2023年四川省成都市高新技术产业开发区二模数学试题（含解析）

这是一份2023年四川省成都市高新技术产业开发区二模数学试题（含解析），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省成都市高新技术产业开发区二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是（    ）
A． B．2023 C． D．
2．如图所示几何体的俯视图是（    ）
  
A．   B．   C．   D．  
3．年月，成都市某街道为进一步激发消费活力，提振消费信心，开展了“合家欢购·作享实惠”主题消费活动，活动期间共计发放价值万元的消费券．将数据万用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
5．如图，是的直径，点在上，若则的度数为（    ）
  
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．如图，在中，，，点D，E，F分别是的中点，则四边形的周长为（    ）

A．16 B．18 C．20 D．22
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余l尺，问木长多少尺？若设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（    ）
A． B． C． D．
8．关于二次函数，下列说法正确的是（    ）
A．图象的对称轴是直线 B．图象与轴没有交点
C．当，取得最大值，且最大值为6 D．当，的值随值的增大而增大

二、填空题
9．分解因式：a2b﹣9b= ．
10．如图，点O在直线AB上，点C，D在直线AB异侧，．若，则的度数为 ．

11．若分式的值为0，则的值为 ．
12．如图，，，交于点E，若，，则的长为 ．
  
13．如图，平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上，直线与反比例函数图像交于点，过点作轴，垂足为，连接，若三角形的面积为，则的值为 ．


三、解答题
14．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
15．“五四”青年节来临之际，某校组织学生参加知识竞赛活动，张老师随机抽取了部分同学的成绩（满分100分），按成绩划分为A，B，C，D四个等级，并制作了如下不完整的统计表和统计图．
等级
成绩（m ）
人数
A

24
B

18
C


D


  请根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)本次抽取的学生共有______人，表中的值为______；
(2)所抽取学生成绩的中位数落在______等级（填“A”， “B”， “C”或“D”）；
(3)该校共组织了900名学生参加知识竞赛活动，请估计其中竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生人数．
16．如图，一艘轮船从点A处向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东方向上，继续航行海里到达B处，这时测得灯塔C在北偏东方向上，已知灯塔C四周海里内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行会有触礁的危险吗？并说明理由．（参考数据：，，，）
  
17．如图，已知为的弦，过点O作的垂线，交于点C，交于点D，交过点B的切线于点E，连接．
  
(1)求证：；
(2)若， ， 和的长．
18．在平面直角坐标系中，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点
  
(1)如图，过点P的直线分别与轴，轴交于点A，B，且．
①求反比例函数的表达式；
②点D为x轴正半轴上一点，点E反比例函数图象上，若以点B，D，E，P为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标；
(2)过定点P的直线交反比例函数在第一象限的图象于另一点Q，交y轴千点M，连接，设的面积为，的面积为，若，求m的值．

四、填空题
19．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根为 ．
20．某品牌鞋子的长度与码数x之间满足一次函数关系，若30码鞋子的长度为20，36码鞋子的长度为23，则44码鞋子的长度为 ．
21．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关，，，中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．

22．如图，中，，，点D，E分别在边上，连接，将沿翻折，点A的对应点为点F，线段恰好经过点C．若，则的值为 ．
  
23．在平面直角坐标中，对于线段与等腰直角给出如下定义：线段的中点为点M，平移线段到线段（点E，F，M的对应点分别为点，，）若线段的两端点同时落在边上，线段长度的最小值称为线段到三角形的“位移”．如图，为等腰直角三角形，，在x轴上，点A在y轴正半轴上，线段的长为2，线段中点M的坐标为．若线段到的“位移”为d，则d的取值范围是 ．
  

五、解答题
24．加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同．
(1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；
(2)该社区计划用不超过元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．
      
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点C是直线上方抛物线上一点，过点C分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，E．
①当时，求点C的坐标；
②点M为线段中点，当点C，M，O三点在同一直线上时，求的值．
26．在，，，点O是边的中点，将绕点O旋转得到（点A，B的对应点分别为，），点不在直线上，连接．
  
(1)如图1，连接，，，求证：四边形是矩形；
(2)如图2，当落在边上时，与交于点M，连接，．求线段的长；
(3)在旋转过程中，点G为的重心，连接，当线段取得最小值时，求出此时的面积．

参考答案：
1．B
【分析】根据相反数的定义直接求解即可．
【详解】解：的相反数是2023，
故选：B．
【点睛】本题考查相反数的求解，理解相反数的定义是解题关键．
2．C
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图．
【详解】解：从上往下看该几何体的俯视图，长方形中有两条竖线，符合题意的是C，
故选：C
【点睛】本题考查了物体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时， 是负数．
【详解】解：万=
故选：
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中
为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
4．D
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，完全平方公式即可求解．
【详解】解：选项，，故选项错误，不符合题意；
选项，，故选项错误，不符合题意；
选项，，故选项错误，不符合题意；
选项，，故选项正确，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘除法运算，完全平方公式的综合，掌握其运算方法是解题的关键．
5．D
【分析】利用圆周角定理求出再利用三角形角和定理求解即可．
【详解】解：是的直径，



故选：
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
6．B
【分析】根据中位线的性质求出、的长即可求得四边形的周长．
【详解】解：点D，E，F分别是的中点，
、均为的中位线，
，，
四边形的周长．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，判断出、是三角形中位线，牢记中位线性质是解题关键．
7．C
【分析】由等量关系绳长−木长=4.5和木长−绳长=1，即可列出方程组．
【详解】解：设木长尺，绳子长尺，
∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
∴．
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余l尺，
∴，
∴可列方程组为．
故选C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
8．C
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的图象开口向下，对称轴是直线，故选项A错误，不符合题意；
顶点坐标为，
∴当时，函数取得最大值，故选项C正确，符合题意；选项B错误，不符合题意；
当时，y随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线．
9．b（a+3）（a﹣3）
【详解】【分析】先提取公因式b，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】a2b﹣9b
=b（a2﹣9）
=b（a+3）（a﹣3），
故答案为b（a+3）（a﹣3）．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
10．/110度
【分析】根据以及得到进而求出的度数．
【详解】解：




故答案为：
【点睛】本题主要考查垂直以及平角的概念，熟练掌握垂直以及平角的概念是解此题的关键．
11．
【分析】根据分式值为0的条件得出，即可求解．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．
12．7
【分析】由平行线的性质求出，，得，再由相似三角形的性质求出线段即可．
【详解】∵，
∴，，
∴，

．
故答案为：7
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
13．
【分析】根据反比例函数图像的性质（图像关于原点对称），设，则，，如图所示，过点作轴于点，用含的式子分别表示的长，根据三角形的面积即可求解．
【详解】解：∵点，点在反比例函数的图像上，
∴设，则，，过点作轴于点，如图所示，

∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵三角形的面积为，
∴，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数图像的性质，几何图形的性质是解题的关键．
14．（1）；（2）原不等式组的解集为
【分析】（1）先去绝对值、化简二次根式、代入30度角的余弦值和计算零指数幂，再进行二次根式的混合运算即可；
（2）先求出每一个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可作答．
【详解】（1）


；
（2）
解不等式①得，；
解不等式①得，；
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，求解不等式组的解集等知识，牢记特殊角的三角函数值，掌握求解不等式组的方法，是解答本题的关键．
15．(1)60，12
(2)B
(3)估计其中竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生人数有630人

【分析】（1）由A的人数除以所占比例得出抽取的学生人数，然后确定D等级的人数，即可解决问题；
（2）根据中位数的确定方法求解即可；
（3）用总人数乘以满足条件的人数即可．
【详解】（1）解：抽取的学生人数为：（人），
∴D等级的人数为，
∴
故答案为60，12；
（2）∵，
∴所抽取学生成绩的中位数落在B等级，
故答案为：B；
（3）解：由题意得：
（名），
答：估计其中竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生人数有630人．
【点睛】本题考查的是统计表与扇形统计图，综合两个图得出相关信息是解题关键．
16．这艘轮船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析
【分析】过点C作于点D，设，利用三角函数求解即可．
【详解】解：如图，过点C作于点D，
  
由题可得，，
设，
在中，，
∵在中，，
∴，
∴，
即，解得，
∵，
∴这艘轮船继续向正东方向航行是安全的．
【点睛】题目主要考查三角函数的应用，理解题意是解题关键．
17．(1)见解析
(2)；

【分析】（1）由为的切线得到，即；由得到，进而，又，，可得，所以，得到；
（2）过点O作点F，过点E作于点G，由是等腰直角三角形可得，利用垂径定理得到，再利用勾股定理得到，从而得到．接着，利用勾股定理求出，从而，，利用“三线合一”得到，再利用得到，从而求出即．
【详解】（1）证明：∵为的切线
∴
∴



∴
∴


∴
∴
（2）如图，过点O作点F，过点E作于点G
  
∵在中，，
∴
∵在中，，，
∴
∴在中，由勾股定理得，
∴



∴
∵在中，，
∴
∵
∴
即
【点睛】本题考查切线定理，勾股定理，三角函数解直角三角形，垂径定理，相似三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键．
18．(1)①反比例函数的表达式为；②E点坐标为或
(2)m的值为或

【分析】（1）过P 作轴于点C，即，先求出，，即，，根据，可得，即：，可得，即，将代入反比例函数，可得反比例函数的表达式；②由①可得，，设，，当点B，D，E，P组成平行四边形时，根据平行四边形中对角线相互平分，结合中点坐标公式可得：，即可得，即；当点B，D，E，P组成平行四边形时，同理有，可得，问题得解；
（2）根据直线，可得P 点坐标为，即可得反比例函数的表达式为，①当Q在线段上时，由，可得，即，作轴于点K，轴于点L，证明，即有，则，进而可得，将代入直线得；②当Q在线段延长线上时， 由，可得，即，作轴于点K，轴于点L，同理可得，将代入直线得，问题得解．
【详解】（1）①过P 作轴于点C，即，
  
当时，即，解得：，
当时，即，
即，，
∴，，
根据，可得，
即：，
∵，
∴，
∴，，
即：，
即，
将代入反比例函数，得，
∴反比例函数的表达式为；
②由①可得，
设，，
当点B，D，E，P组成平行四边形时
∵，
∴，即，
∴；
当点B，D，E，P组成平行四边形时，
∵，
∴即，
∴，
∴E点坐标为或；
（2）∵直线，
即当时，即，则过定点，
∴P 点坐标为，
代入反比例函数，得，
∴反比例函数的表达式为，
①如图1，当Q在线段上时，
  
∵，
∴，即，
作轴于点K，轴于点L，
由P 点坐标为可得：，
∴，
∴，
∴，即，
则：，
∴，
将代入直线得；
②如图2，当Q在线段延长线上时，
  
∵，
∴，即，
作轴于点K，轴于点L，同理，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
将代入直线得，
综上所述m的值为或．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，根据三角形的面积得出相应边的比，是解答本题的关键．解答时需注意分类讨论的思想．
19．3
【分析】先将x=1代入求得m的值，然后解一元二次方程即可求出另一根．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1
∴1+m+3=0，即m=-4
∴
（x-1）（x-3）=0
x-1=0，x-3=0
∴x=1或x=3，即该方程的另一根为3．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，关于x的一元二次方程的一个根为1求得m的值成为解答本题的关键．
20．27
【分析】先设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式，再把代入求出y即可．
【详解】解：根据题意设函数解析式为：，
可有：，
解得：，
∴函数解析式为：，
当时，，
故答案为：27．
【点睛】本题考查一次函数的应用，用待定系数法求一次函数解析式是解答本题的关键．
21．/0.5
【分析】画树状图，共有种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，和，和时，灯泡能发光，画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有种，
（能够让灯泡发光的概率）
故答案为：
【点睛】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．
22．
【分析】设，利用勾股定理及正切函数得出，再由折叠的性质得出，，过点E作于点G，设，由相似三角形的判定和性质得出方程确定，再结合图形求解即可．
【详解】解：∵，，
∴设，
在中，
，
∴，
∵，
∴，
由折叠得：，，
∴，，
如图，过点E作于点G，
  
∴，
设，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查折叠的性质及相似三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
23．
【分析】根据题意可知，在以点为圆心，为半径的圆上，且为直径，分别求出线段与重合，线段与重合，以及在边上，且点与点重合时，的距离，即可得出结论．
【详解】解：由题意，知：在以点为圆心，为半径的圆上，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，且线段的两端点同时落在边上，
∴只能在的同一条边上，
∴当线段与重合时，如图：
  
则：为的中点，
∴，
∴；
当线段与重合时，如图：
  
则为的中点，
∴，
∴；
当在边上，且点与点重合时，如图，
  
此时：点的坐标为：，
则：的坐标为：，
∴，
∴；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是找到临界点，利用两点间的距离公式进行求解．
24．(1)甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是元/个、元/个
(2)最少需要购买甲种分类垃圾桶个

【分析】（1）设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个，根据“用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同”列出分式方程，求解即可；
（2）设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个，根据“用不超过元的资金”列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个，
由题意可知：，
解得，
经检验是所列方程的根且符合题意
（元/个）
答：甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是元/个、元/个；
（2）解：设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个，
由题意可知：，
解得，
答：最少需要购买甲种分类垃圾桶个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．(1)抛物线的表达式为
(2)①或；②的值为

【分析】（1）先根据一次函数求出，，再利用待定系数法即可求解；
（2）设点，，则，可得，①先证明，即有，由，可得，解方程即可求解；②由①知：，根据点M为线段中点，点C，M，O三点在同一直线上，证明，即点M是的中点，进而可得，直线的函数表达式，联立，解得，进而可得，再证明，根据，问题得解．
【详解】（1）直线与抛物线交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．
∴令，则；令，则，
∴，，
将，代入抛物线表达式得，
，解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）设点，，则，
∴，
①∵点C是直线上方抛物线上一点，且轴，轴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴或；
②如图，
  
由①知：，
又∵点M为线段中点，点C，M，O三点在同一直线上，
∴，
∴，，
∵轴、轴，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴点M是的中点，
∴，
∴直线的函数表达式，
，解得，
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
故的值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程以及待定系数法求解二次函数的解析式等知识，掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．
26．(1)见解析
(2)
(3)

【分析】（1）由旋转性质及中点，得四边形是平行四边形，由可证明结论成立；
（2）由（1）的结论及已知，可得M为的中点，证明，求得的长，则由可求得结果；
（3）连接并延长交点H，过G作交于点E，连接，由重心的性质可得，则；取的中点D，连接，则，可确定点G在以点D为圆心、半径为1的圆上运动，当点A、G、D三点共线时，的长最小；过点作于F，则可得，在中，由勾股定理可求得的长，从而求得的长，即可求得面积．
【详解】（1）证明：∵绕点O顺时针旋转得到，点O是边的中点
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形
（2）解：∵四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，即M为的中点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，连接并延长交点H，过G作交于点E，连接，
  
∵，G为的重心，
∴，
∵，，
∴，
则，
取的中点D，连接，则，
∴点G在以点D为圆心、半径为1的圆上运动，
∵，
∴当点A、G、D三点共线时，的长最小，如图，
在中，∵，为的中线，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
过点作于F，
∴
在中，∵，
∴，
由勾股定理得：，解得：，
∴，
∴．
  
【点睛】本题是几何图形的综合问题，考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，重心的性质，等腰三角形的判定等知识，前两问较易，第三问较难，关键是确定点G的运动路径，也是本题的难点．