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2024年数学高分突破第8章 立体几何初步（公式、定理、结论图表）高考数学必背知识手册5
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这是一份2024年数学高分突破第8章 立体几何初步（公式、定理、结论图表）高考数学必背知识手册5，共35页。学案主要包含了空间几何体概念辨析题的常用方法，识别三视图的步骤，由三视图确定几何体的步骤，空间几何体的直观图，求解几何体表面积的类型及求法，求体积的常用方法，空间几何体与球接，共点等内容，欢迎下载使用。
1．多面体的结构特征
2.正棱柱、正棱锥的结构特征
(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
3．旋转体的结构特征
4.三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察几何体画出的轮廓线．
(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
(3)三视图的长度特征：
“长对正、高平齐、宽相等”，即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽．
5．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．
6．多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
7．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
8.柱、锥、台和球的表面积和体积
9．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
10．空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行直线,相交直线)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(3)平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
11．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系
(2)空间中两个平面的位置关系
12．线面平行的判定定理和性质定理
13.面面平行的判定定理和性质定理
14．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
(4)直线和平面垂直的性质：
①垂直于同一个平面的两条直线平行．
②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．
③垂直于同一条直线的两平面平行．
15．直线和平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.
(3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°.
16．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范围是0°≤θ≤180°.
17．平面与平面垂直
(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
<常用结论>
1．特殊的四棱柱
2．球的截面的性质
(1)球的任何截面是圆面；
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝eq \r(R2－d2).
3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下：
S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形，S原图形＝2eq \r(2)S直观图．
4．正四面体的表面积与体积
棱长为a的正四面体，其表面积为eq \r(3)a2，体积为eq \f(\r(2),12)a3.
5．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝eq \f(\r(6),12)a，外接球半径R外＝eq \f(\r(6),4)a.
6．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
7．等角定理的引申
(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．
(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．
8．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
9.线、面平行的性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
(7)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(8)垂直于同一平面的两条直线平行．
10．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
11．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
12．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
13．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
14．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
<解题方法与技巧>
一、空间几何体概念辨析题的常用方法
典例1：下列结论正确的是 ( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转
形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
D [A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．
图1 图2
B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．
C错误．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．]
二、识别三视图的步骤
(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；
(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；
(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．
典例2：(1)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥ABCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( )
A B C D
(2)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
(1)A (2)A [(1)正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.
(2)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形．]
三、由三视图确定几何体的步骤
典例3:(1)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．2eq \r(17) B．2eq \r(5) C．3 D．2
(1)C (2)B [(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥PABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.
(2)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图1所示．
图1 图2
圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图2所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．ON＝eq \f(1,4)×16＝4，OM＝2，
∴MN＝eq \r(OM2＋ON2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).故选B.]
四、由几何体的部分视图确定剩余视图的方法
解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验．
典例4：如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为 ( )
A B C D
A [由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.]
五、空间几何体的直观图
1．用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．
2．原图形与直观图面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形；(2)S原图形＝2eq \r(2)S直观图．
典例5：(1)已知等腰梯形ABCD，CD＝1，AD＝CB＝eq \r(2)，AB＝3，以AB所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),4) C.eq \f(\r(2),2) D．2eq \r(2)
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．一般的平行四边形
(1)C (2)C [(1)法一(作图求解)：如图，取AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，y轴交DC于点E，O，E在斜二测画法中的对应点为O′，E′，过E′作E′F′⊥x′轴，垂足为F′，
因为OE＝eq \r(\r(2)2－12)＝1，
所以O′E′＝eq \f(1,2)，E′F′＝eq \f(\r(2),4).
所以直观图A′B′C′D′的面积为
S′＝eq \f(1,2)×(1＋3)×eq \f(\r(2),4)＝eq \f(\r(2),2)，
故选C.
法二(公式法)：由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S＝eq \f(1,2)×(1＋3)×1＝2.
由S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形，
得S直观图＝eq \f(\r(2),4)×2＝eq \f(\r(2),2)，故选C.
(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq \r(2)＝4eq \r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.
所以OC＝eq \r(OD2＋CD2)＝eq \r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，
所以OA＝OC，由题意得OA綊BC，故四边形OABC是菱形，故选C.]
六、求解几何体表面积的类型及求法
典例6：(1)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A．48＋π B．48－π
C．48＋2π D．48－2π
(2)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12eq \r(2)π B．12π
C．8eq \r(2)π D．10π
(1)A (2)B [(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.
(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2eq \r(2)，底面圆的直径为2eq \r(2)，所以该圆柱的表面积为2×π×(eq \r(2))2＋2π×eq \r(2)×2eq \r(2)＝12π.]
七、求体积的常用方法
典例7：(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A.eq \f(π,2)＋1 B.eq \f(π,2)＋3
C.eq \f(3π,2)＋1 D.eq \f(3π,2)＋3
(2)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为 ．
(1)A (2)eq \f(1,3) [(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1，高为3的半个圆锥和三棱锥S ABC组成的，
如图，三棱锥的高为3，底面△ABC中，AB＝2，OC＝1，AB⊥OC.故其体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×π×12×3＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×3＝eq \f(π,2)＋1.故选A.
(2)四棱锥A1BB1D1D的底面BB1D1D为矩形，其面积S＝1×eq \r(2)＝eq \r(2)，又四棱锥的高为点A1到平面BB1D1D的距离，即h＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(\r(2),2)，所以四棱锥的体积V＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,3).]
八、空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
典例8：(1)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥DABC体积的最大值为( )
A．12eq \r(3) B．18eq \r(3)
C．24eq \r(3) D．54eq \r(3)
(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A.eq \f(3\r(17),2) B．2eq \r(10)
C.eq \f(13,2) D．3eq \r(10)
(1)B (2)C [(1)如图，E是AC中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为S△ABC＝eq \f(\r(3),4)AB2＝9eq \r(3)，所以AB＝6，BM＝eq \f(2,3)BE＝eq \f(2,3)eq \r(AB2－AE2)＝2eq \r(3).易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝eq \r(OB2－BM2)＝2，所以当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，且最大值Vmax＝eq \f(1,3)S△ABC×(4＋OM)＝eq \f(1,3)×9eq \r(3)×6＝18eq \r(3).故选B.
(2)如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M.因为AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC＝5.
又AM＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(5,2)，OM＝eq \f(1,2)AA1＝6，
所以球O的半径R＝OA
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))eq \s\up20(2)＋62)＝eq \f(13,2)，故选C.]
九、共点、共线、共面问题的证明方法
(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
典例9：(1)以下命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
①E，C，D1，F四点共面；
②CE，D1F，DA三线共点．
(1)B [①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．]
(2)[证明] ①如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
②∵EF∥CD1，EF∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
十、空间两条直线的位置关系
典例10：(1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列命题：
①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；
②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；
③若a∥b，则必有a∥c.
其中真命题有 ．(填序号)
(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有 (填上所有正确答案的序号)．
① ② ③ ④
(1)①③ (2)②④ [(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]
十一、平移法求异面直线所成角的步骤
典例11：(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(7),2)
(2)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
(1)C (2)A [(1)如图，连接BE，
因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq \r(5).又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝eq \f(BE,AB)＝eq \f(\r(5),2).故选C.
(2)如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．易知FO∥AB，因为AB⊥平面BCD，所以FO⊥平面BCD，所以FO⊥OG，设AB＝2a，则EG＝EF＝eq \r(2)a，FG＝eq \r(a2＋a2)＝eq \r(2)a，所以∠FEG＝60°，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为eq \f(1,2)，故选A.]
十二、判定线面平行的四种方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
典例12：如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
[证明] (1)连接EC，
因为AD∥BC，BC＝eq \f(1,2)AD，E为AD中点，
所以BCAE，
所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点．
又因为F是PC的中点，
所以FO∥AP，
因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，
因为F，H分别是PC，CD的中点，
所以FH∥PD，因为FH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以FH∥平面PAD.
又因为O是BE的中点，H是CD的中点，
所以OH∥AD，因为OH⊄平面PAD，AD⊂平面PAD.所以OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面PAD.
又因为GH⊂平面OHF，
所以GH∥平面PAD.
十三、判定平面与平面平行的四种方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
(2)面面平行的判定定理(主要方法)；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；
(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
注意：谨记空间平行关系之间的转化
典例13：已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，M，N分别为DB，DC的中点．
(1)求证：平面EMN∥平面ABC；
(2)求三棱锥AECB的体积．
[解] (1)证明：取BC中点H，连接AH，
∵△ABC为等腰三角形，
∴AH⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，
∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，
∴EN∥AH，
∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，
∴EN∥平面ABC，
又M，N分别为BD，DC中点，
∴MN∥BC，
∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴MN∥平面ABC，
又MN∩EN＝N，
∴平面EMN∥平面ABC.
(2)连接DH，取CH中点G，连接NG，
则NG∥DH，由(1)知EN∥平面ABC，
所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，
又△BCD是边长为2的等边三角形，
∴DH⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，
∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，∴DH＝eq \r(3)，
又N为CD中点，∴NG＝eq \f(\r(3),2)，
又AC＝AB＝3，BC＝2，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)·|BC|·|AH|＝2eq \r(2)，
∴VEABC＝VNABC＝eq \f(1,3)·S△ABC·|NG|＝eq \f(\r(6),3).
十四、证明直线与平面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．
(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质定理．
典例14：如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M为棱BC的中点，BB1＝3，AB1＝eq \r(10)，∠CBB1＝60°.
(1)求证：AM⊥平面BCC1B1；
(2)求斜三棱柱ABCA1B1C1的体积．
[解] (1)证明：如图，连接B1M，
因为底面ABC是边长为2的正三角形，且M为棱BC的中点，所以AM⊥BC，且AM＝eq \r(3)，
因为BB1＝3，∠CBB1＝60°，BM＝1，
所以B1M2＝12＋32－2×1×3×cs 60°＝7，
所以B1M＝eq \r(7).
又因为AB1＝eq \r(10)，
所以AM2＋B1M2＝10＝ABeq \\al(2,1)，
所以AM⊥B1M.
又因为B1M∩BC＝M，
所以AM⊥平面BCC1B1.
(2)设斜三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，则
V＝3VB1ABC＝3VAB1BC
＝3×eq \f(1,3)S△B1BC·|AM|
＝eq \f(1,2)×2×3×sin 60°×eq \r(3)
＝eq \f(9,2).
所以斜三棱柱ABCA1B1C1的体积为eq \f(9,2).
十五、证明面面垂直的两种方法
(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决，
注意：三种垂直关系的转化
典例15：(1)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
B [取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.
∵点N为正方形ABCD的中心，
∴点N在BD上，且为BD的中点．
∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.
∵平面ECD⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD.
∴EF⊥FN.
不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝eq \r(3)，
∴EN＝eq \r(FN2＋EF2)＝2.
∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF，
∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.
∵MG＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(\r(3),2)，
BG＝eq \r(CG2＋BC2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＋22)＝eq \f(5,2)，
∴BM＝eq \r(MG2＋BG2)＝eq \r(7).
∴BM≠EN.
∵BM，EN是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．
故选B.]
(2)如图，四棱锥PABCD中，△PCD为等边三角形，CD＝AD＝2AB，E，S，T，Q为CD，PA，PB，AD的中点，∠ABC＝∠BCD＝∠PEA＝90°，平面STRQ∩平面ABCD＝RQ.
①证明：平面PAE⊥平面STRQ；
②若AB＝1，求三棱锥QBCT的体积．
[解] ①证明：因为E为CD的中点，CD＝2AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，所以四边形ABCE为矩形，所以AE⊥CD.
由已知易得RQ∥CD，所以RQ⊥AE.
因为∠PEA＝90°，PE∩CD＝E，
故AE⊥平面PCD，
又因为AE⊂平面ABCD.
故平面PCD⊥平面ABCD.
因为PE⊥CD，所以PE⊥平面ABCD.
因为RQ⊂平面ABCD，所以RQ⊥PE.
又PE∩AE＝E，所以RQ⊥平面PAE.
所以平面PAE⊥平面STRQ.
②由①可知，PE⊥平面ABCD，又T是PB的中点，
∴点T到平面BCQ的距离为eq \f(1,2)PE＝eq \f(\r(3),2)，
易知S△BCQ＝eq \f(1,2)S梯形ABCD＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×(1＋2)×eq \r(3)＝eq \f(3\r(3),4).
故三棱锥QBCT的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(3\r(3),4)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3,8).
十六、求点到平面的距离(高)的两种方法
(1)定义法：求几何体的高或点到面的距离，经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或点到面的距离．其步骤为：一作、二证、三求．如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离．
(2)等体积法：求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置，其体积相等的方法求解．
典例16:(1)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq \r(3)，那么P到平面ABC的距离为 ．
eq \r(2) [如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．
再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.
又PE＝PF＝eq \r(3)，所以OE＝OF，
所以CO为∠ACB的平分线，
即∠ACO＝45°.
在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝eq \r(3)，所以CE＝1，
所以OE＝1，所以PO＝eq \r(PE2－OE2)＝eq \r(\r(3)2－12)＝eq \r(2).]
(2)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2eq \r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
①证明：PO⊥平面ABC；
②若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
[解] ①证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝2eq \r(3).
连接OB.因为AB＝BC＝eq \f(\r(2),2)AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq \f(1,2)AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC，OB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.
②作CH⊥OM，垂足为H.
又由①可得OP⊥CH，OP⊂平面POM，OM⊂平面POM，OP∩OM＝O，所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC＝eq \f(1,2)AC＝2，CM＝eq \f(2,3)BC＝eq \f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°，
所以OM＝eq \f(2\r(5),3)，CH＝eq \f(OC·MC·sin∠ACB,OM)＝eq \f(4\r(5),5).
所以点C到平面POM的距离为eq \f(4\r(5),5).
十七、求直线和平面所成角的步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
典例17:(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A．8 B．6eq \r(2)
C．8eq \r(2) D．8eq \r(3)
C [如图，连接AC1，BC1，AC.
∵AB⊥平面BB1C1C，
∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，
∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq \f(2,sin 30°)＝4.
在Rt△ACC1中，CC1＝eq \r(AC\\al(2,1)－AC2)＝eq \r(42－22＋22)＝2eq \r(2)，
∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq \r(2)＝8eq \r(2).]
(2)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2eq \r(3)，∠BAD＝90°.
①求证：AD⊥BC；
②求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
③求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
[解] ①证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.
②如图，取棱AC的中点N，连接MN，ND.
又因为M为棱AB的中点，所以MN∥BC.
所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．
在Rt△DAM中，AM＝1，
故DM＝eq \r(AD2＋AM2)＝eq \r(13).
因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC.
在Rt△DAN中，AN＝1，
故DN＝eq \r(AD2＋AN2)＝eq \r(13).
在等腰三角形DMN中，MN＝1，
可得cs∠DMN＝eq \f(\f(1,2)MN,DM)＝eq \f(\r(13),26).
所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为eq \f(\r(13),26).
③如图，连接CM.因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，所以CM⊥AB，CM＝eq \r(3).
又因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD，
所以∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD＝eq \r(AC2＋AD2)＝4.
在Rt△CMD中，sin∠CDM＝eq \f(CM,CD)＝eq \f(\r(3),4).
所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为eq \f(\r(3),4).
十八、转化思想的应用
(1)证明线面平行、面面平行可转化为证明线线平行；证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行．
(2)从解题方法上讲，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行．
(3)求几何体的体积也常用转化法．如三棱锥顶点和底面的转化，几何体的高利用平行、中点，比例关系的转化等．
典例18:如图，在四棱锥PABCD中，△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝90°，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝8，平面PAD⊥平面ABCD，M是PC的三等分点(靠近C点处)．
(1)求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求三棱锥DMAB的体积．
[解] (1)证明：由题易得BD＝AD＝4eq \r(2)，
∴AB2＝AD2＋BD2，
∴BD⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.
又∵BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.
(2)过点P作PO⊥AD交AD于点O(图略)，∵平面PAD⊥平面DAB，平面PAD∩平面DAB＝AD，∴PO⊥平面DAB，∴点P到平面DAB的距离为PO＝2eq \r(2).
∴VDMAB＝VMDAB＝eq \f(1,3)S△DAB·eq \f(1,3)PO＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×(4eq \r(2))2×eq \f(1,3)×2eq \r(2)＝eq \f(32\r(2),9).
十九、解决平面图形翻折问题的步骤
典例19：图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
图1 图2
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的四边形ACGD的面积．
[解] (1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，
故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.
又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)取CG的中点M，连接EM，DM.
因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.
因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝eq \r(3)，
故DM＝2.
所以四边形ACGD的面积为4.
二十、存在性问题的一般解题方法
先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．
典例20：如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
[解] (1)证明：因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC.
(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，
AE⊂平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，
所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.
因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.
(3)棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.
取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，
则FG∥AB，且FG＝eq \f(1,2)AB.
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE＝eq \f(1,2)AB.
所以FG∥CE，且FG＝CE.
所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG.
因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，
所以CF∥平面PAE.
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
互相平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
长度相等且相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
旋转图形
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
三者关系
S圆柱侧＝2πrleq \(――→,\s\up14(r′＝r))S圆台侧＝π(r＋r′)leq \(――→,\s\up14(r′＝0))S圆锥侧＝πrl
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在平面α内
a⊂α
有无数个公共点
直线在平面外
直线a与平面α平行
a∥α
没有公共点
直线a与平面α斜交
a∩α＝A
有且只有一个公共点
直线a与平面α垂直
a⊥α
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行
α∥β
没有公共点
两平面相交
斜交
α∩β＝l
有一条公共直线
垂直
α⊥β且
α∩β＝a
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
∵l∥a，a⊂α，l⊄α，
∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
∵l∥α，l⊂β，
α∩β＝b，
∴l∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
∵a∥β，b∥β，
a∩b＝P，
a⊂α，b⊂α，
∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b，
∴a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α
定义法
紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定
反例法
通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可
求多面体的表面积
先求各个面的面积，再相加即可
求旋转体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积时
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
直接法
对于规则的几何体，利用相关公式直接计算
割补法
首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算
等体积法
选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换
平移
平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移(一作)
证明
证明所作的角是异面直线所成的角或其补角(二证)
计算
在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之(三计算)
取舍
因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角(四取舍)
1．多面体的结构特征
2.正棱柱、正棱锥的结构特征
(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
3．旋转体的结构特征
4.三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察几何体画出的轮廓线．
(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
(3)三视图的长度特征：
“长对正、高平齐、宽相等”，即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽．
5．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．
6．多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
7．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
8.柱、锥、台和球的表面积和体积
9．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
10．空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行直线,相交直线)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(3)平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
11．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系
(2)空间中两个平面的位置关系
12．线面平行的判定定理和性质定理
13.面面平行的判定定理和性质定理
14．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
(4)直线和平面垂直的性质：
①垂直于同一个平面的两条直线平行．
②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．
③垂直于同一条直线的两平面平行．
15．直线和平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.
(3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°.
16．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范围是0°≤θ≤180°.
17．平面与平面垂直
(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
<常用结论>
1．特殊的四棱柱
2．球的截面的性质
(1)球的任何截面是圆面；
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝eq \r(R2－d2).
3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下：
S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形，S原图形＝2eq \r(2)S直观图．
4．正四面体的表面积与体积
棱长为a的正四面体，其表面积为eq \r(3)a2，体积为eq \f(\r(2),12)a3.
5．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝eq \f(\r(6),12)a，外接球半径R外＝eq \f(\r(6),4)a.
6．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
7．等角定理的引申
(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．
(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．
8．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
9.线、面平行的性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
(7)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(8)垂直于同一平面的两条直线平行．
10．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
11．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
12．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
13．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
14．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
<解题方法与技巧>
一、空间几何体概念辨析题的常用方法
典例1：下列结论正确的是 ( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转
形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
D [A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．
图1 图2
B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．
C错误．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．]
二、识别三视图的步骤
(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；
(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；
(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．
典例2：(1)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥ABCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( )
A B C D
(2)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
(1)A (2)A [(1)正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.
(2)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形．]
三、由三视图确定几何体的步骤
典例3:(1)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．2eq \r(17) B．2eq \r(5) C．3 D．2
(1)C (2)B [(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥PABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.
(2)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图1所示．
图1 图2
圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图2所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．ON＝eq \f(1,4)×16＝4，OM＝2，
∴MN＝eq \r(OM2＋ON2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).故选B.]
四、由几何体的部分视图确定剩余视图的方法
解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验．
典例4：如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为 ( )
A B C D
A [由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.]
五、空间几何体的直观图
1．用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．
2．原图形与直观图面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形；(2)S原图形＝2eq \r(2)S直观图．
典例5：(1)已知等腰梯形ABCD，CD＝1，AD＝CB＝eq \r(2)，AB＝3，以AB所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),4) C.eq \f(\r(2),2) D．2eq \r(2)
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．一般的平行四边形
(1)C (2)C [(1)法一(作图求解)：如图，取AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，y轴交DC于点E，O，E在斜二测画法中的对应点为O′，E′，过E′作E′F′⊥x′轴，垂足为F′，
因为OE＝eq \r(\r(2)2－12)＝1，
所以O′E′＝eq \f(1,2)，E′F′＝eq \f(\r(2),4).
所以直观图A′B′C′D′的面积为
S′＝eq \f(1,2)×(1＋3)×eq \f(\r(2),4)＝eq \f(\r(2),2)，
故选C.
法二(公式法)：由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S＝eq \f(1,2)×(1＋3)×1＝2.
由S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形，
得S直观图＝eq \f(\r(2),4)×2＝eq \f(\r(2),2)，故选C.
(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq \r(2)＝4eq \r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.
所以OC＝eq \r(OD2＋CD2)＝eq \r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，
所以OA＝OC，由题意得OA綊BC，故四边形OABC是菱形，故选C.]
六、求解几何体表面积的类型及求法
典例6：(1)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A．48＋π B．48－π
C．48＋2π D．48－2π
(2)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12eq \r(2)π B．12π
C．8eq \r(2)π D．10π
(1)A (2)B [(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.
(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2eq \r(2)，底面圆的直径为2eq \r(2)，所以该圆柱的表面积为2×π×(eq \r(2))2＋2π×eq \r(2)×2eq \r(2)＝12π.]
七、求体积的常用方法
典例7：(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A.eq \f(π,2)＋1 B.eq \f(π,2)＋3
C.eq \f(3π,2)＋1 D.eq \f(3π,2)＋3
(2)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为 ．
(1)A (2)eq \f(1,3) [(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1，高为3的半个圆锥和三棱锥S ABC组成的，
如图，三棱锥的高为3，底面△ABC中，AB＝2，OC＝1，AB⊥OC.故其体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×π×12×3＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×3＝eq \f(π,2)＋1.故选A.
(2)四棱锥A1BB1D1D的底面BB1D1D为矩形，其面积S＝1×eq \r(2)＝eq \r(2)，又四棱锥的高为点A1到平面BB1D1D的距离，即h＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(\r(2),2)，所以四棱锥的体积V＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,3).]
八、空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
典例8：(1)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥DABC体积的最大值为( )
A．12eq \r(3) B．18eq \r(3)
C．24eq \r(3) D．54eq \r(3)
(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A.eq \f(3\r(17),2) B．2eq \r(10)
C.eq \f(13,2) D．3eq \r(10)
(1)B (2)C [(1)如图，E是AC中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为S△ABC＝eq \f(\r(3),4)AB2＝9eq \r(3)，所以AB＝6，BM＝eq \f(2,3)BE＝eq \f(2,3)eq \r(AB2－AE2)＝2eq \r(3).易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝eq \r(OB2－BM2)＝2，所以当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，且最大值Vmax＝eq \f(1,3)S△ABC×(4＋OM)＝eq \f(1,3)×9eq \r(3)×6＝18eq \r(3).故选B.
(2)如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M.因为AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC＝5.
又AM＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(5,2)，OM＝eq \f(1,2)AA1＝6，
所以球O的半径R＝OA
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))eq \s\up20(2)＋62)＝eq \f(13,2)，故选C.]
九、共点、共线、共面问题的证明方法
(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
典例9：(1)以下命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
①E，C，D1，F四点共面；
②CE，D1F，DA三线共点．
(1)B [①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．]
(2)[证明] ①如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
②∵EF∥CD1，EF
则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
十、空间两条直线的位置关系
典例10：(1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列命题：
①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；
②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；
③若a∥b，则必有a∥c.
其中真命题有 ．(填序号)
(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有 (填上所有正确答案的序号)．
① ② ③ ④
(1)①③ (2)②④ [(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]
十一、平移法求异面直线所成角的步骤
典例11：(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(7),2)
(2)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
(1)C (2)A [(1)如图，连接BE，
因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq \r(5).又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝eq \f(BE,AB)＝eq \f(\r(5),2).故选C.
(2)如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．易知FO∥AB，因为AB⊥平面BCD，所以FO⊥平面BCD，所以FO⊥OG，设AB＝2a，则EG＝EF＝eq \r(2)a，FG＝eq \r(a2＋a2)＝eq \r(2)a，所以∠FEG＝60°，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为eq \f(1,2)，故选A.]
十二、判定线面平行的四种方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
典例12：如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
[证明] (1)连接EC，
因为AD∥BC，BC＝eq \f(1,2)AD，E为AD中点，
所以BCAE，
所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点．
又因为F是PC的中点，
所以FO∥AP，
因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，
因为F，H分别是PC，CD的中点，
所以FH∥PD，因为FH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以FH∥平面PAD.
又因为O是BE的中点，H是CD的中点，
所以OH∥AD，因为OH⊄平面PAD，AD⊂平面PAD.所以OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面PAD.
又因为GH⊂平面OHF，
所以GH∥平面PAD.
十三、判定平面与平面平行的四种方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
(2)面面平行的判定定理(主要方法)；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；
(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
注意：谨记空间平行关系之间的转化
典例13：已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，M，N分别为DB，DC的中点．
(1)求证：平面EMN∥平面ABC；
(2)求三棱锥AECB的体积．
[解] (1)证明：取BC中点H，连接AH，
∵△ABC为等腰三角形，
∴AH⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，
∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，
∴EN∥AH，
∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，
∴EN∥平面ABC，
又M，N分别为BD，DC中点，
∴MN∥BC，
∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴MN∥平面ABC，
又MN∩EN＝N，
∴平面EMN∥平面ABC.
(2)连接DH，取CH中点G，连接NG，
则NG∥DH，由(1)知EN∥平面ABC，
所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，
又△BCD是边长为2的等边三角形，
∴DH⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，
∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，∴DH＝eq \r(3)，
又N为CD中点，∴NG＝eq \f(\r(3),2)，
又AC＝AB＝3，BC＝2，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)·|BC|·|AH|＝2eq \r(2)，
∴VEABC＝VNABC＝eq \f(1,3)·S△ABC·|NG|＝eq \f(\r(6),3).
十四、证明直线与平面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．
(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质定理．
典例14：如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M为棱BC的中点，BB1＝3，AB1＝eq \r(10)，∠CBB1＝60°.
(1)求证：AM⊥平面BCC1B1；
(2)求斜三棱柱ABCA1B1C1的体积．
[解] (1)证明：如图，连接B1M，
因为底面ABC是边长为2的正三角形，且M为棱BC的中点，所以AM⊥BC，且AM＝eq \r(3)，
因为BB1＝3，∠CBB1＝60°，BM＝1，
所以B1M2＝12＋32－2×1×3×cs 60°＝7，
所以B1M＝eq \r(7).
又因为AB1＝eq \r(10)，
所以AM2＋B1M2＝10＝ABeq \\al(2,1)，
所以AM⊥B1M.
又因为B1M∩BC＝M，
所以AM⊥平面BCC1B1.
(2)设斜三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，则
V＝3VB1ABC＝3VAB1BC
＝3×eq \f(1,3)S△B1BC·|AM|
＝eq \f(1,2)×2×3×sin 60°×eq \r(3)
＝eq \f(9,2).
所以斜三棱柱ABCA1B1C1的体积为eq \f(9,2).
十五、证明面面垂直的两种方法
(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决，
注意：三种垂直关系的转化
典例15：(1)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
B [取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.
∵点N为正方形ABCD的中心，
∴点N在BD上，且为BD的中点．
∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.
∵平面ECD⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD.
∴EF⊥FN.
不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝eq \r(3)，
∴EN＝eq \r(FN2＋EF2)＝2.
∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF，
∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.
∵MG＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(\r(3),2)，
BG＝eq \r(CG2＋BC2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＋22)＝eq \f(5,2)，
∴BM＝eq \r(MG2＋BG2)＝eq \r(7).
∴BM≠EN.
∵BM，EN是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．
故选B.]
(2)如图，四棱锥PABCD中，△PCD为等边三角形，CD＝AD＝2AB，E，S，T，Q为CD，PA，PB，AD的中点，∠ABC＝∠BCD＝∠PEA＝90°，平面STRQ∩平面ABCD＝RQ.
①证明：平面PAE⊥平面STRQ；
②若AB＝1，求三棱锥QBCT的体积．
[解] ①证明：因为E为CD的中点，CD＝2AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，所以四边形ABCE为矩形，所以AE⊥CD.
由已知易得RQ∥CD，所以RQ⊥AE.
因为∠PEA＝90°，PE∩CD＝E，
故AE⊥平面PCD，
又因为AE⊂平面ABCD.
故平面PCD⊥平面ABCD.
因为PE⊥CD，所以PE⊥平面ABCD.
因为RQ⊂平面ABCD，所以RQ⊥PE.
又PE∩AE＝E，所以RQ⊥平面PAE.
所以平面PAE⊥平面STRQ.
②由①可知，PE⊥平面ABCD，又T是PB的中点，
∴点T到平面BCQ的距离为eq \f(1,2)PE＝eq \f(\r(3),2)，
易知S△BCQ＝eq \f(1,2)S梯形ABCD＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×(1＋2)×eq \r(3)＝eq \f(3\r(3),4).
故三棱锥QBCT的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(3\r(3),4)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3,8).
十六、求点到平面的距离(高)的两种方法
(1)定义法：求几何体的高或点到面的距离，经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或点到面的距离．其步骤为：一作、二证、三求．如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离．
(2)等体积法：求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置，其体积相等的方法求解．
典例16:(1)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq \r(3)，那么P到平面ABC的距离为 ．
eq \r(2) [如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．
再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.
又PE＝PF＝eq \r(3)，所以OE＝OF，
所以CO为∠ACB的平分线，
即∠ACO＝45°.
在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝eq \r(3)，所以CE＝1，
所以OE＝1，所以PO＝eq \r(PE2－OE2)＝eq \r(\r(3)2－12)＝eq \r(2).]
(2)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2eq \r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
①证明：PO⊥平面ABC；
②若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
[解] ①证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝2eq \r(3).
连接OB.因为AB＝BC＝eq \f(\r(2),2)AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq \f(1,2)AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC，OB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.
②作CH⊥OM，垂足为H.
又由①可得OP⊥CH，OP⊂平面POM，OM⊂平面POM，OP∩OM＝O，所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC＝eq \f(1,2)AC＝2，CM＝eq \f(2,3)BC＝eq \f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°，
所以OM＝eq \f(2\r(5),3)，CH＝eq \f(OC·MC·sin∠ACB,OM)＝eq \f(4\r(5),5).
所以点C到平面POM的距离为eq \f(4\r(5),5).
十七、求直线和平面所成角的步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
典例17:(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A．8 B．6eq \r(2)
C．8eq \r(2) D．8eq \r(3)
C [如图，连接AC1，BC1，AC.
∵AB⊥平面BB1C1C，
∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，
∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq \f(2,sin 30°)＝4.
在Rt△ACC1中，CC1＝eq \r(AC\\al(2,1)－AC2)＝eq \r(42－22＋22)＝2eq \r(2)，
∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq \r(2)＝8eq \r(2).]
(2)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2eq \r(3)，∠BAD＝90°.
①求证：AD⊥BC；
②求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
③求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
[解] ①证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.
②如图，取棱AC的中点N，连接MN，ND.
又因为M为棱AB的中点，所以MN∥BC.
所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．
在Rt△DAM中，AM＝1，
故DM＝eq \r(AD2＋AM2)＝eq \r(13).
因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC.
在Rt△DAN中，AN＝1，
故DN＝eq \r(AD2＋AN2)＝eq \r(13).
在等腰三角形DMN中，MN＝1，
可得cs∠DMN＝eq \f(\f(1,2)MN,DM)＝eq \f(\r(13),26).
所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为eq \f(\r(13),26).
③如图，连接CM.因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，所以CM⊥AB，CM＝eq \r(3).
又因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD，
所以∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD＝eq \r(AC2＋AD2)＝4.
在Rt△CMD中，sin∠CDM＝eq \f(CM,CD)＝eq \f(\r(3),4).
所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为eq \f(\r(3),4).
十八、转化思想的应用
(1)证明线面平行、面面平行可转化为证明线线平行；证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行．
(2)从解题方法上讲，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行．
(3)求几何体的体积也常用转化法．如三棱锥顶点和底面的转化，几何体的高利用平行、中点，比例关系的转化等．
典例18:如图，在四棱锥PABCD中，△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝90°，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝8，平面PAD⊥平面ABCD，M是PC的三等分点(靠近C点处)．
(1)求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求三棱锥DMAB的体积．
[解] (1)证明：由题易得BD＝AD＝4eq \r(2)，
∴AB2＝AD2＋BD2，
∴BD⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.
又∵BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.
(2)过点P作PO⊥AD交AD于点O(图略)，∵平面PAD⊥平面DAB，平面PAD∩平面DAB＝AD，∴PO⊥平面DAB，∴点P到平面DAB的距离为PO＝2eq \r(2).
∴VDMAB＝VMDAB＝eq \f(1,3)S△DAB·eq \f(1,3)PO＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×(4eq \r(2))2×eq \f(1,3)×2eq \r(2)＝eq \f(32\r(2),9).
十九、解决平面图形翻折问题的步骤
典例19：图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
图1 图2
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的四边形ACGD的面积．
[解] (1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，
故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.
又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)取CG的中点M，连接EM，DM.
因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.
因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝eq \r(3)，
故DM＝2.
所以四边形ACGD的面积为4.
二十、存在性问题的一般解题方法
先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．
典例20：如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
[解] (1)证明：因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC.
(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，
AE⊂平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，
所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.
因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.
(3)棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.
取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，
则FG∥AB，且FG＝eq \f(1,2)AB.
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE＝eq \f(1,2)AB.
所以FG∥CE，且FG＝CE.
所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG.
因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，
所以CF∥平面PAE.
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
互相平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
长度相等且相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
旋转图形
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
三者关系
S圆柱侧＝2πrleq \(――→,\s\up14(r′＝r))S圆台侧＝π(r＋r′)leq \(――→,\s\up14(r′＝0))S圆锥侧＝πrl
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在平面α内
a⊂α
有无数个公共点
直线在平面外
直线a与平面α平行
a∥α
没有公共点
直线a与平面α斜交
a∩α＝A
有且只有一个公共点
直线a与平面α垂直
a⊥α
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行
α∥β
没有公共点
两平面相交
斜交
α∩β＝l
有一条公共直线
垂直
α⊥β且
α∩β＝a
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
∵l∥a，a⊂α，l⊄α，
∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
∵l∥α，l⊂β，
α∩β＝b，
∴l∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
∵a∥β，b∥β，
a∩b＝P，
a⊂α，b⊂α，
∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b，
∴a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α
定义法
紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定
反例法
通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可
求多面体的表面积
先求各个面的面积，再相加即可
求旋转体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积时
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
直接法
对于规则的几何体，利用相关公式直接计算
割补法
首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算
等体积法
选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换
平移
平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移(一作)
证明
证明所作的角是异面直线所成的角或其补角(二证)
计算
在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之(三计算)
取舍
因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角(四取舍)
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