大的利润?并求出最大利润.
解析：
根据题意可知(a，b)在如图阴影中，设z=3a-b.则b=3a-z，
所以-z可以理解为y=3x＋t中的纵截距t.因而当y=3x＋t过点(0，2)时，t最大为2.
即-z最大为2，所以z最小为-2.
解析：作不等式组表示的平面区域，如图．平移直线x＋3y=0到点A时，z取得最小值，
由解得点A，，所以zmin=＋=2，无最大值．故选D.
解析：
由题意知，当z=ax＋y与直线AC重合时最优解有无穷多个．因为kAC=-，所以-a=-，即a=.
解析：画出不等式组表示的平面区域(如图)，计算得A(1，2)，B(4，1)，
当直线z=x-y过点A时zmin=-1，过点B时zmax=3，则-1≤x-y≤3，则|y-x|≤3.
解析：
由不等式2x＋y<6，得y<6-2x，且x>0，y>0，则当x=1时，0<y<4，则y=1，2，3，
此时整点有(1，1)，(1，2)，(1，3)；当x=2时，0<y<2，则y=1，此时整点有(2，1)；
当x=3时，y无解．故平面区域内的整点个数为4.故选C.
解析：
设租用的卡车和农用车分别为x辆和y辆，运完全部黄瓜支出的运费为z元，
则目标函数z=960x＋360y，
此不等式组表示的可行域是△ABC(其中A(10，8)，B(10，20)，C(6.25，20))内横坐标
和纵坐标均为整数的点．当直线l：z=960x＋360y经过点A(10，8)时，运费最低，
且其最低运费zmin=960×10＋360×8=12480(元)，选B.
解析：由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．
作出基本直线l0：3x＋5y=0，平移直线l0，当直线经过点A(2，3)时，z取最大值，
即zmax=3×2＋5×3=21.故选C.
解析：作不等式组表示的平面区域如图．当直线l：y=-ax＋z经过△AOB区域时，
l在y轴上的最大截距为4，则点B(2，0)为最优解，所以z=2a=4，即a=2，故选A.
解析：由题意可知直线z=2x+3y经过点A(2,1)时,z取得最大值,即zmax=2×2+3×1=7.
解析：
由x＋1≤y≤2x作出可行域，如图中阴影部分所示．设z=2y-x，则y=x＋z，
当直线y=x＋z过A(1，2)时，z取得最小值3.
解析：
题设中的约束条件如图中阴影部分所表示的区域，则表示可行域内点P(x，y)
与B(0，-1)的连线的斜率，由图知，当P位于A(1，2)时，取得最大值=3.
解析：
依题意，设每个月生产x把椅子、y张桌子，那么利润t=1500x＋2000y.
其中x，y满足约束条件可行域如图中阴影部分所示，
对于不同的t值，t=1500x＋2000y表示一组斜率为-的平行线，且t越大，
相应的直线位置越高；t越小，相应的直线位置越低．依题意，要求t的最大值，
需把直线t=1500x＋2000y尽量地往上平移，又考虑到x，y的允许范围，
显然当直线通过点B时，处在这组平行线的最高位置，此时t取最大值．
由得点B(200，900)，从而tmax=1500×200＋2000×900=2100000(元)，
即生产200把椅子、900张桌子可获得最大利润2100000元．
(1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．
平移初始直线x-y=0，过A(3，4)取最小值-2，过C(1，0)取最大值1.
∴z的最大值为1，最小值为-2.
(2)直线ax＋2y=z仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知-1<-<2，解得-4<a<2.
故所求a的取值范围是(-4，2)．
(1)不等式x-y＋5≥0表示直线x-y＋5=0上及右下方的点的集合．
x＋y≥0表示直线x＋y=0上及右上方的点的集合，
x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合．
所以，不等式组
表示的平面区域如图所示．
结合图中可行域得x∈，y∈[-3，8]．
(2)由图形及不等式组知
当x=3时，-3≤y≤8，有12个整点；
当x=2时，-2≤y≤7，有10个整点；
当x=1时，-1≤y≤6，有8个整点；
当x=0时，0≤y≤5，有6个整点；
当x=-1时，1≤y≤4，有4个整点；
当x=-2时，2≤y≤3，有2个整点．
所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12=42(个)．
(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x＋25y.
考虑z=60x＋25y，将它变形为y=-x＋，这是斜率为-，随z变化的一族平行直线.
为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值就最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z=60x＋25y经过可行域上的点M时，
截距最大，即z最大．解方程组得则点M的坐标为(6，3)．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．
解析：该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:
(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-
x+
,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.
解方程组
得点M的坐标为(20,24).所以zmax=2×20+3×24=112.
答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.
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