高考数学一轮复习检测：第8章第1节 直线的方程及应用 含解析

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)

A．y＝x＋2　　　　　　　 B．y＝x－2

C．y＝x＋  D．y＝－x＋2

解析：选A.因为直线x－2y－4＝0的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，

所以直线l的方程为y＝x＋2.

2．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)

A．－10  B．－2

C．0  D．8

解析：选A.因为l1∥l2，所以kAB＝＝－2.

解得m＝－8.

又因为l2⊥l3，所以－×(－2)＝－1，

解得n＝－2，所以m＋n＝－10.

3．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　)

A．－1＜k＜  B．k＞1或k＜

C．k＞或k＜1  D．k＞或k＜－1

解析：选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，

令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，

则－3＜1－＜3，解得k＞或k＜－1.

4．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为(　　)

A.  B．－

C．2  D．－2

解析：选A.直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1，1)，而直线y＝2x＋3上的点(0，3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，而A，B两点都在l2上，所以kl2＝＝.

5．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直线是(　　)

解析：选C.因为x＜0时，ax＞1，所以0＜a＜1.

则直线y＝ax＋的斜率为0＜a＜1，

在y轴上的截距＞1.故选C.

6．(2018·江西南昌二中月考)设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是(　　)

A.∪

B.

C.

D.∪

解析：选B.易知直线ax＋y＋2＝0过定点P(0，－2)，kPA＝－，kPB＝，设直线ax＋y＋2＝0的斜率为k，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，根据图象(图略)可知－＜k＜，即－＜－a＜，解得－＜a＜，故选B.

7．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．

解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2，2]．

答案：[－2，2]

8．已知一直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________．

解析：若所求直线的斜率存在，则可设其方程为：

y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，

由题设有＝，

即|k－1|＝|k－7|，解得k＝4.

此时直线方程为4x－y－2＝0.

若所求直线的斜率不存在，方程为x＝1，

满足题设条件．

故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.

答案：4x－y－2＝0或x＝1

9．(2018·山西四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．

解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y＝2x－3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m，n)的连线，于是

解得所以m＋n＝.

答案：

10．点P为直线y＝x上任一点，F1(－5，0)，F2(5，0)，则||PF1|－|PF2||的取值范围为________．

解析：由题意，P在原点时，||PF1|－|PF2||＝0，

F2(5，0)关于直线y＝x对称点的坐标为F(a，b)，则所以a＝，b＝，

所以||PF1|－|PF2||的最大值为

＝8，

所以||PF1|－|PF2||的取值范围为[0，8]．

答案：[0，8]

B级　能力提升练

11．在△ABC中，A(1，1)，B(m，)(1＜m＜4)，C(4，2)，则当△ABC的面积最大时，m＝(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B.由两点间距离公式可得|AC|＝，

直线AC的方程为x－3y＋2＝0，

所以点B到直线AC的距离d＝，

从而△ABC的面积

S＝|AC|d＝|m－3＋2|＝

又1＜m＜4，所以1＜＜2，所以当＝，

即m＝时，S取得最大值．

12．(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　)

A．(－2，4)  B．(－2，－4)

C．(2，4)  D．(2，－4)

解析：选C.设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得

所以BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3，1)关于直线y＝2x的对称点为(－1，3)，所以AC所在直线方程为y－2＝·(x＋4)，即x－3y＋10＝0.联立得解得则C(2，4)．故选C.

13．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)

A．x＋y－2＝0  B．x－y＋2＝0

C．x＋y－3＝0  D．x－y＋3＝0

解析：选D.圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0，3)．

直线x＋y＋1＝0的斜率为－1，且直线l与该直线垂直，故直线l的斜率为1.即直线l是过点(0，3)，斜率为1的直线，用点斜式表示为y－3＝x，即x－y＋3＝0.

14．(2018·宁夏银川九中月考)若直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是________．

解析：直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)在x轴，y轴上的截距之和为a＋b，∵直线l经过点(1，2)，∴＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当b＝a时等号成立，∴直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3＋2.

答案：3＋2

15．(2018·安徽蚌埠质检)在平面直角坐标系中，已知点P(－2，2)，直线l：a(x－1)＋b(y＋2)＝0(a，b∈R且不同时为零)，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是________．

解析：易知直线l经过定点(1，－2)，则点P到直线l的最大距离为＝5，最小距离为0，所以d的取值范围是[0，5]．

答案：[0，5]

16．(2018·湖南岳阳模拟)已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则＋的最小值为________．

解析：因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，所以＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2，则＋＝(a＋c)·＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时取等号．故＋的最小值为.

答案：