2023年河南省信阳市潢川县中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年河南省信阳市潢川县中考一模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河南省信阳市潢川县中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在实数中，最小的数是（  ）
A． B． C．0 D．
2．“十三五”期间，河南将安排40.27亿元资金支持郑州大学．河南大学“双一流”建设．数据“40.27亿”用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
3．如图是一个圆锥，它的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．不存在
4．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，其中记载：“今有共买物人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”译文：“几个人去购买物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱问有多少人，物品的价格是多少”？设有m人，物品价格是n钱，下列四个等式：①8m+3＝7m﹣4；②=；③=;④8m﹣3＝7m+4，其中正确的是（　　）

A．①② B．②④ C．②③ D．③④
6．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．下列图象中，函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD的边长为5，E是AD边上一点，AE＝3，动点P由点D向点C运动，速度为每秒2个单位长度，EP的垂直平分线交AB于M，交CD于N．设运动时间为t秒，当PM∥BC时，t的值为（　　）

A． B．2 C． D．
9．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，则a的取值范围是（    ）

A．a＜0 B．－3＜a＜0 C． D．
10．如图，中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点为中点时，的长为（   ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为 ．
12．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点D．若点D到的距离为1，则的长为 ．

13．若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 （用号连接）．
14．如图，正五边形的边长为1，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
  
15．在正方形，点E在上，，，连接，F是的中点，点G在上，且，则 ．
  

三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．某区举办了一次安全知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
【收集数据】
从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：
甲：30    60    60    70    60    80    30    90    100    60
60    100    80    60    70    60    60    90    60    60
乙：80    90    40    60    80    80    90    40    80    50
80    70    70    70    70    60    80    50    80    80
【整理、描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
学校



甲
2
14
4
乙
4
14
2
（说明：优秀成绩为，良好成绩为，合格成绩为
【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如下表所示：
学校
平均分
中位数
众数
甲
67
60
60
乙
70
75
a
其中____________．
【得出结论】
（1）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是__________校的学生；（填“甲”或“乙”）
（2）张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为__________；
（3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
18．如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接．

(1)求证：；
(2)连接，，当__________时，四边形为菱形；
(3)若，，则__________．
19．小明想要测量如图所示的大树的高度，从树的底部处沿方向走米到了坡比为的斜坡坡底处，再沿斜坡向上走米到处，测得大树顶部的仰角为，小明的身高米，求树高．（精确到米，参考数据：，，）

20．开学前夕，某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费125元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋各4个共花费90元．
（1）求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；
（2）若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
21．如图，拋物线与直线交x轴于点A，交y轴于点B．

(1)求拋物线的解析式；
(2)当时，请求出y的最大值和最小值；
(3)以为边作矩形，设点C的横坐标为m．当边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
22．参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．
x
…


0

1

2

3

4
5
6
…

…



4
2

1






…

…



m



4
2

1


…
(1)__________________．
(2)请画出函数的图象；
(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”）
②的图象是由的图象向__________平移__________个单位长度而得到的；
③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标）
23．在中，，，点D，E分别是和边上的动点，且，于点F，交于点G．
  
(1)如图1，当点D为的中点时，请直接写出与的数量关系：__________；
(2)当D，E两点运动到图2所示的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)若，当时，请直接写出的长度：__________．

参考答案：
1．A
【分析】根据正数大于0，0大于负数进行比较即可解答．
【详解】解：，
最小的数是，
故选：．
【点睛】本题考查实数的大小比较；注意应熟记常见无理数的约值，如果遇到未化简的题目应先化简在比较大小．
2．C
【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．因为40.27亿＝，所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数.本题小数点往左移动到4的后面，所以=9．
【详解】解：40.27亿
故选C．
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
3．C
【分析】先判断圆锥的三视图，然后结合中心对称及轴对称的定义进行判断即可．
【详解】解：圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
圆锥的左视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
圆锥的俯视图是圆，是轴对称图形，也是中心对称图形；
故选C．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图、轴对称及中心对称的定义，解答本题关键是判断出圆锥的三视图．
4．C
【分析】根据幂的乘方、合并同类项、负整数指数幂、绝对值的意义分别进行判断即可．
【详解】解：A.，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C正确；
D.，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查积的乘方、合并同类项、负整数指数幂、绝对值的意义，解题关键是熟练掌握上述知识点．
5．D
【分析】根据钱数可以列出相应的方程或者根据人数列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】由题意可得，
8m﹣3＝7m+4，故①错误，④正确，，故②错误，③正确，
故选D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
6．A
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【详解】画树状图如下：

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为，
故选A．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
7．B
【分析】分别根据一次函数和反比例函数的图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：当时，函数的图象在第一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
当时，函数的图象在第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，
选项B正确，符合题意.
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质是解答的关键．
8．B
【分析】连接ME，根据已知MN垂直平分PE，故根据垂直平分线定理可得ME=MP，当MP∥BC时，四边形BCPM是矩形，BC＝MP＝5，在直角△AEM中可求得AM=4，即DP=4，即可解出本题.
【详解】如图，连接ME，
∵MN垂直平分PE，
∴MP＝ME，
当MP∥BC时，四边形BCPM是矩形，
∴BC＝MP＝5，
∴ME＝5，
又∵AE＝3，
∴AM＝4＝DP，
∴t＝4÷2＝2（s），
故选B．

【点睛】本题考查了正方形中的简单动点问题，解决本题的关键是灵活利用垂直平分线的性质求线段长度，从而求得动点运动的路程及时间.
9．B
【分析】根据图象得出a<0,b<0,由抛物线与x轴交于A(1,0),与y轴交于点B (0,3),得出a+b=-3,得出-3 【详解】根据图象得:a<0,b<0,
∵抛物线与x轴交于A(1,0),与y轴交于点B (0,3),
,
∴a+b=-3,
∵b<0,
∴-3 故选B.
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是正确获取图象的信息.
10．D
【分析】通过观察图可以得出，，，由勾股定理可以求出的值，从而得出，，当为的中点时，由勾股定理求出长度．
【详解】解：因为点是从点出发的，为初始点，
观察图象时，则，从向移动的过程中，是不断增加的，
而从向移动的过程中，是不断减少的，
因此转折点为点，运动到点时，即时，，此时，
即，，，，
，
由勾股定理得：，
解得：，
，，
当点为中点时，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
11．1
【分析】根据一元二次方程解得的定义将代入方程计算即可；
【详解】解：∴一元二次方程有一个根为1，
∴，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程解得的定义，能够使得方程两边成立的未知数的值是方程的解，熟练掌握方程解的定义是解题的关键．
12．
【分析】过点D作于点E，由尺规作图AD平分，可求，然后证明∠EDB=∠B，可得DE=BE=1，在Rt△DEB中，由勾股定理得出， 即可得出答案．
【详解】解:过点D作于点E，
由作图步骤知，AD平分，
，点D到的距离为1，

∵
∴∠B=∠CAB=45°，
∴∠EDB=180°-∠DEB-∠B=45°=∠B，
∴DE=BE=1，
在Rt△DEB中，由勾股定理
∴BC=DC+BD=1+．
故答案为1+．

【点睛】本题考查角平分线尺规作图，角平分线性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，掌握角平分线尺规作图，角平分线性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理是解题关键．
13．
【分析】先根据反比例函数中k<0，判断函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，k<0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵−3＜−2＜0，
∴点A（−3，y1），B（−2，y2）位于第二象限，
∴0＜y1＜y2，
∵1＞0，
∴点C（1，y3）位于第四象限，
∴y3<0，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，属于常考题．
14．
【分析】连接，，由，得，求出，根据公式求出，即可得到阴影面积．
【详解】如图，连接，，
由题意，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
  
【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正多边形的性质，正确理解图形面积的计算方法连接辅助线是解题的关键．
15．
【分析】延长交的延长线于点，过点作于点，根据勾股定理得到，，根据相似三角形的性质得到，根据三角形函数的定义得到，设，则，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】延长交的延长线于点，过点作于点，
在中，，，
，
，
，，
，，
，
设，则，
，
，，
，
即，
，
故答案：．  
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地做出辅助线是解题的关键．
16．（1）-3；（2）1
【分析】（1）先计算各个部分，然后再进行加减运算；
（2）先利用平方差和完全平方公式化简减号右边的式子，再与减号左边的式子进行化简即可．
【详解】（1）原式；
（2）原式



＝1．
【点睛】本题考查实数的混合运算，分式的化简，特殊角的三角函数值．（1）掌握二次根式、负整数指数幂运算、绝对值、三角函数的知识点是解答本题的关键．（2）掌握分式化简的方法是解答本题的关键．
17．分析数据：80；得出结论：（1）甲；（2）；（3）乙，见解析
【分析】分析数据：众数的定义是在一组数据中出现次数最多的那个数，据此求解；
得出结论：（1）根据中位数的定义和两校成绩的中位数即可求解；
（2）根据概率公式计算即可；
（3）从中位数和平均数两方面说明即可．
【详解】解：【分析数据】乙校的20名同学的成绩中40分、50分、60分的人数各2人，70分的有4人，80分的有8人，90分的有2人，
80分出现次数最多，有8次，
.众数为80分，即；
【得出结论】（1）甲校的中位数为60分，小明同学的成绩高于此学校的中位数，
由表中数据可知小明是甲校的学生，
故答案为：甲；
（2）估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为，
故答案为：；
（3）乙校的平均分高于甲校的平均分，且乙校的中位数75高于甲校的中位数60，说明乙校分数不低于70分的人数比甲校多，
乙校的成绩较好．
【点睛】本题考查了频数（率）分布表，众数、中位数、平均数以及简单概率，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
(3)

【分析】（1）设，在圆内接四边形中，，则，得出，即可得证；
（2）根据四边形为菱形，得出，进而得出为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解；
（3）连接在，中，勾股定理分别求得，在在中，根据斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】（1）证明：，
设．
在圆内接四边形中，．
．
．
；
（2）若四边形为菱形，则．
．
同理．
．
．
．
为等边三角形．
故答案为：．
（3）如图，连接，，
．
在中，．
在中，．
如图，连接，则．
．
在中，．
  
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．18米
【分析】作于点，延长交的延长线于，先解直角三角形，求出，，再根据锐角三角形函数定义求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，作于点，延长交的延长线于点，

，
在中，，
设，则，
，解得，
，，
在矩形中，，，
在中，，
，
，
答：树高约为18米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度问题，根据题意做出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．（1）购进A品牌文具袋的单价为10元，购进B品牌文具袋的单价为15元；（2）①y＝800﹣6x；②购进A品牌文具袋50个，B品牌文具袋50个时所获利润最大，利润最大为500元．
【分析】（1）设购进A品牌文具袋的单价为x元，购进B品牌文具袋的单价为y元，列出方程组求解即可；
（2）①把（1）得出的数据代入即可解答；②根据题意可以得到x的取值范围，然后根据一次函数的性质即可求得y的最大值和相应的进货方案．
【详解】解：（1）设购进A品牌文具袋的单价为x元，购进B品牌文具袋的单价为y元，根据题意得，
解得，
所以购进A品牌文具袋的单价为10元，购进B品牌文具袋的单价为15元；
（2）①由题意可得，
y＝（12﹣10）x+（23﹣15）（100﹣x）＝800﹣6x；
②由题意可得，
﹣6x+800≤40%[10x+15（100﹣x）]，
解得：x≥50，
又由①得：y＝﹣6x+800，k＝﹣6＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝50时，y达到最大值，即最大利润y＝﹣50×6+800＝500元，
此时100﹣x＝100﹣50＝50个，
答：购进A品牌文具袋50个，B品牌文具袋50个时所获利润最大，利润最大为500元．
【点睛】本题综合考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用及一元一次不等式的相关知识，找出函数的等量关系及掌握解不等式得相关知识是解决本题的关键．
21．(1)
(2)最大值为9，最小值为-7
(3)，且

【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先确定抛物线的顶点，再根据二次函数的性质结合x的范围即可解答；
（3）先求出直线与抛物线的交点，再结合极值情况以及函数的图象解答即可．
【详解】（1）直线交轴于点，交轴于点，
点的坐标为，点的坐标为.
抛物线经过，两点，
解得
抛物线的解析式为：；
（2），
顶点，
，
当时，，
当时，；当时，.
；
（3）设直线交抛物线的另一点于，

，点的坐标为，
的解析式：.
当时，
解得（舍去），.
.
设直线交抛物线的另一点于，
同理可求的解析式：，
当时，
解得（舍去），，
，
当点与点重合时，与抛物线有一个交点，此时；
当点与点重合时，与抛物线有一个交点，此时；
不与重合，
．
综上所述：当，且时，边与抛物线只有一个公共点．
【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、一次函数与二次函数的交点以及矩形的性质等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
22．(1)
(2)见解析
(3)①减小；②右；2；③

【分析】（1）把代入函数即可解答；
（2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可；
（3）数形结合，观察函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入，
得，
∴，
故答案为；
（2）函数图象如图所示：

（3）解：①当时，随的增大而减小；
②的图象是由的图象向右平移2个单位长度而得到的；
③图象关于点中心对称；
故答案为：①减小；②右；2；③．
【点睛】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得到函数性质．
23．(1)
(2)成立，见解析
(3)

【分析】（1）通过证明，再由等腰三角形的性质分析求证；
（2）先证四边形为平行四边形，可得，可证，可得，由等腰直角三角形的性质可求解；
（3）先求出的长，由（2）的结论可求解．
【详解】（1）解：连接，
  
∵点D为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下：
如图1，过点作且使
  
，
.
，，
.
.
四边形为平行四边形.
.
由，可得
.
又∵，，
∴.
.
且，
.
；
（3）解：如图2，设，则，
    

.
，解得.

由（2）知
故答案为：．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．