四川省成都嘉祥外国语学校2024届高三零诊模拟考试数学（文科）试题（含解析）

这是一份四川省成都嘉祥外国语学校2024届高三零诊模拟考试数学（文科）试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

四川省成都嘉祥外国语学校2024届高三零诊模拟考试数学（文科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
2．已知，则复数（    ）
A． B．
C． D．
3．已知，，，则（    ）
A． B．
C． D．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A． B．
C． D．
5．某高山地区的大气压强p（Pa）与海拔高度h（m）近似满足函数关系，其中，是海平面大气压强，已知在该地区甲、乙两处测得的大气压强分别为，，且，那么甲、乙两处的海拔高度之差约为（    ）
（参考数据：）
A．4900m B．5500m C．6200m D．7400m
6．若函数的图象与x轴有三个交点，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C．或 D．
7．已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（    ）
A． B．
C． D．
8．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9
9．已知函数满足：对任意，．当时，，则（    ）
A． B． C． D．
10．已知三棱锥的体积为，其外接球的体积为，若，，则线段SA的长度的最小值为（    ）
A．8 B． C．6 D．
11．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右两支分别于点M，N，且满足，是等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（    ）
A． B．
C． D．
12．如图，在四棱柱中，底面为正方形，底面，，､分别是棱､上的动点，且，则下列结论中正确的是（    ）

A．直线与直线可能异面
B．三棱锥的体积保持不变
C．直线与直线所成角的大小与点的位置有关
D．直线与直线所成角的最大值为

二、填空题
13．2022年北京冬奥会自由式单板滑雪障碍追逐赛（），是每组4名选手在由各种地形障碍构成的赛道上竞速的比赛，由通过终点线的顺序决定排名，每组的前两名将晋级下一轮比赛．假设一组运动员技术水平相同，则运动员，同时晋级的概率为 ．
14．函数的单调递减区间为 ．
15．若数据，，，，，，，，4，6的方差为5，则数据，，，，，，，，3，7的方差为 ．
16．已知函数（），若在上有零点，则实数的取值范围为 ．

三、解答题
17．为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取100名学生，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并估计这100名学生成绩的中位数（精确到0.01）；
(2)在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于80分为“优秀”，竞赛成绩低于80分为“非优秀”．
①请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？
②求出等高条形图需要的数据，并画出等高条形图（按图中“优秀”和“非优秀”所对应阴影线画），利用条形图判断竞赛成绩优秀与性别是否有关系？
列联表

优秀
非优秀
合计
男生
10


女生


50
合计


100
参考公式及数据：，，

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)求函数在区间的最大值．
19．如图所示在直三棱柱中，，是边长为4的等边三角形，D、E、F分别为棱、、的中点，点P在棱BC上，且．

(1)证明：∥平面DCE；
(2)求点D到平面CEF的距离．
20．已知椭圆()的离心率为，其右焦点为F，点，且．
(1)求C的方程；
(2)过点P且斜率为()的直线l与椭圆C交于A、B两点，过A、B分别作y轴的垂线，垂足为M、N，直线AN与直线交于点E，证明：B、M、E三点共线．
21．已知函数．
(1)若函数为增函数，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个极值点、．求证：．
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
(1)求的普通方程和的直角坐标方程；
(2)过上一点P作的一条切线l，切点为Q，当最小时，求△外接圆的参数方程．

参考答案：
1．D
【分析】根据交集的定义计算即可.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：D.
2．B
【分析】直接根据复数的除法运算即可得结果.
【详解】因为，
所以，
故选：B.
3．D
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，，故.
故选：D.
4．C
【分析】根据三视图判断出该几何体为圆柱体的即可求解.
【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为，高为的圆柱体的，
其表面积为，
故选：.
5．B
【分析】根据已知列式，由幂的运算化简，然后转化为对数式可得.
【详解】记甲、乙两处的海拔高度分别为，则由题可知：
，则m
故选：B
6．D
【分析】利用导数求的极值，根据函数图象与x轴有三个交点判断极值的符号列不等式组，求a的范围.
【详解】由，则时，
当时，，递增；当时，，递减；当时，，递增；
所以极大值为，极小值为，且趋向负无穷为负无穷大，趋向正无穷为正无穷大，
要使与x轴有三个交点，只需，即.
故选：D
7．A
【分析】设点、，则，利用点差法可求得直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】设点、，则，
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，则直线的斜率存在，
由已知，两式作差可得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：A.
8．A
【分析】执行程序框图，写出每一次循环，的值，当，不成立，从而输出的值.
【详解】执行程序框图，有，，满足条件；
满足条件，，，满足条件；
满足条件，，，满足条件；
满足条件，，，满足条件；
满足条件，，，满足条件；
满足条件，，，满足条件；
满足条件，，，满足条件；
不满足条件，，满足条件；
不满足条件，，满足条件；
不满足条件，，满足条件；
不满足条件，，不满足条件；
输出.
故选：A
9．C
【分析】根据可得，，则，将代入解析式，即可求解.
【详解】因为，
则，即，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：C
10．B
【分析】作出三棱锥的高，是球心，是所在截面圆圆心，由球体积求得球半径，由已知求得面积，截面圆的半径，由棱锥体积求得高，计算出，得点轨迹是圆，从而由点与圆的位置关系可求得的最小值，即得的最小值．
【详解】如图，是所在截面圆圆心,是球心，平面，
平面，为垂足，连接，则，，则，
，，则，
，，
，由得，
由球体积得，，即，
，
在直角梯形中，，
即在以为圆心，3为半径的圆上，
，所以．
故选：B．

11．C
【分析】由双曲线的定义求出用表示的，，然后由余弦定理得出关系，再转化为，得渐近线方程．
【详解】设，由得，从而，又，所以，
又，所以，，
中，由余弦定理得，，
所以，，渐近线方程为，
故选：C．
12．B
【分析】A选项，证明出四边形为平行四边形，得到直线与直线一定相交；B选项，作出辅助线，将三棱柱体积分为两部分，证明出体积为定值；C选项，证明出线面垂直，得到线线垂直，确定直线与直线所成角的大小与点的位置无关；D选项，作出辅助线，得到，其中NH为定值，求出HM最大值为，得到直线与直线所成角的最大值不为.
【详解】连接NC，MC，因为四棱柱中，
，底面为正方形，底面
显然四边形为平行四边形，
所以直线与直线一定相交，A错误；

连接，取的中点O，连接NO，MO，
因为，，由三线合一可知：，，
因为，所以平面MON，
，
设四边形的面积为S，则为定值，
故为定值，
三棱锥的体积保持不变，B正确；

连接BD，，
因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
又底面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为，所以AC⊥，
因为MN平面，
所以AC⊥MN，
直线与直线所成角的大小与点的位置无关，C错误；

过点N作NH∥AD交于点H，连接HM，
则为直线与直线的夹角，且，
其中，其中为定值，
故要想直线与直线所成角的最大，只需HM最大，
设正方形边长为a，则HN=a，
显然当N与点重合，M与B重合时，HM最大，最大值为，
此时，故D错误.

故选：B
13．
【分析】利用古典概型的概率求解.
【详解】设4名运动员为，
由已知获得前两名的事件为：，，，，，共6种情况，
运动员，获前两名为共1种情况，
所以运动员，同时晋级的概率为，
故答案为：
14．
【分析】利用导数求出的单调区间，从而可求出函数的减区间
【详解】当时，，则其在上递减，
当时，，则，
当时，，所以在上递减，
综上，的单调递减区间为，
故答案为：
15．5.6/
【分析】根据方差公式即可解出．
【详解】设数据，，，，，，，，4，6的平均数为，则数据，，，，，，，，3，7的平均数为，
所以，即有
，
因此数据，，，，，，，，3，7的方差为

．
故答案为：
16．
【分析】将条件转化为在上有解，令、并利用导数研究它们在上的单调性和最值，注意最值对应的自变量，结合即可求m的范围.
【详解】若，则，
令且，则，故上，上，
所以在上递增，在上递减，故；
令且，则，故上，上，
所以在上递减，在上递增，故；
要使在上有零点，只需，可得.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：将问题转化为求、在上的单调性及最值，根据能成立求参数范围.
17．(1)平均成绩73，中位数73.33；
(2)①表格见解析，没有；②答案见解析，有.

【分析】（1）根据频率直方图，结合平均数和中位数的性质进行求解即可；
（2）①根据频率直方图完成列联表，结合题中所给的公式进行求解即可；
②根据列联表画出等高条形图，再做出判断即可.
【详解】（1）这100名学生的平均成绩：
，
设成绩的中位数为，则根据频率分布直方图可知，有，
解得；
（2）①根据表中已知数据和频率分布直方图得下表

优秀
非优秀
合计
男生
10
40
50
女生
20
30
50
合计
30
70
100
根据表中数据可得，
因为4.762＜6.635，所以没有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”．
②根据列联表中数据可知，样本中男生优秀的频率为，男生非优秀的频率为；女生优秀的频率，女生非优秀的频率为．
所画等高条形图如图所示：

根据等高条形图，比较图中两个用斜纹实线所画条的高可以发现，女生样本中成绩优秀的频率明显高于男生样本中成绩优秀的频率，因此可以认为竞赛成绩优秀与性别有关．
18．(1)函数在单调递增，在单调递减
(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）求导，由，求解；
（2）根据（1）的结论，分，，，讨论求解.
【详解】（1）解：，
当或时，；
当时，；
∴函数在单调递增，在单调递减；
（2）由（1）知当，函数在区间单调递减，
∴，
当，函数在区间单调递减，在单调递增，
，

①当时，，∴，
②当时，，∴，
当时，函数在区间单调递增，
∴
综上所述，当时，，
当时，
19．(1)证明见解析；
(2)．

【分析】(1)取BC的中点O，连接DO，取CD的中点Q，连接PQ、EQ，证明四边形AEQP为平行四边形即可；
(2)连接DF，AO，设D到平面CEF的距离为d，利用等体积法即可求d．
【详解】（1）如图，取BC的中点O，连接DO，取CD的中点Q，连接PQ，EQ．
∵，∴，
∴，．
∵，，∴，．
∴四边形AEQP为平行四边形，∴，
∵平面DCE，平面DCE，
∴平面DCE；
（2）连接DF，AO，易知．
∵平面ABC，平面ABC，∴．
易知，，∴平面．
易知∥平面，故E到平面的距离等于AO．
∵，
∴．
∵，，
∴．
设点D到平面CEF的距离为d，
则由，得，
解得．

20．(1)；
(2)证明见解析﹒

【分析】(1)根据可求c，根据离心率可求a，再根据a、b、c关系可求b，从而可求C的方程；
(2)设，.联立l方程和椭圆方程得根与系数的关系，联立AN方程与y=3求出E的坐标，验证即可证明B、M、E三点共线．
【详解】（1）设()，由题意知，∴．
∵点，且，解得，
∴，，
因此C的方程为．
（2）由题意可知，直线l的方程为．
由得，
设，，则，．
∵轴，∴，∴直线，
令，得．
∵轴，∴．
∴



，
∴B，M，E三点共线．
21．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）分析可知在上恒成立，可得出，结合导数可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围；
（2）分析可知，由已知可得出，可将所证不等式变形为，由两式作差得，令，则，，即证，令，其中，利用导数证明出.
【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，
，
若函数为增函数，则恒成立．
令，，令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，故，
所以，，因此．
（2）解：因为函数有两个极值点、，即方程有两个不等的实根、，
因为在上递减，在上递增，所以，，
即、是的两个根，
所以，则，
所以，
，
即证，即证．
由两式作差得，
令，则，，
即只需证，即证．
令，其中，则，
故在区间上单调递减，当时，，命题得证．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22．(1)，
(2)（为参数）

【分析】（1）消去参数即可得到的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化关系即可得到的直角坐标方程；
（2）由已知条件得,则当最小，也最小，最小时，，即可求出直线的方程，利用几何性质即可求出△外接圆的参数方程.
【详解】（1）由消去t得的普通方程为，
因为，
所以，
所以，
即的直角坐标方程为．
（2）由圆的切线的性质可知，当时，最小，也最小．
此时直线的斜率为，因为，所以直线的方程为．
由，得，
所以的中点坐标为，，
所以△外接圆的参数方程为（为参数）．