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专题05 三角函数（公式、定理、结论图表）-备战2024年新高考数学必背知识手册
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这是一份专题05 三角函数（公式、定理、结论图表）-备战2024年新高考数学必背知识手册，共64页。试卷主要包含了角的概念，角的表示，任意角的分类，终边相同的角，度量角的两种单位制，弧度数的计算，角度制与弧度制的换算，一些特殊角与弧度数的对应关系等内容，欢迎下载使用。
三角函数（公式、定理、结论图表）
1．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的表示
如图，(1)始边：射线的起始位置OA，
(2)终边：射线的终止位置OB，
(3)顶点：射线的端点O.
这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
3．任意角的分类
(1)按旋转方向分
(2)按角的终边位置分
①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
②分类：
4．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．
5．度量角的两种单位制
(1)角度制：
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的.
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
6．弧度数的计算
思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
7．角度制与弧度制的换算
8．一些特殊角与弧度数的对应关系
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
9.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
10．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
11．任意角的三角函数的定义
(1)条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(2)结论
①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)．
(3)总结
＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
12．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
13.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
14．诱导公式一
15．平方关系
(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
16．商数关系
(1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)．
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．
思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．
17.诱导公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，
cos(π＋α)＝－cos_α，
tan(π＋α)＝tan_α.
18．诱导公式三
(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin_α，
cos(－α)＝cos_α，
tan(－α)＝－tan_α.
19．诱导公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sin_α，
cos(π－α)＝－cos_α，
tan(π－α)＝－tan_α.
思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？
(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
20．诱导公式五
(1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．
(2)公式：sin＝cos_α，
cos＝sin_α.
21．诱导公式六
(1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.
(2)公式：sin＝cos_α，
cos＝－sin_α.
思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
提示：sin＝sin
＝sin＝cos α.
cos＝cos＝－cos＝－sin α.
22．正弦曲线
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．
23．正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
24．余弦曲线
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．
25．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．
(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
思考：y＝cos x(x∈R)的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？
提示：因为cos x＝sin，所以y＝sin x(x∈R)的图象向左平移个单位可得y＝cos x(x∈R)的图象．
26．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
27．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin x
y＝cos x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
28. 单调性与最值
解析式
y＝sin x
y＝cos x
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在＋2kπ，k∈Z上单调递增，
在＋2kπ，k∈Z上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增，
在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减
最值
x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？
提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π.
29.正切函数的图象与性质
解析式
y＝tan x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
对称中心
，k∈Z
单调性
在开区间，k∈Z内都是增函数
30.两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
适用条件
公式中的角α，β都是任意角
公式结构
公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反
31．两角和与差的余弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
α，β∈R
32.两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
α，β∈R
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
α，β∈R
33.重要结论－辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝.
34、两角和与差的正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
35．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin 2α＝2sin_αcos_α
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α
T2α
tan 2α＝
36.余弦的二倍角公式的变形
37．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝.
(2)1±sin 2α＝(sin_α±cos_α)2.
38.半角公式
(1)sin＝± ，
(2)cos＝± ，
(3)tan＝± ，
(4)tan＝＝＝，
tan＝＝＝.
39．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
40．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
41．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
42．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
43．解三角函数应用题的基本步骤：
(1)审清题意；
(2)搜集整理数据，建立数学模型；
(3)讨论变量关系，求解数学模型；
(4)检验，作出结论．
<解题方法与技巧>
一、角的有关概念的判断
1．理解角的概念的关键与技巧：
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
2．象限角的判定方法：
(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
典例1：(1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．
其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．
(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°.②855°.③－510°.
(1)① [①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；
②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；
③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；
④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．]
(2)[解] 作出各角的终边，如图所示：
由图可知：
①420°是第一象限角．
②855°是第二象限角．
③－510°是第三象限角．
二、终边相同的角的表示及应用
1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
2．运用终边相同的角的注意点
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
提醒：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少．
典例2：(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．
(2)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
[思路点拨] (1)根据－885°与k·360°，k∈Z的关系确定k.
(2)先写出与α终边相同的角k·360°＋α，k∈Z，再由已知不等式确定k的可能取值．
(1)(－3)×360°＋195° [－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.]
(2)[解] 与α＝－1 910°终边相同的角的集合为
{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
三、任意角终边位置的确定和表示
1．表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
2．nα或所在象限的判断方法：
(1)用不等式表示出角nα或的范围；
(2)用旋转的观点确定角nα或所在象限．
例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z.
由0°＜＜30°，每次逆时针旋转120°可得终边的位置．
提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．
典例3：(1)若α是第一象限角，则－是( )
A．第一象限角 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
(2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[思路点拨] (1)→→
(2)①→
②→
(1)D [因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，
所以是第一、三象限角，
又因为－与的终边关于x轴对称，
所以－是第二、四象限角．]
(2)[解] ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
四、角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；
(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数；
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
典例4:(1)①将112°30′化为弧度为________．
②将－rad化为角度为________．
(2)已知α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
(1)①rad ②－75° [(1)①因为1°＝rad，
所以112°30′＝×112.5 rad＝rad.
②因为1 rad＝°，
所以－rad＝－°＝－75°.]
(2)法一(化为弧度)：
α＝15°＝15× rad＝ rad，θ＝105°＝105× rad＝ rad.
显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
法二(化为角度)：
β＝ rad＝×°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°，
φ＝×°＝105°.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.
故α＜β＜γ＜θ＝φ.
五、用弧度数表示角
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示：
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用.
典例5：(1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是( )
A. B.
C. D.
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
[思路点拨] (1)→
(2)
→
(1)D [因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，
所以角α的终边落在直线y＝x上，
所以角α的集合是.]
(2)[解] 因为30°＝ rad,210°＝ rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.
六、弧度制下解决扇形相关问题的步骤：
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．
典例6：(1)如图所示，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．
(2)已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．
[思路点拨] (1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求∠EAD的弧度数．
(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．
(1)2－ [设AB＝1，∠EAD＝α，∵S扇形ADE＝S阴影BCD，
由题意可得×12×α＝12－，
∴解得α＝2－.]
(2)设扇形的弧长为l，半径为r，
则
∴或
∴扇形的圆心角的弧度数为
＝43－3或43＋3.
七、由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
典例7：(1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为________．
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
[思路点拨] (1)→
(2)→
(1)或 [因为r＝，cos θ＝，
所以x＝.
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.
又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝.
当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3，
则sin θ＋tan θ＝.]
(2)[解] 直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；
在第四象限取直线上的点(1，－)，
则r＝＝2，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
八、判断三角函数值在各象限符号的攻略：
(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.
典例8：(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．
(1)C [因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
九、利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
典例9：求值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sincos＋tancos.
[解] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋＝.
(2)原式＝sincos＋tan·cos
＝sincos＋tancos
＝×＋1×＝.
十、利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.
提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号.
典例10：(1)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________.
(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
[思路点拨] (1)根据tan α＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cos α.
(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α.
(1)－ [由已知得
由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，又α∈，所以cos α＜0，
所以cos α＝－.]
(2)[解] ∵cos α＝－＜0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－＝－，tan α＝.
十一、灵活应用同角三角函数关系式求值
1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
2．已知tan α＝m，求关于sin α，cos α的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值．
提醒：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
典例11：(1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.
(2)已知＝2，计算下列各式的值．
①；
②sin2α－2sin αcos α＋1.
[思路点拨] (1)法一：→→→
法二：→→
(2)→
(1)－ [法一：(构建方程组)
因为sin α＋cos α＝，①
所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝－.
因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.
所以sin α－cos α＝＝＝.②
由①②解得sin α＝，cos α＝－，
所以tan α＝＝－.
法二：(弦化切)
同法一求出sin αcos α＝－，＝－，＝－，
整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－或tan α＝－.
由sin α＋cos α＝＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－.]
(2)[解] 由＝2，化简，
得sin α＝3cos α，
所以tan α＝3.
①法一(换元)原式＝＝＝.
法二(弦化切)原式＝＝＝.
②原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
十二、三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.
典例12：(1)化简＝________.
(2)化简·.(其中α是第三象限角)
[思路点拨] (1)将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．
(2)首先将tan α化为，然后化简根式，最后约分．
(1)1 [原式＝＝＝1.]
(2)[解] 原式＝·
＝·
＝·
＝·.
又因为α是第三象限角，
所以sin α＜0.
所以原式＝·＝－1.
十三、应用同角三角函数关系式证明
1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．
2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
提醒：解决此类问题要有整体代换思想．
典例13：求证：＝.
[思路点拨] 解答本题可由关系式tan α＝将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．
[证明] 法一：(切化弦)
左边＝＝，
右边＝＝.
因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，
所以＝，所以左边＝右边．
所以原等式成立．
法二：(由右至左)
因为右边＝
＝
＝
＝＝
＝左边，
所以原等式成立．
十四、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
典例14：求下列各三角函数值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
[解] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)法一：cos＝cos
＝cos＝cos＝－cos＝－.
法二：cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
十五、解决条件求值问题的两技巧
(1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.
(2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
利用诱导公式化简问题
典例15：(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( )
A. B.
C. D．－
(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
[思路点拨] (1)
→
(2)→
→
(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝＝.]
(2)[解] ∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－
＝－＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
十六、三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
提醒：注意分类讨论思想的应用.
典例16：设k为整数，化简：
.
[思路点拨] 本题常用的解决方法有两种：
①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．
[解] 法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝＝＝＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．
所以原式＝＝－1.
十七、解决化简求值问题的策略：
(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.
提醒：常见的互余关系有：
常见的互补关系有：
典例17：(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A. B.
C．－ D．－
(2)已知sin＝，则cos的值为________．
[思路点拨] (1)→
(2)→
(1)B (2) [(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°
＝＝.
(2)cos＝cos
＝sin＝.]
十八、三角恒等式的证明的策略
(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则.
(2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法.
典例18：(1)求证：
＝.
(2)求证：＝－tan θ.
[证明] (1)右边＝
＝
＝
＝＝
＝＝左边，
所以原等式成立．
(2)左边＝
＝＝－tan θ＝右边，
所以原等式成立．
十九、诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.
典例19：已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
[思路点拨] →→→
[解] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－.
又α是第三象限角，
所以cos α＝－，tan α＝＝，
所以·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α
＝－tan2α＝－.
二十、正弦函数、余弦函数图象的初步认识
1．解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线．
2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
3．正、余弦曲线的对称性
对称中心
对称轴
y＝sin x(x∈R)
(kπ，0)，k∈Z
x＝kπ＋，k∈Z
y＝cos x(x∈R)
，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1.
典例20：(1)下列叙述正确的是( )
①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
(2)函数y＝sin|x|的图象是( )
(1)D (2)B [(1)分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．
(2)y＝sin|x|＝
结合选项可知选B.]
二十一、用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表：
x
0
π
2π
sin x
(或cos x)
0(或1)
1(或0)
0(或－1)
－1
(或0)
0(或1)
y
b
(或A＋b)
A＋b
(或b)
b
(或－A＋b)
－A＋b
(或b)
b
(或A＋b)
(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin x＋b(y＝Acos x＋b)(A≠0)的图象．
提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度．
典例21：用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π)．
[思路点拨] →→
[解] (1)①取值列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
②描点连线，如图所示.
(2)①取值列表如下：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
－1＋cos x
0
－1
－2
－1
0
②描点连线，如图所示．
二十二、正弦(余弦)函数图象的应用
1．用三角函数的图象解sin x＞a(或cos x＞a)的方法
(1)作出y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集．
2．利用三角函数线解sin x＞a(或cos x＞a)的方法
(1)找出使sin x＝a(或cos x＝a)的两个x值的终边所在的位置．
(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
典例22:(1)函数y＝的定义域为________．
(2)在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
[思路点拨] (1)→→
(2)→
→→
(1) [由2sin x－1≥0得sin x≥，
画出y＝sin x的图象和直线y＝.
可知sin x≥的解集为
.]
(2)[解] 建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈R的图象．
描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．]
二十三、求三角函数周期的方法：
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.
典例23：求下列函数的周期：
(1)y＝sin；
(2)y＝|sin x|.
[思路点拨] (1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．
法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．
(2)作函数图象，观察出周期．
[解] (1)法一：(定义法)y＝sin
＝sin＝sin，
所以周期为π.
法二：(公式法)y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π.
(2)作图如下：
观察图象可知周期为π.
二十四、三角函数奇偶性的判断
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
典例24：判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
(3)f(x)＝.
[思路点拨]
[解] (1)显然x∈R，f(x)＝cosx，
∵f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由得－1＜sin x＜1，
解得定义域为，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数．
二十五、三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
1．三角函数周期性与奇偶性的解题策略
探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
2．与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
典例25：(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于( )
A．－ B. C．－ D.
[思路点拨] (1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．
(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简f；再依据f(x)是偶函数和x∈，f(x)＝sin x求值．
(1)D (2)D [(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
(2)f＝f＝f
＝f＝f＝f
＝sin＝.]
二十六、正弦函数、余弦函数的单调性
1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
典例26：(1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝sin＋1，求函数f(x)的单调递增区间．
[思路点拨] (1)确定a的范围→y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数→y＝cos x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．
(2)确定增区间→令u＝＋2x→y＝sin u的单调递增区间．
(1)(－π，0] [(1)因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．]
(2)[解] 令u＝＋2x，函数y＝sin u的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤＋2x≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)＝sin＋1的单调递增区间是，k∈Z.
二十七、三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内.
(2)不同名的函数化为同名的函数.
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.
典例27：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin与sin；
(2)sin 196°与cos 156°；
(3)cos与cos.
[思路点拨] →
[解] (1)∵－＜－＜－＜，
∴sin＞sin.
(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°，
∴sin 16°＜sin 66°，
从而－sin 16°＞－sin 66°，
即sin 196°＞cos 156°.
(3)cos＝cosπ
＝cos＝cosπ，
cos＝cosπ
＝cos＝cos.
∵0＜＜π＜π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cosπ＜cos，
即cos＜cos.
二十八、三角函数最值问题的常见类型及求解方法：
(1)y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.
(2)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)的范围，最后得最值.
典例28：(1)函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________．
(2)已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值．
[思路点拨] (1)先用平方关系转化，即cos2x＝1－sin2x，再将sin x看作整体，转化为二次函数的值域问题．
(2)先由x∈求2x－的取值范围，再求sin2x
的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解．
(1)[－4,0] [y＝cos2x＋2sin x－2
＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.
因为－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0，
所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．]
(2)[解] ∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)max＝a＋b＝，
f(x)min＝－a＋b＝－2.
由得
二十九、有关正切函数的定义域、值域问题
1．求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
2．解形如tan x＞a的不等式的步骤
提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．
典例29：(1)函数y＝的值域是( )
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)
(2)函数y＝3tan的定义域为________．
(3)函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域为________．
[思路点拨] 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
(1)B (2)
(3) [(1)当－＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴≤－1；
当0＜x＜时，0＜tan x＜1，∴≥1.
即当x∈∪时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)要使函数有意义应满足－≠kπ＋，k∈Z，得x≠－4kπ－，k∈Z，
所以函数的定义域为.
(3)要使函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，则
即－1≤tan x<1.
在上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为.]
三十、正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性
1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
提醒：y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z的对称中心坐标为，k∈Z.
典例30:(1)函数f(x)＝tan的周期为________．
(2)已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为________．
(3)判断下列函数的奇偶性：
①y＝3xtan 2x－2x4；②y＝cos＋tan x.
[思路点拨] (1)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期T＝，也可以用定义法求周期．
(2)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝，k∈Z求出．
(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f(－x)与f(x)的关系．
(1) (2)，k∈Z [(1)法一：(定义法)
∵tan＝tan，
即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
法二：(公式法)
f(x)＝tan的周期T＝.
(2)由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z.]
(3)①定义域为，关于原点对称，
又f(－x)＝3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3xtan 2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．
②定义域为，关于原点对称，
y＝cos＋tan x＝sin x＋tan x，
又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x
＝－f(x)，所以它是奇函数．
三十一、正切函数单调性的应用
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．
(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．
典例31：(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．
(2)求函数y＝3tan的单调区间．
[思路点拨] (1)利用y＝tan x在上为增函数比较大小，注意tan 1＝tan(π＋1)．
(2)先将原函数化为y＝－3tan，再由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z，求出单调减区间．
(1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1 [(1)y＝tan x在区间上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)，
又＜2＜3＜4＜π＋1＜，
所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.]
(2)y＝3tan＝－3tan，
由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z得，
－＋π＜x＜＋π，k∈Z，
所以y＝3tan的减区间为－＋π，＋π，k∈Z.
三十二、给角求值问题
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2．两角差的余弦公式的结构特点：
(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．
(2)把所得的积相加．
典例32：(1)cos的值为( )
A. B.
C. D．－]
(2)求下列各式的值：
①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；
③cos 15°＋sin 15°.
(1)D [cos＝cos＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝－×－×＝－.]
(2)解：①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°
＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.
②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°
＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°)
＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°
＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝.
③cos 15°＋sin 15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
三十三、给值求值问题的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β).
典例33：(1)已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝( )
A．－ B．－ C. D.
(2)已知sin＝，α∈，求cos α的值．
[思路点拨] (1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C(α－β)求cos(α－β)．
(2)由已知角＋α与所求角α的关系即α＝－寻找解题思路．
(1)D [因为sin α－sin β＝1－，
所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝2， ①
因为cos α－cos β＝，所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝2， ②
①，②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋
所以－2cos(α－β)＝－
所以cos(α－β)＝.
(2)[解] ∵α∈，∴＋α∈，
∴cos＝－
＝－＝－.
∵α＝－，
cos α＝cos
＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.]
三十四、已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
典例34：已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小．
[思路点拨] →→
[解] 因为sin(π－α)＝，
所以sin α＝.因为0＜α＜，
所以cos α＝＝.
因为cos(α－β)＝，
且0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，
所以sin(α－β)＝＝，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.因为0＜β＜，所以β＝.
三十五、辅助角公式及其运用
(1)公式形式：公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))将形如asin α＋bcos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.
提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.
典例35：(1)sin－cos＝________.
(2)已知f(x)＝sin x－cos x，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间．
[思路点拨] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．
(1)－ [原式＝2.
法一：(化正弦)原式
＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝－.
法二：(化余弦)原式
＝2
＝－2
＝－2cos＝－2cos＝－.]
(2)[解] f(x)＝sin x－cos x
＝2
＝2
＝2sin，
∴T＝＝2π，值域[－2,2]．
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得递增区间，k∈Z.
三十六、两角和与差的正切公式的正用
1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：
(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号规律：分子同，分母反．
2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：
(1)计算待求角的正切值．
(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．
(3)根据角的范围及三角函数值确定角．
典例36：(1)已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝________.
(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
[思路点拨] (1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.
(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．
(1) (2) [(1)∵tan α＝，tan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵α，β均为锐角，
∴α＋β∈(0，π)，
∴α＋β＝.
(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，
∴tan∠BAD＝＝，
tan∠CAD＝＝，
tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)
＝
＝
＝.]
三十七、公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
如
要特别注意
典例37：(1)＝________.
(2)＝________.
[思路点拨] 注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．
(1) (2)－1 [(1)原式＝
＝tan(45°＋15°)
＝tan 60°＝.
(2)原式＝
＝
＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.]
三十八、两角和与差的正切公式的变形运用
1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
(2)1－tan αtan β＝；
(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
(4)tan α·tan β＝1－.
提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．
典例38：(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.
(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
[思路点拨] (1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．
(2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．
(1)1 [∵tan 67°－tan 22°
＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)
＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)
＝1＋tan 67°tan 22°，
∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°
＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.]
(2)[解] ∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1，
∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，
∴＝－，∴tan(A＋B)＝－.
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝.
∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，
∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，
∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰钝角三角形．
三十九、对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
典例39：(1)coscoscos的值为( )
A. B．－
C. D．－
(2)求下列各式的值：
①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③；
④－.
(1)D [∵cos＝－cos，cos＝－cos，
∴coscoscos＝coscoscos＝＝＝＝＝－.]
(2)[解] ①cos415°－sin415°＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
②1－2sin275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－.
③＝2×
＝2×＝－2.
④－＝
＝
＝
＝＝4.
四十、解决条件求值问题的方法
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
(2)当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.
cos 2x＝
类似的变换还有：
cos 2x＝，
典例40：(1)已知cos＝，≤α＜，求cos的值；
(2)已知α∈，且sin 2α＝sin，求α.
[思路点拨] 依据以下角的关系设计解题思路求解：
(1)α＋与2α＋，α－与2α－具有2倍关系，用二倍角公式联系；
(2)2α＋与2α差，用诱导公式联系．
[解] (1)∵≤α＜，∴≤α＋＜.
∵cos＞0，∴＜α＋＜，
∴sin＝－＝－＝－，
∴cos 2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，
sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝，
∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝－.
(2)∵sin 2α＝－cos＝－
＝1－2cos2，
sin＝－sin
＝－cos
＝－cos，
∴原式可化为1－2cos2
＝－cos，
解得cos＝1或cos＝－.
∵α∈，
∴α＋∈，
故α＋＝0或α＋＝，
即α＝－或α＝.
四十一、证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
典例41：(1)化简：＋＝________.
(2)证明：＝－4.
[思路点拨] (1)通分变形．
(2)→→
(1)－tan 2θ [原式＝＝＝－＝－tan 2θ.]
(2)[证明] 左边＝
＝
＝
＝
＝－4＝右边，所以原等式成立．
四十二、化简求值问题
1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
2．利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．
(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．
(4)下结论：结合(2)求值．
提醒：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．
典例42：(1)设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于( )
A. B.
C．－ D．－
(2)已知π<α<，化简：
＋.
[思路点拨] (1)先确定的范围，再由sin2＝得算式求值．
(2)1＋cos θ＝2cos2，1－cos α＝2sin2，去根号，确定的范围，化简．
(1)D [∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.
又cos＝a，
∴sin＝－＝－.]
(2)[解] 原式＝
＋.
∵π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，
∴原式＝＋
＝－＋＝－cos.
四十三、三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
典例43：求证：＝sin 2α.
[思路点拨] 法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；
法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．
[证明] 法一：用正弦、余弦公式．
左边＝
＝＝
＝＝sincoscos α
＝sin αcos α＝sin 2α＝右边，
∴原式成立．
法二：用正切公式．
左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，
∴原式成立．
四十四、三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.
典例44：已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
[思路点拨] →→
→
[解](1)f(x)＝cos－2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以T＝＝π.
(2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤，
因为y＝sin t在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)≥sin＝－，得证．
四十五、应用三角函数解实际问题的方法及注意事项
(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.
(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.
提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.
典例45：如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
[思路点拨] →→
[解] 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
∴l＝OA＋AB＋OB
＝R＋Rsin α＋Rcos α
＝R(sin α＋cos α)＋R
＝Rsin＋R.
∵0<α<，∴<α＋<，
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，
即当α＝时，△OAB的周长最大．
四十六、由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
典例46：(1)将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．
(2)将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin2x＋＋1的图象？
[思路点拨] (1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．
(2)法一：y＝sin x→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．
法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．
(1)y＝－cos 2x－3 [y＝cos的图象向左平移个单位长度，
得y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos 2x，
再向下平移3个单位长度得y＝－cos 2x－3的图象．]
(2)[解] 法一：(先伸缩法)①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin 2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位，得y＝2sin 2的图象；
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，
得y＝2sin＋1的图象．
法二：(先平移法)①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位，得y＝sin的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝sin的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin＋1的图象．
四十七、确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：,“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；,“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；,“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；,“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；,“第五点”为ωx＋φ＝2π.
典例47：(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．y＝2cos＋4 B．y＝2cos＋4
C．y＝4cos＋2 D．y＝4cos＋2
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜，且图象如图所示，求其解析式．
[思路点拨] 由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ.
(1)A [由函数f(x)的最大值和最小值得
A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，
函数f(x)的周期为×4＝4π，又ω＞0，
所以ω＝，又因为点在函数f(x)的图象上
所以6＝2cos＋4，所以cos＝1，
所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜
所以φ＝－，所以f(x)＝2cos＋4.]
(2)[解] 法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又由点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－×2＋φ＝0得φ＝，
所以f(x)＝3sin.
法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，
又图象过点，
所以f＝3sin＝0，
所以sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin.
法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin 2x向左平移个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin＝3sin.
四十八、三角函数图象与性质的综合应用
1．正弦余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．
2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
典例48：(1)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝( )
A. B. C. D.
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
[思路点拨] (1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求ω的值．
(2)先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.
(1)B [因为f＝f，所以直线x＝＝是函数f(x)图象的一条对称轴，
又因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，
所以当x＝时，f(x)取得最小值．
所以ω＋＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝8k－，(k∈Z)
又因为T＝≥－＝，所以ω≤12，又因为ω＞0，
所以k＝1，即ω＝8－＝.]
(2)[解] 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.
依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，可知
sin＝0，即ω＋＝kπ，解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
所以T≥π，即≥π.
∴ω≤2，又ω＞0，
∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
四十九、在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.
典例49：已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[思路点拨] 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键．
[解] 列表如下：
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
五十、解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义求准定义域．
典例50：已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
[思路点拨] (1)根据y的最大值和最小值求A，b，定周期求ω.
(2)解不等式y＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．
[解] (1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0,2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.
三角函数（公式、定理、结论图表）
1．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的表示
如图，(1)始边：射线的起始位置OA，
(2)终边：射线的终止位置OB，
(3)顶点：射线的端点O.
这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
3．任意角的分类
(1)按旋转方向分
(2)按角的终边位置分
①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
②分类：
4．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．
5．度量角的两种单位制
(1)角度制：
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的.
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
6．弧度数的计算
思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
7．角度制与弧度制的换算
8．一些特殊角与弧度数的对应关系
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
9.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
10．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
11．任意角的三角函数的定义
(1)条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(2)结论
①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)．
(3)总结
＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
12．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
13.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
14．诱导公式一
15．平方关系
(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
16．商数关系
(1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)．
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．
思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．
17.诱导公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，
cos(π＋α)＝－cos_α，
tan(π＋α)＝tan_α.
18．诱导公式三
(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin_α，
cos(－α)＝cos_α，
tan(－α)＝－tan_α.
19．诱导公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sin_α，
cos(π－α)＝－cos_α，
tan(π－α)＝－tan_α.
思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？
(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
20．诱导公式五
(1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．
(2)公式：sin＝cos_α，
cos＝sin_α.
21．诱导公式六
(1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.
(2)公式：sin＝cos_α，
cos＝－sin_α.
思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
提示：sin＝sin
＝sin＝cos α.
cos＝cos＝－cos＝－sin α.
22．正弦曲线
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．
23．正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
24．余弦曲线
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．
25．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．
(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
思考：y＝cos x(x∈R)的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？
提示：因为cos x＝sin，所以y＝sin x(x∈R)的图象向左平移个单位可得y＝cos x(x∈R)的图象．
26．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
27．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin x
y＝cos x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
28. 单调性与最值
解析式
y＝sin x
y＝cos x
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在＋2kπ，k∈Z上单调递增，
在＋2kπ，k∈Z上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增，
在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减
最值
x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？
提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π.
29.正切函数的图象与性质
解析式
y＝tan x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
对称中心
，k∈Z
单调性
在开区间，k∈Z内都是增函数
30.两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
适用条件
公式中的角α，β都是任意角
公式结构
公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反
31．两角和与差的余弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
α，β∈R
32.两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
α，β∈R
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
α，β∈R
33.重要结论－辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝.
34、两角和与差的正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
35．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin 2α＝2sin_αcos_α
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α
T2α
tan 2α＝
36.余弦的二倍角公式的变形
37．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝.
(2)1±sin 2α＝(sin_α±cos_α)2.
38.半角公式
(1)sin＝± ，
(2)cos＝± ，
(3)tan＝± ，
(4)tan＝＝＝，
tan＝＝＝.
39．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
40．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
41．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
42．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
43．解三角函数应用题的基本步骤：
(1)审清题意；
(2)搜集整理数据，建立数学模型；
(3)讨论变量关系，求解数学模型；
(4)检验，作出结论．
<解题方法与技巧>
一、角的有关概念的判断
1．理解角的概念的关键与技巧：
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
2．象限角的判定方法：
(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
典例1：(1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．
其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．
(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°.②855°.③－510°.
(1)① [①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；
②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；
③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；
④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．]
(2)[解] 作出各角的终边，如图所示：
由图可知：
①420°是第一象限角．
②855°是第二象限角．
③－510°是第三象限角．
二、终边相同的角的表示及应用
1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
2．运用终边相同的角的注意点
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
提醒：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少．
典例2：(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．
(2)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
[思路点拨] (1)根据－885°与k·360°，k∈Z的关系确定k.
(2)先写出与α终边相同的角k·360°＋α，k∈Z，再由已知不等式确定k的可能取值．
(1)(－3)×360°＋195° [－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.]
(2)[解] 与α＝－1 910°终边相同的角的集合为
{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
三、任意角终边位置的确定和表示
1．表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
2．nα或所在象限的判断方法：
(1)用不等式表示出角nα或的范围；
(2)用旋转的观点确定角nα或所在象限．
例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z.
由0°＜＜30°，每次逆时针旋转120°可得终边的位置．
提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．
典例3：(1)若α是第一象限角，则－是( )
A．第一象限角 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
(2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[思路点拨] (1)→→
(2)①→
②→
(1)D [因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，
所以是第一、三象限角，
又因为－与的终边关于x轴对称，
所以－是第二、四象限角．]
(2)[解] ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
四、角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；
(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数；
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
典例4:(1)①将112°30′化为弧度为________．
②将－rad化为角度为________．
(2)已知α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
(1)①rad ②－75° [(1)①因为1°＝rad，
所以112°30′＝×112.5 rad＝rad.
②因为1 rad＝°，
所以－rad＝－°＝－75°.]
(2)法一(化为弧度)：
α＝15°＝15× rad＝ rad，θ＝105°＝105× rad＝ rad.
显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
法二(化为角度)：
β＝ rad＝×°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°，
φ＝×°＝105°.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.
故α＜β＜γ＜θ＝φ.
五、用弧度数表示角
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示：
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用.
典例5：(1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是( )
A. B.
C. D.
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
[思路点拨] (1)→
(2)
→
(1)D [因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，
所以角α的终边落在直线y＝x上，
所以角α的集合是.]
(2)[解] 因为30°＝ rad,210°＝ rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.
六、弧度制下解决扇形相关问题的步骤：
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．
典例6：(1)如图所示，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．
(2)已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．
[思路点拨] (1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求∠EAD的弧度数．
(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．
(1)2－ [设AB＝1，∠EAD＝α，∵S扇形ADE＝S阴影BCD，
由题意可得×12×α＝12－，
∴解得α＝2－.]
(2)设扇形的弧长为l，半径为r，
则
∴或
∴扇形的圆心角的弧度数为
＝43－3或43＋3.
七、由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
典例7：(1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为________．
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
[思路点拨] (1)→
(2)→
(1)或 [因为r＝，cos θ＝，
所以x＝.
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.
又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝.
当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3，
则sin θ＋tan θ＝.]
(2)[解] 直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；
在第四象限取直线上的点(1，－)，
则r＝＝2，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
八、判断三角函数值在各象限符号的攻略：
(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.
典例8：(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．
(1)C [因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
九、利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
典例9：求值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sincos＋tancos.
[解] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋＝.
(2)原式＝sincos＋tan·cos
＝sincos＋tancos
＝×＋1×＝.
十、利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.
提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号.
典例10：(1)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________.
(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
[思路点拨] (1)根据tan α＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cos α.
(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α.
(1)－ [由已知得
由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，又α∈，所以cos α＜0，
所以cos α＝－.]
(2)[解] ∵cos α＝－＜0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－＝－，tan α＝.
十一、灵活应用同角三角函数关系式求值
1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
2．已知tan α＝m，求关于sin α，cos α的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值．
提醒：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
典例11：(1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.
(2)已知＝2，计算下列各式的值．
①；
②sin2α－2sin αcos α＋1.
[思路点拨] (1)法一：→→→
法二：→→
(2)→
(1)－ [法一：(构建方程组)
因为sin α＋cos α＝，①
所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝－.
因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.
所以sin α－cos α＝＝＝.②
由①②解得sin α＝，cos α＝－，
所以tan α＝＝－.
法二：(弦化切)
同法一求出sin αcos α＝－，＝－，＝－，
整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－或tan α＝－.
由sin α＋cos α＝＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－.]
(2)[解] 由＝2，化简，
得sin α＝3cos α，
所以tan α＝3.
①法一(换元)原式＝＝＝.
法二(弦化切)原式＝＝＝.
②原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
十二、三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.
典例12：(1)化简＝________.
(2)化简·.(其中α是第三象限角)
[思路点拨] (1)将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．
(2)首先将tan α化为，然后化简根式，最后约分．
(1)1 [原式＝＝＝1.]
(2)[解] 原式＝·
＝·
＝·
＝·.
又因为α是第三象限角，
所以sin α＜0.
所以原式＝·＝－1.
十三、应用同角三角函数关系式证明
1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．
2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
提醒：解决此类问题要有整体代换思想．
典例13：求证：＝.
[思路点拨] 解答本题可由关系式tan α＝将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．
[证明] 法一：(切化弦)
左边＝＝，
右边＝＝.
因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，
所以＝，所以左边＝右边．
所以原等式成立．
法二：(由右至左)
因为右边＝
＝
＝
＝＝
＝左边，
所以原等式成立．
十四、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
典例14：求下列各三角函数值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
[解] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)法一：cos＝cos
＝cos＝cos＝－cos＝－.
法二：cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
十五、解决条件求值问题的两技巧
(1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.
(2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
利用诱导公式化简问题
典例15：(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( )
A. B.
C. D．－
(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
[思路点拨] (1)
→
(2)→
→
(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝＝.]
(2)[解] ∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－
＝－＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
十六、三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
提醒：注意分类讨论思想的应用.
典例16：设k为整数，化简：
.
[思路点拨] 本题常用的解决方法有两种：
①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．
[解] 法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝＝＝＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．
所以原式＝＝－1.
十七、解决化简求值问题的策略：
(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.
提醒：常见的互余关系有：
常见的互补关系有：
典例17：(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A. B.
C．－ D．－
(2)已知sin＝，则cos的值为________．
[思路点拨] (1)→
(2)→
(1)B (2) [(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°
＝＝.
(2)cos＝cos
＝sin＝.]
十八、三角恒等式的证明的策略
(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则.
(2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法.
典例18：(1)求证：
＝.
(2)求证：＝－tan θ.
[证明] (1)右边＝
＝
＝
＝＝
＝＝左边，
所以原等式成立．
(2)左边＝
＝＝－tan θ＝右边，
所以原等式成立．
十九、诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.
典例19：已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
[思路点拨] →→→
[解] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－.
又α是第三象限角，
所以cos α＝－，tan α＝＝，
所以·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α
＝－tan2α＝－.
二十、正弦函数、余弦函数图象的初步认识
1．解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线．
2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
3．正、余弦曲线的对称性
对称中心
对称轴
y＝sin x(x∈R)
(kπ，0)，k∈Z
x＝kπ＋，k∈Z
y＝cos x(x∈R)
，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1.
典例20：(1)下列叙述正确的是( )
①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
(2)函数y＝sin|x|的图象是( )
(1)D (2)B [(1)分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．
(2)y＝sin|x|＝
结合选项可知选B.]
二十一、用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表：
x
0
π
2π
sin x
(或cos x)
0(或1)
1(或0)
0(或－1)
－1
(或0)
0(或1)
y
b
(或A＋b)
A＋b
(或b)
b
(或－A＋b)
－A＋b
(或b)
b
(或A＋b)
(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin x＋b(y＝Acos x＋b)(A≠0)的图象．
提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度．
典例21：用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π)．
[思路点拨] →→
[解] (1)①取值列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
②描点连线，如图所示.
(2)①取值列表如下：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
－1＋cos x
0
－1
－2
－1
0
②描点连线，如图所示．
二十二、正弦(余弦)函数图象的应用
1．用三角函数的图象解sin x＞a(或cos x＞a)的方法
(1)作出y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集．
2．利用三角函数线解sin x＞a(或cos x＞a)的方法
(1)找出使sin x＝a(或cos x＝a)的两个x值的终边所在的位置．
(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
典例22:(1)函数y＝的定义域为________．
(2)在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
[思路点拨] (1)→→
(2)→
→→
(1) [由2sin x－1≥0得sin x≥，
画出y＝sin x的图象和直线y＝.
可知sin x≥的解集为
.]
(2)[解] 建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈R的图象．
描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．]
二十三、求三角函数周期的方法：
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.
典例23：求下列函数的周期：
(1)y＝sin；
(2)y＝|sin x|.
[思路点拨] (1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．
法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．
(2)作函数图象，观察出周期．
[解] (1)法一：(定义法)y＝sin
＝sin＝sin，
所以周期为π.
法二：(公式法)y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π.
(2)作图如下：
观察图象可知周期为π.
二十四、三角函数奇偶性的判断
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
典例24：判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
(3)f(x)＝.
[思路点拨]
[解] (1)显然x∈R，f(x)＝cosx，
∵f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由得－1＜sin x＜1，
解得定义域为，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数．
二十五、三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
1．三角函数周期性与奇偶性的解题策略
探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
2．与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
典例25：(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于( )
A．－ B. C．－ D.
[思路点拨] (1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．
(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简f；再依据f(x)是偶函数和x∈，f(x)＝sin x求值．
(1)D (2)D [(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
(2)f＝f＝f
＝f＝f＝f
＝sin＝.]
二十六、正弦函数、余弦函数的单调性
1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
典例26：(1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝sin＋1，求函数f(x)的单调递增区间．
[思路点拨] (1)确定a的范围→y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数→y＝cos x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．
(2)确定增区间→令u＝＋2x→y＝sin u的单调递增区间．
(1)(－π，0] [(1)因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．]
(2)[解] 令u＝＋2x，函数y＝sin u的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤＋2x≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)＝sin＋1的单调递增区间是，k∈Z.
二十七、三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内.
(2)不同名的函数化为同名的函数.
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.
典例27：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin与sin；
(2)sin 196°与cos 156°；
(3)cos与cos.
[思路点拨] →
[解] (1)∵－＜－＜－＜，
∴sin＞sin.
(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°，
∴sin 16°＜sin 66°，
从而－sin 16°＞－sin 66°，
即sin 196°＞cos 156°.
(3)cos＝cosπ
＝cos＝cosπ，
cos＝cosπ
＝cos＝cos.
∵0＜＜π＜π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cosπ＜cos，
即cos＜cos.
二十八、三角函数最值问题的常见类型及求解方法：
(1)y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.
(2)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)的范围，最后得最值.
典例28：(1)函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________．
(2)已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值．
[思路点拨] (1)先用平方关系转化，即cos2x＝1－sin2x，再将sin x看作整体，转化为二次函数的值域问题．
(2)先由x∈求2x－的取值范围，再求sin2x
的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解．
(1)[－4,0] [y＝cos2x＋2sin x－2
＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.
因为－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0，
所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．]
(2)[解] ∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)max＝a＋b＝，
f(x)min＝－a＋b＝－2.
由得
二十九、有关正切函数的定义域、值域问题
1．求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
2．解形如tan x＞a的不等式的步骤
提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．
典例29：(1)函数y＝的值域是( )
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)
(2)函数y＝3tan的定义域为________．
(3)函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域为________．
[思路点拨] 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
(1)B (2)
(3) [(1)当－＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴≤－1；
当0＜x＜时，0＜tan x＜1，∴≥1.
即当x∈∪时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)要使函数有意义应满足－≠kπ＋，k∈Z，得x≠－4kπ－，k∈Z，
所以函数的定义域为.
(3)要使函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，则
即－1≤tan x<1.
在上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为.]
三十、正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性
1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
提醒：y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z的对称中心坐标为，k∈Z.
典例30:(1)函数f(x)＝tan的周期为________．
(2)已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为________．
(3)判断下列函数的奇偶性：
①y＝3xtan 2x－2x4；②y＝cos＋tan x.
[思路点拨] (1)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期T＝，也可以用定义法求周期．
(2)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝，k∈Z求出．
(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f(－x)与f(x)的关系．
(1) (2)，k∈Z [(1)法一：(定义法)
∵tan＝tan，
即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
法二：(公式法)
f(x)＝tan的周期T＝.
(2)由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z.]
(3)①定义域为，关于原点对称，
又f(－x)＝3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3xtan 2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．
②定义域为，关于原点对称，
y＝cos＋tan x＝sin x＋tan x，
又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x
＝－f(x)，所以它是奇函数．
三十一、正切函数单调性的应用
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．
(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．
典例31：(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．
(2)求函数y＝3tan的单调区间．
[思路点拨] (1)利用y＝tan x在上为增函数比较大小，注意tan 1＝tan(π＋1)．
(2)先将原函数化为y＝－3tan，再由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z，求出单调减区间．
(1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1 [(1)y＝tan x在区间上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)，
又＜2＜3＜4＜π＋1＜，
所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.]
(2)y＝3tan＝－3tan，
由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z得，
－＋π＜x＜＋π，k∈Z，
所以y＝3tan的减区间为－＋π，＋π，k∈Z.
三十二、给角求值问题
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2．两角差的余弦公式的结构特点：
(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．
(2)把所得的积相加．
典例32：(1)cos的值为( )
A. B.
C. D．－]
(2)求下列各式的值：
①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；
③cos 15°＋sin 15°.
(1)D [cos＝cos＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝－×－×＝－.]
(2)解：①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°
＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.
②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°
＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°)
＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°
＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝.
③cos 15°＋sin 15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
三十三、给值求值问题的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β).
典例33：(1)已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝( )
A．－ B．－ C. D.
(2)已知sin＝，α∈，求cos α的值．
[思路点拨] (1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C(α－β)求cos(α－β)．
(2)由已知角＋α与所求角α的关系即α＝－寻找解题思路．
(1)D [因为sin α－sin β＝1－，
所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝2， ①
因为cos α－cos β＝，所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝2， ②
①，②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋
所以－2cos(α－β)＝－
所以cos(α－β)＝.
(2)[解] ∵α∈，∴＋α∈，
∴cos＝－
＝－＝－.
∵α＝－，
cos α＝cos
＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.]
三十四、已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
典例34：已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小．
[思路点拨] →→
[解] 因为sin(π－α)＝，
所以sin α＝.因为0＜α＜，
所以cos α＝＝.
因为cos(α－β)＝，
且0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，
所以sin(α－β)＝＝，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.因为0＜β＜，所以β＝.
三十五、辅助角公式及其运用
(1)公式形式：公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))将形如asin α＋bcos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.
提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.
典例35：(1)sin－cos＝________.
(2)已知f(x)＝sin x－cos x，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间．
[思路点拨] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．
(1)－ [原式＝2.
法一：(化正弦)原式
＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝－.
法二：(化余弦)原式
＝2
＝－2
＝－2cos＝－2cos＝－.]
(2)[解] f(x)＝sin x－cos x
＝2
＝2
＝2sin，
∴T＝＝2π，值域[－2,2]．
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得递增区间，k∈Z.
三十六、两角和与差的正切公式的正用
1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：
(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号规律：分子同，分母反．
2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：
(1)计算待求角的正切值．
(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．
(3)根据角的范围及三角函数值确定角．
典例36：(1)已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝________.
(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
[思路点拨] (1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.
(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．
(1) (2) [(1)∵tan α＝，tan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵α，β均为锐角，
∴α＋β∈(0，π)，
∴α＋β＝.
(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，
∴tan∠BAD＝＝，
tan∠CAD＝＝，
tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)
＝
＝
＝.]
三十七、公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
如
要特别注意
典例37：(1)＝________.
(2)＝________.
[思路点拨] 注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．
(1) (2)－1 [(1)原式＝
＝tan(45°＋15°)
＝tan 60°＝.
(2)原式＝
＝
＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.]
三十八、两角和与差的正切公式的变形运用
1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
(2)1－tan αtan β＝；
(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
(4)tan α·tan β＝1－.
提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．
典例38：(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.
(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
[思路点拨] (1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．
(2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．
(1)1 [∵tan 67°－tan 22°
＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)
＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)
＝1＋tan 67°tan 22°，
∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°
＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.]
(2)[解] ∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1，
∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，
∴＝－，∴tan(A＋B)＝－.
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝.
∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，
∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，
∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰钝角三角形．
三十九、对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
典例39：(1)coscoscos的值为( )
A. B．－
C. D．－
(2)求下列各式的值：
①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③；
④－.
(1)D [∵cos＝－cos，cos＝－cos，
∴coscoscos＝coscoscos＝＝＝＝＝－.]
(2)[解] ①cos415°－sin415°＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
②1－2sin275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－.
③＝2×
＝2×＝－2.
④－＝
＝
＝
＝＝4.
四十、解决条件求值问题的方法
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
(2)当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.
cos 2x＝
类似的变换还有：
cos 2x＝，
典例40：(1)已知cos＝，≤α＜，求cos的值；
(2)已知α∈，且sin 2α＝sin，求α.
[思路点拨] 依据以下角的关系设计解题思路求解：
(1)α＋与2α＋，α－与2α－具有2倍关系，用二倍角公式联系；
(2)2α＋与2α差，用诱导公式联系．
[解] (1)∵≤α＜，∴≤α＋＜.
∵cos＞0，∴＜α＋＜，
∴sin＝－＝－＝－，
∴cos 2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，
sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝，
∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝－.
(2)∵sin 2α＝－cos＝－
＝1－2cos2，
sin＝－sin
＝－cos
＝－cos，
∴原式可化为1－2cos2
＝－cos，
解得cos＝1或cos＝－.
∵α∈，
∴α＋∈，
故α＋＝0或α＋＝，
即α＝－或α＝.
四十一、证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
典例41：(1)化简：＋＝________.
(2)证明：＝－4.
[思路点拨] (1)通分变形．
(2)→→
(1)－tan 2θ [原式＝＝＝－＝－tan 2θ.]
(2)[证明] 左边＝
＝
＝
＝
＝－4＝右边，所以原等式成立．
四十二、化简求值问题
1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
2．利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．
(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．
(4)下结论：结合(2)求值．
提醒：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．
典例42：(1)设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于( )
A. B.
C．－ D．－
(2)已知π<α<，化简：
＋.
[思路点拨] (1)先确定的范围，再由sin2＝得算式求值．
(2)1＋cos θ＝2cos2，1－cos α＝2sin2，去根号，确定的范围，化简．
(1)D [∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.
又cos＝a，
∴sin＝－＝－.]
(2)[解] 原式＝
＋.
∵π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，
∴原式＝＋
＝－＋＝－cos.
四十三、三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
典例43：求证：＝sin 2α.
[思路点拨] 法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；
法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．
[证明] 法一：用正弦、余弦公式．
左边＝
＝＝
＝＝sincoscos α
＝sin αcos α＝sin 2α＝右边，
∴原式成立．
法二：用正切公式．
左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，
∴原式成立．
四十四、三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.
典例44：已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
[思路点拨] →→
→
[解](1)f(x)＝cos－2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以T＝＝π.
(2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤，
因为y＝sin t在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)≥sin＝－，得证．
四十五、应用三角函数解实际问题的方法及注意事项
(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.
(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.
提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.
典例45：如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
[思路点拨] →→
[解] 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
∴l＝OA＋AB＋OB
＝R＋Rsin α＋Rcos α
＝R(sin α＋cos α)＋R
＝Rsin＋R.
∵0<α<，∴<α＋<，
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，
即当α＝时，△OAB的周长最大．
四十六、由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
典例46：(1)将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．
(2)将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin2x＋＋1的图象？
[思路点拨] (1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．
(2)法一：y＝sin x→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．
法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．
(1)y＝－cos 2x－3 [y＝cos的图象向左平移个单位长度，
得y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos 2x，
再向下平移3个单位长度得y＝－cos 2x－3的图象．]
(2)[解] 法一：(先伸缩法)①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin 2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位，得y＝2sin 2的图象；
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，
得y＝2sin＋1的图象．
法二：(先平移法)①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位，得y＝sin的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝sin的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin＋1的图象．
四十七、确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：,“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；,“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；,“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；,“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；,“第五点”为ωx＋φ＝2π.
典例47：(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．y＝2cos＋4 B．y＝2cos＋4
C．y＝4cos＋2 D．y＝4cos＋2
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜，且图象如图所示，求其解析式．
[思路点拨] 由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ.
(1)A [由函数f(x)的最大值和最小值得
A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，
函数f(x)的周期为×4＝4π，又ω＞0，
所以ω＝，又因为点在函数f(x)的图象上
所以6＝2cos＋4，所以cos＝1，
所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜
所以φ＝－，所以f(x)＝2cos＋4.]
(2)[解] 法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又由点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－×2＋φ＝0得φ＝，
所以f(x)＝3sin.
法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，
又图象过点，
所以f＝3sin＝0，
所以sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin.
法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin 2x向左平移个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin＝3sin.
四十八、三角函数图象与性质的综合应用
1．正弦余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．
2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
典例48：(1)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝( )
A. B. C. D.
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
[思路点拨] (1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求ω的值．
(2)先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.
(1)B [因为f＝f，所以直线x＝＝是函数f(x)图象的一条对称轴，
又因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，
所以当x＝时，f(x)取得最小值．
所以ω＋＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝8k－，(k∈Z)
又因为T＝≥－＝，所以ω≤12，又因为ω＞0，
所以k＝1，即ω＝8－＝.]
(2)[解] 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.
依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，可知
sin＝0，即ω＋＝kπ，解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
所以T≥π，即≥π.
∴ω≤2，又ω＞0，
∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
四十九、在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.
典例49：已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[思路点拨] 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键．
[解] 列表如下：
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
五十、解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义求准定义域．
典例50：已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
[思路点拨] (1)根据y的最大值和最小值求A，b，定周期求ω.
(2)解不等式y＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．
[解] (1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0,2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.
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