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2022-2023学年山东省淄博市某县七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省淄博市某县七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省淄博市某县七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在下列数学表达式中，不等式的个数是( )
①−3<0；
②4x+3y>0；
③x=3；
④x≠5；
⑤x+2>y+3．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 若a>b，则下列不等式正确的是( )
A. 3a<3b B. ma>mb
C. −a−1>−b−1 D. a2+1>b2+1
3. 随机事件发生的机会是( )
A. 100% B. 0
C. 0和1之间的一个数 D. 以上都不对
4. 若不等式(m+2)x>m+2的解集是x<1，则m的取值范围是( )
A. m>2 B. m<−2 C. m>−2 D. m<2
5. 如图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，设∠ABD和∠DBC度数分别为x，y，那么可列方程组为( )
A. x+y=90x=y−15
B. x+y=90x=15−2y
C. x+y=90x=2y−15
D. 2x=90x=2y−15
6. 已知关于x，y的二元一次方程组x+3y=4−ax−y=3a，给出下列结论中正确的个数是( )
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a=−2；
②当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 如图，在△ABC中，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B=72°，∠AED=58°，则∠C=( )
A. 32°
B. 58°
C. 72°
D. 108°
8. 如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3cm，则CD等于( )
A. 3cm
B. 4cm
C. 1.5cm
D. 2cm
9. 如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则对△ADE的形状最准确的是( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 不等边三角形
10. 如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB=∠DAE=36°，AB=AC，AD=AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是( )
A. ∠ADC=∠AEB B. CD//AB
C. DE=GE D. CD=BE
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC=8，CE=5，则CF的长为______ ．
12. 为响应创建全国卫生城市，改善生态环境的号召，某小区将生活垃圾分成四类：厨余垃圾、可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾，且设置了除颜色不同，其余均相同的垃圾箱：“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱，“不可回收垃圾”箱，“有害垃圾”箱，分别记为A，B，C，D.如果将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱，则投放正确的概率是______ ．
13. 已知关于x的不等式组x⋅a≤1x+3>2的解集为−1
15. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若∠EBF=12°，则∠E= ______ 度.
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
解不等式组：x−4<3(x−2)12(x+4)<3．
17. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长为20cm，AE=5cm，求△ABC的周长．
18. (本小题10.0分)
已知关于x的方程2x−a=3，若该方程的解是不等式3(x−2)+5<4(x−1)的最小整数解，求a的值．
19. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，存在直线y1=2x和直线y2=−x+3．
(1)求出直线y1=2x和直线y2=−x+3的交点坐标；
(2)结合图象，直接写出0
20. (本小题12.0分)
如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上一个动点，DF⊥BC于点F，交CA延长线于点E，
(1)试判断AD、AE的大小关系，并说明理由；
(2)当点D在BA的延长线上时，其他条件不变，(1)中的结论是否还成立？请说明理由．
21. (本小题12.0分)
便利店老板到厂家购进A、B两种商品共用去940元，A种商品每件进价6元，B种商品每件进价8元，且B商品数量比A商品多30件．
(1)该店购进A、B两种商品各有多少件？
(2)该店老板销售这两种商品每件均标价10元，在售出一部分后，剩余部分在标价基础上打8折销售完毕，若这两种商品全部售完总获利超过280元，则先按标价销售的商品至少是多少件？
22. (本小题13.0分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB分别交AB、AD于E、F两点，且BD=FD，AB=CF.求证：
(1)CE⊥AB；
(2)AE=BE．
23. (本小题13.0分)
如图，已知直线AB//射线CD，∠CEB=100°.P是射线EB上一动点，过点P作PQ//EC交射线CD于点Q，连接CP.作∠PCF=∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
(1)若点P，F，G都在点E的右侧，求∠PCG的度数；
(2)若点P，F，G都在点E的右侧，∠EGC−∠ECG=30°，求∠CPQ的度数；
(3)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使∠EGC：∠EFC=4：3？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−3<0，4x+3y>0，x≠5，x+2>y+3符合不等式的定义，则它们是不等式；
x=3不符合不等式的定义，则它不是不等式；
综上，不等式的个数是4个，
故选：C．
用不等号(>,<,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式，据此进行判断即可．
本题考查不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了不等式的性质，要熟练掌握，特别要注意在不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
根据不等式的性质逐一判断，判断出正确的不等式是哪个即可．
【解答】
解：∵a>b，
∴3a>3b，
∴选项A不正确；
∵a>b，
∴当m<0时，ma0时，ma>mb，
∴选项B不正确；
∵a>b，
∴−a<−b，
∴−a−1<−b−1，
∴选项C不正确；
∵a>b，
∴a2>b2，
∴a2+1>b2+1，
∴选项D正确．
故选D．
3.【答案】C
【解析】解：随机事件是可能发生，也可能不发生的事件，因而发生的机会是0和1之间的一个数．故选C．
事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小．
本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
4.【答案】B
【解析】解：当m+2>0时，解得：x>1，与题目中x<1矛盾，故m+2>0，即m>−2时不符合题意；
当m+2<0时，解得：x<1，与题目中x的解集一致，故m+2<0，即m<−2时符合题意．
故m的取值范围为m<−2．
故选：B．
在不等式(m+2)x>m+2的两边同除以m+2，应根据m+2>0或m<0，进行分类讨论，再由x<1的解集求出m的取值范围．
本题考查了不等式的性质：
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
5.【答案】C
【解析】解：设∠ABD和∠DBC度数分别为x，y，可列方程组为：
x+y=90x=2y−15．
故选：C．
分别利用AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，分别得出等式求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：关于x，y的二元一次方程组x+3y=4−a①x−y=3a②，
①+②得，2x+2y=4+2a，
即x+y=2+a，
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y=0，也就是2+a=0，a=−2，因此①正确；
②当a=1时，x+y=2+a=3，而x+y=4+2a=6，因此②不正确；
③方程组x+3y=4−a①x−y=3a②的解为x=2a+1y=1−a，所以x+2y=2a+1+2(1−a)=2，因此③正确；
综上所述，正确的有①③，共2个，
故选：C．
求出关于x，y的二元一次方程组x+3y=4−a①x−y=3a②的解，再逐项进行判断即可．
本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握解二元一次方程组的方法是正确解答的前提．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠1+∠2=180°(已知)，∠1+∠EFD=180°(邻补角定义)，
∴∠2=∠EFD(同角的补角相等)
∴AB//EF(内错角相等，两直线平行)
∴∠ADE=∠3=72°(两直线平行内错角相等)
∵∠3=∠B(已知)，
∴∠ADE=∠B=72°(等量代换)
∴DE//BC(同位角相等，两直线平行)
∴∠AED=∠C=58°(两直线平行同位角相等)．
故选：B．
首先根据∠1+∠EFD=180°和∠1+∠2=180°可以证明∠EFD=∠2，再根据内错角相等，两直线平行可得AB//EF，进而得到∠ADE=∠3，再结合条件∠3=∠B可得∠ADE=∠B，进而得到DE//BC，再由平行线的性质可得∠AED=∠C．
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理和性质定理．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定定理和以及平行线的性质，注意等腰三角形的判定定理：等角对等边，根据题意，可得∠AOC=∠BOC，又因为CD//OB，求得∠C=∠AOC，则CD=OD可求．
【解答】
解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC；
又∵CD//OB，
∴∠C=∠BOC，
∴∠C=∠AOC；
∴CD=OD=3cm．
故选A．
9.【答案】C
【解析】解：∵三角形ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∵BD=CE，∠1=∠2，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠1=∠2BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴△ADE是等边三角形．
故选：C．
先根据已知利用SAS判定△ABD≌△ACE得出AD=AE，∠BAD=∠CAE=60°，从而推出△ADE是等边三角形．
本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定方法，掌握等边三角形的判定和全等三角形的判定是本题的关键，做题时要对这些知识点灵活运用．
10.【答案】C
【解析】解：A.∵∠CAB=∠DAE=36°，
∴∠CAB−∠CAE=∠DAE−∠CAE，
即∠DAC=∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
AD=AE∠DAC=∠EABAC=AB，
∴△DAC≌△EAB(SAS)，
∴∠ADC=∠AEB，故A选项不符合题意；
CD=BE，故D选项不符合题意；
B.∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠CAB=∠DAE=36°，
∴∠ACB=∠ABC=(180°−36°)÷2=72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠ACD=∠ABE=36，
∵∠DCA=∠CAB=36°，
∴CD//AB(内错角相等，两直线平行)，
故B选项不符合题意；
C.根据已知条件无法证明DE=GE，故C选项符合题意．
故选：C．
利用AAS证明△DAC≌△EAB可得∠ADC=∠AEB，CD=BE，可判断A，D选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠ACB的度数，利用角平分线的定义求得∠ACD=∠ABE=36°，即可得∠ACD=∠CAB，进而可证明CD//AB，即可判断B选项正确，进而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明△DAC≌△EAB是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
又BC=8，
∴EF=8，
∵EC=5，
∵CF=EF−EC=8−5=3．
故答案为：3．
根据全等三角形的对应边相等得到EF=BC=7，计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
12.【答案】14
【解析】解：将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱有4种等可能结果，其中投放正确的只有1种结果，
∴投放正确的概率是14．
故答案为：14．
直接利用概率公式求解可得答案；
本题考查了概率的知识，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是关键．
13.【答案】12
【解析】解：不等式组中不等式①的解集为x≤1a，不等式②的解集为x>−1，
又关于x的不等式组的解集为−1
∴a=12，
经检验，a=12是方程的解，
故答案为：12．
根据一元一次不等式组解集的定义得出1a=2，进而求出a的值即可．
本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式组的解法是正确解答的前提．
14.【答案】6
【解析】
【分析】
此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
设兑换成10元x张，20元的零钱y张，根据题意可得等量关系：10x+20y=100，根据等量关系列出方程求整数解即可．
【解答】
解：设兑换成10元x张，20元的零钱y张，由题意得：
10x+20y=100，
整理得：x+2y=10，
方程的整数解为：x=2y=4，x=4y=3，x=6y=2，x=8y=1，x=10y=0，x=0y=5，
因此兑换方案有6种，
故答案为6．
15.【答案】26
【解析】解：∵DF是AB的中垂线，
∴FA=FB，
∴∠FBA=∠A，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠EBF=12°，∠ACB+∠ABC+∠A=180°，
∴∠ABF+12°+∠ABF+12°+∠ABF=180°，
解得：∠ABF=52°，
∴∠ABC=64°，
∵ED⊥AB，
∴∠E=90°−64°=26°，
故答案为：26．
根据线段垂直平分线的性质得到FA=FB，得到∠FBA=∠A，根据三角形内角和定理求出∠ABF，再根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16.【答案】解：x−4<3(x−2)①12(x+4)<3②，
由①得，x>1，
由②得，x<2，
故此不等式组的解集为：1
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=20cm，
又∵AE=5cm，
∴AC=2AE=2×5=10(cm)，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=20+10=30(cm)．
【解析】根据垂直平分线的性质可得AD=CD，根据△ABD周长为20cm，根据中点的性质以及AE=5cm，可得AC的长，进而即可求得△ABC周长
本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
18.【答案】解：解不等式3(x−2)+5<4(x−1)，
去括号，得：3x−6+5<4x−4，
移项，得3x−4x<−4+6−5，
合并同类项，得−x<−3，
系数化成1得：x>3．
则最小的整数解是4．
把x=4代入2x−a=3得：8−a=3，
解得：a=5．
【解析】首先解不等式求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值，代入方程求得a的值即可．
本题考查了一元一次不等式的解法以及方程的解的定义，正确解不等式求得x的值是关键．
19.【答案】1
所以直线y1=2x和直线y2=−x+3的交点坐标是(1,2)；
(2)直线y2=−x+3与x轴的交点坐标是(3,0)．
观察函数图象，发现：
当x<3时，直线y2在x轴的上方，
当x>1时，直线y2在y1的下方，
所以0
(2)观察两函数图象，根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标即可找出不等式0
20.【答案】解：(1)AD=AE；
理由：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DF⊥BC，
∴∠BDF+∠B=90°，∠C+∠E=90°，
∴∠E=∠BDF，
∵∠BDF=∠EDA，
∴∠E=∠EDA，
∴AE=AD；
(2)成立；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DF⊥BC，
∴∠BDF+∠B=90°，∠C+∠FEC=90°，
∴∠FEC=∠BDF，
∵∠FEC=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD．
【解析】(1)根据已知条件得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BDF=90，再根据∠B=∠C得出∠BDF=∠E，最后根据∠BDF=∠ADE，得出∠E=∠ADE，即可证出AD=AE．
(2)作法同(1)完全相同．
此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
21.【答案】解：(1)设该商店购进A商品x件，购进B商品y件，
根据题意可得：6x+8y=940x+30=y，
解得：x=50y=80，
答：该商店购进A商品50件，购进B商品80件．
(2)设先按标价销售的商品是a件．
根据题意有：10a+10×80%×(50+80−a)−940>280，
解得：a>90．
∵a是整数，
∴a的最小值为91．
答：先按标价销售的商品件至少是91件．
【解析】(1)设该商店购进A商品x件，购进B商品y件，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解之，即得出答案；
(2)设先按标价销售的商品是a件，根据题意可列出关于a的一元一次不等式，求出a的解集，再根据a是整数，即可求解．
本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用．读懂题意，找出数量关系，正确列出等式或不等式是解题关键．
22.【答案】证明：(1)∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠CDF=90°，
在Rt△ADB和Rt△CDF中，
AB=CFBD=DF，
∴Rt△ADB≌Rt△CDF(HL)，
∴∠BAD=∠DCF，
在△AEF和△CDF中，
∠EAF=∠DCF，∠AFE=∠CFD，
∴∠AEC=∠CDF=90°
∴CE⊥AB，
(2)∵CE平分∠ACB
∴∠ACE=∠BCE，
又∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
在△ACE和△BCE中,{∠ACE=∠BCECE=CE∠AEC=∠BEC，
∴△ACE≌△BCE(ASA)，
∴AE=BE．
【解析】(1)根据直角三角形的全等证明和全等三角形的性质解答即可；
(2)根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA和HL，做题时，要根据已知条件结合图形进行思考．
23.【答案】解：(1)∵AB//CD，
∴∠CEB+∠ECQ=180°，
∵∠CEB=100°，
∴∠ECQ=80°，
∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，
∴∠PCG=∠PCF+∠FCG=12∠QCF+12∠FCE=12∠ECQ=40°；
(2)∵AB//CD，
∴∠QCG=∠EGC，
∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°，
∴∠EGC+∠ECG=80°，
又∵∠EGC−∠ECG=30°，
∴∠EGC=55°，∠ECG=25°，
∴∠ECG=∠GCF=25°，∠PCF=∠PCQ=12×(80°−50°)=15°，
∵PQ//CE，
∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ−∠PCQ=80°−15°=65°；
(3)存在．理由如下：
设∠EGC=4x°，∠EFC=3x°，
①当点G、F在点E的右侧时，
∵AB//CD，
∴∠QCG=∠EGC=4x°，∠QCF=∠EFC=3x°，
则∠ECG=∠GCF=∠QCG−∠QCF=4x°−3x°=x°，
∴∠PCF=∠PCQ=12∠FCQ=12∠EFC=1.5x°，
∵∠ECD=80°，
∴5x°=80°，
解得x=16，
∴∠CPQ=∠ECP=x°+x°+1.5x°=3.5x°=56°；
②当点G、F在点E的左侧时，反向延长CD到H，
∵∠EGC=4x°，∠EFC=3x°，
∴∠GCH=∠EGC=4x°，∠FCH=∠EFC=3x°，
∴∠ECG=∠GCF=∠GCH−∠FCH=x°，
∵AB//CD，
∴∠CGF=∠GCQ，
∵∠CGF=180°−4x°，∠GCQ=80°+x°，
∴180−4x=80+x，
解得x=20，
∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=20°×2+80°=120°，
∴∠PCQ=12∠FCQ=60°，
∴∠CPQ=∠ECP=80°−60°=20°．
故∠CPQ的度数为56°或20°．
【解析】本题主要考查了平行线的性质和角的平行线的定义．
(1)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；
(2)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=25°，再根据PQ//CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=65°；
(3)设∠EGC=4x°，∠EFC=3x°，则∠GCF=4x°−3x°=x°，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．
2022-2023学年山东省淄博市某县七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在下列数学表达式中，不等式的个数是( )
①−3<0；
②4x+3y>0；
③x=3；
④x≠5；
⑤x+2>y+3．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 若a>b，则下列不等式正确的是( )
A. 3a<3b B. ma>mb
C. −a−1>−b−1 D. a2+1>b2+1
3. 随机事件发生的机会是( )
A. 100% B. 0
C. 0和1之间的一个数 D. 以上都不对
4. 若不等式(m+2)x>m+2的解集是x<1，则m的取值范围是( )
A. m>2 B. m<−2 C. m>−2 D. m<2
5. 如图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，设∠ABD和∠DBC度数分别为x，y，那么可列方程组为( )
A. x+y=90x=y−15
B. x+y=90x=15−2y
C. x+y=90x=2y−15
D. 2x=90x=2y−15
6. 已知关于x，y的二元一次方程组x+3y=4−ax−y=3a，给出下列结论中正确的个数是( )
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a=−2；
②当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 如图，在△ABC中，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B=72°，∠AED=58°，则∠C=( )
A. 32°
B. 58°
C. 72°
D. 108°
8. 如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3cm，则CD等于( )
A. 3cm
B. 4cm
C. 1.5cm
D. 2cm
9. 如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则对△ADE的形状最准确的是( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 不等边三角形
10. 如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB=∠DAE=36°，AB=AC，AD=AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是( )
A. ∠ADC=∠AEB B. CD//AB
C. DE=GE D. CD=BE
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC=8，CE=5，则CF的长为______ ．
12. 为响应创建全国卫生城市，改善生态环境的号召，某小区将生活垃圾分成四类：厨余垃圾、可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾，且设置了除颜色不同，其余均相同的垃圾箱：“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱，“不可回收垃圾”箱，“有害垃圾”箱，分别记为A，B，C，D.如果将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱，则投放正确的概率是______ ．
13. 已知关于x的不等式组x⋅a≤1x+3>2的解集为−1
15. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若∠EBF=12°，则∠E= ______ 度.
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
解不等式组：x−4<3(x−2)12(x+4)<3．
17. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长为20cm，AE=5cm，求△ABC的周长．
18. (本小题10.0分)
已知关于x的方程2x−a=3，若该方程的解是不等式3(x−2)+5<4(x−1)的最小整数解，求a的值．
19. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，存在直线y1=2x和直线y2=−x+3．
(1)求出直线y1=2x和直线y2=−x+3的交点坐标；
(2)结合图象，直接写出0
20. (本小题12.0分)
如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上一个动点，DF⊥BC于点F，交CA延长线于点E，
(1)试判断AD、AE的大小关系，并说明理由；
(2)当点D在BA的延长线上时，其他条件不变，(1)中的结论是否还成立？请说明理由．
21. (本小题12.0分)
便利店老板到厂家购进A、B两种商品共用去940元，A种商品每件进价6元，B种商品每件进价8元，且B商品数量比A商品多30件．
(1)该店购进A、B两种商品各有多少件？
(2)该店老板销售这两种商品每件均标价10元，在售出一部分后，剩余部分在标价基础上打8折销售完毕，若这两种商品全部售完总获利超过280元，则先按标价销售的商品至少是多少件？
22. (本小题13.0分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB分别交AB、AD于E、F两点，且BD=FD，AB=CF.求证：
(1)CE⊥AB；
(2)AE=BE．
23. (本小题13.0分)
如图，已知直线AB//射线CD，∠CEB=100°.P是射线EB上一动点，过点P作PQ//EC交射线CD于点Q，连接CP.作∠PCF=∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
(1)若点P，F，G都在点E的右侧，求∠PCG的度数；
(2)若点P，F，G都在点E的右侧，∠EGC−∠ECG=30°，求∠CPQ的度数；
(3)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使∠EGC：∠EFC=4：3？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−3<0，4x+3y>0，x≠5，x+2>y+3符合不等式的定义，则它们是不等式；
x=3不符合不等式的定义，则它不是不等式；
综上，不等式的个数是4个，
故选：C．
用不等号(>,<,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式，据此进行判断即可．
本题考查不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了不等式的性质，要熟练掌握，特别要注意在不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
根据不等式的性质逐一判断，判断出正确的不等式是哪个即可．
【解答】
解：∵a>b，
∴3a>3b，
∴选项A不正确；
∵a>b，
∴当m<0时，ma
∴选项B不正确；
∵a>b，
∴−a<−b，
∴−a−1<−b−1，
∴选项C不正确；
∵a>b，
∴a2>b2，
∴a2+1>b2+1，
∴选项D正确．
故选D．
3.【答案】C
【解析】解：随机事件是可能发生，也可能不发生的事件，因而发生的机会是0和1之间的一个数．故选C．
事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小．
本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
4.【答案】B
【解析】解：当m+2>0时，解得：x>1，与题目中x<1矛盾，故m+2>0，即m>−2时不符合题意；
当m+2<0时，解得：x<1，与题目中x的解集一致，故m+2<0，即m<−2时符合题意．
故m的取值范围为m<−2．
故选：B．
在不等式(m+2)x>m+2的两边同除以m+2，应根据m+2>0或m<0，进行分类讨论，再由x<1的解集求出m的取值范围．
本题考查了不等式的性质：
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
5.【答案】C
【解析】解：设∠ABD和∠DBC度数分别为x，y，可列方程组为：
x+y=90x=2y−15．
故选：C．
分别利用AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，分别得出等式求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：关于x，y的二元一次方程组x+3y=4−a①x−y=3a②，
①+②得，2x+2y=4+2a，
即x+y=2+a，
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y=0，也就是2+a=0，a=−2，因此①正确；
②当a=1时，x+y=2+a=3，而x+y=4+2a=6，因此②不正确；
③方程组x+3y=4−a①x−y=3a②的解为x=2a+1y=1−a，所以x+2y=2a+1+2(1−a)=2，因此③正确；
综上所述，正确的有①③，共2个，
故选：C．
求出关于x，y的二元一次方程组x+3y=4−a①x−y=3a②的解，再逐项进行判断即可．
本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握解二元一次方程组的方法是正确解答的前提．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠1+∠2=180°(已知)，∠1+∠EFD=180°(邻补角定义)，
∴∠2=∠EFD(同角的补角相等)
∴AB//EF(内错角相等，两直线平行)
∴∠ADE=∠3=72°(两直线平行内错角相等)
∵∠3=∠B(已知)，
∴∠ADE=∠B=72°(等量代换)
∴DE//BC(同位角相等，两直线平行)
∴∠AED=∠C=58°(两直线平行同位角相等)．
故选：B．
首先根据∠1+∠EFD=180°和∠1+∠2=180°可以证明∠EFD=∠2，再根据内错角相等，两直线平行可得AB//EF，进而得到∠ADE=∠3，再结合条件∠3=∠B可得∠ADE=∠B，进而得到DE//BC，再由平行线的性质可得∠AED=∠C．
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理和性质定理．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定定理和以及平行线的性质，注意等腰三角形的判定定理：等角对等边，根据题意，可得∠AOC=∠BOC，又因为CD//OB，求得∠C=∠AOC，则CD=OD可求．
【解答】
解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC；
又∵CD//OB，
∴∠C=∠BOC，
∴∠C=∠AOC；
∴CD=OD=3cm．
故选A．
9.【答案】C
【解析】解：∵三角形ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∵BD=CE，∠1=∠2，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠1=∠2BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴△ADE是等边三角形．
故选：C．
先根据已知利用SAS判定△ABD≌△ACE得出AD=AE，∠BAD=∠CAE=60°，从而推出△ADE是等边三角形．
本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定方法，掌握等边三角形的判定和全等三角形的判定是本题的关键，做题时要对这些知识点灵活运用．
10.【答案】C
【解析】解：A.∵∠CAB=∠DAE=36°，
∴∠CAB−∠CAE=∠DAE−∠CAE，
即∠DAC=∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
AD=AE∠DAC=∠EABAC=AB，
∴△DAC≌△EAB(SAS)，
∴∠ADC=∠AEB，故A选项不符合题意；
CD=BE，故D选项不符合题意；
B.∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠CAB=∠DAE=36°，
∴∠ACB=∠ABC=(180°−36°)÷2=72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠ACD=∠ABE=36，
∵∠DCA=∠CAB=36°，
∴CD//AB(内错角相等，两直线平行)，
故B选项不符合题意；
C.根据已知条件无法证明DE=GE，故C选项符合题意．
故选：C．
利用AAS证明△DAC≌△EAB可得∠ADC=∠AEB，CD=BE，可判断A，D选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠ACB的度数，利用角平分线的定义求得∠ACD=∠ABE=36°，即可得∠ACD=∠CAB，进而可证明CD//AB，即可判断B选项正确，进而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明△DAC≌△EAB是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
又BC=8，
∴EF=8，
∵EC=5，
∵CF=EF−EC=8−5=3．
故答案为：3．
根据全等三角形的对应边相等得到EF=BC=7，计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
12.【答案】14
【解析】解：将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱有4种等可能结果，其中投放正确的只有1种结果，
∴投放正确的概率是14．
故答案为：14．
直接利用概率公式求解可得答案；
本题考查了概率的知识，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是关键．
13.【答案】12
【解析】解：不等式组中不等式①的解集为x≤1a，不等式②的解集为x>−1，
又关于x的不等式组的解集为−1
∴a=12，
经检验，a=12是方程的解，
故答案为：12．
根据一元一次不等式组解集的定义得出1a=2，进而求出a的值即可．
本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式组的解法是正确解答的前提．
14.【答案】6
【解析】
【分析】
此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
设兑换成10元x张，20元的零钱y张，根据题意可得等量关系：10x+20y=100，根据等量关系列出方程求整数解即可．
【解答】
解：设兑换成10元x张，20元的零钱y张，由题意得：
10x+20y=100，
整理得：x+2y=10，
方程的整数解为：x=2y=4，x=4y=3，x=6y=2，x=8y=1，x=10y=0，x=0y=5，
因此兑换方案有6种，
故答案为6．
15.【答案】26
【解析】解：∵DF是AB的中垂线，
∴FA=FB，
∴∠FBA=∠A，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠EBF=12°，∠ACB+∠ABC+∠A=180°，
∴∠ABF+12°+∠ABF+12°+∠ABF=180°，
解得：∠ABF=52°，
∴∠ABC=64°，
∵ED⊥AB，
∴∠E=90°−64°=26°，
故答案为：26．
根据线段垂直平分线的性质得到FA=FB，得到∠FBA=∠A，根据三角形内角和定理求出∠ABF，再根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16.【答案】解：x−4<3(x−2)①12(x+4)<3②，
由①得，x>1，
由②得，x<2，
故此不等式组的解集为：1
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=20cm，
又∵AE=5cm，
∴AC=2AE=2×5=10(cm)，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=20+10=30(cm)．
【解析】根据垂直平分线的性质可得AD=CD，根据△ABD周长为20cm，根据中点的性质以及AE=5cm，可得AC的长，进而即可求得△ABC周长
本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
18.【答案】解：解不等式3(x−2)+5<4(x−1)，
去括号，得：3x−6+5<4x−4，
移项，得3x−4x<−4+6−5，
合并同类项，得−x<−3，
系数化成1得：x>3．
则最小的整数解是4．
把x=4代入2x−a=3得：8−a=3，
解得：a=5．
【解析】首先解不等式求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值，代入方程求得a的值即可．
本题考查了一元一次不等式的解法以及方程的解的定义，正确解不等式求得x的值是关键．
19.【答案】1
所以直线y1=2x和直线y2=−x+3的交点坐标是(1,2)；
(2)直线y2=−x+3与x轴的交点坐标是(3,0)．
观察函数图象，发现：
当x<3时，直线y2在x轴的上方，
当x>1时，直线y2在y1的下方，
所以0
(2)观察两函数图象，根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标即可找出不等式0
20.【答案】解：(1)AD=AE；
理由：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DF⊥BC，
∴∠BDF+∠B=90°，∠C+∠E=90°，
∴∠E=∠BDF，
∵∠BDF=∠EDA，
∴∠E=∠EDA，
∴AE=AD；
(2)成立；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DF⊥BC，
∴∠BDF+∠B=90°，∠C+∠FEC=90°，
∴∠FEC=∠BDF，
∵∠FEC=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD．
【解析】(1)根据已知条件得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BDF=90，再根据∠B=∠C得出∠BDF=∠E，最后根据∠BDF=∠ADE，得出∠E=∠ADE，即可证出AD=AE．
(2)作法同(1)完全相同．
此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
21.【答案】解：(1)设该商店购进A商品x件，购进B商品y件，
根据题意可得：6x+8y=940x+30=y，
解得：x=50y=80，
答：该商店购进A商品50件，购进B商品80件．
(2)设先按标价销售的商品是a件．
根据题意有：10a+10×80%×(50+80−a)−940>280，
解得：a>90．
∵a是整数，
∴a的最小值为91．
答：先按标价销售的商品件至少是91件．
【解析】(1)设该商店购进A商品x件，购进B商品y件，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解之，即得出答案；
(2)设先按标价销售的商品是a件，根据题意可列出关于a的一元一次不等式，求出a的解集，再根据a是整数，即可求解．
本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用．读懂题意，找出数量关系，正确列出等式或不等式是解题关键．
22.【答案】证明：(1)∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠CDF=90°，
在Rt△ADB和Rt△CDF中，
AB=CFBD=DF，
∴Rt△ADB≌Rt△CDF(HL)，
∴∠BAD=∠DCF，
在△AEF和△CDF中，
∠EAF=∠DCF，∠AFE=∠CFD，
∴∠AEC=∠CDF=90°
∴CE⊥AB，
(2)∵CE平分∠ACB
∴∠ACE=∠BCE，
又∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
在△ACE和△BCE中,{∠ACE=∠BCECE=CE∠AEC=∠BEC，
∴△ACE≌△BCE(ASA)，
∴AE=BE．
【解析】(1)根据直角三角形的全等证明和全等三角形的性质解答即可；
(2)根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA和HL，做题时，要根据已知条件结合图形进行思考．
23.【答案】解：(1)∵AB//CD，
∴∠CEB+∠ECQ=180°，
∵∠CEB=100°，
∴∠ECQ=80°，
∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，
∴∠PCG=∠PCF+∠FCG=12∠QCF+12∠FCE=12∠ECQ=40°；
(2)∵AB//CD，
∴∠QCG=∠EGC，
∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°，
∴∠EGC+∠ECG=80°，
又∵∠EGC−∠ECG=30°，
∴∠EGC=55°，∠ECG=25°，
∴∠ECG=∠GCF=25°，∠PCF=∠PCQ=12×(80°−50°)=15°，
∵PQ//CE，
∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ−∠PCQ=80°−15°=65°；
(3)存在．理由如下：
设∠EGC=4x°，∠EFC=3x°，
①当点G、F在点E的右侧时，
∵AB//CD，
∴∠QCG=∠EGC=4x°，∠QCF=∠EFC=3x°，
则∠ECG=∠GCF=∠QCG−∠QCF=4x°−3x°=x°，
∴∠PCF=∠PCQ=12∠FCQ=12∠EFC=1.5x°，
∵∠ECD=80°，
∴5x°=80°，
解得x=16，
∴∠CPQ=∠ECP=x°+x°+1.5x°=3.5x°=56°；
②当点G、F在点E的左侧时，反向延长CD到H，
∵∠EGC=4x°，∠EFC=3x°，
∴∠GCH=∠EGC=4x°，∠FCH=∠EFC=3x°，
∴∠ECG=∠GCF=∠GCH−∠FCH=x°，
∵AB//CD，
∴∠CGF=∠GCQ，
∵∠CGF=180°−4x°，∠GCQ=80°+x°，
∴180−4x=80+x，
解得x=20，
∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=20°×2+80°=120°，
∴∠PCQ=12∠FCQ=60°，
∴∠CPQ=∠ECP=80°−60°=20°．
故∠CPQ的度数为56°或20°．
【解析】本题主要考查了平行线的性质和角的平行线的定义．
(1)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；
(2)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=25°，再根据PQ//CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=65°；
(3)设∠EGC=4x°，∠EFC=3x°，则∠GCF=4x°−3x°=x°，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．
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