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2023年辽宁省本溪十二中中考数学押题试卷（含解析）
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这是一份2023年辽宁省本溪十二中中考数学押题试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省本溪十二中中考数学押题试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数1，−π，0，2023中，最小的数是( )
A. 1 B. −π C. 0 D. 2023
2. 下列运算正确的是( )
A. (−3xy)2=3x2y2 B. 3x2+4x2=7x4
C. t(3t2−t+1)=3t3−t2+1 D. (−a3)4÷(−a4)3=−1
3. 2023年是农历癸卯兔年，小红所在的社区开展了“迎兔年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，直线l1//l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C.若∠3=50°，∠1+∠2+∠3=240°，则∠4等于( )
A. 80°
B. 70°
C. 60°
D. 50°
5. 小明同学对数据12、22、36、4■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是( )
A. 平均数 B. 标准差 C. 方差 D. 中位数
6. 抛物线y=x2可以由抛物线y=(x+2)2−3平移得到，则下列平移过程正确的是( )
A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
7. 若点A(−2,y1)B(1,y2)C(3,y3)都在反比例函数y=m2+5x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1
A. 3000x=30002.5x−32 B. 30002.5x−3000x=32
C. 3000x−30002.5x=32 D. 30002.5x=3000x+32
9. 如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 80°
10. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点(点E不与点A，点B重合)，点F在线段DA的延长线上，且AF=AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG.设AE=x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 据测算，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳排放约16万吨，将16万吨用科学记数法表示为______ 吨.
12. 函数y= x−1x−3的自变量x的取值范围是_______．
13. 分解因式：9a−4a3= ______ ．
14. 若关于x的方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
15. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=45°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为______ ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB=90°，AO=AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD=32，则k的值为______ ．
17. 如图，BD为矩形ABCD的对角线，AB=5，BC=154.把CD绕点C旋转，点D的对应为点E，当CE//BD时，DE的长为______ ．
18. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连接AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连接CP′，CP′的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
化简：(a−1+a+3a+2)÷a2−1a+2.其中a= 2+1．
20. (本小题12.0分)
党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性为落实劳动教育，某校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动活动设置了四个爱心项目：A.为家人做早饭，B.洗碗，C.打扫家，D.洗衣服.要求每个学生必须且只能选择一项参加，并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：
(1)本次接受抽样调查的总人数是______ 人；
(2)请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
(3)该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有______ 人；
(4)小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影，小雯听说春节期间新上映的四部电影《流浪地球2》《满江红》《无名》《熊出没之伴我熊芯》(依次记为a，b，c，d)都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片(除序号和内容外，其余完全相同)背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片.请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的概率．
21. (本小题12.0分)
为进一步落实“双减”工作，某中学准备从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，购买2个足球和5个篮球共需花费570元．
(1)足球和篮球的单价各是多少元？
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，且总费用不超过14400元，则至少应购买多少个足球？
22. (本小题12.0分)
中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣”.如图①所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．
(1)在图②中，AB呈水平状态，若入射角∠BOC=30°，∠OAD=15°(入射角等于反射角，OC，AD为法线)，则∠BAD= ______ 度；
(2)在(1)的条件下，若AB=10 6米，求点A到OB的距离．
23. (本小题12.0分)
某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x(元/件)
60
65
70
销售量y(件)
1400
1300
1200
(1)求出y与x之间的函数表达式；(不需要求自变量x的取值范围)
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w(元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
24. (本小题12.0分)
如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF=AB．
(1)判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若tan∠FBC=13，DF=2，求⊙O的半径．
25. (本小题12.0分)
在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC=∠BEC=90°，BC
(2)如图2，当点B旋转到AC边上时，(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
(3)若BC=4，CD=2 6，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB=60°时，请直接写出线段OD的长．
26. (本小题14.0分)
如图，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=−x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使△MBC的面积为27？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−π<0<1<2023，
∴在实数1，−π，0，2023中，最小的数是−π．
故选：B．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】D
【解析】解：A、原式=9x2y2，不合题意；
B、原式=7x2，不合题意；
C、原式=3t3−t2+t，不合题意；
D、原式=−1，符合题意；
故选：D．
A、根据积的乘方与幂的乘方运算判断即可；B、根据合并同类项法则计算判断即可；C、根据单项式乘多项式的运算法则计算判断即可；D、根据积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则计算即可．
此题考查的是积的乘方与幂的乘方运算、合并同类项法则、单项式乘多项式的运算、同底数幂的除法法则，掌握其运算法则是解决此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】B
【解析】解：如图，
∵l1//l2，
∴∠1+∠3=180°，
∵∠1+∠2+∠3=240°，
∴∠2=240°−(∠1+∠3)=60°，
∵∠3+∠2+∠5=180°，∠3=50°，
∴∠5=180°−∠2−∠3=70°，
∵l1//l2，
∴∠4=∠5=70°，
故选：B．
由题意得，∠2=60°，由平角的定义可得∠5=70°，再根据平行线的性质即可求解．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及平角的定义是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为36，与被涂污数字无关．
故选：D．
利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．
本题主要考查方差、标准差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
6.【答案】D
【解析】解：抛物线y=(x+2)2−3向右平移2个单位可得到抛物线y=x2−3，
抛物线y=x2−3再向上平移3个单位即可得到抛物线y=x2．
故平移过程为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位．
故选：D．
根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7.【答案】C
【解析】解：∵(m2+5)>0，
∴图象在第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A(−2,y1)，B(1,y2)，C(3,y3)都在反比例函数的图象上，
∴点A(−2,y1)在第三象限，点B(1,y2)，C(3,y3)在第一象限，
∴y1<0，y2>y3>0，
∴y1
根据反比例函数的性质得出图象在第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据点的横坐标比较即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
3000x−30002.5x=32
故选：C．
根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
9.【答案】B
【解析】解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示：
∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，
∴A、C、B、D四点共圆，
∵量角器上点D对应的读数是100°，
∴∠BOD=180°−100°=80°，
∴∠BCD=12∠BOD=40°，
故选：B．
根据以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，可知A、C、B、D四点共圆，再根据圆周角定理求解即可．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
在△ADE和△ABF中，
AD=AB∠DAE=∠BAFAE=AF，
∴△ADE≌△ABF(SAS)，
∴∠ADE=∠ABF，DE=BF，
∵∠DEG=90°，
∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEG，
∴∠BEG=∠ADE，
∴∠BEG=∠ABF，
∴EG//BF，
∵DE=BF，DE=GE，
∴EG=BF，
∴四边形BFEG是平行四边形，
∴四边形EFBG的面积=2△BEF的面积=2×12BE⋅AF，
设AE=x，四边形EFBG的面积为y，
当0≤x≤1时，y=(1−x)⋅x=−x2+x；
当x>1时，y=(x−1)⋅x=x2−x；
综上可知，当0≤x≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x>1时，函数图象是开口向上的抛物线，
符合上述特征的只有B，
故选：B．
分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．
本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．
11.【答案】1.6×105
【解析】解：16万=160000=1.6×105．
故答案为：1.6×105．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】x≥1且x≠3
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
根据二次根式的有意义的条件得，被开方数x−1≥0；根据分式有意义的条件，x−3≠0，则函数y= x−1x−3的自变量x取值范围就可以求出．
【解答】
解：根据题意得：x−1≥0x−3≠0
解得x≥1，且x≠3，
故答案为：x≥1且x≠3．
13.【答案】a(3+2a)(3−2a)
【解析】解：9a−4a3=a(9−4a2)=a(3+2a)(3−2a)．
故答案为：a(3+2a)(3−2a)．
先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式．提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
14.【答案】m<1
【解析】解：根据题意得Δ=22−4m>0，
解得m<1．
故答案为m<1．
利用判别式的意义得到Δ=22−4m>0，然后解关于m的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
15.【答案】2 6
【解析】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=45°，
∴∠AEB=90°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴BE= 22AB=2 2，
∵AD//BC，
∴∠EBC=∠AEB=90°，
∴EC= EB2+BC2= (2 2)2+42=2 6．
故答案为：2 6．
连接BE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，再证明△AEB为等腰直角三角形，则BE=2 2，接着根据菱形的性质得到AB=BC=4．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．
16.【答案】2
【解析】解：根据题意设B(m,m)，则A(m,0)，
∵点C为斜边OB的中点，
∴C(m2,m2)，
∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象过点C，
∴k=m2⋅m2=m24，
∵∠OAB=90°，
∴D的横坐标为m，
∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象过点D，
∴D的纵坐标为m4，
作CE⊥x轴于E，
∵S△COE=S△AOD，
S△OCD=S△COE+S梯形ADCE−S△AOD=S梯形ADCE，S△OCD=32，
∴12(AD+CE)⋅AE=32，即12(m4+m2)⋅(m−12m)=32，
∴m2=8，
∴k=m24=2，
故答案为：2．
根据题意设B(m,m)，则A(m,0)，根据点C为斜边OB的中点，得到C(m2,m2)，得到D的纵坐标为m4，作CE⊥x轴于E，根据三角形列方程即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义，根据S△COD=S△COE+S梯形ADCE−S△AOD=S梯形ADCE，得到关于m的方程是解题的关键．
17.【答案】 10或3 10
【解析】解：如图，当CD绕点C顺时针旋转，过点E作EF⊥CD于F，
∴∠EFC=∠BCD=90°，CE=CD=5，
∵BD//CE，
∴∠FCE=∠BDC，
∴△EFC∽△BCD，
∴EFCF=BCCD=1545=34，
∵CE=5，
∴EF=3，CF=4，
∴DF=CD−CF=1，
∴DE= EF2+DF2= 32+12= 10．
当当CD绕点C逆时针旋转，过点D作DF′⊥直线CE′于F′，
∵CD=CE，
∴S△DCE=12×DC⋅EF=12×CE⋅DF′，
∴DF′=EF=3，
∴DF=EF′=1，
∴E′F′=10−1=9，
∴DE′= F′D2+E′F′2=3 10，
故答案为：3 10或 10．
分两种情况讨论，通过证明△EFC∽△BCD，由三角形的性质可求CE，EF的长，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
18.【答案】2 2−1≤CP′≤2 2+1
【解析】解：如图，连接CP、BP′，
∵∠BAC=90°，旋转角为90°，
∴∠CAP+∠CAP′=∠BAP′+∠CAP′=90°，
∴∠CAP=∠BAP′，
在△APC和△AP′B中，
AP=AP′∠CAP=∠BAP′AB=AC，
∴△APC≌△AP′B(SAS)，
∴PC=P′B=1，
在等腰Rt△ABC中，
∵AC=2，
∴BC= 22+22=2 2，
在△BCP′中，有2 2−1
所以，CP′的取值范围是：2 2−1≤CP′≤2 2+1．
故答案为：2 2−1≤CP′≤2 2+1．
连接CP、BP′，根据同角的余角相等求出∠CAP=∠BAP′，然后利用“边角边”证明△APC和△AP′B全等，根据全等三角形对应边相等可得PC=P′B，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的认识，三角形的三边关系，熟记各性质并作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(a−1)(a+2)+a+3a+2⋅a+2(a−1)(a+1)
=a2+2a+1a+2⋅a+2(a−1)(a+1)
=(a+1)2a+2⋅a+2(a−1)(a+1)
=a+1a−1，
当a= 2+1时，原式= 2+1+1 2+1−1=1+ 2．
【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，约分化简后将a= 2+1代入计算即可．
本题考查分式的化简求值，二次根式乘除运算，解题的关键是掌握分式的基本性质，将所求式子化简．
20.【答案】120 390
【解析】解：(1)∵B组45人，占百分比为37.5%，
∴接受抽样调查的总人数是：45÷37.5%=120(人)，
故答案为：120；
(2)C组人数为：120×25%=30(人)，
A组人数所占百分比为：100%−37.5%−25%−22.5%=15%，
补全统计图如下：
(3)∵15%×2600=390(人)，
∴估计该校参加A项目的学生有390人，
故答案为：390；
(4)画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的有2中可能的结果，
∴P(两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”)=212=16．
(1)用B组或D组的人数除以它们所占的百分比即可；
(2)先求出C组人数和A组所占百分比，再补全统计图即可；
(3)将A组所占百分比乘以参加活动的学生总数即可；
(4)用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握相关统计图的意义和列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设足球的单价是x元，篮球的单价是y元，
根据题意得：2x−y=302x+5y=570，
解得：x=60y=90．
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元；
(2)设购买m个足球，则购买(200−m)个篮球，
根据题意得：60m+90(200−m)≤14400，
解得：m≥120，
∴m的最小值为120．
答：至少应购买120个足球．
【解析】(1)设足球的单价是x元，篮球的单价是y元，根据“篮球的单价比足球单价的2倍少30元，购买2个足球和5个篮球共需花费570元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m个足球，则购买(200−m)个篮球，利用总价=单价×数量，结合总价不超过14400元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】90
【解析】解：(1)∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°；
故答案为：90；
(2)如图，过点A作AE⊥OB于点E，
∵入射角∠BOC=30°，入射角等于反射角，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=60°，
∵AD⊥AB，∠OAD=15°，
∴∠OAB=75°，
∴∠B=180°−∠AOB−∠OAB=45°，
∵AE⊥OB，
∴△AEB为等腰直角三角形，
在Rt△ABE中，AB=10 6米，AE=AB⋅sin∠B=10 6× 22=10 3(米)．
∴点A到OB的距离为10 3米．
(1)由题意可知，AD⊥AB，直接写出∠BAD的度数即可；
(2)过点A作AE⊥OB于点E，根据题意可得∠AOB=60°，进而求得∠OAB=75°，根据三角形内角和定理可得∠B=180°−∠AOB−∠OAB=45°，以此可证明△AEB为等腰直角三角形，则AE=AB⋅sin∠B，即可求解．
本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意正确构造出直角三角形，由三角形内角和定理求出∠B=45°是解题关键．
23.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
60k+b=140065k+b=1300，
解得，k=−20b=2600，
即y与x之间的函数表达式是y=−20x+2600；
(2)(x−50)(−20x+2600)=24000，
解得，x1=70，x2=110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
(3)由题意可得，
w=(x−50)(−20x+2600)=−20(x−90)2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，(x−50)÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x=65时，w取得最大值，此时w=19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
(2)根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
(3)根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
24.【答案】解：(1)BC所在直线与⊙O相切；
理由：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF=∠CBF，
∴∠ABD+∠DBF=∠CBF+∠C，
∴∠ABD=∠C，
∵∠A+∠ABD=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
(2)∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF=∠CBF，
∴tan∠FBC=tan∠DBF=DFBD=13，
∵DF=2，
∴BD=6，
设AB=AF=x，
∴AD=x−2，
∵AB2=AD2+BD2，
∴x2=(x−2)2+62，
解得：x=10，
∴AB=10，
∴⊙O的半径为5．
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABF=∠AFB，由角平分线的定义得到∠DBF=∠CBF，求得∠ABC=90°，于是得到结论；
(2)根据角平分线的定义得到∠DBF=∠CBF，根据三角函数的定义得到BD=6，设AB=AF=x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．
25.【答案】解：(1)DO⊥EO，DO=EO；
理由：当点B旋转到CD边上时，点E必在边AC上，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在Rt△ABE中，点O是AB的中点，
∴OE=OA=12AB，
∴∠BOE=2∠BAE，
在Rt△ABD中，点O是AB的中点，
∴OD=OA=12AB，
∴∠DOE=2∠BAD，
∴OD=OE，
∵等腰△ADC，且∠ADC=90°，
∴∠DAC=45°，
∴∠DOE=∠BOE+DOE=2∠BAE+2∠BAD=2(∠BAE+∠DAE)=2∠DAC=90°，
∴OD⊥OE；
(2)仍然成立，
理由：如图1，延长ED到点M，使得OM=OE，连接AM，DM，DE，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB，
∵∠AOM=∠BOE，
∴△AOM≌△BOE(SAS)，
∴∠MAO=∠EBO，MA=EB，
∵△ACD和△CBE是等腰三角形，∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠CAD=∠ACD=∠EBC=∠BCE=45°，
∵∠OBE=180°−∠EBC=135°，
∴∠MAO=135°，
∴∠MAD=∠MAO−∠DAC=90°，
∵∠DCE=∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠MAD=∠DCE，
∵MA=EB，EB=EC，
∴MA=EC，
∵AD=DC，
∴△MAD≌△ECD，
∴MD=ED，∠ADM=∠CDE，
∵∠CDE+∠ADE=90°，
∴∠ADM+∠ADE=90°，
∴∠MDE=90°，
∵MO=EO，MD=DE，
∴OD=12ME，OD⊥ME，
∵OE=12ME，
∴OD=OE，OD⊥OE；
(3)①当点B在AC左侧时，如图3，
延长ED到点M，使得OM=OE，连接AM，DM，DE，
同(2)的方法得，△OBE≌△OAM(SAS)，
∴∠OBE=∠OAM，OM=OE，BE=AM，
∵BE=CE，
∴AM=CE，
在四边形ABECD中，∠ADC+∠DCE+∠BEC+∠OBE+∠BAD=540°，
∵∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DCE=540°−90°−90°−∠OBE−∠BAD=360°−∠OBE=360°−∠OAM−∠BAD，
∵∠DAM+∠OAM+∠BAD=360°，
∴∠DAM=360°−∠OAM−∠BAD，
∴∠DAM=∠DCE，
∵AD=CD，
∴△DAM≌△DCE(SAS)，
∴DM=DE，∠ADM=∠CDE，
∴∠EDM=∠ADM+∠ADE=∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°，
∵OM=OE，
∴OD=OE=12ME，∠DOE=90°，
在Rt△BCE中，CE= 22BC=2 2，
过点E作EH⊥DC交DC的延长线于H，
在Rt△CHE中，∠ECH=180°−∠ACD−∠ACB−∠BCE=180°−45°−60°−45°=30°，
∴EH=12CE= 2，
根据勾股定理得，CH= 3EH= 6，
∴DH=CD+CH=3 6，
在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE= EH2+DH2=2 14，
∴OD= 22DE=2 7，
②当点B在AC右侧时，如图4，
同①的方法得，OD=OE，∠DOE=90°，
连接DE，过点E作EH⊥CD于H，
在Rt△EHC中，∠ECH=30°，
∴EH=12CE= 2，
根据勾股定理得，CH= 6，
∴DH=CD−CH= 6，
在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE=2 2，
∴OD= 22DE=2，
即：线段OD的长为2或2 7．
【解析】(1)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出OE=OA=12AB，进而得出∠BOE=2∠BAE，同理得出OD=OA=12AB，∠DOE=2∠BAD，即可得出结论；
(2)先判断出△AOM≌△BOE(SAS)，得出∠MAO=∠EBO，MA=EB，再判断出∠MAD=∠DCE，进而判断出△MAD≌△ECD，即可得出结论；
(3)分点B在AC左侧和右侧两种情况，类似(2)的方法判断出OD=OE，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，五边形的内角和，判断出∠DAM=∠DCE是解本题的关键．
26.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：
a−b+3=09a+3b+3=0，解得：a=−1b=2，
∴y=−x2+2x+3；
(2)存在，理由：
如图1，过点M作MN//y轴，交射线CB于N，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
设直线BC的解析式为：y=kx+m，
∴3k+m=0m=3，解得：k=−1m=3，
∴直线BC的解析式为：y=−x+3，
设M(t,−t2+2t+3)(t>3)，则N(t,−t+3)，
∴MN=(−t+3)−(−t2+2t+3)=t2−3t，
∴S△MBC=S△MNC−S△MNB
=12×MN⋅t−12⋅MN⋅(xN−xB)=32MN，
∵S△MBC=27，
∴32×MN=27，
∴MN=18，
∴t2−3t=18，
解得：t1=−3(舍)，t2=6，
∴M(6,−21)；
(3)存在，理由：
①当点P在x轴上方时，如图2中，
∵OB=OC=3，则∠OCB=45°=∠APB，
过点B作BH⊥AP于点H，设PH=BH=m，
则PB=PA= 2m，
由勾股定理得：AB2=AH2+BH2，
16=m2+( 2m−m)2，解得：m2=8+4 2，
则PB2=2m2=16+8 2，
则yP= PB2−22=2+2 2；
②当点P在x轴下方时，
则yP=−(2+2 2)；
故点P的坐标为(1,2+2 2)或(1,−2−2 2).
【解析】(1)用待定系数法求函数解析式；
(2)如图1，过点M作MN//y轴，交射线CB于N，计算直线BC的解析式为：y=−x+3，设M(t,−t2+2t+3)(t>3)，则N(t,−t+3)，根据S△MBC=27列等式可得t的值，从而得点M的坐标；
(3)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
2023年辽宁省本溪十二中中考数学押题试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数1，−π，0，2023中，最小的数是( )
A. 1 B. −π C. 0 D. 2023
2. 下列运算正确的是( )
A. (−3xy)2=3x2y2 B. 3x2+4x2=7x4
C. t(3t2−t+1)=3t3−t2+1 D. (−a3)4÷(−a4)3=−1
3. 2023年是农历癸卯兔年，小红所在的社区开展了“迎兔年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，直线l1//l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C.若∠3=50°，∠1+∠2+∠3=240°，则∠4等于( )
A. 80°
B. 70°
C. 60°
D. 50°
5. 小明同学对数据12、22、36、4■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是( )
A. 平均数 B. 标准差 C. 方差 D. 中位数
6. 抛物线y=x2可以由抛物线y=(x+2)2−3平移得到，则下列平移过程正确的是( )
A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
7. 若点A(−2,y1)B(1,y2)C(3,y3)都在反比例函数y=m2+5x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1
A. 3000x=30002.5x−32 B. 30002.5x−3000x=32
C. 3000x−30002.5x=32 D. 30002.5x=3000x+32
9. 如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 80°
10. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点(点E不与点A，点B重合)，点F在线段DA的延长线上，且AF=AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG.设AE=x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 据测算，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳排放约16万吨，将16万吨用科学记数法表示为______ 吨.
12. 函数y= x−1x−3的自变量x的取值范围是_______．
13. 分解因式：9a−4a3= ______ ．
14. 若关于x的方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
15. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=45°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为______ ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB=90°，AO=AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD=32，则k的值为______ ．
17. 如图，BD为矩形ABCD的对角线，AB=5，BC=154.把CD绕点C旋转，点D的对应为点E，当CE//BD时，DE的长为______ ．
18. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连接AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连接CP′，CP′的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
化简：(a−1+a+3a+2)÷a2−1a+2.其中a= 2+1．
20. (本小题12.0分)
党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性为落实劳动教育，某校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动活动设置了四个爱心项目：A.为家人做早饭，B.洗碗，C.打扫家，D.洗衣服.要求每个学生必须且只能选择一项参加，并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：
(1)本次接受抽样调查的总人数是______ 人；
(2)请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
(3)该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有______ 人；
(4)小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影，小雯听说春节期间新上映的四部电影《流浪地球2》《满江红》《无名》《熊出没之伴我熊芯》(依次记为a，b，c，d)都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片(除序号和内容外，其余完全相同)背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片.请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的概率．
21. (本小题12.0分)
为进一步落实“双减”工作，某中学准备从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，购买2个足球和5个篮球共需花费570元．
(1)足球和篮球的单价各是多少元？
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，且总费用不超过14400元，则至少应购买多少个足球？
22. (本小题12.0分)
中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣”.如图①所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．
(1)在图②中，AB呈水平状态，若入射角∠BOC=30°，∠OAD=15°(入射角等于反射角，OC，AD为法线)，则∠BAD= ______ 度；
(2)在(1)的条件下，若AB=10 6米，求点A到OB的距离．
23. (本小题12.0分)
某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x(元/件)
60
65
70
销售量y(件)
1400
1300
1200
(1)求出y与x之间的函数表达式；(不需要求自变量x的取值范围)
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w(元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
24. (本小题12.0分)
如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF=AB．
(1)判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若tan∠FBC=13，DF=2，求⊙O的半径．
25. (本小题12.0分)
在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC=∠BEC=90°，BC
(2)如图2，当点B旋转到AC边上时，(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
(3)若BC=4，CD=2 6，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB=60°时，请直接写出线段OD的长．
26. (本小题14.0分)
如图，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=−x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使△MBC的面积为27？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−π<0<1<2023，
∴在实数1，−π，0，2023中，最小的数是−π．
故选：B．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】D
【解析】解：A、原式=9x2y2，不合题意；
B、原式=7x2，不合题意；
C、原式=3t3−t2+t，不合题意；
D、原式=−1，符合题意；
故选：D．
A、根据积的乘方与幂的乘方运算判断即可；B、根据合并同类项法则计算判断即可；C、根据单项式乘多项式的运算法则计算判断即可；D、根据积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则计算即可．
此题考查的是积的乘方与幂的乘方运算、合并同类项法则、单项式乘多项式的运算、同底数幂的除法法则，掌握其运算法则是解决此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】B
【解析】解：如图，
∵l1//l2，
∴∠1+∠3=180°，
∵∠1+∠2+∠3=240°，
∴∠2=240°−(∠1+∠3)=60°，
∵∠3+∠2+∠5=180°，∠3=50°，
∴∠5=180°−∠2−∠3=70°，
∵l1//l2，
∴∠4=∠5=70°，
故选：B．
由题意得，∠2=60°，由平角的定义可得∠5=70°，再根据平行线的性质即可求解．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及平角的定义是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为36，与被涂污数字无关．
故选：D．
利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．
本题主要考查方差、标准差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
6.【答案】D
【解析】解：抛物线y=(x+2)2−3向右平移2个单位可得到抛物线y=x2−3，
抛物线y=x2−3再向上平移3个单位即可得到抛物线y=x2．
故平移过程为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位．
故选：D．
根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7.【答案】C
【解析】解：∵(m2+5)>0，
∴图象在第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A(−2,y1)，B(1,y2)，C(3,y3)都在反比例函数的图象上，
∴点A(−2,y1)在第三象限，点B(1,y2)，C(3,y3)在第一象限，
∴y1<0，y2>y3>0，
∴y1
根据反比例函数的性质得出图象在第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据点的横坐标比较即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
3000x−30002.5x=32
故选：C．
根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
9.【答案】B
【解析】解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示：
∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，
∴A、C、B、D四点共圆，
∵量角器上点D对应的读数是100°，
∴∠BOD=180°−100°=80°，
∴∠BCD=12∠BOD=40°，
故选：B．
根据以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，可知A、C、B、D四点共圆，再根据圆周角定理求解即可．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
在△ADE和△ABF中，
AD=AB∠DAE=∠BAFAE=AF，
∴△ADE≌△ABF(SAS)，
∴∠ADE=∠ABF，DE=BF，
∵∠DEG=90°，
∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEG，
∴∠BEG=∠ADE，
∴∠BEG=∠ABF，
∴EG//BF，
∵DE=BF，DE=GE，
∴EG=BF，
∴四边形BFEG是平行四边形，
∴四边形EFBG的面积=2△BEF的面积=2×12BE⋅AF，
设AE=x，四边形EFBG的面积为y，
当0≤x≤1时，y=(1−x)⋅x=−x2+x；
当x>1时，y=(x−1)⋅x=x2−x；
综上可知，当0≤x≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x>1时，函数图象是开口向上的抛物线，
符合上述特征的只有B，
故选：B．
分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．
本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．
11.【答案】1.6×105
【解析】解：16万=160000=1.6×105．
故答案为：1.6×105．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】x≥1且x≠3
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
根据二次根式的有意义的条件得，被开方数x−1≥0；根据分式有意义的条件，x−3≠0，则函数y= x−1x−3的自变量x取值范围就可以求出．
【解答】
解：根据题意得：x−1≥0x−3≠0
解得x≥1，且x≠3，
故答案为：x≥1且x≠3．
13.【答案】a(3+2a)(3−2a)
【解析】解：9a−4a3=a(9−4a2)=a(3+2a)(3−2a)．
故答案为：a(3+2a)(3−2a)．
先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式．提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
14.【答案】m<1
【解析】解：根据题意得Δ=22−4m>0，
解得m<1．
故答案为m<1．
利用判别式的意义得到Δ=22−4m>0，然后解关于m的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
15.【答案】2 6
【解析】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=45°，
∴∠AEB=90°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴BE= 22AB=2 2，
∵AD//BC，
∴∠EBC=∠AEB=90°，
∴EC= EB2+BC2= (2 2)2+42=2 6．
故答案为：2 6．
连接BE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，再证明△AEB为等腰直角三角形，则BE=2 2，接着根据菱形的性质得到AB=BC=4．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．
16.【答案】2
【解析】解：根据题意设B(m,m)，则A(m,0)，
∵点C为斜边OB的中点，
∴C(m2,m2)，
∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象过点C，
∴k=m2⋅m2=m24，
∵∠OAB=90°，
∴D的横坐标为m，
∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象过点D，
∴D的纵坐标为m4，
作CE⊥x轴于E，
∵S△COE=S△AOD，
S△OCD=S△COE+S梯形ADCE−S△AOD=S梯形ADCE，S△OCD=32，
∴12(AD+CE)⋅AE=32，即12(m4+m2)⋅(m−12m)=32，
∴m2=8，
∴k=m24=2，
故答案为：2．
根据题意设B(m,m)，则A(m,0)，根据点C为斜边OB的中点，得到C(m2,m2)，得到D的纵坐标为m4，作CE⊥x轴于E，根据三角形列方程即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义，根据S△COD=S△COE+S梯形ADCE−S△AOD=S梯形ADCE，得到关于m的方程是解题的关键．
17.【答案】 10或3 10
【解析】解：如图，当CD绕点C顺时针旋转，过点E作EF⊥CD于F，
∴∠EFC=∠BCD=90°，CE=CD=5，
∵BD//CE，
∴∠FCE=∠BDC，
∴△EFC∽△BCD，
∴EFCF=BCCD=1545=34，
∵CE=5，
∴EF=3，CF=4，
∴DF=CD−CF=1，
∴DE= EF2+DF2= 32+12= 10．
当当CD绕点C逆时针旋转，过点D作DF′⊥直线CE′于F′，
∵CD=CE，
∴S△DCE=12×DC⋅EF=12×CE⋅DF′，
∴DF′=EF=3，
∴DF=EF′=1，
∴E′F′=10−1=9，
∴DE′= F′D2+E′F′2=3 10，
故答案为：3 10或 10．
分两种情况讨论，通过证明△EFC∽△BCD，由三角形的性质可求CE，EF的长，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
18.【答案】2 2−1≤CP′≤2 2+1
【解析】解：如图，连接CP、BP′，
∵∠BAC=90°，旋转角为90°，
∴∠CAP+∠CAP′=∠BAP′+∠CAP′=90°，
∴∠CAP=∠BAP′，
在△APC和△AP′B中，
AP=AP′∠CAP=∠BAP′AB=AC，
∴△APC≌△AP′B(SAS)，
∴PC=P′B=1，
在等腰Rt△ABC中，
∵AC=2，
∴BC= 22+22=2 2，
在△BCP′中，有2 2−1
所以，CP′的取值范围是：2 2−1≤CP′≤2 2+1．
故答案为：2 2−1≤CP′≤2 2+1．
连接CP、BP′，根据同角的余角相等求出∠CAP=∠BAP′，然后利用“边角边”证明△APC和△AP′B全等，根据全等三角形对应边相等可得PC=P′B，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的认识，三角形的三边关系，熟记各性质并作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(a−1)(a+2)+a+3a+2⋅a+2(a−1)(a+1)
=a2+2a+1a+2⋅a+2(a−1)(a+1)
=(a+1)2a+2⋅a+2(a−1)(a+1)
=a+1a−1，
当a= 2+1时，原式= 2+1+1 2+1−1=1+ 2．
【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，约分化简后将a= 2+1代入计算即可．
本题考查分式的化简求值，二次根式乘除运算，解题的关键是掌握分式的基本性质，将所求式子化简．
20.【答案】120 390
【解析】解：(1)∵B组45人，占百分比为37.5%，
∴接受抽样调查的总人数是：45÷37.5%=120(人)，
故答案为：120；
(2)C组人数为：120×25%=30(人)，
A组人数所占百分比为：100%−37.5%−25%−22.5%=15%，
补全统计图如下：
(3)∵15%×2600=390(人)，
∴估计该校参加A项目的学生有390人，
故答案为：390；
(4)画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的有2中可能的结果，
∴P(两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”)=212=16．
(1)用B组或D组的人数除以它们所占的百分比即可；
(2)先求出C组人数和A组所占百分比，再补全统计图即可；
(3)将A组所占百分比乘以参加活动的学生总数即可；
(4)用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握相关统计图的意义和列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设足球的单价是x元，篮球的单价是y元，
根据题意得：2x−y=302x+5y=570，
解得：x=60y=90．
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元；
(2)设购买m个足球，则购买(200−m)个篮球，
根据题意得：60m+90(200−m)≤14400，
解得：m≥120，
∴m的最小值为120．
答：至少应购买120个足球．
【解析】(1)设足球的单价是x元，篮球的单价是y元，根据“篮球的单价比足球单价的2倍少30元，购买2个足球和5个篮球共需花费570元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m个足球，则购买(200−m)个篮球，利用总价=单价×数量，结合总价不超过14400元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】90
【解析】解：(1)∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°；
故答案为：90；
(2)如图，过点A作AE⊥OB于点E，
∵入射角∠BOC=30°，入射角等于反射角，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=60°，
∵AD⊥AB，∠OAD=15°，
∴∠OAB=75°，
∴∠B=180°−∠AOB−∠OAB=45°，
∵AE⊥OB，
∴△AEB为等腰直角三角形，
在Rt△ABE中，AB=10 6米，AE=AB⋅sin∠B=10 6× 22=10 3(米)．
∴点A到OB的距离为10 3米．
(1)由题意可知，AD⊥AB，直接写出∠BAD的度数即可；
(2)过点A作AE⊥OB于点E，根据题意可得∠AOB=60°，进而求得∠OAB=75°，根据三角形内角和定理可得∠B=180°−∠AOB−∠OAB=45°，以此可证明△AEB为等腰直角三角形，则AE=AB⋅sin∠B，即可求解．
本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意正确构造出直角三角形，由三角形内角和定理求出∠B=45°是解题关键．
23.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
60k+b=140065k+b=1300，
解得，k=−20b=2600，
即y与x之间的函数表达式是y=−20x+2600；
(2)(x−50)(−20x+2600)=24000，
解得，x1=70，x2=110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
(3)由题意可得，
w=(x−50)(−20x+2600)=−20(x−90)2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，(x−50)÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x=65时，w取得最大值，此时w=19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
(2)根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
(3)根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
24.【答案】解：(1)BC所在直线与⊙O相切；
理由：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF=∠CBF，
∴∠ABD+∠DBF=∠CBF+∠C，
∴∠ABD=∠C，
∵∠A+∠ABD=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
(2)∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF=∠CBF，
∴tan∠FBC=tan∠DBF=DFBD=13，
∵DF=2，
∴BD=6，
设AB=AF=x，
∴AD=x−2，
∵AB2=AD2+BD2，
∴x2=(x−2)2+62，
解得：x=10，
∴AB=10，
∴⊙O的半径为5．
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABF=∠AFB，由角平分线的定义得到∠DBF=∠CBF，求得∠ABC=90°，于是得到结论；
(2)根据角平分线的定义得到∠DBF=∠CBF，根据三角函数的定义得到BD=6，设AB=AF=x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．
25.【答案】解：(1)DO⊥EO，DO=EO；
理由：当点B旋转到CD边上时，点E必在边AC上，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在Rt△ABE中，点O是AB的中点，
∴OE=OA=12AB，
∴∠BOE=2∠BAE，
在Rt△ABD中，点O是AB的中点，
∴OD=OA=12AB，
∴∠DOE=2∠BAD，
∴OD=OE，
∵等腰△ADC，且∠ADC=90°，
∴∠DAC=45°，
∴∠DOE=∠BOE+DOE=2∠BAE+2∠BAD=2(∠BAE+∠DAE)=2∠DAC=90°，
∴OD⊥OE；
(2)仍然成立，
理由：如图1，延长ED到点M，使得OM=OE，连接AM，DM，DE，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB，
∵∠AOM=∠BOE，
∴△AOM≌△BOE(SAS)，
∴∠MAO=∠EBO，MA=EB，
∵△ACD和△CBE是等腰三角形，∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠CAD=∠ACD=∠EBC=∠BCE=45°，
∵∠OBE=180°−∠EBC=135°，
∴∠MAO=135°，
∴∠MAD=∠MAO−∠DAC=90°，
∵∠DCE=∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠MAD=∠DCE，
∵MA=EB，EB=EC，
∴MA=EC，
∵AD=DC，
∴△MAD≌△ECD，
∴MD=ED，∠ADM=∠CDE，
∵∠CDE+∠ADE=90°，
∴∠ADM+∠ADE=90°，
∴∠MDE=90°，
∵MO=EO，MD=DE，
∴OD=12ME，OD⊥ME，
∵OE=12ME，
∴OD=OE，OD⊥OE；
(3)①当点B在AC左侧时，如图3，
延长ED到点M，使得OM=OE，连接AM，DM，DE，
同(2)的方法得，△OBE≌△OAM(SAS)，
∴∠OBE=∠OAM，OM=OE，BE=AM，
∵BE=CE，
∴AM=CE，
在四边形ABECD中，∠ADC+∠DCE+∠BEC+∠OBE+∠BAD=540°，
∵∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DCE=540°−90°−90°−∠OBE−∠BAD=360°−∠OBE=360°−∠OAM−∠BAD，
∵∠DAM+∠OAM+∠BAD=360°，
∴∠DAM=360°−∠OAM−∠BAD，
∴∠DAM=∠DCE，
∵AD=CD，
∴△DAM≌△DCE(SAS)，
∴DM=DE，∠ADM=∠CDE，
∴∠EDM=∠ADM+∠ADE=∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°，
∵OM=OE，
∴OD=OE=12ME，∠DOE=90°，
在Rt△BCE中，CE= 22BC=2 2，
过点E作EH⊥DC交DC的延长线于H，
在Rt△CHE中，∠ECH=180°−∠ACD−∠ACB−∠BCE=180°−45°−60°−45°=30°，
∴EH=12CE= 2，
根据勾股定理得，CH= 3EH= 6，
∴DH=CD+CH=3 6，
在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE= EH2+DH2=2 14，
∴OD= 22DE=2 7，
②当点B在AC右侧时，如图4，
同①的方法得，OD=OE，∠DOE=90°，
连接DE，过点E作EH⊥CD于H，
在Rt△EHC中，∠ECH=30°，
∴EH=12CE= 2，
根据勾股定理得，CH= 6，
∴DH=CD−CH= 6，
在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE=2 2，
∴OD= 22DE=2，
即：线段OD的长为2或2 7．
【解析】(1)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出OE=OA=12AB，进而得出∠BOE=2∠BAE，同理得出OD=OA=12AB，∠DOE=2∠BAD，即可得出结论；
(2)先判断出△AOM≌△BOE(SAS)，得出∠MAO=∠EBO，MA=EB，再判断出∠MAD=∠DCE，进而判断出△MAD≌△ECD，即可得出结论；
(3)分点B在AC左侧和右侧两种情况，类似(2)的方法判断出OD=OE，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，五边形的内角和，判断出∠DAM=∠DCE是解本题的关键．
26.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：
a−b+3=09a+3b+3=0，解得：a=−1b=2，
∴y=−x2+2x+3；
(2)存在，理由：
如图1，过点M作MN//y轴，交射线CB于N，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
设直线BC的解析式为：y=kx+m，
∴3k+m=0m=3，解得：k=−1m=3，
∴直线BC的解析式为：y=−x+3，
设M(t,−t2+2t+3)(t>3)，则N(t,−t+3)，
∴MN=(−t+3)−(−t2+2t+3)=t2−3t，
∴S△MBC=S△MNC−S△MNB
=12×MN⋅t−12⋅MN⋅(xN−xB)=32MN，
∵S△MBC=27，
∴32×MN=27，
∴MN=18，
∴t2−3t=18，
解得：t1=−3(舍)，t2=6，
∴M(6,−21)；
(3)存在，理由：
①当点P在x轴上方时，如图2中，
∵OB=OC=3，则∠OCB=45°=∠APB，
过点B作BH⊥AP于点H，设PH=BH=m，
则PB=PA= 2m，
由勾股定理得：AB2=AH2+BH2，
16=m2+( 2m−m)2，解得：m2=8+4 2，
则PB2=2m2=16+8 2，
则yP= PB2−22=2+2 2；
②当点P在x轴下方时，
则yP=−(2+2 2)；
故点P的坐标为(1,2+2 2)或(1,−2−2 2).
【解析】(1)用待定系数法求函数解析式；
(2)如图1，过点M作MN//y轴，交射线CB于N，计算直线BC的解析式为：y=−x+3，设M(t,−t2+2t+3)(t>3)，则N(t,−t+3)，根据S△MBC=27列等式可得t的值，从而得点M的坐标；
(3)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
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