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2023年浙江省金华市浦江县中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）
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这是一份2023年浙江省金华市浦江县中考数学模拟试卷（5月份）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省金华市浦江县中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 3的相反数是( )
A. −3 B. −13 C. 3 D. 13
2. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号三位航天员进行授课，央视新闻全程直播，某一时刻观看人数达到379.2万，“379.2万”用科学记数法可以表示为( )
A. 3792×103 B. 379.2×104 C. 3.792×106 D. 0.3792×107
3. 下列运算正确的是( )
A. a3⋅a2=a6 B. (a3)2=a5 C. a2+a2=a4 D. a2−a2=0
4. 一个不透明的袋子里装有3个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是白球的概率( )
A. 14
B. 12
C. 34
D. 13
5. 一元二次方程x2−4x+3=0的解是( )
A. x1=3，x2=1 B. x1=−3，x2=1
C. x1=3，x2=−1 D. x1=−3，x2=−1
6. 如图是由六个棱长为1的正方体组成的几何体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=40°，则∠D的度数是( )
A. 120°
B. 130°
C. 140°
D. 150°
8. 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AB=2m.已知木箱高1m，斜面坡角为α度，则木箱端点E距地面的高度( )
A. 2tanα+cosα(米) B. 2tanα+sinα(米)
C. 2sinα+cosα(米) D. 2sinα+tanα(米)
9. 如图，矩形纸片ABCD中，点E是边BC的中点，连结AE，过点A对折矩形纸片，使点D落在射线AE上，折痕为AF，若AB=2，AD=3，则DF=( )
A. 32
B. 85
C. 2
D. 3
10. 如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，AD=4，CD=2，连结BD，则sin∠BCD的值为( )
A. 33
B. 55
C. 66
D. 1010
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：m2−4= ．
12. 如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图(每人每次投球10个)，则s甲2 ______ s乙2(填“>”，“=”或“<”)．
13. 如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______ ．
14. 北京2022年冬奥会奖牌由圆环加同心圆构成牌体，形象来源于中国古代同心圆玉璧.如图所示的同心圆⊙O中，半径OA、OB交小圆于D、C两点，OA=3，OD=2，则扇形ODC的面积与扇面ABCD面积比是______ ．
15. 已知抛物线y=ax2+bx−4过点(−4,−4)、(x,4)，则a的取值范围是______ ．
16. 光从空气射入某介质发生折射时，入射角的正弦与折射角的正弦之比叫做这种介质的折射率，如图1所示，该介质的折射率为sinαsinβ.某同学学习了光的折射后，准备了一些材质相同，厚度不同的均匀介质，进行实验，已知一束光线的入射角正弦值为35．
(1)如图2，在没有介质遮挡下，光线照射在平面上的点P处，当放入一厚度为8cm的介质后，点P向右平移了2cm到达点Q处，则该介质的折射率为______ ；
(2)如图3，两个互相垂直的平面AB与AC，在没有介质遮挡下，光线照射在AC面上的点M处，且AM=4cm，当放入某一厚度的介质后，折射光线照在AB面的点M′处且AM′=1，则放入介质的厚度为______ cm．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(−1)2023−2tan45°+ 9+(−12)0．
18. (本小题6.0分)
解不等式：3(x+2)−2(2x−3)<12．
19. (本小题6.0分)
如图，已知正比例函数y=2x与反比例函数y=kx(k≠0)的图象都经过点A和点B，点A的横坐标为1，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接BM．
求：(1)这个反比例函数的解析式；
(2)△ABM的面积．
20. (本小题8.0分)
为了了解八年级学生的课外阅读情况，学校随机抽取调查了该年级部分学生，得到他们双休日课外阅读时间(记为t，单位：时)的一组样本数据，其统计图如图所示．
t
人数
1
3
2
4
3
6
4
m
5
3
6
2
请解答下列问题：
(1)统计表中m= ______ ；中位数是______ ．
(2)求出这个样本中，双休日课外阅读时间的平均数．
(3)该校八年级有850名学生，按照这个样本，学生在双休日课外阅读时间为4小时的人数有多少人？
(4)你认为双休日课外阅读时间几小时比较合适，并说说你的理由．
21. (本小题8.0分)
如图，PQ为半圆O的直径，且OP=2，点A是OP上任意一点(A不与O、P重合)，AB⊥OP交半圆于点B，在线段AB的右边作矩形ABCD，点C在半圆上，点D在PQ上．
(1)如图1，当OA=1时，求AB的长．
(2)如图2，OA的长按下列作图得到．
作法：1、过O作EO⊥PQ，交半圆于点E，取OQ中点F，连结EF，
2、作OH⊥EF，垂足为H，
3、以O为圆心，OH为半径作弧，交OP于点A．
①求OA的长；
②若CM是半圆的切线，交PQ的延长线于点M，求CM的长．
22. (本小题10.0分)
浦江桃形李是地方名果，是浦江县的特产之一.请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．
信息及素材
素材一
在专业种植技术人员的正确指导下，果农对桃形李的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年桃形李平均每株产量是35千克，2022年达到了50.4千克，每年的增长率是相同的．
素材二
一般采用的是长方体包装盒．
素材三
果农们通过问卷调查发现，顾客也很愿意购买美观漂亮的其它设计的包装纸盒．
任务1：求桃形李产量的年平均增长率；
任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形(如图1)，折成无盖长方体纸盒(如图2).为了放下适当数量的桃形李，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高；
任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒(如图4)，求出此时纸盒的高.(图中实线表示剪切线，虚线表示折痕.纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计)
23. (本小题10.0分)
某公司在甲、乙两城生产同一种产品，受原材料产地，上、下游配套工厂等因素影响，生产成本不同.甲城产品的成本y(万元)与产品数量x(件)之间的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0)，图象为如图的虚线所示：乙城产品的成本y(万元)与产品数量x(件)之间的关系式为y=kx(k≠0)，其图象为如图的实线所示．
(1)求a、b、k的值．
(2)若甲、乙两城一共生产50件产品，请设计一种方案，使得总生产成本最小．
(3)从甲城把产品运往A、B两地的运费(万元)与件数(件)的关系式为：y甲A=nx，y甲B=3x；从乙城把产品运往A、B两地的运费(万元)与件数(件)的关系为：y乙A=x，y乙B=2x；现在A地需要40件，B地需要10件，在(2)的条件下，求总运费的最小值(用含n的式子表示)．
24. (本小题12.0分)
已知▱OABC的边OA在x轴上，点B坐标(8,4)、点C坐标(2,4).点P是x轴正半轴上一个动点，PQ⊥x轴，交边OC或射线CB于点Q，以PQ为底边在其右边作等腰直角△GPQ．
(1)求sin∠CAO的值．
(2)如图1，连结AC，当点G在AC上，证明：点Q与点C重合．
(3)如图2，连结AG、BG，当△ABG是直角三角形时，求点P的坐标．
(4)设△GPQ与▱OABC的重合部分面积为S，令OP=m，当点P从点O运动到点A时，求面积S与m的函数关系式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据概念，3的相反数在3的前面加“−“号，则3的相反数是−3．
故选：A．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】C
【解析】解：379.2万=3792000=3.792×106，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：A.a3⋅a2=a5，故A错误，不符合题意；
B. (a3)2=a6，故B错误，不符合题意；
C.a2+a2=2a2，故C错误，不符合题意；
D.a2−a2=0，故D正确，符合题意．
故选：D．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项逐项判断即可．
本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：从袋中任意摸出一个球共有4种等可能结果，其中是白球的有1种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是白球的概率为14，
故选：A．
从袋中任意摸出一个球共有4种等可能结果，其中是白球的有1种结果，再根据概率公式求解即可得出答案．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
5.【答案】A
【解析】解：x2−4x+3=0，
(x−3)(x−1)=0，
∴x−3=0或x−1=0，
∴x1=3，x2=1．
故选：A．
利用因式分解法解答，即可求解．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：根据左视图的定义，左视图应该是．
故选：C．
根据左视图的定义，画出图象即可．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=180°−∠CAB−∠ACB=180°−40°−90°=50°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠D=180°−50°=130°．
故选：B．
根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理求出∠B，根据A、B、C、D四点共圆求出∠B+∠D=180°，再代入求出即可．
本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质等知识点，能求出∠ACB的度数和求出∠B+∠D=180°是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：过点B作BD⊥AC于点D，过点E作EF⊥BD交DB的延长线于点F，
则点E距地面的高度就是FD的长，
由题意，知∠EBF=180°−∠ABE−∠ABD=180°−90°−(90°−∠BAD)=∠BAD=α度，
在Rt△ABD中，
∵AB=2m，sin∠BAD=BDAB，
∴BD=ABsin∠BAD=2sinα(m)，
在Rt△EBF中，
∵EB=1m，cos∠EBF=BFEB，
∴BF=EBcos∠EBF=cosα(m)，
∴FD=BD+BF=2sinα+cosα(m)，
故选：C．
过点B作BD⊥AC于点D，过点E作EF⊥BD交DB的延长线于点F，分别在Rt△ABD和Rt△EBF中求出BD和FB，再利用线段的和即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形，利用三角函数关系是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：延长AE与DC的延长线相交于点G，作FH⊥AG于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=∠DCE=∠GCE=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，
∵AB=2，BE=12BC=32，
∴AE= 22+(32)2=52，
在△ABE和△GCE中，
∠B=∠GCE=90°BE=CE∠AEB=∠GEC，
∴△AEB≌△GEC(ASA)，
∴CG=AB=2，∠G=∠GAB，
由折叠的性质知∠DAF=∠FAG，
∵∠D=90°，FG⊥AG，
∴FD=FH，
设FD=FH=x，则GF=CD+CG−DF=4−x，
∵sinG=sin∠EAB，
∴x4+x=3252，
解得x=32，
经检验，x=32是所列方程的解，
∴FD=32．
故选：A．
延长AE与DC的延长线相交于点G，作FH⊥AG于点H，证明△AEB≌△GEC(ASA)，推出CG=AB=2，由折叠的性质知∠DAF=∠FAG，得到FD=FH，设FD=FH=x，利用sinG=sin∠EAB，列式计算即可求解．
本题考查了矩形与折叠问题，角平分线的性质定理，解直角三角形，利用sinG=sin∠EAB列式计算是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：设BC交AD于点I，作IE⊥AC于点E，则∠AEI=∠CEI=90°，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠CEI=∠BAC，∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠EIC=∠ABC=45°，
∴∠EIC=∠ECI=45°，
∴IE=CE，
∵∠AEI=∠ADC=90°，∠EAI=∠DAC，
∴△AEI∽△ADC，
∴AEAD=IECD，
∴AE=AD⋅IECD=4IE2=2IE=2CE，
∴2CE+CE= AD2+CD2= 42+22=2 5，
∵IE=CE=2 53，
∴AE=2×2 53=4 53，IC= IE2+CE2= (2 53)2+(2 53)2=2 103，
∴AI= AE2+IE2= (4 53)2+(2 53)2=103，
∵ID=AD−AI=4−103=23，
∴sin∠BCD=IDIC=232 103= 1010，
故选：D．
设BC交AD于点I，作IE⊥AC于点E，由∠BAC=90°，AB=AC，得∠ACB=∠ABC=45°，可证明∠EIC=∠ECI=45°，则IE=CE，再证明△AEI∽△ADC，得AEAD=IECD，可推导出AE=2IE=2CE，则2CE+CE= AD2+CD2=2 5，所以IE=CE=2 53，AE=4 53，由根据勾股定理可求得IC= IE2+CE2=2 103，AI= AE2+IE2=103，则ID=AD−AI=23，即可求得sin∠BCD=IDIC= 1010，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11.【答案】(m+2)(m−2)
【解析】解：m2−4=(m+2)(m−2)．
故答案为：(m+2)(m−2)．
根据平方差公式，进行因式分解．
本题考查公式法的因式分解，解题的关键是掌握平方差公式的因式分解法．
12.【答案】<
【解析】解：由折线统计图可得，
乙的波动大，甲的波动小，故S乙2>S甲2，
故答案为：<．
根据折线统计图的波动情况可判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定，即方差的大小．
本题考查折线统计图和方差，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】(2,0)
【解析】解：如图，点P为位似中心，P(2,0)．
故答案为：(2,0)．
连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P，则P点为位似中心，然后写出P点坐标即可．
本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行(或共线).也考查了正方形的性质．
14.【答案】4：5
【解析】解：设∠AOB=n°，
∵OA=3，OD=2，
∴S扇形AOB=nπ×32360=nπ4，S扇形COD=nπ×22360=nπ9，
∴扇面ABCD面积为nπ4−nπ9=5nπ36，
∴扇形ODC的面积与扇面ABCD面积比为4：5，
故答案为：4：5．
利用扇形面积公式表示出扇形AOB和扇形COD的面积，进一步求得扇面ABCD面积，即可求得扇形ODC的面积与扇面ABCD面积比．
本题考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．
15.【答案】a>0或a≤−2
【解析】解：∵y=ax2+bx−4，
∴当x=0时，y=−4，即：y=ax2+bx−4过(0,−4)，
∵y=ax2+bx−4过(−4,−4)，(0,−4)，
∴y=ax2+bx−4的对称轴为：x=−b2a=−4+02=−2，即：b=4a，
则当x=−2时，y=−4a−4，
∵y=ax2+bx−4过(x,4)，即存在x使得y=4，
当a>0时，y有最小值−4a−4<0，故存在x使得y=4；
当a<0时，y有最大值−4a−4，要使得存在x使得y=4，则−4a−4≥4，即：a≤−2；
∴a>0或a≤−2；
故答案为：a>0或a≤−2．
由题意可得y=ax2+bx−4过(0,−4)，可知对称轴为x=−b2a=−2，得b=4a，由抛物线过(x,4)，可知存在x使得y=4，分a>0和a<0讨论最值即可求解．
本题考查二次函数的性质，熟练掌握并理解二次函数的性质是解决问题的关键．
16.【答案】3 55 16
【解析】解：(1)如图，
∵一束光线的入射角正弦值为35，
∴sinα=PP1OP=35，
设PP1=3x cm，则OP=5x cm，
∴OP1=4x cm，
∵放入一厚度为8cm的介质，
∴OP1=8cm，
∴4x=8，
解得x=2，
∴PP1=6cm，
∵QP=2cm，
∴QP1=PP1−QP=4cm，
∴OQ= 82+42=4 5(cm)，
∴sinβ=QP1OQ=44 5=1 5= 55，
∴sinαsinβ=351 5=3 55；
故答案为：3 55；
(2)分别过点O、F作AB的垂线，垂足分别为H、K，过点M分别作FK、DH的垂线，垂足分别为J、G，
∵cosβ= 1−sin2β=2 55，
∴tanβ=sinβcosβ= 552 55=12，
在△DFE中，tanβ=FEOE=2，
设EF=KH=y cm，则d=OE=2y cm，
设M′K=3x cm，
∴AH=CO=(3x+y+1)cm，
在△MCO中，tanα=COCM=34，
∴CM=43(3x+y+1)cm，
在△M′FK中，tanα=M′KFK=34，
∴FK=4x cm，
∵AC=DH，
：43(3x+y+1)+4=2y+4x，
∴2y=16，即d=2y=16，
故答案为：16．
(1)求得sinβ，根据入射角的正弦与折射角的正弦之比叫做这种介质的折射率即可求解；
(2)作出如图的辅助线，在△OFE中，得到tanβ=sinβcosβ=12，设EF=KH=y cm，则d=DE=2y cm，设MK=3x cm，求得AH=CD=(3x+y+1)cm，在△MCD中，求得CM=43(3x+y+1)cm，在△MFK中，求得FK=4x cm，利用AC=DH，列式计算即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，同角三角函数的关系，理解介质的折射率的定义是解题的关键．
17.【答案】解：(−1)2023−2tan45°+ 9+(−12)0
=−1−2×1+3+1
=−1−2+3+1
=1．
【解析】根据乘方的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则，算术平方根定义进行解答即可．
本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握乘方的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则，算术平方根定义，准确计算．
18.【答案】解：3(x+2)−2(2x−3)<12，
去括号，得：3x+6−4x+6<12，
移项，得：3x−4x<12−6−6，
合并同类项，得：−x<0，
把x系数化为1，得：x>0．
【解析】不等式去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)∵点A 在正比例函数y=2x的图象上，A(1,2)，
又∵A在反比例函数y=kx的图象上，
∴2=k1，
解得：k=2，
∴反比例函数的解析式为y=k2；
(2)∵AM=2，OM=1，
∴S△AMO=12×1×2=1，
∴S△ABM=2S△AMO=2．
【解析】(1)根据题意将x=1代入正比例函数y=3x，求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数y=kx(k≠0)求出解析式即可；
(2)根据反比例函数关于原点对称，从而得出△ABM的面积等于三角形AOM的2倍．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及三角形面积的求法，注意反比例函数的对称性．
20.【答案】7 3
【解析】解：(1)调查总人数为：3÷12%=25，
∴m=25−3−4−6−3−2=7，
∵调查总人数为25人，则中位数在第13人，
∴中位数为：3；
故答案为：7，3；
(2)双休日课外阅读时间的平均数为：
1×3+2×4+3×6+4×7+5×3+6×225=3.36(小时)，
答：双休日课外阅读时间的平均数为3.36小时；
(3)850×725=238(人)，
答：学生在双休日课外阅读时间为4小时的人数有238人；
(4)双休日课外阅读时间3小时比较合适，
理由：因为有一半以上的人的课外阅读时间都在3小时以上．(答案不唯一)
(1)结合扇形统计中的百分比求得所调查的总人数，进而可求得m的值，再根据中位数的定义求解即可；
(2)根据平均数的定义求解即可；
(3)利用样本估计总体即可；
(4)利用中位数作决定．
本题主要考查了频数分布表，扇形统计图及用样本估计总体，中位数及平均数．解题的关键是读懂统计图，能从频数分布表，扇形统计图中得到准确的信息．
21.【答案】(1)解：连接OB，
∵矩形ABCD，
∴∠BAO=90°，
∵OP=OB=2，OA=1
∴AB= OB2−OA2= 22−12= 3；
(2)解：①∵EO⊥PQ，OF=12OQ=1，
∴EF= 22+12= 5，
∵OH⊥EF，12OF×OE=12EF×OH，
∴OH=2 55，
∴OA=2 55；
②连接OC，OB
∵矩形ABCD，
∴CD=AB= OB2−AO2=4 55，OD=OA=2 55，
∵CM时半圆的切线，
∴OC⊥CM，
∵CD⊥OM，
∴∠OCM=∠ODC，
∴△OCM∽△ODC，
∴OCOD=CMCD，即22 55=CM4 55，
∴CM=4．
【解析】(1)直接利用勾股定理即可求解；
(2)①利用勾股定理求得EF= 5，再利用面积法即可求解；
②求得CD=AB=4 55，OD=OA=2 55，证明△OCM∽△ODC，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：任务1：设桃形李产量的年平均增长率为x，
由题意得：
35(1+x)2=50.4，
解得：x1=0.2，x2=−2.2(不符合题意，舍去)，
答：桃形李产量的年平均增长率为20%；
任务2：设裁掉正方形的边长为m(cm)，由题意得：
(75−2m)×(80−2m)=3300，
化简得，4m2−310m+2700=0，
整理得，(m−10)(4m−270)=0，
解得：m1=10，m2=1352(不符合题意舍去)，
答：此时纸盒的高为10cm；
任务3：如图，设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点M、N，
设底面正六边形的边长为a(cm)，纸盒的高为b(cm)，
∵正六边形的每条边相等，每个内角都为120°，
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=120°，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
由正六边形的性质可得BE平分∠ABC，
∴∠ABE=60°，
∴∠AGB=90°，
∴直角三角形ABG中，BG=12a，AG= 32a，
同理可得直角三角形FHE中，HE=12a，
∵CG=AG= 32a，b+AG+GC+b=75，
∴2b+ 3a=75①，
∵左侧小三角形顶点B的角度=360°−120°−90°−90°=60°，
∴左侧小三角形为边长b的等边三角形，
根据图形的上下对称可得MN与长方形纸板的左右两边垂直，
∴BM为等边三角形的高，
∴BM= 32b，
同理可得，EN=BM= 32b
∵四边形AGHF为矩形，
∴GH=AF=a，
∵MN=MB+BG+GH+HE+EN=80，
∴2a+ 3b=80②，
联立①②式可得b=150−8 3，
答：纸盒的高为(150−8 3)cm；
【解析】任务1：设桃形李产量的年平均增长率为x，则2022年的产量为35(1+x)2千克，由2022年的产量解方程即可；
任务2：由图1可得裁掉正方形的边长即为图2长方体盒子的高，设裁掉正方形的边长为m(cm)，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可；
任务3：设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点M、N，根据正六边形的性质求得△ABG为含30°角的直角三角形，可得其两直角边的长度；结合等边三角形的判定和性质再求得左右两侧小三角形的高，然后根据长方形纸板的长和宽建立方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的边长关系，对称的性质；掌握正六边形的性质是解题关键．
23.【答案】解：(1)∵y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点，
∴c=0，
将(2,3)和(1,54)代入解析式y=ax2+bx+c(a≠0)得3=4a+2b①54=a+b②，
②×4−①得：b=1，
代入①中得a=14，
∴a=14b=1，
将(2,6)代入y=kx中得k=3，
∴a=14，b=1，k=3；
(2)由(1)可得，甲：y=14x2+x，乙：y=3x，
设生产成本为w，则得到w=14x2+x+3(50−x)=14x2−2x+150=14(x−4)2+146，
∴当x=4时，甲、乙两城生产这批产品总成本和最少，
50−4=46，
∴甲城生产4件，乙城生产46件，此时生产成本最小；
(3)设从甲城运往A地区的产品数量为m件，甲、乙两城总运费为p，则从甲城运往B地的产品数量为(4−m)件，从乙城运往A地的产品数量为(40−m)件，从乙城运往B地的产品数量为(10−4+m)件，
由题意可得：4−m≥040−m≥010−4+m≥0m≥0，
解得：0≤m≤4，
∴p=mn+3(4−m)+40−m+2(10−4+m)，
=mn+12−3m+40−m+12+2m
=mn−2m+64
=(n−2)m+64，
当0≤n≤2，0≤m≤4时，p随n的增大而减小，
∴m=4时，p的值最小，
最小值为4(n−2)+64=4n+56；
当n>2，0≤m≤4时，p随n的增大而增大，
则m=0时，p的值最小，最小值为64；
∴当0≤n≤2时，总运费为(4n+56)万元；
当n>2时，总运费为64万元．
【解析】(1)根据函数图象过原点得到c=0，将(2,3)和(1,54)代入解析式即可求解；
(2)由(1)可得甲、乙的函数表达式，设生产成本为w，则得到w=14x2+x+3(50−x)，化简后根据二次函数的最值判断即可；
(3)设从甲城运往A地区的产品数量为m件，甲、乙两城总运费为p，则从甲城运往B地的产品数量为(4−m)件，从乙城运往A地的产品数量为(40−m)件，从乙城运往B地的产品数量为(10−4+m)件，根据题意列出不等式求出m的取值范围，再表示出p，根据判断即可得到结果．
本题主要考查了利用待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式以及一次函数在实际问题当中的应用，理解清楚题目中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键．
24.【答案】(1)解：作CD⊥x轴于点D，
∵点C坐标(2,4)，点B坐标(8,4)，
∴OD=2，CD=4，OC= 22+42=2 5，BC=OA=8−2=6，
∴OC= 22+42=2 5，AD=6−2=4=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∴sin∠CAO=sin45°= 22；
(2)证明：∵PQ⊥x轴，△GPQ是等腰直角三角形，当点G在AC上，
∴∠PGA=180°−45°−45°=90°，PG=AG，
∵∠PGQ=90°，PG=QG，
∴PG=QG=AG，
∴点Q与点C重合；
(3)解：过点G作GN⊥x轴于点N，作GM⊥PQ于点M，
∵△GPQ是等腰直角三角形，
∴GM=GN=12PQ，
当∠GAB=90°时，△ABG是直角三角形，如图，
∵tan∠COD=CDOD=42=2，
∴tan∠QOP=PQOP=2，
∴OP=12PQ=GM=GN，
∵∠GAN+∠GAB+∠COD=180°，
∴∠GAN+∠COD=90°=∠GAN+∠OQP，
∴∠OQP=∠GAN，
∴△OQP≌△GAN，
∴AN=PQ=2OP，
∴OP+PN+AN=6，即OP+OP+2OP=6，
∴OP=32，
∴点P的坐标为(32,0)；
当∠AGB=90°时，△ABG是直角三角形，如图，
取AB的中点H，则点H的坐标为(7,2)，过点G作GN⊥x轴于点N，交BC于点E，作GM⊥PQ于点M，
同理，GE=GF=GM=12PQ=2，点M、G、H共线，AB=OC=2 5，
∵点H是斜边AB的中点，
∴GH=12AB= 5，
∴HM=2+ 5，
∴点M的横坐标为7−(2+ 5)=5− 5，
∴点P的坐标为(5− 5,0)；
当∠AGB=90°且点G在AB右侧时，△ABG是直角三角形，如图，
同理，可得HM=GH−GM= 5−2，
∴点M的横坐标为7+( 5−2)=5+ 5，
∴点P的坐标为(5+ 5,0)；
当∠ABG=90°且点G在AB右侧时，△ABG是直角三角形，如图，
同理，△BEG≌△CDO，
∴BE=CD=4，BG=OC=2 5，
在Rt△BHG中，BH=12AB= 5，
∴GH= ( 5)2+(2 5)2=5，
∴点M的横坐标为7+5−2=10，
∴点P的坐标为(10,0)；
综上，点P的坐标为(32,0)或(5− 5,0)或(5+ 5,0)或(10,0)；
(4)解：当0
∴S=12PQ×PM=m2；
当点G、H重合时，
∴点M的横坐标为7−2=5，
∴点P的坐标为(5,0)；
∴当2
此时，PQ=4，GM=12PQ=2，
∴S=12PQ×GM=4；
当5
过点G作LK//AB交x轴于点L，交CB的延长线于点K，QG、PG分别交AB点F、J，
∵点M的横坐标为m，
∴GH=BK=AL=m+2−7=m−5，QK=8−m+m−5=3，PL=6−m+m−5=1，
∴S△GQK=12QK×QM=3，S△GPL=12PL×PM=1，
∵GH//QK//PL，
∴△GHF∽△QKG，△GHJ∽△PLG，
∴S△GHFS△QKG=(GHQK)2=(m−5)29，S△GHJS△PLG=(GHPL)2=(m−5)2，
∴S△GJF=S△GHF+S△GHJ=43(m−5)2，
∴S=4−43(m−5)2=−4m2+40m−883，
综上，S=m2,0≤m≤24,2
(2)求得∠PGA=90°，∠PGQ=90°，PG=QG=AG，即可证明结论成立；
(3)分四种情况讨论，作GN⊥x轴于点N，作GM⊥PQ于点M，推出GM=GN=12PQ，据此求解即可；
(4)分三种情况讨论，同(3)的方法即可求解．
本题是四边形的综合题，涉及到解直角三角形，相似三角形的判定和性质，分段分情况讨论，解本题的关键是用m表示出点的坐标和分情况，本题的计算量比较大．
2023年浙江省金华市浦江县中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 3的相反数是( )
A. −3 B. −13 C. 3 D. 13
2. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号三位航天员进行授课，央视新闻全程直播，某一时刻观看人数达到379.2万，“379.2万”用科学记数法可以表示为( )
A. 3792×103 B. 379.2×104 C. 3.792×106 D. 0.3792×107
3. 下列运算正确的是( )
A. a3⋅a2=a6 B. (a3)2=a5 C. a2+a2=a4 D. a2−a2=0
4. 一个不透明的袋子里装有3个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是白球的概率( )
A. 14
B. 12
C. 34
D. 13
5. 一元二次方程x2−4x+3=0的解是( )
A. x1=3，x2=1 B. x1=−3，x2=1
C. x1=3，x2=−1 D. x1=−3，x2=−1
6. 如图是由六个棱长为1的正方体组成的几何体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=40°，则∠D的度数是( )
A. 120°
B. 130°
C. 140°
D. 150°
8. 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AB=2m.已知木箱高1m，斜面坡角为α度，则木箱端点E距地面的高度( )
A. 2tanα+cosα(米) B. 2tanα+sinα(米)
C. 2sinα+cosα(米) D. 2sinα+tanα(米)
9. 如图，矩形纸片ABCD中，点E是边BC的中点，连结AE，过点A对折矩形纸片，使点D落在射线AE上，折痕为AF，若AB=2，AD=3，则DF=( )
A. 32
B. 85
C. 2
D. 3
10. 如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，AD=4，CD=2，连结BD，则sin∠BCD的值为( )
A. 33
B. 55
C. 66
D. 1010
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：m2−4= ．
12. 如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图(每人每次投球10个)，则s甲2 ______ s乙2(填“>”，“=”或“<”)．
13. 如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______ ．
14. 北京2022年冬奥会奖牌由圆环加同心圆构成牌体，形象来源于中国古代同心圆玉璧.如图所示的同心圆⊙O中，半径OA、OB交小圆于D、C两点，OA=3，OD=2，则扇形ODC的面积与扇面ABCD面积比是______ ．
15. 已知抛物线y=ax2+bx−4过点(−4,−4)、(x,4)，则a的取值范围是______ ．
16. 光从空气射入某介质发生折射时，入射角的正弦与折射角的正弦之比叫做这种介质的折射率，如图1所示，该介质的折射率为sinαsinβ.某同学学习了光的折射后，准备了一些材质相同，厚度不同的均匀介质，进行实验，已知一束光线的入射角正弦值为35．
(1)如图2，在没有介质遮挡下，光线照射在平面上的点P处，当放入一厚度为8cm的介质后，点P向右平移了2cm到达点Q处，则该介质的折射率为______ ；
(2)如图3，两个互相垂直的平面AB与AC，在没有介质遮挡下，光线照射在AC面上的点M处，且AM=4cm，当放入某一厚度的介质后，折射光线照在AB面的点M′处且AM′=1，则放入介质的厚度为______ cm．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(−1)2023−2tan45°+ 9+(−12)0．
18. (本小题6.0分)
解不等式：3(x+2)−2(2x−3)<12．
19. (本小题6.0分)
如图，已知正比例函数y=2x与反比例函数y=kx(k≠0)的图象都经过点A和点B，点A的横坐标为1，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接BM．
求：(1)这个反比例函数的解析式；
(2)△ABM的面积．
20. (本小题8.0分)
为了了解八年级学生的课外阅读情况，学校随机抽取调查了该年级部分学生，得到他们双休日课外阅读时间(记为t，单位：时)的一组样本数据，其统计图如图所示．
t
人数
1
3
2
4
3
6
4
m
5
3
6
2
请解答下列问题：
(1)统计表中m= ______ ；中位数是______ ．
(2)求出这个样本中，双休日课外阅读时间的平均数．
(3)该校八年级有850名学生，按照这个样本，学生在双休日课外阅读时间为4小时的人数有多少人？
(4)你认为双休日课外阅读时间几小时比较合适，并说说你的理由．
21. (本小题8.0分)
如图，PQ为半圆O的直径，且OP=2，点A是OP上任意一点(A不与O、P重合)，AB⊥OP交半圆于点B，在线段AB的右边作矩形ABCD，点C在半圆上，点D在PQ上．
(1)如图1，当OA=1时，求AB的长．
(2)如图2，OA的长按下列作图得到．
作法：1、过O作EO⊥PQ，交半圆于点E，取OQ中点F，连结EF，
2、作OH⊥EF，垂足为H，
3、以O为圆心，OH为半径作弧，交OP于点A．
①求OA的长；
②若CM是半圆的切线，交PQ的延长线于点M，求CM的长．
22. (本小题10.0分)
浦江桃形李是地方名果，是浦江县的特产之一.请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．
信息及素材
素材一
在专业种植技术人员的正确指导下，果农对桃形李的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年桃形李平均每株产量是35千克，2022年达到了50.4千克，每年的增长率是相同的．
素材二
一般采用的是长方体包装盒．
素材三
果农们通过问卷调查发现，顾客也很愿意购买美观漂亮的其它设计的包装纸盒．
任务1：求桃形李产量的年平均增长率；
任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形(如图1)，折成无盖长方体纸盒(如图2).为了放下适当数量的桃形李，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高；
任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒(如图4)，求出此时纸盒的高.(图中实线表示剪切线，虚线表示折痕.纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计)
23. (本小题10.0分)
某公司在甲、乙两城生产同一种产品，受原材料产地，上、下游配套工厂等因素影响，生产成本不同.甲城产品的成本y(万元)与产品数量x(件)之间的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0)，图象为如图的虚线所示：乙城产品的成本y(万元)与产品数量x(件)之间的关系式为y=kx(k≠0)，其图象为如图的实线所示．
(1)求a、b、k的值．
(2)若甲、乙两城一共生产50件产品，请设计一种方案，使得总生产成本最小．
(3)从甲城把产品运往A、B两地的运费(万元)与件数(件)的关系式为：y甲A=nx，y甲B=3x；从乙城把产品运往A、B两地的运费(万元)与件数(件)的关系为：y乙A=x，y乙B=2x；现在A地需要40件，B地需要10件，在(2)的条件下，求总运费的最小值(用含n的式子表示)．
24. (本小题12.0分)
已知▱OABC的边OA在x轴上，点B坐标(8,4)、点C坐标(2,4).点P是x轴正半轴上一个动点，PQ⊥x轴，交边OC或射线CB于点Q，以PQ为底边在其右边作等腰直角△GPQ．
(1)求sin∠CAO的值．
(2)如图1，连结AC，当点G在AC上，证明：点Q与点C重合．
(3)如图2，连结AG、BG，当△ABG是直角三角形时，求点P的坐标．
(4)设△GPQ与▱OABC的重合部分面积为S，令OP=m，当点P从点O运动到点A时，求面积S与m的函数关系式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据概念，3的相反数在3的前面加“−“号，则3的相反数是−3．
故选：A．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】C
【解析】解：379.2万=3792000=3.792×106，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：A.a3⋅a2=a5，故A错误，不符合题意；
B. (a3)2=a6，故B错误，不符合题意；
C.a2+a2=2a2，故C错误，不符合题意；
D.a2−a2=0，故D正确，符合题意．
故选：D．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项逐项判断即可．
本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：从袋中任意摸出一个球共有4种等可能结果，其中是白球的有1种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是白球的概率为14，
故选：A．
从袋中任意摸出一个球共有4种等可能结果，其中是白球的有1种结果，再根据概率公式求解即可得出答案．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
5.【答案】A
【解析】解：x2−4x+3=0，
(x−3)(x−1)=0，
∴x−3=0或x−1=0，
∴x1=3，x2=1．
故选：A．
利用因式分解法解答，即可求解．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：根据左视图的定义，左视图应该是．
故选：C．
根据左视图的定义，画出图象即可．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=180°−∠CAB−∠ACB=180°−40°−90°=50°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠D=180°−50°=130°．
故选：B．
根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理求出∠B，根据A、B、C、D四点共圆求出∠B+∠D=180°，再代入求出即可．
本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质等知识点，能求出∠ACB的度数和求出∠B+∠D=180°是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：过点B作BD⊥AC于点D，过点E作EF⊥BD交DB的延长线于点F，
则点E距地面的高度就是FD的长，
由题意，知∠EBF=180°−∠ABE−∠ABD=180°−90°−(90°−∠BAD)=∠BAD=α度，
在Rt△ABD中，
∵AB=2m，sin∠BAD=BDAB，
∴BD=ABsin∠BAD=2sinα(m)，
在Rt△EBF中，
∵EB=1m，cos∠EBF=BFEB，
∴BF=EBcos∠EBF=cosα(m)，
∴FD=BD+BF=2sinα+cosα(m)，
故选：C．
过点B作BD⊥AC于点D，过点E作EF⊥BD交DB的延长线于点F，分别在Rt△ABD和Rt△EBF中求出BD和FB，再利用线段的和即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形，利用三角函数关系是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：延长AE与DC的延长线相交于点G，作FH⊥AG于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=∠DCE=∠GCE=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，
∵AB=2，BE=12BC=32，
∴AE= 22+(32)2=52，
在△ABE和△GCE中，
∠B=∠GCE=90°BE=CE∠AEB=∠GEC，
∴△AEB≌△GEC(ASA)，
∴CG=AB=2，∠G=∠GAB，
由折叠的性质知∠DAF=∠FAG，
∵∠D=90°，FG⊥AG，
∴FD=FH，
设FD=FH=x，则GF=CD+CG−DF=4−x，
∵sinG=sin∠EAB，
∴x4+x=3252，
解得x=32，
经检验，x=32是所列方程的解，
∴FD=32．
故选：A．
延长AE与DC的延长线相交于点G，作FH⊥AG于点H，证明△AEB≌△GEC(ASA)，推出CG=AB=2，由折叠的性质知∠DAF=∠FAG，得到FD=FH，设FD=FH=x，利用sinG=sin∠EAB，列式计算即可求解．
本题考查了矩形与折叠问题，角平分线的性质定理，解直角三角形，利用sinG=sin∠EAB列式计算是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：设BC交AD于点I，作IE⊥AC于点E，则∠AEI=∠CEI=90°，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠CEI=∠BAC，∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠EIC=∠ABC=45°，
∴∠EIC=∠ECI=45°，
∴IE=CE，
∵∠AEI=∠ADC=90°，∠EAI=∠DAC，
∴△AEI∽△ADC，
∴AEAD=IECD，
∴AE=AD⋅IECD=4IE2=2IE=2CE，
∴2CE+CE= AD2+CD2= 42+22=2 5，
∵IE=CE=2 53，
∴AE=2×2 53=4 53，IC= IE2+CE2= (2 53)2+(2 53)2=2 103，
∴AI= AE2+IE2= (4 53)2+(2 53)2=103，
∵ID=AD−AI=4−103=23，
∴sin∠BCD=IDIC=232 103= 1010，
故选：D．
设BC交AD于点I，作IE⊥AC于点E，由∠BAC=90°，AB=AC，得∠ACB=∠ABC=45°，可证明∠EIC=∠ECI=45°，则IE=CE，再证明△AEI∽△ADC，得AEAD=IECD，可推导出AE=2IE=2CE，则2CE+CE= AD2+CD2=2 5，所以IE=CE=2 53，AE=4 53，由根据勾股定理可求得IC= IE2+CE2=2 103，AI= AE2+IE2=103，则ID=AD−AI=23，即可求得sin∠BCD=IDIC= 1010，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11.【答案】(m+2)(m−2)
【解析】解：m2−4=(m+2)(m−2)．
故答案为：(m+2)(m−2)．
根据平方差公式，进行因式分解．
本题考查公式法的因式分解，解题的关键是掌握平方差公式的因式分解法．
12.【答案】<
【解析】解：由折线统计图可得，
乙的波动大，甲的波动小，故S乙2>S甲2，
故答案为：<．
根据折线统计图的波动情况可判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定，即方差的大小．
本题考查折线统计图和方差，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】(2,0)
【解析】解：如图，点P为位似中心，P(2,0)．
故答案为：(2,0)．
连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P，则P点为位似中心，然后写出P点坐标即可．
本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行(或共线).也考查了正方形的性质．
14.【答案】4：5
【解析】解：设∠AOB=n°，
∵OA=3，OD=2，
∴S扇形AOB=nπ×32360=nπ4，S扇形COD=nπ×22360=nπ9，
∴扇面ABCD面积为nπ4−nπ9=5nπ36，
∴扇形ODC的面积与扇面ABCD面积比为4：5，
故答案为：4：5．
利用扇形面积公式表示出扇形AOB和扇形COD的面积，进一步求得扇面ABCD面积，即可求得扇形ODC的面积与扇面ABCD面积比．
本题考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．
15.【答案】a>0或a≤−2
【解析】解：∵y=ax2+bx−4，
∴当x=0时，y=−4，即：y=ax2+bx−4过(0,−4)，
∵y=ax2+bx−4过(−4,−4)，(0,−4)，
∴y=ax2+bx−4的对称轴为：x=−b2a=−4+02=−2，即：b=4a，
则当x=−2时，y=−4a−4，
∵y=ax2+bx−4过(x,4)，即存在x使得y=4，
当a>0时，y有最小值−4a−4<0，故存在x使得y=4；
当a<0时，y有最大值−4a−4，要使得存在x使得y=4，则−4a−4≥4，即：a≤−2；
∴a>0或a≤−2；
故答案为：a>0或a≤−2．
由题意可得y=ax2+bx−4过(0,−4)，可知对称轴为x=−b2a=−2，得b=4a，由抛物线过(x,4)，可知存在x使得y=4，分a>0和a<0讨论最值即可求解．
本题考查二次函数的性质，熟练掌握并理解二次函数的性质是解决问题的关键．
16.【答案】3 55 16
【解析】解：(1)如图，
∵一束光线的入射角正弦值为35，
∴sinα=PP1OP=35，
设PP1=3x cm，则OP=5x cm，
∴OP1=4x cm，
∵放入一厚度为8cm的介质，
∴OP1=8cm，
∴4x=8，
解得x=2，
∴PP1=6cm，
∵QP=2cm，
∴QP1=PP1−QP=4cm，
∴OQ= 82+42=4 5(cm)，
∴sinβ=QP1OQ=44 5=1 5= 55，
∴sinαsinβ=351 5=3 55；
故答案为：3 55；
(2)分别过点O、F作AB的垂线，垂足分别为H、K，过点M分别作FK、DH的垂线，垂足分别为J、G，
∵cosβ= 1−sin2β=2 55，
∴tanβ=sinβcosβ= 552 55=12，
在△DFE中，tanβ=FEOE=2，
设EF=KH=y cm，则d=OE=2y cm，
设M′K=3x cm，
∴AH=CO=(3x+y+1)cm，
在△MCO中，tanα=COCM=34，
∴CM=43(3x+y+1)cm，
在△M′FK中，tanα=M′KFK=34，
∴FK=4x cm，
∵AC=DH，
：43(3x+y+1)+4=2y+4x，
∴2y=16，即d=2y=16，
故答案为：16．
(1)求得sinβ，根据入射角的正弦与折射角的正弦之比叫做这种介质的折射率即可求解；
(2)作出如图的辅助线，在△OFE中，得到tanβ=sinβcosβ=12，设EF=KH=y cm，则d=DE=2y cm，设MK=3x cm，求得AH=CD=(3x+y+1)cm，在△MCD中，求得CM=43(3x+y+1)cm，在△MFK中，求得FK=4x cm，利用AC=DH，列式计算即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，同角三角函数的关系，理解介质的折射率的定义是解题的关键．
17.【答案】解：(−1)2023−2tan45°+ 9+(−12)0
=−1−2×1+3+1
=−1−2+3+1
=1．
【解析】根据乘方的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则，算术平方根定义进行解答即可．
本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握乘方的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则，算术平方根定义，准确计算．
18.【答案】解：3(x+2)−2(2x−3)<12，
去括号，得：3x+6−4x+6<12，
移项，得：3x−4x<12−6−6，
合并同类项，得：−x<0，
把x系数化为1，得：x>0．
【解析】不等式去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)∵点A 在正比例函数y=2x的图象上，A(1,2)，
又∵A在反比例函数y=kx的图象上，
∴2=k1，
解得：k=2，
∴反比例函数的解析式为y=k2；
(2)∵AM=2，OM=1，
∴S△AMO=12×1×2=1，
∴S△ABM=2S△AMO=2．
【解析】(1)根据题意将x=1代入正比例函数y=3x，求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数y=kx(k≠0)求出解析式即可；
(2)根据反比例函数关于原点对称，从而得出△ABM的面积等于三角形AOM的2倍．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及三角形面积的求法，注意反比例函数的对称性．
20.【答案】7 3
【解析】解：(1)调查总人数为：3÷12%=25，
∴m=25−3−4−6−3−2=7，
∵调查总人数为25人，则中位数在第13人，
∴中位数为：3；
故答案为：7，3；
(2)双休日课外阅读时间的平均数为：
1×3+2×4+3×6+4×7+5×3+6×225=3.36(小时)，
答：双休日课外阅读时间的平均数为3.36小时；
(3)850×725=238(人)，
答：学生在双休日课外阅读时间为4小时的人数有238人；
(4)双休日课外阅读时间3小时比较合适，
理由：因为有一半以上的人的课外阅读时间都在3小时以上．(答案不唯一)
(1)结合扇形统计中的百分比求得所调查的总人数，进而可求得m的值，再根据中位数的定义求解即可；
(2)根据平均数的定义求解即可；
(3)利用样本估计总体即可；
(4)利用中位数作决定．
本题主要考查了频数分布表，扇形统计图及用样本估计总体，中位数及平均数．解题的关键是读懂统计图，能从频数分布表，扇形统计图中得到准确的信息．
21.【答案】(1)解：连接OB，
∵矩形ABCD，
∴∠BAO=90°，
∵OP=OB=2，OA=1
∴AB= OB2−OA2= 22−12= 3；
(2)解：①∵EO⊥PQ，OF=12OQ=1，
∴EF= 22+12= 5，
∵OH⊥EF，12OF×OE=12EF×OH，
∴OH=2 55，
∴OA=2 55；
②连接OC，OB
∵矩形ABCD，
∴CD=AB= OB2−AO2=4 55，OD=OA=2 55，
∵CM时半圆的切线，
∴OC⊥CM，
∵CD⊥OM，
∴∠OCM=∠ODC，
∴△OCM∽△ODC，
∴OCOD=CMCD，即22 55=CM4 55，
∴CM=4．
【解析】(1)直接利用勾股定理即可求解；
(2)①利用勾股定理求得EF= 5，再利用面积法即可求解；
②求得CD=AB=4 55，OD=OA=2 55，证明△OCM∽△ODC，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：任务1：设桃形李产量的年平均增长率为x，
由题意得：
35(1+x)2=50.4，
解得：x1=0.2，x2=−2.2(不符合题意，舍去)，
答：桃形李产量的年平均增长率为20%；
任务2：设裁掉正方形的边长为m(cm)，由题意得：
(75−2m)×(80−2m)=3300，
化简得，4m2−310m+2700=0，
整理得，(m−10)(4m−270)=0，
解得：m1=10，m2=1352(不符合题意舍去)，
答：此时纸盒的高为10cm；
任务3：如图，设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点M、N，
设底面正六边形的边长为a(cm)，纸盒的高为b(cm)，
∵正六边形的每条边相等，每个内角都为120°，
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=120°，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
由正六边形的性质可得BE平分∠ABC，
∴∠ABE=60°，
∴∠AGB=90°，
∴直角三角形ABG中，BG=12a，AG= 32a，
同理可得直角三角形FHE中，HE=12a，
∵CG=AG= 32a，b+AG+GC+b=75，
∴2b+ 3a=75①，
∵左侧小三角形顶点B的角度=360°−120°−90°−90°=60°，
∴左侧小三角形为边长b的等边三角形，
根据图形的上下对称可得MN与长方形纸板的左右两边垂直，
∴BM为等边三角形的高，
∴BM= 32b，
同理可得，EN=BM= 32b
∵四边形AGHF为矩形，
∴GH=AF=a，
∵MN=MB+BG+GH+HE+EN=80，
∴2a+ 3b=80②，
联立①②式可得b=150−8 3，
答：纸盒的高为(150−8 3)cm；
【解析】任务1：设桃形李产量的年平均增长率为x，则2022年的产量为35(1+x)2千克，由2022年的产量解方程即可；
任务2：由图1可得裁掉正方形的边长即为图2长方体盒子的高，设裁掉正方形的边长为m(cm)，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可；
任务3：设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点M、N，根据正六边形的性质求得△ABG为含30°角的直角三角形，可得其两直角边的长度；结合等边三角形的判定和性质再求得左右两侧小三角形的高，然后根据长方形纸板的长和宽建立方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的边长关系，对称的性质；掌握正六边形的性质是解题关键．
23.【答案】解：(1)∵y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点，
∴c=0，
将(2,3)和(1,54)代入解析式y=ax2+bx+c(a≠0)得3=4a+2b①54=a+b②，
②×4−①得：b=1，
代入①中得a=14，
∴a=14b=1，
将(2,6)代入y=kx中得k=3，
∴a=14，b=1，k=3；
(2)由(1)可得，甲：y=14x2+x，乙：y=3x，
设生产成本为w，则得到w=14x2+x+3(50−x)=14x2−2x+150=14(x−4)2+146，
∴当x=4时，甲、乙两城生产这批产品总成本和最少，
50−4=46，
∴甲城生产4件，乙城生产46件，此时生产成本最小；
(3)设从甲城运往A地区的产品数量为m件，甲、乙两城总运费为p，则从甲城运往B地的产品数量为(4−m)件，从乙城运往A地的产品数量为(40−m)件，从乙城运往B地的产品数量为(10−4+m)件，
由题意可得：4−m≥040−m≥010−4+m≥0m≥0，
解得：0≤m≤4，
∴p=mn+3(4−m)+40−m+2(10−4+m)，
=mn+12−3m+40−m+12+2m
=mn−2m+64
=(n−2)m+64，
当0≤n≤2，0≤m≤4时，p随n的增大而减小，
∴m=4时，p的值最小，
最小值为4(n−2)+64=4n+56；
当n>2，0≤m≤4时，p随n的增大而增大，
则m=0时，p的值最小，最小值为64；
∴当0≤n≤2时，总运费为(4n+56)万元；
当n>2时，总运费为64万元．
【解析】(1)根据函数图象过原点得到c=0，将(2,3)和(1,54)代入解析式即可求解；
(2)由(1)可得甲、乙的函数表达式，设生产成本为w，则得到w=14x2+x+3(50−x)，化简后根据二次函数的最值判断即可；
(3)设从甲城运往A地区的产品数量为m件，甲、乙两城总运费为p，则从甲城运往B地的产品数量为(4−m)件，从乙城运往A地的产品数量为(40−m)件，从乙城运往B地的产品数量为(10−4+m)件，根据题意列出不等式求出m的取值范围，再表示出p，根据判断即可得到结果．
本题主要考查了利用待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式以及一次函数在实际问题当中的应用，理解清楚题目中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键．
24.【答案】(1)解：作CD⊥x轴于点D，
∵点C坐标(2,4)，点B坐标(8,4)，
∴OD=2，CD=4，OC= 22+42=2 5，BC=OA=8−2=6，
∴OC= 22+42=2 5，AD=6−2=4=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∴sin∠CAO=sin45°= 22；
(2)证明：∵PQ⊥x轴，△GPQ是等腰直角三角形，当点G在AC上，
∴∠PGA=180°−45°−45°=90°，PG=AG，
∵∠PGQ=90°，PG=QG，
∴PG=QG=AG，
∴点Q与点C重合；
(3)解：过点G作GN⊥x轴于点N，作GM⊥PQ于点M，
∵△GPQ是等腰直角三角形，
∴GM=GN=12PQ，
当∠GAB=90°时，△ABG是直角三角形，如图，
∵tan∠COD=CDOD=42=2，
∴tan∠QOP=PQOP=2，
∴OP=12PQ=GM=GN，
∵∠GAN+∠GAB+∠COD=180°，
∴∠GAN+∠COD=90°=∠GAN+∠OQP，
∴∠OQP=∠GAN，
∴△OQP≌△GAN，
∴AN=PQ=2OP，
∴OP+PN+AN=6，即OP+OP+2OP=6，
∴OP=32，
∴点P的坐标为(32,0)；
当∠AGB=90°时，△ABG是直角三角形，如图，
取AB的中点H，则点H的坐标为(7,2)，过点G作GN⊥x轴于点N，交BC于点E，作GM⊥PQ于点M，
同理，GE=GF=GM=12PQ=2，点M、G、H共线，AB=OC=2 5，
∵点H是斜边AB的中点，
∴GH=12AB= 5，
∴HM=2+ 5，
∴点M的横坐标为7−(2+ 5)=5− 5，
∴点P的坐标为(5− 5,0)；
当∠AGB=90°且点G在AB右侧时，△ABG是直角三角形，如图，
同理，可得HM=GH−GM= 5−2，
∴点M的横坐标为7+( 5−2)=5+ 5，
∴点P的坐标为(5+ 5,0)；
当∠ABG=90°且点G在AB右侧时，△ABG是直角三角形，如图，
同理，△BEG≌△CDO，
∴BE=CD=4，BG=OC=2 5，
在Rt△BHG中，BH=12AB= 5，
∴GH= ( 5)2+(2 5)2=5，
∴点M的横坐标为7+5−2=10，
∴点P的坐标为(10,0)；
综上，点P的坐标为(32,0)或(5− 5,0)或(5+ 5,0)或(10,0)；
(4)解：当0
∴S=12PQ×PM=m2；
当点G、H重合时，
∴点M的横坐标为7−2=5，
∴点P的坐标为(5,0)；
∴当2
此时，PQ=4，GM=12PQ=2，
∴S=12PQ×GM=4；
当5
过点G作LK//AB交x轴于点L，交CB的延长线于点K，QG、PG分别交AB点F、J，
∵点M的横坐标为m，
∴GH=BK=AL=m+2−7=m−5，QK=8−m+m−5=3，PL=6−m+m−5=1，
∴S△GQK=12QK×QM=3，S△GPL=12PL×PM=1，
∵GH//QK//PL，
∴△GHF∽△QKG，△GHJ∽△PLG，
∴S△GHFS△QKG=(GHQK)2=(m−5)29，S△GHJS△PLG=(GHPL)2=(m−5)2，
∴S△GJF=S△GHF+S△GHJ=43(m−5)2，
∴S=4−43(m−5)2=−4m2+40m−883，
综上，S=m2,0≤m≤24,2
(2)求得∠PGA=90°，∠PGQ=90°，PG=QG=AG，即可证明结论成立；
(3)分四种情况讨论，作GN⊥x轴于点N，作GM⊥PQ于点M，推出GM=GN=12PQ，据此求解即可；
(4)分三种情况讨论，同(3)的方法即可求解．
本题是四边形的综合题，涉及到解直角三角形，相似三角形的判定和性质，分段分情况讨论，解本题的关键是用m表示出点的坐标和分情况，本题的计算量比较大．
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