四川省成都市双流区永安中学2022-2023学年高二下学期零模模拟考试数学试题（含解析）

四川省成都市双流区永安中学2022-2023学年高二下学期零模模拟考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数，则（    ）

A．5 B．3 C．2 D．1

3．在某次历史考试中，在A，B两班各选取5位同学分数的茎叶图如图所示，A，B两班5位同学平均数分别为a或b，则a，b的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．a，b的大小关系不能确定

4．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．－ B．2 C．5 D．8

5．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

6．已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．

7．已知函数的导函数为，若，则（    ）

A． B．1 C． D．2

8．在中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“”是使“”成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的的值为（    ）

A．25 B．45 C．55 D．75

10．把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数（为自然对数的底数，），，分别为函数的极大值点和极小值点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．已知抛物线上有一定点和两动点，当时，点的横坐标取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．设复数满足（为虚数单位），则________.

14．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，每隔45秒再次亮红灯，当你到达路口时，恰是红灯的概率为______.

15．以下是标号分别为①、②、③、④的四幅散点图，它们的样本相关系数分别为，那么相关系数的大小关系为_____（按由小到大的顺序排列）.

16．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是 __．

三、解答题

17．已知函数.

(1)求单调区间；

(2)求在区间上的最值.

18．中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据：

如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”．

(1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；

(2)从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率．

19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值.

20．已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．

21．已知函数，其中为自然对数的底数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若函数有两个零点，证明：.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)若直线与曲线交于两点，求．

参考答案：

1．C

【分析】先求出集合A，B的具体区间，再按照交集的运算规则计算.

【详解】由题意：，，所以；

故选：C.

2．B

【分析】先求，再根据的值带入相应解析式计算即可.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：B

3．C

【分析】读取茎叶图中的数据运用平均数公式计算即可.

【详解】A：；

B：．

所以，

故选：C．

4．C

【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义，平移目标函数即可求解.

【详解】画出可行域如图所示，

由解得，设A(1,2)，

则目标函数，经过点A(1,2)时在y轴上的截距最大，

所以在点A(1,2)处取得最大值

最大值为.

故选：C.

5．C

【分析】根据离心率求出，再根据双曲线的渐近线方程即可得解.

【详解】设双曲线的方程为，

因为，所以，则，

所以渐近线方程为.

故选：C.

6．A

【分析】根据直线方程确定所过的定点，再由定点与圆心的距离即可得圆心C到直线l的最大距离.

【详解】由直线l得：，则直线l恒过定点，

由圆，则圆心，

故圆心C到直线l的最大距离.

故选：A

7．A

【分析】求得，令，即可求解.

【详解】由函数，可得，

令，可得，解得.

故选：A.

8．C

【分析】根据三角形的性质：“大边对大角”和余弦函数的单调性求解.

【详解】如果 ，根据三角形的性质：大边对大角，则有，

对于余弦函数，当时是减函数，，，

即“”是“”的充分条件；

如果，在时是减函数，，

由三角形的性质：大边对大角可知，“”是“”的必要条件；

即“”是“”的充要条件；

故选：C.

9．D

【分析】根据程序框图，模拟程序计算过程，计算每一步的，，的值，直到退出循环，即可求得结果.

【详解】执行程序框图：，，，

，，，继续执行；

，，，继续执行；

，，，继续执行；

，，，继续执行；

，，，继续执行；

，，，退出循环，输出.

故选：D.

10．A

【分析】先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积相等即可得出球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果.

【详解】设实心圆柱的高为，

因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，解得，

则圆柱的体积为，

设球的半径为，则，解得，

因此，该铁球的表面积为.

故选：A.

11．D

【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，从而求出函数的极值点，根据题意得对任意恒成立，转换为，设，利用导数求得函数的单调区间和最值，即可得到结论；

【详解】因为，则，

即，

当时，令得，，，

因为，所以，

当时，；当时，；

当时，；

所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，

所以的极大值点为和极小值点为，

即，，

则，，

依题意，恒成立，得对任意恒成立，

由于此时，所以；

所以，即，

设，则，

令（*）

①当时，，所以，在单调递增，

所以，即，符合题意；

②当时，，设（*）的两根为，且，

则，因此，

则当时，，在单调递增，

所以当时，，即，

所以，矛盾，不合题意；

综上，的取值范围是.

故选：D

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

12．D

【分析】设，根据向量垂直坐标表示得，再根据方程有解列不等式，解得结果.

【详解】设抛物线上两动点的坐标分别为，

，

，，即，

整理可得：,

而、和三点不重合即，所以式子可化成，

整理可得，根据题意可知，关于的方程有实数解，即判别式，得或，

点的横坐标取值范围是，

故选：D.

13．

【分析】求出，进而利用复数的模长性质求出答案.

【详解】，故.

故答案为：

14．/0.4

【分析】根据几何概型的计算公式求解即可.

【详解】解：由题意知红灯的时间为30秒，每隔45秒再次亮红灯，

到达此路口时恰是红灯的概率为

故答案为：

15．

【分析】利用样本相关系数的性质即可判断出的大小关系

【详解】根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，

∴，

又图①②的散点图近似在一条直线上，则图①②两变量的线性相关程度比较高，

图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，

即与比较大，与比较小，∴，

故答案为：.

16．

【分析】由分段函数解析式，可分、、三种情况分别写出与，结合，可得关于的表达式，再由函数的单调性求解的取值范围．

【详解】当时，则，

可得，即，求得，

则，

函数在上递增，；

当时，，

，可知不存在，使得；

当时，则，

由，得，

令，，则，

，，

，则，即，

函数在上单调递增，可得，

即．

综上所述，的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】关键点睛：本题的关键通过分、以及进行讨论，通过构造函数利用其单调性得到范围.

17．(1)单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)最小值为，最大值为4

【分析】（1）先求定义域，再求导，利用导函数的正负求出单调区间；（2）结合第一问求出最小值，再比较端点值求出最大值.

【详解】（1）定义域为R，

，

令得：或，

令得：，

所以单调递增区间为，单调递减区间为

（2）由（1）可知：在处取得极小值，且为最小值，故，

又因为，而，

所以，

所以在区间上的最小值为，最大值为4

18．(1)24.4小时

(2)

【分析】（1）根据平均数计算公式直接计算可得；

（2）列举出所有可能情况，然后由古典概型概率公式可得.

【详解】（1）甲班样本数据的平均值为，

由此估计甲班学生每周平均熬夜时间24小时；

乙班样本数据的平均值为，

由此估计乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时．

（2）由题知，甲班“过度熬夜”的有3人，记为，乙班“过度熬夜”的有2人，记为，

从中任取2人，有，共10种可能，

其中都来自甲班的有，共3种可能，

所以所求概率．

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过求出和面的一个法向量，即可证明结论；

（2）分别求出面和面的法向量，即可求出二面角的余弦值.

【详解】（1）由题意，

在矩形中，，，,

，分别是，的中点，

∴，，

在四棱锥中，面平面，

面面，， ∴面，

面，∴，

取中点，连接，由几何知识得，

∵，∴，

∵面，面，

∴面，

∴

以、、为、、轴建立空间直角坐标系如下图所示，

∴，

∴，面的一个法向量为，

∵，

∴平面.

（2）由题意，（1）及图得，

在面中，，

，

设其法向量为，

则，即，解得：，

当时，，

在面中，其一个法向量为，

设二面角为

∴，

由图象可知二面角为钝角，

∴二面角的余弦值为.

20．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由以及即可求解的值，

（2）联立直线与椭圆的方程，由弦长公式以及点到直线的距离公式即可化简求解.

【详解】（1）由，可得，解得，

又因为，所以，

因为点在椭圆上，所以，

解得，，，所以椭圆的标准方程为．

（2）证明：当与轴重合时，，所以

当不与轴重合时，设，直线的方程为，

由整理得，

则，

故

圆心到直线的距离为，则，

所以，即为定值．

21．(1)单调递增区间为，单调递减区间为

(2)证明见解析

【分析】（1）将代入后得，对其求导，利用导数与函数的单调性即可得解；

（2）由题意得，从而利用分析法将变形为，构造函数，利用导数证得，由此得证.

【详解】（1）当时，的定义域为，

则，

因为，则，所以，

当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）若函数有两个零点，则，

即，两式相减，可得，两式相加得，

要证，只要证，即证，即证，

只须证，即证，即证，

令，则由得，故须证，

令，则，

当时，，所以在上单调递增，

所以当时，，即成立，

故原不等式成立.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．

22．(1)

(2)

【分析】（1）先化参数方程为直角坐标方程，然后将代入整理即可.

（2）联立直线和（1）中的极坐标方程，结合韦达定理求解.

【详解】（1）由可得，

将代入可得，，

整理可得，即为曲线的极坐标方程.

（2）和联立可得，，

设对应得极径分别为，根据韦达定理，，

于是