内蒙古包头市第四中学2022届高三下学期校内三模理科数学试题（含解析）

这是一份内蒙古包头市第四中学2022届高三下学期校内三模理科数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

内蒙古包头市第四中学2022届高三下学期校内三模理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，，则（    ）
A． B．
C． D．
2．展开式中的常数项是（    ）
A． B． C． D．
3．已知函数的周期为1，则（    ）
A． B．
C． D．
4．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，n阶幻方（，）是由前个正整数组成的一个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数之和为15”为事件A，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件B，则（    ）
8
1
6
3
5
7
4
9
2
A． B． C． D．
5．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高（    ）

A．30m B． C． D．
6．设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ）
A． B． C． D．
8．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（　　）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
9．设，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
10．已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则    
A． B． C． D．
11．设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数
A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b
B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b
C．若ea-2a=eb-3b，则a＞b
D．若ea-2a=eb-3b，则a＜b
12．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．2

二、填空题
13．已知i是虚数单位，若复数满足，则的共轭复数的虚部为 .
14．函数的最小值为 ．
15．某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图，则最优设计方案如图，此时铺设道路的最小总费用为.

现给出该地区可铺设道路的线路图如图，则铺设道路的最小总费用为 ．

16．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，是正方体的其余四个顶点中的一个，则到平面的距离可能是：
①3；    ②4；   ③5；   ④6；   ⑤7
以上结论正确的为 ．（写出所有正确结论的编号）


三、解答题
17．如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E为PD的中点.

（1）证明：平面ACE；
（2）设，，直线PB与平面ABCD所成的角为，求四棱锥的体积.
18．设数列满足，,且对任意，函数 满足
(Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
19．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)已知点，直线与x轴交于点D，直线AM与交于点N，是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.
20．碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内，直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放，实现二氧化碳的“零排放”.碳达峰，是指碳排放进入平台期后，进入平稳下降阶段.简单地说就是让二氧化碳排放量“收支相抵”.中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”减少碳排放，实现碳中和，人人都可出一份力．某中学数学教师组织开展了题为“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”的数学建模活动.实验假设：
①烧开一壶水有诸多因素，本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度，其他因素假设一样；
②由生活常识知，旋转角度很小或很大，一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费，因此旋转角度设定在10°到90°间，建模实验中选取5个代表性数据：18°，36°，54°，72°，90°．
某支数学建模队收集了“烧开一壶水”的实验数据，如下表：
项目
旋转角度
开始烧水时燃气表计数/dm3
水烧开时燃气表计数/dm3
18°
9080
9210
36°
8958
9080
54°
8819
8958
72°
8670
8819
90°
8498
8670
以x表示旋转角度，y表示燃气用量.
(1)用列表法整理数据（x，y）；
x（旋转角度：度）
18
36
54
72
90
y（燃气用量：dm3）





(2)假定x，y线性相关，试求回归直线方程（注：计算结果精确到小数点后三位）
(3)有队员用二次函数进行模拟，得到的函数关系为．求在该模型中，烧开一壶水燃气用量最少时的旋转角度．请用相关指数R2分析二次函数模型与线性回归模型哪种拟合效果更好？（注：计算结果精确到小数点后一位）
参考数据：，，，，
线性回归模型，二次函数模型．
参考公式：，，．
21．已知函数．
(1)当时，证明：在定义域上是增函数；
(2)记是的导函数，，若在内没有极值点，求a的取值范围．（参考数据：，．）
22．以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点M为曲线上的动点，，且满足，点P的轨迹为曲线.
(1)求的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线上，求△面积的最大值.
23．设函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求证：．

参考答案：
1．C
【分析】根据解一元二次不等式的方法、解分式不等式的方法，结合集合交集、补集的定义进行求解即可.
【详解】因为，，所以，
又因为，
所以，
故选：C
2．B
【分析】求出展开式的通项，令的指数等于0，从而可得出答案.
【详解】解：展开式的通项为，
令，则，
所以展开式中的常数项是.
故选：B.
3．A
【分析】利用函数的周期性计算出正确答案.
【详解】函数的周期为，则函数的周期为，
所以，A选项正确.
BCD选项无法判断.
故选：A
4．D
【分析】通过列举法求出事件基本事件的个数，再利用条件概率进行计算.
【详解】根据题意，可知，，
，，
所以，故，
故选：D.
5．D
【分析】在△中有，再应用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.
【详解】由题设知：，

又，
△中，可得，
在△中，，则.
故选：D
6．C
【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】∵A､B､C三点不共线,∴
|+|>|||+|>|-|
|+|2>|-|2•>0与
的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.
【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
7．B
【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，

设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
8．D
【分析】由正态分布的特征，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.
【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误，
故选：D．
9．D
【详解】由题可知函数的周期为则为该函数的两个周期，作函数的图象如下，数列的前项均为正数，第项到项也均为正数，第到项均为负数，第到项也均为负数，，当或时，，而，故，故均是正数.答案为D.
  
【点晴】本题是借助于三角函数的性质考察数列的题型，利用图像将正负值呈现出来，结果不难得出，但在做题的过程中要注意到问题的内容，容易误把数列前项和的正负与数列的项的正负混淆，从而误求为，其实根据三角函数的有关知识和数列的通项公式，可以求出数列的哪些项是正数，哪些项是正数，且可以判断数列的和均为正.
10．C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，取得最小值为，解得.
故选：C.
11．A
【详解】若，必有．
构造函数：，则，
则恒成立，
故有函数在x＞0上单调递增，
所以a＞b成立．故选A．
12．A
【详解】试题分析：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设，椭圆和双曲线的离心率分别为
由余弦定理可得，①
在椭圆中，①化简为即即
在双曲线中，①化简为即即③
联立②③得，
由柯西不等式得即（
即，当且仅当时取等号，故选A
考点：椭圆，双曲线的简单性质，余弦定理

13．
【分析】先利用复数的乘法运算求出，再由共轭复数的定义求解即可．
【详解】解：，
故答案为：.
14．.
【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.
【详解】，
，当时，，
故函数的最小值为．
【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
15．
【分析】以为起点，依次选取费用低的路线即可得到结果.
【详解】根据最优化设计方案，以为起点，依次选取费用低的路线，
应为，
此时铺设道路的最小总费用为.
故答案为：.

16．①③④⑤
【分析】先利用梯形的中位线定理得到中点到平面的距离，再利用三角形中位线定理得到各点到平面的距离，进而可得答案.
【详解】根据题意，如图，，为的中点，，到平面的距离分别为1、2、4，即，
因为，所以，故四边形是梯形，
又，，所以，又为的中点，
由梯形的中位线定理得，
又因为，，所以，又为的中点，
所以在中，由三角形中位线定理得，即到平面的距离为6；

同理：的中点到平面的距离为，所以到平面的距离为5；
的中点到平面的距离为，所以到平面的距离为3；
的中点到平面的距离为，所以到平面的距离为7；
而为中的一点，故到平面的距离可能.
故答案为：①③④⑤．
17．（1）证明见解析；（2）.
【分析】(1) 连接交于点，连接，由三角形的中位线定理可知，结合线面平行的判定定理可证明平面.
(2)由题意可知，再运用锥体体积公式可求得四棱锥的体积.
【详解】（1）连接交于点，连接. 在中，因为，
所以，因为平面，平面，则平面.
（2）因为平面ABCD，所以就是直线PB与平面ABCD所成的角，所以，
又，，所以，
所以四棱锥的体积，
所以四棱锥的体积为.

18．(Ⅰ) （Ⅱ）
【详解】由



所以，
是等差数列.
而

（2）


第（1）题，通过求导以及，能够判断出是等差数列是等差数列，由第（1）题的结论能够写出的通项公式，根据的特征，选择求和的方法，利用分组求和的方法即可求出.
【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和运算能力.

19．(1)且；
(2)存在，理由见解析.

【分析】（1）利用斜率两点式，结合直线斜率之积为定值列方程，即可求M的轨迹为曲线C，注意.
（2）设、直线AM为，联立曲线C，应用韦达定理求坐标，进而应用表示、，结合二倍角正切公式判断与的数量关系，即可得解.
【详解】（1）设，则且，
所以M的轨迹为曲线C方程为且.
（2）设，则直线AM为，
联立曲线C得：，整理得：，
由题设知：，则，故，
又，，
所以，即，
所以存在，使.
20．(1)列表见解析；
(2)；
(3)38.7°，二次函数拟合效果更好.

【分析】（1）根据题中数据直接填表即可；
（2）根据题中所给的数据和公式进行求解即可；
（3）根据题中所给的公式，结合所给的函数关系进行求解判断即可.
【详解】（1）整理数据如图：
x（旋转角度：度）
18
36
54
72
90
y（燃气用量：dm3）
130
122
139
149
172
（2），，，
，
故回归直线方程为；
（3），即旋转角约为38.7°时，烧开一壶水燃气用量最少.
回归直线与二次函数拟合两者关系时，相关指数分别为，，
则，.
因为，所以二次函数拟合效果更好.
21．(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）对函数求导得且，再应用基本不等式求，结合，可确定的符号，即证结论.
（2）对求导得且，将问题转化为或在上恒成立，构造，利用导数研究的单调性，进而求区间值域，即可求a的取值范围．
【详解】（1）由题设，且定义域为，
因为，则，当且仅当时等号成立，而，
所以，时有，故在上是增函数.
（2）由题设，，则且定义域为，
因为在内没有极值点，即或，
所以或在上恒成立，
令，则，当时；
当时，令则，，
所以在上递增，而，
所以在上，故在上递增，而，
综上，在上，即，
所以，在上，即单调递增，则，
故或，即a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：第二问，对求导后，将问题转化为或在上恒成立，并构造函数，利用导数研究单调性求值域.
22．(1)；
(2).

【分析】（1）设出的坐标，由题意得，即，将代入即可得的直角坐标方程；
（2）利用（1）及圆的极坐标方程，设出B的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得△面积的最大值为.
【详解】（1）令，则，即，
∴，
由M为曲线上的动点，且的直角坐标方程为，
∴，则，故.
∴的直角坐标方程：.
（2）设B的极坐标为 （）.由题设知：|OA|=2，，
∴△OAB面积，
当时， S取得最大值.
∴△OAB面积的最大值为.
23．(1)或
(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，可知原不等式等价于，解绝对值不等式即可得到结果；
（2）由题意可知，又，由此，再根据绝对值不等式的性质，即可证明结果.
【详解】（1）解：函数，代入，可得：，
所以，或，
可知x的取值范围是或；
（2）解：因为，所以


．