内蒙古自治区乌兰察布市2022-2023学年高一上学期期中数学试题

2022-2023学年度上学期高一期中考试

数学试卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知，下列正确的结论是（    ）

A.    B.

C.    D.

2.已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ）

A.    B.    C.    D.

3.，则（    ）

A.    B.

C.    D.

4.已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数（    ）

A.2    B.    C.4    D.2或

5.设，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（    ）

A.    B.

C.    D.

6.下列各组函数是同一函数的是（    ）

①与

②与

③与

④与

A.①②    B.①③    C.①④    D.③④

7.的定义域是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.设，则的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列结论中不正确的是（    ）

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若，则

10.下列函数最小值为2的是（    ）

A.    B.

C.    D.

11.已知关于的不等式解集为，则（    ）

A.

B.不等式的解集为

C.

D.不等式的解集为

12.已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（    ）

A.    B.    C.1    D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.

13.已知函数为偶函数，且时，，则__________.

14.函数的最小值为__________.

15.已知全集，集合，如图中阴影部分所表示的集合为__________.

16.命题“”为假命题，则的取值范围为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.计算

（1）

（2）化简.

18.已知全集.

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值范围.

19.已知集合

（1）若集合，求此时实数的值；

（2）已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围.

20.（1）已知，求证：；

（2）已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求的值.

21.如图，长方形表示一张（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点）到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点锯掉一块三角形废料，其中分别在上.设的长分别为分米，分米.

（1）求的值；

（2）为使剩下木板的面积最大，试确定的值；

（3）求剩下木板的外边框长度（的长度之和）的最大值及取得最大值时的值.

22.已知函数为奇函数.

（1）求实数的值；

（2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；

（3）解关于的不等式.

高一数学参考答案

1.A

【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系逐一判断即可.

【详解】解：因为，

所以，，，

故A正确，BCD错误.

故选：A.

2.B

【分析】由偶函数的定义得且a-1=-2a求出a､b，然后求a+b

【详解】∵在[a-1，2a]上是偶函数

∴有：b=0，且a-1=-2a

∴a=

∴a+b=

故选：B

【点睛】本题考查了函数的奇偶性；根据偶函数的定义且定义域关于原点对称求参数值

3.A

【分析】利用补集和交集的定义计算可得结果.

【详解】由已知可得，因此，.

故选：A.

4.A

【分析】根据幂函数的定义求出的值，再讨论函数是否在上是减函数.

【详解】解：幂函数中，

令，得，

解得或；

当时，，函数，在上是减函数，满足题意；

当时，，函数，在上是增函数，不满足题意；

所以实数.

故选：A.

5.B

【详解】A选项中的图像定义域不是，所以A错误；

B选项正确；

C选项中的图像不是函数图像，所以C错误；

D选项中的图像的值域不是，所以D错误.

故选：B.

6.B

【分析】利用函数的三要素：定义域､值域､对应关系即可求解.

【详解】对于①，函数f（x）=-2x-1与g（s）=-2s-1的定义域都是，

对应关系相同，虽然自变量不同，但仍然是同一函数，所以正确；

对于②，函数f（x）=与g（x）=x定义域是，

当f（x）=，对于关系不同，故不是同一函数；

对于③，函数f（x）=与g（x）=定义域均为，

化简f（x）=，g（x）=，故函数为同一函数；

对于④，函数f（x）=x与g（x）=的定义域均为，

但g（x）=，故不是同一函数，

同一函数为①③

故选：B

【点睛】本题考查了函数的三要素，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

7.D

【详解】试题分析：且，故选D.

考点：函数的定义域.

8.D

【分析】将化为，利用指数函数的单调性得，，即可得.

【详解】由指数函数的单调性可得，，

，所以.

故选：D

9.BC

【分析】利用不等式的性质判断选项A；求得不等式的解判断选项B；举反例否定选项C；求得不等式的解判断选项D.

【详解】选项A：若，则，则.判断正确；

选项B：若，则或或.判断错误；

选项C：令，，则.判断错误；

选项D：若，则，则.判断正确.

故选：BC

10.AC

【分析】根据基本不等式的性质运算判断A，B，C，根据函数的取值判断D选项.

【详解】解：对于A，中，所以，当且仅当时，等号成立，故A符合；

对于B，中，所以，当且仅当即时等号成立，故等号不成立，故最小值不为2，故B不符合；

对于C，中，所以，当且仅当，即等号成立，故C符合；

对于D，，当时，，故D不符合.

故选：AC.

11.CD

【分析】利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系及韦达定理，结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】由已知可得，并且是方程的两根，

则由韦达定理可得：，解得，，所以A错误；

选项B：不等式化简为，解得，所以不等式的解集为，所以B错误；

选项C：，所以C正确，

选项D：化简为，解得，所以不等式的解集为，所以D正确，

故选：CD.

12.BCD

【分析】根据减函数的定义，结合一次函数､反比例函数的单调性､分段函数的单调性进行求解判断即可.

【详解】因为函数是上的减函数，

所以有，

选项BCD符合题意，

故选：BCD

13.2

【分析】先求，再根据偶函数求

【详解】因为时，，所以

因为函数为偶函数，所以

故答案为：2

【点睛】本题考查根据偶函数性质求函数值.考查基本分析求解能力，属基础题.

14.3

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意，

，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

15.

【解析】求出全集，，

，图中阴影部分所表示的集合为.

【详解】由题意得全集，

又集合，，

所以，，，

故，，

所以，图中阴影部分所表示的集合为.

故答案为：.

【点睛】本题考查集合的求法，考查交集､补集､Venn图等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

16.

【分析】写出原命题的否定，结合分离参数法以及二次函数的性质来求得的取值范围.

【详解】“，”为假命题，

其否定：，是真命题，

所以在区间上恒成立，

在上递增，最小值为，

所以，即的取值范围是.

故答案为：

17.（1）

（2）

【分析】（1）根据指数幂的运算法则逐步计算即可；

（2）将根式化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则化简即可.

【详解】（1）原式

（2）原式=

18.（1）或.

（2）

【分析】（1）代入化简集合，再利用集合的交并补混合运算即可得到结果；

（2）由得，利用数轴法即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

因为，，所以或，

故或.

（2）因为，所以，

所以，解得，故，

所以实数m的取值范围为.

19.（1）

（2）

【分析】（1），得方程的两根为，，可解出.

（2）由是的充分条件，知，利用集合的包含关系求实数的取值范围.

【详解】（1），

方程的两根为，，

知，解得，

当时，不等式为，

即，解得

此时满足，

故实数的值为；

（2）由是的充分条件，知，

又，

，

因为，所以，则，

由，则有，解得，即，

所以的范围是.

20.（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由不等式的性质证明.

（2）利用韦达定理解决一元二次方程两根的相关问题.

【详解】解：（1）证明：由，，

所以，得，

由，∴，

又，得.

（2）设方程有两个实数根为，则

，，

由已知得，即，

得，即，

解得或.

又由判别式，得，

∴.

21.（1）1

（2）

（3）最大值为分米，此时.

【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据可得出；

（2）利用基本不等式求出的最小值即可；

（3）利用基本不等式求出的最小值即可.

【详解】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，

则，所以，则，

整理可得；

（2）要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小，

因为，则，可得，

当且仅当，即时，等号成立，

所以当时，剩下木板的面积最大；

（3）要使剩下木板的外边框长度最大，则锯掉的边框长度最小，

则，

当且仅当，即时等号成立，

故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时.

22.（1）；

（2）函数在R上单调递减；证明见解析；

（3）.

【分析】（1）根据奇函数的定义即得；

（2）根据函数单调性的定义证明即得；

（3）根据函数的单调性及奇偶性可得，进而即得.

【详解】（1）函数的定义域为R，

因为为奇函数，所以，

所以，

所以，

所以；

（2）函数在R上单调递减；

下面用单调性定义证明：

任取，，且，

则，

因为在R上单调递增，且，

所以，又，

所以，

所以函数在R上单调递减；

（3）因为为奇函数，所以，

由得，，

即，

由（2）可知，函数在R上单调递减，

所以，即，

解得或，

所以t的取值范围为.