2023年甘肃省陇南市中考数学模拟试卷（二）（含解析）

这是一份2023年甘肃省陇南市中考数学模拟试卷（二）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各数中，绝对值最大的数是( )
A. 4B. −5C. 0D. −1
2. 若∠A=60°45′，则∠A的补角的大小是( )
A. 29°15′B. 29°55′C. 119°15′D. 119°55′
3. 若a>b，则下列式子正确的是( )
A. −2023a>−2023bB. 2023a<2023b
C. 2023−a>2023−bD. a−2023>b−2023
4. 用配方法解方程x2−4x+2=0，配方后正确的是( )
A. (x−2)2=2B. (x+2)2=2C. (x−2)2=−2D. (x−2)2=0
5. 两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是( )
A. 2：3B. 4：9C. 9：4D. 16：81
6. 球类运动能提高青少年运动协调能力，改善心肺功能，增强身体素质.陇南某校在新学期开学后随机选取了若干名学生进行“我最喜欢的球类运动”的调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图.已知最喜欢网球的学生有40人，则下列说法错误的是( )
A. 这次参与调查的学生共400人
B. “羽毛球”部分所占的圆心角的度数为72度
C. 喜欢网球，羽毛球和乒乓球的学生人数占总人数的一半
D. 被调查的学生中喜欢羽毛球的学生有80人
7. 某校开展“展青春风采，树强国信念”科普阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618.特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接顶点AB，AC，∠ACB的平分线交边AB于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，即ADAB≈0.618，已知AC=10cm，那么该正五边形的周长为( )
A. 19.1cmB. 25cmC. 30.9cmD. 40cm
8. 我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国.2020年我国GDP约为99万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，两年后我国GDP约达125万亿元，将增长率记作x，可列方程为( )
A. 99+99(1+x)=125B. 99(1+x)=125
C. 99(1+x)2=125D. 99(1+x)+99(1+x)2=125
9. 阳春三月风和日丽，艳阳高照，正是踏春郊游的好时节.某景区举办风车节吸引游客前来参观.如图是园区内一个风车的简化图，若AB=5，当风车转动60°，点B运动的路径长度为( )
A. 25π3B. 25π6C. 5π6D. 5π3
10. 如图(1)，在△ABC中，AB=AC，动点P从△ABC的顶点A出发，以3cm/s的速度沿A→B→C→A匀速运动回到点A，图(2)是点P运动过程中，线段AP的长度y(cm)随时间t(s)变化的图象，其中点Q为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是108cm2，则a的值为( )
A. 18B. 16C. 20D. 15
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 计算：5x2−3x2= ______ ．
12. 分解因式：a2−3a−10= ______ ．
13. 一次函数y=kx+1的图象经过点(−1,2)，则k= ______ ．
14. 如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若△BOC的面积为3，则▱ABCD的面积为______ ．
15. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=50°，连结OB，OC，则∠BOC的度数是______．
16. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，要使▱ABCD是菱形，需添加的一个条件是______ ．
17. 为庆祝春节，某地一烟花厂特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=−23t2+8t+2.若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为______ s.
18. 如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作矩形AEFG.若∠BAE=40°，∠CEF=10°，则∠D的度数为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：(2023−π)0+|−2 2|− 8−2−1．
20. (本小题6.0分)
化简：(2−2aa+1+a−1)÷a2−aa+1．
21. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,4)，B(−4,1)，C(−1,2)．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1(点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1，)，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；
(2)点D在x轴上，使得BD=CD，仅用无刻度的直尺作出点D；(不写作法，保留作图痕迹)
(3)点P在y轴上，使得△ACP的周长最小，作出点P.(不写作法，保留作图痕迹)
22. (本小题8.0分)
小辉老师准备利用无人机为我校初中部跑操比赛进行航拍，如图所示的∠CAB为最佳拍摄视角，CD所在的直线是操场的跑道，BC的长就是最佳拍摄范围.为确定无人机的位置，小辉老师过无人机所在的位置点A作AE⊥CD于点E，知道BE和AE的长就知道无人机的位置了.若∠CAB=15°，∠ABD=45°，要想使最佳拍摄范围BC的长为20m，请帮助小辉老师找出无人机的最佳航拍位置，即求出AE的长.(结果精确到0.1，参考数据： 3≈1.732 2≈1.414)
23. (本小题10.0分)
如图，有A，B，C，D四张不透明的圆形卡片，这些卡片除正面上的图案不同外，其他均相同，将这四张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．
(1)从中随机取出一张卡片，求卡片上的图案是轴对称图形的概率；
(2)若从这四张卡片中随机取出两张卡片，请用画树状图或列表的方法，列出所取出的两张卡片的所有情况，并求取出的两张卡片都是中心对称图形的概率．
24. (本小题8.0分)
某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
(1)完成上述表格：a= ______ ；b= ______ ；
(2)请估计当n很大时，频率将会接近______ ，(精确到0.1)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是______ ；(精确到0.1)
(3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？
25. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A(−4,n)，B(2,−4)两点，连接OA，OB，直线AB与x轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求点C的坐标和△OAB的面积．
26. (本小题10.0分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，以BD为直径作⊙O交BC于点F，并且⊙O与AC相切于点E，连接OE．
(1)求证：BC/​/OE；
(2)若⊙O的半径为5，∠A=30°，求BC的长．
27. (本小题10.0分)
定义：如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B，则称点D为△ABC的关于点B的自相似点．

(1)求证：AC2=AB⋅AD；
(2)如图2，在平行四边形ABCD中，AD=163，E为BC上一点，BE=3，F为CD延长线上一点，BF=4.求证：点E为△BFC的关于点C的自相似点．
28. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)观察函数图象，直接写出当y>0时，x的取值范围；
(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：4、−5、0、−1的绝对值分别为4、5、0、1，
所以绝对值最大的数是−5．
故选：B．
先求出每个数的绝对值，再根据实数的大小比较法则比较即可．
本题考查了有理数大小比较以及绝对值，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：180°−∠A=180°−60°45′=119°15′．
故选：C．
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角，由此即可计算．
本题考查补角，关键是掌握补角的定义．
3.【答案】D
【解析】解：A.∵a>b，
∴−2023a<−2023b，故本选项不符合题意；
B.∵a>b，
∴2023a>2023b，故本选项不符合题意；
C.∵a>b，
∴−a<−b，
∴2023−a<2023−b，故本选项不符合题意；
D.∵a>b，
∴a−2023>b−2023，故本选项符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】A
【解析】解：∵x2−4x+2=0，
∴x2−4x=−2，
∴x2−4x+4=−2+4，
∴(x−2)2=2，
故选：A．
根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
本题考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的方法，本题属于基础题型．
5.【答案】D
【解析】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，
∴其面积之比是16：81，
故选：D．
直接利用相似三角形的性质分析得出答案．
此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：A.这次参与调查的学生人数为40÷(1−17.5%−15%−12.5%−20%−25%)=400(人)，因此选项A不符合题意；
B.“羽毛球”部分所占的圆心角的度数为360°×20%=72°，因此选项B不符合题意；
C.喜欢网球，羽毛球和乒乓球的学生人数占总人数的20%+25%+10%=55%，因此选项C符合题意；
D.被调查的学生中喜欢羽毛球的学生有400×20%=80人，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据频率=频数总数，以及扇形统计图的制作方法逐项进行计算即可．
本题考查扇形统计图，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
7.【答案】C
【解析】解：由题意，点D是线段AB的黄金分割点，
∵AD=0.618AB，AB=AC=10cm，
∴AD=6.18cm．
∵∠ABC=∠ACB=72°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠CAD=36°，∠CDB=∠CBD=72°，
∴BC=CD=AD=6.18cm，
∴五边形的周长为6.18×5=30.9(cm)，
故选：C．
证明BC=CD=AD=6.18cm，可得结论．
本题考查正多边形的性质，黄金分割等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意得：2021年我国GDP约为99(1+x)万亿元，
2022年我国GDP约为99(1+x)(1+x)=99(1+x)2万亿元，
∴可列方程为99(1+x)2=125．
故选：C．
根据题意直接列出方程即可．
本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，正确列出等式是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：当风车转动60°，点B运动的路径长度=60π×5180=5π3．
故选：D．
理由弧长公式求解即可．
本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】A
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，

由题意可知，BC边上的高AD=9cm，
∵△ABC的面积是108cm2，
∴12⋅AD⋅BC=108，
解得BC=24cm，
∵AB=AC，
∴BP=CP=12cm，
由勾股定理可求得AB=AC=15cm，
∴a=(15+15+24)÷3=18s．
故选：A．
由题意可知△ABC中，BC边上的高为9cm，由三角形的面积公式可得BC=24cm，由勾股定理可求得BC=15cm，由时间=路程÷速度可得结论．
此题考查了图形与函数图象间关系，关键是根据图象求解出BC的长．
11.【答案】2x2
【解析】解：5x2−3x2=(5−3)x2=2x2．
故答案为：2x2．
合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此计算即可．
本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
12.【答案】(a−5)(a+2)
【解析】解：原式=(a−5)(a+2)，
故答案为：(a−5)(a+2)．
根据十字相乘法进行解答即可．
本题考查十字相乘法，将常数项分解成两个因数的积是解决问题的关键．
13.【答案】−1
【解析】解：∵一次函数y=kx−1的图象经过点(−1,2)，
∴2=−k+1，k=−1．
故答案为−1．
把点(−1,2)的坐标代入一次函数y=kx+1中，即可求出k的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的特点以及已知条件列出方程是解题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：如图：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴S△AOD=S△COD=S△BOC=S△AOB，
∵△AOB的面积为3，
∴▱ABCD的面积为4×3=12，
故答案为：12．
根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，根据三角形面积公式得出S△AOD=S△COD=S△BOC=S△AOB，即可求出答案．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的应用，能正确运用平行四边形的性质进行推理是解此题的关键．
15.【答案】100°
【解析】解：∵∠BAC=50°，∠BAC=12∠BOC，
∴∠BOC=2∠BAC=100°，
故答案为：100°．
利用圆周角定理解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
16.【答案】AB=BC(答案不唯一)
【解析】解：若使▱ABCD变为菱形，可添加的条件是：
AB=BC(邻边相等的平行四边形是矩形)．
故答案为：AB=BC(答案不唯一)．
菱形是特殊的平行四边形，菱形有而平行四边形不具有的性质是：邻边相等；可针对这些特点来添加条件．
此题主要考查的是平行四边形的性质及菱形的判定方法，熟练掌握菱形和平行四边形的联系和区别是解答此题的关键．
17.【答案】6
【解析】解：依题意可知h=−23t2+8t+2，当t=−82×(−23)=6时，h取得最大值，
即从点火升空到引爆需要的时间为6s．
故答案为：6．
根据题意求得h=−23t2+8t+2顶点的横坐标即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意求得顶点的横坐标是解题的关键．
18.【答案】60°
【解析】解：∵四边形AEFG是正方形AEFG．
∴∠AEF=90°．
∵∠CEF=10°．
∴∠AEB=80°．
∵∠BAE=40°．
∴∠B=180°−∠BAE−∠AEB=60°．
∵四边形ABCD是▱ABCD．
∴∠D=∠B=60°．
故答案为：60°．
根据正方形性质和∠CEF=15°，求出∠AEB=75°.利用三角形内角和求出∠B.再根据平行四边形性质即可求解．
本题考查正方形性质、平行四边形性质、三角形内角和的知识，关键在于知道各图形的性质．
19.【答案】解：(2023−π)0+|−2 2|− 8−2−1
=1+2 2−2 2−12
=12．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：(2−2aa+1+a−1)÷a2−aa+1
=2−2a+(a−1)(a+1)a+1⋅a+1a(a−1)
=2−2a+a2−1a(a−1)
=(a−1)2a(a−1)
=a−1a．
【解析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

∴A1(3,4)，B1(4,1)，C1(1,2)；
(2)如图，点D即为所求；
(3)如图，点P即为所求．
【解析】(1)根据轴对称的性质即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，进而可以写出点A1，B1，C1的坐标；
(2)根据线段垂直平分线的性质，作线段BC的垂直平分线与x轴的交点即为点D；
(3)结合(1)连接A1C交y轴于点P，即可使△ACP的周长最小．
本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，掌握轴对称的性质是解决本题的关键．
22.【答案】解：∵AE⊥CD，
∴∠AEB=90°，
∵∠CAB=15°，∠ABD=45°，
∴∠C=30°，
∴AE=BE，CE= 3AE，
∵BC=20，CE−BE=BC，
∴ 3AE−AE=20，
解得AE≈27.3米，
即AE的长为27.3米．
【解析】根据等腰直角三角形的性质，解△AEC即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，视点、视角和盲区，解决本题的关键是掌握含30度角的直角三角形的三边关系及等腰直角三角形的性质．
23.【答案】解：(1)从中随机取出一张卡片，求卡片上的图案是轴对称图形的概率为24=12；
(2)画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出的两张卡片都是中心对称图形的有2种结果，
所以取出的两张卡片都是中心对称图形的概率为212=16．
【解析】(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
24.【答案】295 0.745 0.6 0.6
【解析】解：(1)a=500×0.29=295，b=298÷400=0.745，
故答案为：295、0.745；
(2)估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6，
故答案为：0.6、0.6；
(3)360°×(1−0.6)=144°，
在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是144度．
(1)根据频率=频数÷总数求解即可；
(2)根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率；
(3)用360°乘以获得“手工”奖品的概率即可．
本题考查利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题．
25.【答案】解：(1)∵B(2,−4)在反比例函数y=mx的图象上，
∴m=2×(−4)=−8．
∴反比例函数的解析式为y=−8x．
∵点A(−4,n)在y=−8x上，
∴n=2．
∴A(−4,2)．
∵y=kx+b经过A(−4,2)，B(2,−4)，
∴−4k+b=22k+b=−4．
解得k=−1b=−2．
∴一次函数的解析式为y=−x−2．
(2)∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y=0时，x=−2．
∴点C(−2,0)．
∴OC=2．
∴S△OAB=S△ACO+S△BCO=12×2×2+12×2×4=6．
【解析】(1)把A(−4,n)，B(2,−4)分别代入一次函数y=kx+b和反比例函数y=mx，运用待定系数法分别求其解析式；
(2)把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算．
本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．同时间接考查函数的增减性，从而来解不等式．
26.【答案】(1)证明：∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴BC//OE；
(2)解：在Rt△AOE中，∠A=30°，OE=5，
∴OA=2OE=10，
∴AB=OA+OB=10+5=15，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=12AB=7.5．
【解析】(1)根据切线的性质得到OE⊥AC，进而证明BC/​/OE；
(2)根据含30°角的直角三角形的性质求出OA，再求出BC．
本题考查的是切线的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
27.【答案】证明：(1)在△BAC与△CAD中，
∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，
∴△BAC∽△CAD，
∴ACAD=ABAC，
∴AC2=AB⋅AD；
(2)∵在平行四边形ABCD中，AD=163，
∴BC=AD=163，
∵BE=3，BF=4，
∴BFBC=BEBF=34，
又∵∠FBE=∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴∠BFE=∠BCF，
∴点E为△BFC的关于点C的自相似点．
【解析】(1)根据△BAC∽△CAD，得ACAD=ABAC，即可得出结论；
(2)根据两边成比例且夹角相等，说明△BFE∽△BCF，得∠BFE=∠BCF，则点E为△BFC的关于点C的自相似点．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
28.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,0)，
∴1−b+c=09+3b+c=0，
解得b=−2c=−3．
∴所求解析式为y=x2−2x−3．
(2)当x<−1或x>3时，y>0，
故答案为x<−1或x>3．
(3)在抛物线对称轴上存在点Q，使△QAC的周长最小．
∵AC长为定值，
∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小，
∵点A关于对称轴直线x=1的对称点是(3,0)，
∴Q是直线BC与对称轴直线x=1的交点，
设过点B，C的直线的解析式y=kx−3，把B(3,0)代入，
∴3k−3=0，
∴k=1，
∴直线BC的解析式为y=x−3，
把x=1代入上式，
∴y=−2，
∴Q点坐标为(1,−2)．
【解析】(1)已知了抛物线过A、B两点，而抛物线的解析式中也只有两个待定系数，因此可将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，也就得出了二次函数的解析式．
(2)观察图象即可解决问题；
(3)本题的关键是找出Q点的位置，已知了B与A点关于抛物线的对称轴对称，因此只需连接BC，直线BC与对称轴的交点即为Q点．可根据B、C两点的坐标先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线对称轴的解析式即可求出Q点的坐标．
本题主要考查了二次函数解析式的确定，函数图象的交点等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
转动转盘的次数n
100
200
300
400
500
1000
落在“书画”区域的次数m
60
122
180
298
a
604
落在“书画”区域的频率mn
0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604