湘教版九年级下册2.5 直线与圆的位置关系精品教案

2.5.3切线长定理

【知识与技能】

掌握切线长定理及其运用.

【过程与方法】

通过对圆的切线长及切线长定理的学习,培养学生分析,归纳及解决问题的能力.

【情感态度】

通过学生自己的实践发现定理,培养学生学习的积极性和主动性.

【教学重点】

切线长定理及运用.

【教学难点】

切线长定理的推导.

一、情境导入，初步认识

活动1:如图,过⊙O外一点P作⊙O的切线,回答问题:

(1)可作几条切线?

(2)作切线的依据是什么?学生回答,教师归纳展示作法:

(1)①连OP.

②以OP为直径作圆，交⊙O于点A、B.③作直线PA，PB.即直线PA、PB为所求作的圆的两条直线.

(2)由OP为直径,可得OA⊥PA,OB⊥PB,由切线判定定理知:PA、PB为⊙O的两条切线.

【教学说明】该活动中作圆的切线实际上是个难点,教师展示后应放手让学生自己再动手作一次,让学生体会运用知识的成功感.

二、思考探究，获取新知

1.切线长定理

(1)切线长定义:从圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.

(2)如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B.求证:PA=PB,∠APO=∠BPO.

学生完成:由此得出切线长定理.

切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

2.切线长定理的运用

例1如图,AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD.

求证:CO∥BD.

【分析】连接AB,因为AD为直径,那么∠ABD=90°,即BD⊥AB.因此要证CO∥BD.只要证CO⊥AB即可.

证明:连接AB.∵CA,CB是⊙O的切线,点A,B为切点,

∴CA=CB,∠ACO=∠BCO,

∴CO⊥AB.∵AD是⊙O的直径,

∴∠ABD=90°,即BD⊥AB,∴CO∥BD.

例2如图,PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E,已知PA=6,求△PCD的周长.

【教学说明】图中有三个分别从点P、C、D出发的切线基本图形,因此可以用切线长定理实现线段的等量转化.

解:∵CA、CE与⊙O分别相切于点A、E,

∴CA=CE.

∵DE、DB与⊙O分别相切于点E、B,∴DE=DB.

∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B,

∴PA=PB.

∴△PCD的周长C△PCD=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB

=2PA=12.

四、运用新知，深化理解

1.如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=40°,则∠BAC的度数是_____.

第1题图      第2题图

2.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，如果∠APB=60°,PA=8，那么弦AB的长是_____.

3.如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,直线OP交⊙O于点D,E,交BC于C,图中互相垂直的直线共有____对.

第3题图     第4题图

4.如图,AD,DC,BC都与⊙O相切,且AD∥BC,则∠DOC=______.

5.如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连接OF.

(1)求证:OD∥BE;

(2)猜想:OF与CD有何数量关系?并说明理由.

【教学说明】学生自主完成,加深对切线长定理的理解.

【答案】1.20° 2.8  3.3  4.90°

5.解：（1）证明：连接OE，

∵AM，DE是⊙O的切线.OA，OE是⊙O的半径，

∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°,

∴∠AOD=∠EOD=∠AOE,

∵∠ABE=∠AOE,∴∠AOD=∠ABE,

∴OD∥BE.

(2)OF=CD,理由：连接OC，

∵BC，CE是⊙O的切线，

∴∠OCB=∠OCE,

∵AM∥BN，

∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°,

由（1）得∠ADO=∠EDO，

∴2∠EDO+2∠OCE=180°,

即∠EDO+∠OCE=90°,

在Rt△DOC中，

∵F是DC的中点，∴OF=CD.

四、师生互动，课堂小结

1.在本课你学到了什么？还有哪些疑惑？

2.师生共同回顾切线长的定义及切线的定理.

1.教材P75第5题，P76第11题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课开始让同学们过圆外一点画圆的切线,从而得出切线长的定义及切线长定理,培养学生动手,动脑的习惯,加深对所学知识的认识,并运用所学知识解决实际问题.