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2022-2023学年辽宁省本溪市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年辽宁省本溪市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省本溪市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. 分解因式4x2−y2的结果是( )
A. (4x+y)(4x−y) B. 4(x+y)(x−y) C. (2x+y)(2x−y) D. 2(x+y)(x−y)
2. 如所示图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 在数轴上表示不等式组1+x>02x−4≤0的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2：3：4：3，则∠D等于( )
A. 60° B. 75° C. 90° D. 120°
5. 如果a>b，c<0，那么下列不等式成立的是( )
A. a+c>b B. a+c>b−c
C. ac−1>bc−1 D. a(c−1)
A. 对角分别相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 相邻的角互补的四边形是平行四边形
7. 如果等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是( )
A. 9cm B. 12cm C. 12cm或15cm D. 15cm
8. 若函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+2b<0的解集为( )
A. x<3
B. x>3
C. x<6
D. x>6
9. 如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1=( )
A. 30° B. 25° C. 20° D. 15°
10. 如图①，在平行四边形ABCD中，AD=9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止.已知△PAD的面积y(单位：cm2)与点P移动的时间x(单位：s)之间的函数关系如图②所示，图②中a与b分别为( )
A. 17，34 B. 17，32 C. 19，36 D. 19，32
二、非选择题（70分）
11. 分解因式：a3−9ab2=______．
12. 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于______．
13. 如图，直线y=kx+b与直线y=mx+n分别与x轴交于点(−1,0)、(3,0)，则不等式(kx+b)(mx+n)>0的解集为______
14. 当−1
16. 若a=2023，b=2022，则计算12×a2−12×b2的结果为______ ．
17. 如图，正五边形ABCDE，则∠ACD的度数为______ ．
18. 如图，平行四边形OABC的一边在坐标轴上，点B的坐标为(6,2)，直线MN：y=kx+b把平行四边形的面积分成相等的两部分，且与x轴交于点(6,0)，则k值为______ ．
19. 解不等式：5(x−2)−2(x+1)>3．
20. 先化简再选取一个合适的a值代入求值：(1−2a+1)÷a2−2a+1a2+a，其中a是满足不等式2a−1≥0解集的一个整数．
21. 一次函数y=(2a+4)x−(3−b)，当a、b为何值时
(1)y随x的增大而增大；
(2)图象与y轴交在x轴上方；
(3)图象过原点．
22. 如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF//BE.求证：四边形ABCD是平行四边形．
23. 某单位计划10月份组织员工到外地旅游，估计人数在6～15人之间．甲、乙量旅行社的服务质量相同，且对外报价都是200元/人，该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客8折优惠；乙旅行社表示，可先免去一位游客的旅游费用，其余游客9折优惠．
(1)分别写出两旅行社所报旅游费用y与人数x的函数关系式．
(2)人数为多少时选择两家旅行社价格都一样？
(3)当人数在什么范围内应选择乙旅行社？
24. 平面直角坐标系中，已知A(8,0)，△AOP为等腰三角形且面积为16，求满足条件的P点坐标．
25. 近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A，B两种设备．每台B种设备比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同．
(1)求A，B两种设备每台各多少万元．
(2)根据单位实际情况，需购进A，B两种设备共20台，总费用不高于15万元．求A种设备至少要购买多少台．
26. 两个等腰三角形△ABC，△ADP，AB=AC，AD=AP，∠DAP=∠BAC，其中P在边BC所在的直线上.连接CD．
问题一：当∠BAC=90°，且点P在线段BC上移动时，则∠BAC，∠BCD之间有怎样的数量关系？请说明理由；
问题二：当0°<∠BAC<180°，且点P还在线段BC上移动，此时∠BAC，∠BCD之间有怎样的数量关系？请说明理由；
随着探究的深入，得出一些基本的结论：当点P在直线BC上移动，所处的位置不同，∠BAC，∠BCD可能的数量关系是什么？(直接写出数量关系即可)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：4x2−y2=(2x+y)(2x−y)．
故选：C．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，求解判断即可．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
3.【答案】C
【解析】解：解不等式组得x>−1x≤2
分别表示在数轴上为：
故选C．
先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上，即可．
此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
4.【答案】C
【解析】解：设∠A=2x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，∠D=3x°，
∴有(2x°+3x°+4x°+3x°)=360°，
解得：x=30．
∴∠D=3×30°=90°．
∴∠D等于90°．
故选：C．
设∠A=2x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，∠D=3x°，根据四边形内角和为360°即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出x的值，将其代入∠D中，再结合内外角之和为180°即可得出结论．
本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是通过解方程找出∠D=90°．
5.【答案】D
【解析】解：A.∵c<0，a>b，a+c>b不一定成立，选项A错误；
B.∵c<0，a>b，所以a+c>b−c不一定成立，选项B错误；
C.∵c<0，a>b，∴acbc−1不成立，选项C错误；
D.∵c<0，c−1<0，a>b，∴a(c−1)
根据不等式的性质即可求出答案．
本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型．
6.【答案】CD
【解析】解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故选项C符合题意；
D、相邻的角互补的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故选项D符合题意；
故选：CD．
根据平行四边形的判定定理进行分析判断即可．
本题主要考查了平行四边形的判定：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7.【答案】D
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立；
当腰为6cm时，6−3<6<6+3，能构成三角形，
此时等腰三角形的周长为6+6+3=15(cm)．
故选：D．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质及解一元一次不等式的能力．
由一次函数图象过(3,0)且过第二、四象限知b=−3k、k<0，代入不等式求解可得．
【解答】
解：∵一次函数y=kx+b经过点(3,0)，
∴3k+b=0，且k<0，
则b=−3k，
∵kx+2b<0，
∴不等式为kx−6k<0，
解得：x>6，
故选D．
9.【答案】D
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠A=∠FDE=45°，
又∵∠C=30°．
∴∠1=∠FDE−∠C=45°−30°=15°，
故选：D．
根据平行线的性质可得∠A=∠FDE=45°，再根据三角形内角与外角的性质可得∠1的度数．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
10.【答案】C
【解析】解：由图②可知点P从A点运动到B点的时间为10s，
又因为P点运动的速度为1cm/s，
所以AB=10×1=10(cm)，
由AD=9可知点P在边BC上的运动时间为9s，
所以a=10+9=19；
分别过B点、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．
由图②知S△ABD=36，
则12×9×BE=36，
解得BE=8，
在直角△ABE中，由勾股定理，得AE= AB2−BE2=6．
∵∠CDF=∠ABE，∠AEB=∠CFD=90°，AB=CD，
∴△BAE≌△CDF(AAS)，
则BE=CF=8，AE=DF=6，AF=AD+DF=9+6=15．
在直角△ACF中，由勾股定理，得CA= AF2+CF2=17，
则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17s，
所以b=19+17=36．
故选：C．
由AD=9可知点P在边BC上的运动时间为9s，a为点P由A→B→C的时间；分别过B点、C点作BE⊥AD、CF⊥AD，易证△BAE≌△CDF，由此得到AE=DF=6，AF=15，从而可求得CA=17s，则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17，所以b=19+17=36．
本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况求出AB的长度是解题的关键，在梯形的问题中，作梯形的高是一种常用的辅助线的作法．
11.【答案】aa+3ba−3b
【解析】解：a3−9ab2=aa2−9b2=aa+3ba−3b．
故答案为：aa+3ba−3b．
先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解即可．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，分解要彻底．
12.【答案】2
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠AEB=∠DAE，
∵平行四边形ABCD的周长是16，
∴AB+BC=8，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3，
∴BC=5，
∴EC=BC−BE=5−3=2；
故答案为：2．
由平行四边形的性质和已知条件证出∠BAE=∠BEA，证出AB=BE=3；求出AB+BC=8，得出BC=5，即可得出EC的长．
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AB=BE是解决问题的关键．
13.【答案】−1
∴不等式(kx+b)(mx+n)>0的解集为−1
本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
14.【答案】x2>x>1x
【解析】解：∵−1
∴x2>x>1x，
故答案为：x2>x>1x．
正数>0>负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此进行判断即可．
本题考查实数的大小比较，结合题意判断出1x<0，x2>0，|x|<|1x|是解题的关键．
15.【答案】160x+240(1+20%)⋅x=18
【解析】
【分析】
关键描述语为：“共用了18天完成任务”，那么等量关系为：采用新技术前所用时间+采用新技术后所用时间=18天．
找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键．注意工作时间=工作总量÷工作效率．
【解答】
解：采用新技术前所用时间为：160x，采用新技术后所用时间为：400−160(1+20%)x，
∴所列方程为：160x+400−160(1+20%)x=18．
16.【答案】40452
【解析】解：∵a=2023，b=2022，
∴12×a2−12×b2
=12(a2−b2)
=12(a−b)(a+b)
=12×(2023−2022)×(2023+2022)
=12×1×4045
=40452．
故答案为：40452．
先提取公因数12，再利用平方差公式分解因式，最后代入即可．
此题考查的是平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
17.【答案】72°
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B=∠BCD=(5−2)×180°÷5=108°，
∵AB=BC，
∴∠ACB=180°−108°2=36°，
∴∠ACD=108°−36°=72°，
故答案为：72°．
根据多边形内角和及正多边形性质求得∠B，∠BCD的度数，然后利用等边对等角求得∠ACB的度数，最后利用角的和差计算即可．
本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，等腰三角形的性质，结合已知条件求得∠ACB的度数是解题的关键．
18.【答案】−13
【解析】解：设直线MN交OA于点D，交BC于点E，交x轴于点F，交y轴于点G，连接BF，如图所示．
∵点B的坐标为(6,2)，点F的坐标为(6,0)，
∴BF//y轴，
∴∠OGD=∠BFE，∠BFC=90°．
∵OA//BC，
∴∠AOC=∠BCF，
∵∠AOG+∠AOC=90°，∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠AOG=∠CBF，即∠DOG=∠EBF．
∵直线MN：y=kx+b把平行四边形的面积分成相等的两部分，
∴OD=BE．
在△DOG和△EBF中，
∠OGD=∠BFE∠DOG=∠EBFOD=BE，
∴△DOG≌△EBF(AAS)，
∴OG=BF，
∴点G的坐标为(0,2)．
将F(6,0)，G(0,2)代入y=kx+b得：6k+b=0b=2，
解得：k=−13b=2，
∴k的值为−13．
故答案为：−13．
设直线MN交OA于点D，交BC于点E，交x轴于点F，交y轴于点G，连接BF，易证△DOG≌△EBF(AAS)，利用全等三角形的性质，可得出OG的长，进而可得出点G的坐标，由点F，G的坐标，利用待定系数法，即可求出k值．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式，利用全等三角形的性质，求出直线MN与y轴的交点坐标是解题的关键．
19.【答案】解：去括号得5x−10−2x−2>3，
移项得5x−2x>3+10+2，
合并同类项得3x>15，
化系数为1得x>5．
故原不等式的解集为：x>5．
【解析】先去括号，再根据不等式的基本性质把不等号右边的x移到左边，合并同类项，化系数为1即可求得原不等式的解．
本题考查的是解一元一次不等式，在解答此类题目时一定要根据不等式的基本性质解答．
20.【答案】解：原式=(a+1a+1−2a+1)⋅a(a+1)(a−1)2
=a−1a+1⋅a(a+1)(a−1)2
=aa−1，
解不等式2a−1≥0，得a≥12，
由题意得：a≠0和±1，
当a=2时，原式=22−1=2．
【解析】根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，解不等式求出a的范围，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)因为一次函数y=(2a+4)x−(3−b)，y随x的增大而增大，
可得：2a+4>0，b为任意值，解得：a>−2，b∈R
解得：a>−2；
(2)因为一次函数y=(2a+4)x−(3−b)，图象与y轴交在x轴上方，
可得：2a+4≠0，−(3−b)>0，解得：a≠−2，b>3
(3)因为一次函数y=(2a+4)x−(3−b)，图象过原点，
所以2a+4≠0，−(3−b)=0，解得：a≠−2，b=3
【解析】(1)根据一次函数中y随x的增大而增大得出a，b的取值范围即可；
(2)根据图象与y轴交在x轴上方得出a，b的取值范围即可；
(3)根据图象过原点得出a，b的取值范围即可．
此题考查一次函数问题，关键是根据一次函数的特点进行解答即可．
22.【答案】证明：∵DF//BE，
∴∠DFE=∠BEC，
∴在△ADF和△CBE中，
DF=BE∠DFA=∠BECAF=CE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，
∴AD//CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】根据平行线的性质得到∠DFE=∠BEF，再利用全等三角形的判定与性质得到AD=CB，∠DAF=∠BCE即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意，得
y甲=200×0.8x=160x，y乙=200×0.9(x−1)=180x−180；
答：两旅行社所报旅游费用y与人数x的函数关系式为：y甲=160x，y乙=180x−180；
(2)由题意，得
160x=180x−180，
解得：x=9．
答：人数为9人时选择两家旅行社价格都一样；
(3)由题意，得
160x>180x−180，
解得：x<9
答：人数在9人一下时应选择乙旅行社．
【解析】(1)根据旅游费=每人的实际付款费用×人数就可以建立y与x的关系式；
(2)根据(1)的解析式建立方程求出其解即可；
(3)当y乙
24.【答案】解：∵A(8,0)，
∴OA=8，
设△AOP的边OA上的高是ℎ，
则12×8×ℎ=16，
解得：ℎ=4，
在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：
①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，分别为(8−4 3,4)，(8+4 3,4)(8−4 3,−4)，(8+4 3,−4)；
②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，分别为(−4 3.4)，(4 3,4)(−4 3,−4)，(4 3,−4)；
③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，分别为(4,4)，(4,−4)．
综上所述．P的坐标分别为(8−4 3,4)，(8+4 3,4)(8−4 3,−4)，(8+4 3,−4)，(−4 3.4)，(4 3,4)(−4 3,−4)，(4 3,−4)，(4,4)，(4,−4)．
【解析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．
此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
25.【答案】解：(1)设每台A种设备x万元，则每台B种设备(x+0.7)万元，
根据题意得：3x=7.2x+0.7，
解得：x=0.5．
经检验，x=0.5是原方程的解，
∴x+0.7=1.2．
答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.2万元．
(2)设购买A种设备m台，则购买B种设备(20−m)台，
根据题意得：0.5m+1.2(20−m)≤15，
解得：m≥1267．
∵m为整数，
∴A种设备至少要购买13台．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
(1)设每台A种设备x万元，则每台B种设备(x+0.7)万元，根据数量=总价÷单价结合花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
(2)设购买A种设备m台，则购买B种设备(20−m)台，根据总价=单价×数量结合总费用不高于15万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最小正整数即可．
26.【答案】解：问题一：∠BAC=∠BCD=90°，理由如下：
∵∠DAP=∠BAC，
∴∠DAP−∠CAP=∠BAC−∠CAP，
∴∠CAD=∠BAP，
又∵AB=AC，AD=AP，
∴△CAD≌△BAP(SAS)，
∴∠ACD=∠ABP，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACD=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠BAC=∠BCD=90°；
问题二：当0°<∠BAC<180°，且点P在线段BC上移动时，∠BCD+∠BAC=180°；理由如下：
同问题一，可证△CAD≌△BAP(SAS)，
∴∠ACD=∠ABP，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=∠ACB+∠ABP，
∴∠BCD+∠BAC=∠ACB+∠ABP+∠BAC=180°；
探究深入：当点P在线段BC上，或在BC延长线上时，∠BCD+∠BAC=180°；当点P在CB延长线上时，∠BCD=∠BAC.理由如下：
(1)如图，当点在BC延长线上时，
∵∠DAP=∠BAC，
∴∠DAP+∠PAC=∠BAC+∠PAC，
∴∠DAC=∠PAB，
又∵AB=AC，AD=AP，
∴△DAC≌△PAB(SAS)，
∴∠DCA=∠PBA，
∴∠BCD=∠DCA+∠ACB=∠PBA+∠ACB，
∴∠BCD+∠BAC=∠PBA+∠ACB+∠BAC=180°；
(2)如图，当点在CB延长线上时，
∵∠DAP=∠BAC，
∴∠DAP−∠DAB=∠BAC−∠DAB，
∴∠DAC=∠PAB，
又∵AB=AC，AD=AP，
∴△DAC≌△PAB(SAS)，
∴∠ACD=∠ABP，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD∠ABP=∠ACB+∠BAC，
∴∠ACB+∠BCD=∠ACB+∠BAC，
∴∠BCD=∠BAC，
综上，当点P在线段BC上，或在BC延长线上时，∠BCD+∠BAC=180°；当点P在CB延长线上时，∠BCD=∠BAC．
【解析】问题一：如图，可证△CAD=△BAP，得∠ACD=∠ABP.由等腰直角三角形可进一步证得∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，于是∠BAC=∠BCD=90°；
问题二：当0°<∠BAC<180°，且点P在线段BC上移动时，∠BCD+∠BAC=180°；同问题一，可证△CAD=△BAP，于是∠ACD=∠ABP，∠BCD+∠BAC=180°；
探究深入：(1)如图，当点在BC延长线上时，可证∠DAC=∠PAB，进一步证得△DAC≌△PAB，于是∠DCA=∠PBA，得证∠BCD+∠BAC=180°；
(2)如图，当点在CB延长线上时，可证∠DAC=∠PAB，进一步证得△DAC≌△PAB，于是∠ACD−∠ABP，结合外角定理，得证∠BCD=∠BAC．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角定理，根据题意，对动点位置的不同情况分类讨论是解题的关键．
2022-2023学年辽宁省本溪市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. 分解因式4x2−y2的结果是( )
A. (4x+y)(4x−y) B. 4(x+y)(x−y) C. (2x+y)(2x−y) D. 2(x+y)(x−y)
2. 如所示图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 在数轴上表示不等式组1+x>02x−4≤0的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2：3：4：3，则∠D等于( )
A. 60° B. 75° C. 90° D. 120°
5. 如果a>b，c<0，那么下列不等式成立的是( )
A. a+c>b B. a+c>b−c
C. ac−1>bc−1 D. a(c−1)
A. 对角分别相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 相邻的角互补的四边形是平行四边形
7. 如果等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是( )
A. 9cm B. 12cm C. 12cm或15cm D. 15cm
8. 若函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+2b<0的解集为( )
A. x<3
B. x>3
C. x<6
D. x>6
9. 如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1=( )
A. 30° B. 25° C. 20° D. 15°
10. 如图①，在平行四边形ABCD中，AD=9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止.已知△PAD的面积y(单位：cm2)与点P移动的时间x(单位：s)之间的函数关系如图②所示，图②中a与b分别为( )
A. 17，34 B. 17，32 C. 19，36 D. 19，32
二、非选择题（70分）
11. 分解因式：a3−9ab2=______．
12. 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于______．
13. 如图，直线y=kx+b与直线y=mx+n分别与x轴交于点(−1,0)、(3,0)，则不等式(kx+b)(mx+n)>0的解集为______
14. 当−1
16. 若a=2023，b=2022，则计算12×a2−12×b2的结果为______ ．
17. 如图，正五边形ABCDE，则∠ACD的度数为______ ．
18. 如图，平行四边形OABC的一边在坐标轴上，点B的坐标为(6,2)，直线MN：y=kx+b把平行四边形的面积分成相等的两部分，且与x轴交于点(6,0)，则k值为______ ．
19. 解不等式：5(x−2)−2(x+1)>3．
20. 先化简再选取一个合适的a值代入求值：(1−2a+1)÷a2−2a+1a2+a，其中a是满足不等式2a−1≥0解集的一个整数．
21. 一次函数y=(2a+4)x−(3−b)，当a、b为何值时
(1)y随x的增大而增大；
(2)图象与y轴交在x轴上方；
(3)图象过原点．
22. 如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF//BE.求证：四边形ABCD是平行四边形．
23. 某单位计划10月份组织员工到外地旅游，估计人数在6～15人之间．甲、乙量旅行社的服务质量相同，且对外报价都是200元/人，该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客8折优惠；乙旅行社表示，可先免去一位游客的旅游费用，其余游客9折优惠．
(1)分别写出两旅行社所报旅游费用y与人数x的函数关系式．
(2)人数为多少时选择两家旅行社价格都一样？
(3)当人数在什么范围内应选择乙旅行社？
24. 平面直角坐标系中，已知A(8,0)，△AOP为等腰三角形且面积为16，求满足条件的P点坐标．
25. 近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A，B两种设备．每台B种设备比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同．
(1)求A，B两种设备每台各多少万元．
(2)根据单位实际情况，需购进A，B两种设备共20台，总费用不高于15万元．求A种设备至少要购买多少台．
26. 两个等腰三角形△ABC，△ADP，AB=AC，AD=AP，∠DAP=∠BAC，其中P在边BC所在的直线上.连接CD．
问题一：当∠BAC=90°，且点P在线段BC上移动时，则∠BAC，∠BCD之间有怎样的数量关系？请说明理由；
问题二：当0°<∠BAC<180°，且点P还在线段BC上移动，此时∠BAC，∠BCD之间有怎样的数量关系？请说明理由；
随着探究的深入，得出一些基本的结论：当点P在直线BC上移动，所处的位置不同，∠BAC，∠BCD可能的数量关系是什么？(直接写出数量关系即可)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：4x2−y2=(2x+y)(2x−y)．
故选：C．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，求解判断即可．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
3.【答案】C
【解析】解：解不等式组得x>−1x≤2
分别表示在数轴上为：
故选C．
先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上，即可．
此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
4.【答案】C
【解析】解：设∠A=2x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，∠D=3x°，
∴有(2x°+3x°+4x°+3x°)=360°，
解得：x=30．
∴∠D=3×30°=90°．
∴∠D等于90°．
故选：C．
设∠A=2x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，∠D=3x°，根据四边形内角和为360°即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出x的值，将其代入∠D中，再结合内外角之和为180°即可得出结论．
本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是通过解方程找出∠D=90°．
5.【答案】D
【解析】解：A.∵c<0，a>b，a+c>b不一定成立，选项A错误；
B.∵c<0，a>b，所以a+c>b−c不一定成立，选项B错误；
C.∵c<0，a>b，∴ac
D.∵c<0，c−1<0，a>b，∴a(c−1)
根据不等式的性质即可求出答案．
本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型．
6.【答案】CD
【解析】解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故选项C符合题意；
D、相邻的角互补的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故选项D符合题意；
故选：CD．
根据平行四边形的判定定理进行分析判断即可．
本题主要考查了平行四边形的判定：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7.【答案】D
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立；
当腰为6cm时，6−3<6<6+3，能构成三角形，
此时等腰三角形的周长为6+6+3=15(cm)．
故选：D．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质及解一元一次不等式的能力．
由一次函数图象过(3,0)且过第二、四象限知b=−3k、k<0，代入不等式求解可得．
【解答】
解：∵一次函数y=kx+b经过点(3,0)，
∴3k+b=0，且k<0，
则b=−3k，
∵kx+2b<0，
∴不等式为kx−6k<0，
解得：x>6，
故选D．
9.【答案】D
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠A=∠FDE=45°，
又∵∠C=30°．
∴∠1=∠FDE−∠C=45°−30°=15°，
故选：D．
根据平行线的性质可得∠A=∠FDE=45°，再根据三角形内角与外角的性质可得∠1的度数．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
10.【答案】C
【解析】解：由图②可知点P从A点运动到B点的时间为10s，
又因为P点运动的速度为1cm/s，
所以AB=10×1=10(cm)，
由AD=9可知点P在边BC上的运动时间为9s，
所以a=10+9=19；
分别过B点、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．
由图②知S△ABD=36，
则12×9×BE=36，
解得BE=8，
在直角△ABE中，由勾股定理，得AE= AB2−BE2=6．
∵∠CDF=∠ABE，∠AEB=∠CFD=90°，AB=CD，
∴△BAE≌△CDF(AAS)，
则BE=CF=8，AE=DF=6，AF=AD+DF=9+6=15．
在直角△ACF中，由勾股定理，得CA= AF2+CF2=17，
则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17s，
所以b=19+17=36．
故选：C．
由AD=9可知点P在边BC上的运动时间为9s，a为点P由A→B→C的时间；分别过B点、C点作BE⊥AD、CF⊥AD，易证△BAE≌△CDF，由此得到AE=DF=6，AF=15，从而可求得CA=17s，则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17，所以b=19+17=36．
本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况求出AB的长度是解题的关键，在梯形的问题中，作梯形的高是一种常用的辅助线的作法．
11.【答案】aa+3ba−3b
【解析】解：a3−9ab2=aa2−9b2=aa+3ba−3b．
故答案为：aa+3ba−3b．
先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解即可．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，分解要彻底．
12.【答案】2
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠AEB=∠DAE，
∵平行四边形ABCD的周长是16，
∴AB+BC=8，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3，
∴BC=5，
∴EC=BC−BE=5−3=2；
故答案为：2．
由平行四边形的性质和已知条件证出∠BAE=∠BEA，证出AB=BE=3；求出AB+BC=8，得出BC=5，即可得出EC的长．
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AB=BE是解决问题的关键．
13.【答案】−1
∴不等式(kx+b)(mx+n)>0的解集为−1
本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
14.【答案】x2>x>1x
【解析】解：∵−1
∴x2>x>1x，
故答案为：x2>x>1x．
正数>0>负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此进行判断即可．
本题考查实数的大小比较，结合题意判断出1x<0，x2>0，|x|<|1x|是解题的关键．
15.【答案】160x+240(1+20%)⋅x=18
【解析】
【分析】
关键描述语为：“共用了18天完成任务”，那么等量关系为：采用新技术前所用时间+采用新技术后所用时间=18天．
找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键．注意工作时间=工作总量÷工作效率．
【解答】
解：采用新技术前所用时间为：160x，采用新技术后所用时间为：400−160(1+20%)x，
∴所列方程为：160x+400−160(1+20%)x=18．
16.【答案】40452
【解析】解：∵a=2023，b=2022，
∴12×a2−12×b2
=12(a2−b2)
=12(a−b)(a+b)
=12×(2023−2022)×(2023+2022)
=12×1×4045
=40452．
故答案为：40452．
先提取公因数12，再利用平方差公式分解因式，最后代入即可．
此题考查的是平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
17.【答案】72°
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B=∠BCD=(5−2)×180°÷5=108°，
∵AB=BC，
∴∠ACB=180°−108°2=36°，
∴∠ACD=108°−36°=72°，
故答案为：72°．
根据多边形内角和及正多边形性质求得∠B，∠BCD的度数，然后利用等边对等角求得∠ACB的度数，最后利用角的和差计算即可．
本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，等腰三角形的性质，结合已知条件求得∠ACB的度数是解题的关键．
18.【答案】−13
【解析】解：设直线MN交OA于点D，交BC于点E，交x轴于点F，交y轴于点G，连接BF，如图所示．
∵点B的坐标为(6,2)，点F的坐标为(6,0)，
∴BF//y轴，
∴∠OGD=∠BFE，∠BFC=90°．
∵OA//BC，
∴∠AOC=∠BCF，
∵∠AOG+∠AOC=90°，∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠AOG=∠CBF，即∠DOG=∠EBF．
∵直线MN：y=kx+b把平行四边形的面积分成相等的两部分，
∴OD=BE．
在△DOG和△EBF中，
∠OGD=∠BFE∠DOG=∠EBFOD=BE，
∴△DOG≌△EBF(AAS)，
∴OG=BF，
∴点G的坐标为(0,2)．
将F(6,0)，G(0,2)代入y=kx+b得：6k+b=0b=2，
解得：k=−13b=2，
∴k的值为−13．
故答案为：−13．
设直线MN交OA于点D，交BC于点E，交x轴于点F，交y轴于点G，连接BF，易证△DOG≌△EBF(AAS)，利用全等三角形的性质，可得出OG的长，进而可得出点G的坐标，由点F，G的坐标，利用待定系数法，即可求出k值．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式，利用全等三角形的性质，求出直线MN与y轴的交点坐标是解题的关键．
19.【答案】解：去括号得5x−10−2x−2>3，
移项得5x−2x>3+10+2，
合并同类项得3x>15，
化系数为1得x>5．
故原不等式的解集为：x>5．
【解析】先去括号，再根据不等式的基本性质把不等号右边的x移到左边，合并同类项，化系数为1即可求得原不等式的解．
本题考查的是解一元一次不等式，在解答此类题目时一定要根据不等式的基本性质解答．
20.【答案】解：原式=(a+1a+1−2a+1)⋅a(a+1)(a−1)2
=a−1a+1⋅a(a+1)(a−1)2
=aa−1，
解不等式2a−1≥0，得a≥12，
由题意得：a≠0和±1，
当a=2时，原式=22−1=2．
【解析】根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，解不等式求出a的范围，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)因为一次函数y=(2a+4)x−(3−b)，y随x的增大而增大，
可得：2a+4>0，b为任意值，解得：a>−2，b∈R
解得：a>−2；
(2)因为一次函数y=(2a+4)x−(3−b)，图象与y轴交在x轴上方，
可得：2a+4≠0，−(3−b)>0，解得：a≠−2，b>3
(3)因为一次函数y=(2a+4)x−(3−b)，图象过原点，
所以2a+4≠0，−(3−b)=0，解得：a≠−2，b=3
【解析】(1)根据一次函数中y随x的增大而增大得出a，b的取值范围即可；
(2)根据图象与y轴交在x轴上方得出a，b的取值范围即可；
(3)根据图象过原点得出a，b的取值范围即可．
此题考查一次函数问题，关键是根据一次函数的特点进行解答即可．
22.【答案】证明：∵DF//BE，
∴∠DFE=∠BEC，
∴在△ADF和△CBE中，
DF=BE∠DFA=∠BECAF=CE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，
∴AD//CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】根据平行线的性质得到∠DFE=∠BEF，再利用全等三角形的判定与性质得到AD=CB，∠DAF=∠BCE即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意，得
y甲=200×0.8x=160x，y乙=200×0.9(x−1)=180x−180；
答：两旅行社所报旅游费用y与人数x的函数关系式为：y甲=160x，y乙=180x−180；
(2)由题意，得
160x=180x−180，
解得：x=9．
答：人数为9人时选择两家旅行社价格都一样；
(3)由题意，得
160x>180x−180，
解得：x<9
答：人数在9人一下时应选择乙旅行社．
【解析】(1)根据旅游费=每人的实际付款费用×人数就可以建立y与x的关系式；
(2)根据(1)的解析式建立方程求出其解即可；
(3)当y乙
24.【答案】解：∵A(8,0)，
∴OA=8，
设△AOP的边OA上的高是ℎ，
则12×8×ℎ=16，
解得：ℎ=4，
在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：
①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，分别为(8−4 3,4)，(8+4 3,4)(8−4 3,−4)，(8+4 3,−4)；
②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，分别为(−4 3.4)，(4 3,4)(−4 3,−4)，(4 3,−4)；
③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，分别为(4,4)，(4,−4)．
综上所述．P的坐标分别为(8−4 3,4)，(8+4 3,4)(8−4 3,−4)，(8+4 3,−4)，(−4 3.4)，(4 3,4)(−4 3,−4)，(4 3,−4)，(4,4)，(4,−4)．
【解析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．
此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
25.【答案】解：(1)设每台A种设备x万元，则每台B种设备(x+0.7)万元，
根据题意得：3x=7.2x+0.7，
解得：x=0.5．
经检验，x=0.5是原方程的解，
∴x+0.7=1.2．
答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.2万元．
(2)设购买A种设备m台，则购买B种设备(20−m)台，
根据题意得：0.5m+1.2(20−m)≤15，
解得：m≥1267．
∵m为整数，
∴A种设备至少要购买13台．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
(1)设每台A种设备x万元，则每台B种设备(x+0.7)万元，根据数量=总价÷单价结合花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
(2)设购买A种设备m台，则购买B种设备(20−m)台，根据总价=单价×数量结合总费用不高于15万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最小正整数即可．
26.【答案】解：问题一：∠BAC=∠BCD=90°，理由如下：
∵∠DAP=∠BAC，
∴∠DAP−∠CAP=∠BAC−∠CAP，
∴∠CAD=∠BAP，
又∵AB=AC，AD=AP，
∴△CAD≌△BAP(SAS)，
∴∠ACD=∠ABP，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACD=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠BAC=∠BCD=90°；
问题二：当0°<∠BAC<180°，且点P在线段BC上移动时，∠BCD+∠BAC=180°；理由如下：
同问题一，可证△CAD≌△BAP(SAS)，
∴∠ACD=∠ABP，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=∠ACB+∠ABP，
∴∠BCD+∠BAC=∠ACB+∠ABP+∠BAC=180°；
探究深入：当点P在线段BC上，或在BC延长线上时，∠BCD+∠BAC=180°；当点P在CB延长线上时，∠BCD=∠BAC.理由如下：
(1)如图，当点在BC延长线上时，
∵∠DAP=∠BAC，
∴∠DAP+∠PAC=∠BAC+∠PAC，
∴∠DAC=∠PAB，
又∵AB=AC，AD=AP，
∴△DAC≌△PAB(SAS)，
∴∠DCA=∠PBA，
∴∠BCD=∠DCA+∠ACB=∠PBA+∠ACB，
∴∠BCD+∠BAC=∠PBA+∠ACB+∠BAC=180°；
(2)如图，当点在CB延长线上时，
∵∠DAP=∠BAC，
∴∠DAP−∠DAB=∠BAC−∠DAB，
∴∠DAC=∠PAB，
又∵AB=AC，AD=AP，
∴△DAC≌△PAB(SAS)，
∴∠ACD=∠ABP，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD∠ABP=∠ACB+∠BAC，
∴∠ACB+∠BCD=∠ACB+∠BAC，
∴∠BCD=∠BAC，
综上，当点P在线段BC上，或在BC延长线上时，∠BCD+∠BAC=180°；当点P在CB延长线上时，∠BCD=∠BAC．
【解析】问题一：如图，可证△CAD=△BAP，得∠ACD=∠ABP.由等腰直角三角形可进一步证得∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，于是∠BAC=∠BCD=90°；
问题二：当0°<∠BAC<180°，且点P在线段BC上移动时，∠BCD+∠BAC=180°；同问题一，可证△CAD=△BAP，于是∠ACD=∠ABP，∠BCD+∠BAC=180°；
探究深入：(1)如图，当点在BC延长线上时，可证∠DAC=∠PAB，进一步证得△DAC≌△PAB，于是∠DCA=∠PBA，得证∠BCD+∠BAC=180°；
(2)如图，当点在CB延长线上时，可证∠DAC=∠PAB，进一步证得△DAC≌△PAB，于是∠ACD−∠ABP，结合外角定理，得证∠BCD=∠BAC．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角定理，根据题意，对动点位置的不同情况分类讨论是解题的关键．
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