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热点专测专练03 球的切接及几何体的体积与面积-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）
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这是一份热点专测专练03 球的切接及几何体的体积与面积-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册），文件包含热点专测专练03球的切接及几何体的体积与面积解析版docx、热点专测专练03球的切接及几何体的体积与面积原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
热点专测专练：球的切接及几何体的体积与面积
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求得圆台的高，然后根据圆台的体积公式求得正确答案.
【详解】求得直径为，半径为，
圆台的下底面半径为，所以圆台的高为，
所以圆台的体积为.
故选：A
2．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得圆锥的底面半径，进而求得圆锥的表面积.
【详解】依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形，
所以圆锥的底面半径为，
所以圆锥的表面积为.
故选：B
3．（2023·全国·模拟预测）若等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的外接球的表面积为，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件求出外接球的半径，等边圆柱的底面半径，进而求出结果.
【详解】设该圆柱的外接球的半径为，
则外接球的表面积，故．
设等边圆柱的底面半径为，
则圆柱的高，又，故，
则该圆柱的体积．
故选：C．
4．（2023秋·青海西宁·高二统考期末）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设圆锥的母线为，底面半径为.由已知可得，进而根据圆锥的面积公式可求出，即可得出答案.
【详解】设圆锥的母线为，底面半径为.
圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形的半径为，弧长为，
由已知可得，，所以.
所以，圆锥的表面积，所以，
所以，这个圆锥的底面直径为.
故选：B.
5．（2022·全国·模拟预测）某个用橡皮泥捏成的圆锥的侧面积为，底面积为，底面半径为r，且，若用这些橡皮泥重新捏成一个圆柱，该圆柱的底面半径为r，高为h，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据可以算出圆锥的母线和高，进而求出结果.
【详解】设圆锥母线长为l，高为，则，所以，所以，
因为圆锥和圆柱体积相同，所以，解得．
故选：C.
6．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造一个长方体，四面体四个顶点在长方体顶点上，利用长方体的对角线为外接球直径求解即可.
【详解】设四面体的外接球的半径为,
则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，
则 故，
故四面体ABCD外接球的体积为，
故选：C
7．（2023秋·天津河北·高三统考期末）已知球为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为，且球的表面积为，则这个正三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用球的表面积公式可求得，根据正棱柱的外接球半径满足可构造方程求得正棱柱的高，代入棱柱体积公式可求得结果.
【详解】设正三棱柱的高为，球的半径为，
球的表面积，解得：，
正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，
的外接圆半径，
，解得：，
.
故选：B.
8．（2023·全国·模拟预测）如图所示，已知三棱锥中，底面为等腰直角三角形，斜边，侧面为正三角形，D为的中点，底面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设三棱锥外接球的球心为O，确定球心的位置，即球心落在过底面外心的垂线上，利用图形的几何性质求得外接球半径，即可求得答案.
【详解】如图，设E是的中点，连接，D为的中点，故,
底面为等腰直角三角形，即,故；
设三棱锥外接球的球心为O，
连接，
因为底面为等腰直角三角形，E是的中点，
即E为的外心，故平面,
在等腰直角三角形中，斜边，则.
因为是正三角形，所以，
因为，所以三棱锥是正三棱锥，
所以O在底面上的射影F是的重心，
则点F在上，所以.
因为底面，故,
而底面，故,
又因为，平面,故平面，
而平面,故,
故四边形是矩形，所以，所以，
所以三棱锥外接球的半径，其表面积为，
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知圆锥SO（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为3，底面半径为．若P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆锥SO的侧面积为
B．SPQ面积的最大值为
C．三棱锥O-SPQ体积的最大值为
D．圆锥SO的内切球的体积为
【答案】AC
【分析】A选项，圆锥的侧面展开图为扇形，母线为扇形半径，底面圆周长为扇形弧长，据此可得圆锥的侧面积；
B选项，当最大时，SPQ面积最大；
C选项，当面积最大时，三棱锥O-SPQ体积最大；
D选项，由圆锥的轴截面图可求得圆锥内切球的半径.
【详解】A选项，因底面半径为，则底面圆周长为，则侧面展开扇形的圆心角为：，则侧面积为：.故A正确；
B选项，当最大，即时，SPQ面积最大.
则SPQ面积最大值为：，故B错误；
C选项，，则当时，取最大值
，又，则三棱锥O-SPQ体积的最大值为：.故C正确；
D选项，如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径，
设内切球半径为，内切球球心为I，连接.则
.则内切球体积为：.故D错误.
故选：AC
10．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，平面，直线与所成的角的余弦值为，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 B．
C．三棱锥的外接球的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】AC
【分析】根据线面垂直性质定理可得，，再利用线面垂直的判定定理即可证明A正确；即可得三条线两两垂直，由异面直线夹角可得，即B错误；通过构造长方体计算可得三棱锥的外接球半径为，即可得出体积和表面积，可判断C正确，D错误.
【详解】根据题意，因为平面，，平面，所以，，
又四边形是矩形，所以，
平面，平面，且，所以平面.
即A正确；
可得平面，，ABC两两垂直，所以三棱锥外接球的直径等于，
又，所以直线与所成的角等于直线与BC所成的角或其补角，
所以，由可得，所以B错误；
设三棱锥的外接球的半径为，则满足，
所以；
所以三棱锥的外接球的体积为,表面积为.
所以C正确，D错误.
故选：AC.
11．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，且与正方体的内切球（为球心）交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段的长为
B．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为
C．三棱锥的体积为
D．设为球上任意一点，则与所成角的范围是
【答案】BC
【分析】过，，三点的截面为正六边形，球心为其中心，作出图形在正六边形中求出判断A，求出正六边形面积判断B，由等体积法求出三棱锥体积判断C，分析与所成角的最大最小值判断D.
【详解】过，，三点的截面为正六边形，球心为其中心，如图，
在正六边形中，，点到的距离为，，
所以，故A错误；
正六边形的面积，故B正确；，故C正确；
、、为球的切线，故当为中点时，与所成角最小为0，
，所以，
当与球相切且P在平面OAC内时，为或的中点时，与所成角最大为，故D错误.
故选：BC.
12．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知四棱锥，它的各条棱长均为2，则下面说法正确的是（ ）
A．其外接球的表面积为
B．其内切球的半径为
C．侧面与底面所成角的余弦值为
D．不相邻的两个侧面所成角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】连接，，且交于，连接，根据题意可得是四棱锥外接球的球心，是其半径，代入即可计算其外接球的表面积，从而即可判断A；利用等体积公式，即可求内切球的半径，从而即可判断B；取的中点，连接，，先证明是侧面与底面所成角，即可求得侧面与底面所成角的余弦值，从而即可判断C；再取的中点，连接，，显然是平面与平面所成的角，再结合余弦定理求解即可判断D．
【详解】对于A，连接，，且交于，连接，
又四棱锥的各条棱长均为2，
则，
所以四棱锥的外接球的球心，半径为，
所以四棱锥的外接球的表面积为，故A正确；
对于B，设内切球的半径为，
则，
即，解得，故B错误；
对于C，根据题意不妨求侧面与底面所成角的余弦值，
取的中点，连接，，
结合选项A，可知，且平面平面，
所以是侧面与底面所成角，
又，，所以，
即侧面与底面所成角的余弦值为，故C正确；
对于D，根据题意不妨求平面与平面所成的角的余弦值，
过点作，且作的中点，
结合A选项，再取的中点，连接，，
则，，
又平面平面，
所以是平面与平面所成的角，
又，，
所以根据余弦定理得，
所以不相邻的两个侧面所成角的余弦值为，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查几何体的“内切”，“外接”球问题，二面角，余弦定理等，其中选项B是根据等体积法求得四棱锥内切球的半径，选项C，D是根据找到二面角的平面角来求解，具有一定的综合性．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023·陕西安康·统考二模）已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则圆锥的侧面积为______．
【答案】
【分析】直接根据圆锥的侧面积公式计算即可.
【详解】.
故答案为：.
14．（2023·四川泸州·统考二模）已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，若该圆柱的高是底面半径的2倍，则该圆柱的侧面积为________．
【答案】
【分析】根据题意求出球体的半径，再利用勾股定理圆柱的底面半径与高，从而求圆柱的表面积即可.
【详解】设圆柱外接球半径为，圆柱的底面半径为，则其高为，
由圆柱的性质得，外接球球心在上下底面圆心连线的中点处，则，
因为球的表面积为，所以，则，
又因为，即，所以，则，
所以圆柱的侧面积为：.
故答案为：.
.
15．（2021·陕西西安·统考二模）已知圆锥的底面半径为3，侧面母线长为5，设该圆锥内半径最大的球的体积为，圆锥的体积为，则______.
【答案】
【分析】根据纵截面图求解内切球半径，再分别求得与即可.
【详解】由题知，该圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球，
过圆锥顶点与底面圆直径作纵截面，
易得圆锥高为.故纵截面面积.
故设内切球半径.
故，.
故.
故答案为：.
16．（2023·宁夏银川·银川二中校考一模）把一个棱长都是6的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心）每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截面，将正四棱锥截去四个小正四面体和一个小正四棱锥（如图所示），则剩下的几何体的外接球的表面积等于_____________．
【答案】
【分析】先说明正四棱锥和剩下的几何体的外接球球心重合，再通过解三角形求出外接球半径，结合球的表面积公式即可求得答案．
【详解】设正四棱锥底面的正方形为，顶点为，棱的三等分点为点和点，棱的三等分点为点和点，连接与交于点，连接，，，，，则底面，如图所示，
因为正四棱锥的棱长是6，即，
所以，
所以，
即，
所以正四棱锥的外接球的球心为点，，
又因为，，，
所以，则,
同理可证，则,
又因为，，，
所以，则，
同理可证出该几何体其他顶点到点的距离都相等，
故剩下的几何体的外接球的球心也为点，
，
所以在中，，
解得，
即剩下的几何体的外接球的半径为，
故剩下的几何体的外接球的表面积：，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023·全国·高一专题练习）已知圆柱的体积为，侧面积为．
(1)求圆柱底面圆的半径和圆柱母线的长；
(2)以上底面圆的圆心和下底面圆构成圆锥，求此圆锥的表面积．
【答案】(1)半径1，母线的长2；
(2)．
【分析】（1）根据题意结合棱柱的体积公式，侧面积公式，即可求出圆柱底面圆的半径和圆柱母线的长；
（2）由（1）知，圆锥的底面半径和母线，表面积即可求出．
【详解】（1）设圆柱底面圆的半径为，母线的长为，
由圆柱的体积为，侧面积为得：
，
圆柱底面圆的半径为1，母线的长2.
（2）由（1）知，圆锥底面圆的半径为1，圆锥的高为2，
所以圆锥的母线长为：，
所以圆锥的表面积为：．
18．（2023春·全国·高一专题练习）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm，圆柱筒高为3cm.
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？
【答案】(1)
(2)26400克
【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；
（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解出一个的表面积，然后乘以3000得总面积，按照规定再乘以0.1即可解决问题.
【详解】（1）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，
所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，
由球体的体积为：，
圆柱体积为：，
所以浮球的体积为：.
（2）上下半球的表面积：，
圆柱侧面积：，
所以，1个浮球的表面积为，
3000个浮球的表面积为：，
因此每平方厘米需要涂胶0.1克，
共需胶克.
19．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正三棱锥S﹣ABC的底面边长为2，正三棱锥的高SO＝1．
(1)求正三棱锥S﹣ABC的体积；
(2)求正三棱锥S﹣ABC表面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意分别确定三棱锥的底面积和三棱锥的高即可确定其体积；
（2）连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，分别求得底面积和侧面积，然后计算其表面积即可．
【详解】（1）在正三棱锥S﹣ABC中，,
所以.
（2）连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，如图所示，
所以，
在直角三角形SOE中，，
在△ABS中，SA＝SB，所以SE⊥AB，
所以，
则表面积为：．
20．（2023春·全国·高一专题练习）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，.
(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积.
【答案】(1)
(2)外接球的表面积为，内切球的体积为
【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到三角形ABC的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案；
（2）结合第一问得到内切球半径，求出内切球体积，再根据将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.
【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为，，，
由勾股定理逆定理可知：底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，，
又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，
所以
设圆柱底面圆的半径为，
则，
圆柱体积
所以剩下的几何体的体积
（2）由（1）可知该直三棱柱的内切球半径为，
则内切球球的体积
直三棱柱可补形为棱长分别为的长方体，
它的外接球的球半径满足，即
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.
21．（2023·全国·高一专题练习）已知球与正四面体的六条棱都相切，求球与正四面体的体积之比．
【答案】
【分析】由题意设正四面体棱长为，球半径为，由表示球的半径，进而求出球与正四面体的体积之比.
【详解】
如图，设正四面体棱长为，球半径为，取的中点为，中点，连接，则，
，同理，
是的公垂线，则的长是的距离，
，
又由球与正四面体的六棱都相切，得是该球的直径，即，
，
，
又
故
22．（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱的母线，，，，C是上的一个动点.
(1)求圆柱的表面积；
(2)求四棱锥的体积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出圆柱底面半径为r，进而求出结果;
（2）利用余弦定理结合基本不等式求出，再利用体积公式求出结果.
【详解】（1）
连接BD，在中，，，，
由余弦定理，得
，
所以，设圆柱底面半径为r，
由正弦定理，得，
所以，故圆柱的表面积.
（2）由（1）知，中，，，
由余弦定理，得
，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，，
所以四棱锥的体积，
，
故四棱锥的体积的最大值为.
热点专测专练：球的切接及几何体的体积与面积
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求得圆台的高，然后根据圆台的体积公式求得正确答案.
【详解】求得直径为，半径为，
圆台的下底面半径为，所以圆台的高为，
所以圆台的体积为.
故选：A
2．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得圆锥的底面半径，进而求得圆锥的表面积.
【详解】依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形，
所以圆锥的底面半径为，
所以圆锥的表面积为.
故选：B
3．（2023·全国·模拟预测）若等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的外接球的表面积为，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件求出外接球的半径，等边圆柱的底面半径，进而求出结果.
【详解】设该圆柱的外接球的半径为，
则外接球的表面积，故．
设等边圆柱的底面半径为，
则圆柱的高，又，故，
则该圆柱的体积．
故选：C．
4．（2023秋·青海西宁·高二统考期末）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设圆锥的母线为，底面半径为.由已知可得，进而根据圆锥的面积公式可求出，即可得出答案.
【详解】设圆锥的母线为，底面半径为.
圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形的半径为，弧长为，
由已知可得，，所以.
所以，圆锥的表面积，所以，
所以，这个圆锥的底面直径为.
故选：B.
5．（2022·全国·模拟预测）某个用橡皮泥捏成的圆锥的侧面积为，底面积为，底面半径为r，且，若用这些橡皮泥重新捏成一个圆柱，该圆柱的底面半径为r，高为h，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据可以算出圆锥的母线和高，进而求出结果.
【详解】设圆锥母线长为l，高为，则，所以，所以，
因为圆锥和圆柱体积相同，所以，解得．
故选：C.
6．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造一个长方体，四面体四个顶点在长方体顶点上，利用长方体的对角线为外接球直径求解即可.
【详解】设四面体的外接球的半径为,
则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，
则 故，
故四面体ABCD外接球的体积为，
故选：C
7．（2023秋·天津河北·高三统考期末）已知球为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为，且球的表面积为，则这个正三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用球的表面积公式可求得，根据正棱柱的外接球半径满足可构造方程求得正棱柱的高，代入棱柱体积公式可求得结果.
【详解】设正三棱柱的高为，球的半径为，
球的表面积，解得：，
正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，
的外接圆半径，
，解得：，
.
故选：B.
8．（2023·全国·模拟预测）如图所示，已知三棱锥中，底面为等腰直角三角形，斜边，侧面为正三角形，D为的中点，底面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设三棱锥外接球的球心为O，确定球心的位置，即球心落在过底面外心的垂线上，利用图形的几何性质求得外接球半径，即可求得答案.
【详解】如图，设E是的中点，连接，D为的中点，故,
底面为等腰直角三角形，即,故；
设三棱锥外接球的球心为O，
连接，
因为底面为等腰直角三角形，E是的中点，
即E为的外心，故平面,
在等腰直角三角形中，斜边，则.
因为是正三角形，所以，
因为，所以三棱锥是正三棱锥，
所以O在底面上的射影F是的重心，
则点F在上，所以.
因为底面，故,
而底面，故,
又因为，平面,故平面，
而平面,故,
故四边形是矩形，所以，所以，
所以三棱锥外接球的半径，其表面积为，
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知圆锥SO（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为3，底面半径为．若P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆锥SO的侧面积为
B．SPQ面积的最大值为
C．三棱锥O-SPQ体积的最大值为
D．圆锥SO的内切球的体积为
【答案】AC
【分析】A选项，圆锥的侧面展开图为扇形，母线为扇形半径，底面圆周长为扇形弧长，据此可得圆锥的侧面积；
B选项，当最大时，SPQ面积最大；
C选项，当面积最大时，三棱锥O-SPQ体积最大；
D选项，由圆锥的轴截面图可求得圆锥内切球的半径.
【详解】A选项，因底面半径为，则底面圆周长为，则侧面展开扇形的圆心角为：，则侧面积为：.故A正确；
B选项，当最大，即时，SPQ面积最大.
则SPQ面积最大值为：，故B错误；
C选项，，则当时，取最大值
，又，则三棱锥O-SPQ体积的最大值为：.故C正确；
D选项，如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径，
设内切球半径为，内切球球心为I，连接.则
.则内切球体积为：.故D错误.
故选：AC
10．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，平面，直线与所成的角的余弦值为，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 B．
C．三棱锥的外接球的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】AC
【分析】根据线面垂直性质定理可得，，再利用线面垂直的判定定理即可证明A正确；即可得三条线两两垂直，由异面直线夹角可得，即B错误；通过构造长方体计算可得三棱锥的外接球半径为，即可得出体积和表面积，可判断C正确，D错误.
【详解】根据题意，因为平面，，平面，所以，，
又四边形是矩形，所以，
平面，平面，且，所以平面.
即A正确；
可得平面，，ABC两两垂直，所以三棱锥外接球的直径等于，
又，所以直线与所成的角等于直线与BC所成的角或其补角，
所以，由可得，所以B错误；
设三棱锥的外接球的半径为，则满足，
所以；
所以三棱锥的外接球的体积为,表面积为.
所以C正确，D错误.
故选：AC.
11．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，且与正方体的内切球（为球心）交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段的长为
B．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为
C．三棱锥的体积为
D．设为球上任意一点，则与所成角的范围是
【答案】BC
【分析】过，，三点的截面为正六边形，球心为其中心，作出图形在正六边形中求出判断A，求出正六边形面积判断B，由等体积法求出三棱锥体积判断C，分析与所成角的最大最小值判断D.
【详解】过，，三点的截面为正六边形，球心为其中心，如图，
在正六边形中，，点到的距离为，，
所以，故A错误；
正六边形的面积，故B正确；，故C正确；
、、为球的切线，故当为中点时，与所成角最小为0，
，所以，
当与球相切且P在平面OAC内时，为或的中点时，与所成角最大为，故D错误.
故选：BC.
12．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知四棱锥，它的各条棱长均为2，则下面说法正确的是（ ）
A．其外接球的表面积为
B．其内切球的半径为
C．侧面与底面所成角的余弦值为
D．不相邻的两个侧面所成角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】连接，，且交于，连接，根据题意可得是四棱锥外接球的球心，是其半径，代入即可计算其外接球的表面积，从而即可判断A；利用等体积公式，即可求内切球的半径，从而即可判断B；取的中点，连接，，先证明是侧面与底面所成角，即可求得侧面与底面所成角的余弦值，从而即可判断C；再取的中点，连接，，显然是平面与平面所成的角，再结合余弦定理求解即可判断D．
【详解】对于A，连接，，且交于，连接，
又四棱锥的各条棱长均为2，
则，
所以四棱锥的外接球的球心，半径为，
所以四棱锥的外接球的表面积为，故A正确；
对于B，设内切球的半径为，
则，
即，解得，故B错误；
对于C，根据题意不妨求侧面与底面所成角的余弦值，
取的中点，连接，，
结合选项A，可知，且平面平面，
所以是侧面与底面所成角，
又，，所以，
即侧面与底面所成角的余弦值为，故C正确；
对于D，根据题意不妨求平面与平面所成的角的余弦值，
过点作，且作的中点，
结合A选项，再取的中点，连接，，
则，，
又平面平面，
所以是平面与平面所成的角，
又，，
所以根据余弦定理得，
所以不相邻的两个侧面所成角的余弦值为，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查几何体的“内切”，“外接”球问题，二面角，余弦定理等，其中选项B是根据等体积法求得四棱锥内切球的半径，选项C，D是根据找到二面角的平面角来求解，具有一定的综合性．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023·陕西安康·统考二模）已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则圆锥的侧面积为______．
【答案】
【分析】直接根据圆锥的侧面积公式计算即可.
【详解】.
故答案为：.
14．（2023·四川泸州·统考二模）已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，若该圆柱的高是底面半径的2倍，则该圆柱的侧面积为________．
【答案】
【分析】根据题意求出球体的半径，再利用勾股定理圆柱的底面半径与高，从而求圆柱的表面积即可.
【详解】设圆柱外接球半径为，圆柱的底面半径为，则其高为，
由圆柱的性质得，外接球球心在上下底面圆心连线的中点处，则，
因为球的表面积为，所以，则，
又因为，即，所以，则，
所以圆柱的侧面积为：.
故答案为：.
.
15．（2021·陕西西安·统考二模）已知圆锥的底面半径为3，侧面母线长为5，设该圆锥内半径最大的球的体积为，圆锥的体积为，则______.
【答案】
【分析】根据纵截面图求解内切球半径，再分别求得与即可.
【详解】由题知，该圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球，
过圆锥顶点与底面圆直径作纵截面，
易得圆锥高为.故纵截面面积.
故设内切球半径.
故，.
故.
故答案为：.
16．（2023·宁夏银川·银川二中校考一模）把一个棱长都是6的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心）每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截面，将正四棱锥截去四个小正四面体和一个小正四棱锥（如图所示），则剩下的几何体的外接球的表面积等于_____________．
【答案】
【分析】先说明正四棱锥和剩下的几何体的外接球球心重合，再通过解三角形求出外接球半径，结合球的表面积公式即可求得答案．
【详解】设正四棱锥底面的正方形为，顶点为，棱的三等分点为点和点，棱的三等分点为点和点，连接与交于点，连接，，，，，则底面，如图所示，
因为正四棱锥的棱长是6，即，
所以，
所以，
即，
所以正四棱锥的外接球的球心为点，，
又因为，，，
所以，则,
同理可证，则,
又因为，，，
所以，则，
同理可证出该几何体其他顶点到点的距离都相等，
故剩下的几何体的外接球的球心也为点，
，
所以在中，，
解得，
即剩下的几何体的外接球的半径为，
故剩下的几何体的外接球的表面积：，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023·全国·高一专题练习）已知圆柱的体积为，侧面积为．
(1)求圆柱底面圆的半径和圆柱母线的长；
(2)以上底面圆的圆心和下底面圆构成圆锥，求此圆锥的表面积．
【答案】(1)半径1，母线的长2；
(2)．
【分析】（1）根据题意结合棱柱的体积公式，侧面积公式，即可求出圆柱底面圆的半径和圆柱母线的长；
（2）由（1）知，圆锥的底面半径和母线，表面积即可求出．
【详解】（1）设圆柱底面圆的半径为，母线的长为，
由圆柱的体积为，侧面积为得：
，
圆柱底面圆的半径为1，母线的长2.
（2）由（1）知，圆锥底面圆的半径为1，圆锥的高为2，
所以圆锥的母线长为：，
所以圆锥的表面积为：．
18．（2023春·全国·高一专题练习）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm，圆柱筒高为3cm.
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？
【答案】(1)
(2)26400克
【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；
（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解出一个的表面积，然后乘以3000得总面积，按照规定再乘以0.1即可解决问题.
【详解】（1）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，
所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，
由球体的体积为：，
圆柱体积为：，
所以浮球的体积为：.
（2）上下半球的表面积：，
圆柱侧面积：，
所以，1个浮球的表面积为，
3000个浮球的表面积为：，
因此每平方厘米需要涂胶0.1克，
共需胶克.
19．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正三棱锥S﹣ABC的底面边长为2，正三棱锥的高SO＝1．
(1)求正三棱锥S﹣ABC的体积；
(2)求正三棱锥S﹣ABC表面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意分别确定三棱锥的底面积和三棱锥的高即可确定其体积；
（2）连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，分别求得底面积和侧面积，然后计算其表面积即可．
【详解】（1）在正三棱锥S﹣ABC中，,
所以.
（2）连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，如图所示，
所以，
在直角三角形SOE中，，
在△ABS中，SA＝SB，所以SE⊥AB，
所以，
则表面积为：．
20．（2023春·全国·高一专题练习）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，.
(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积.
【答案】(1)
(2)外接球的表面积为，内切球的体积为
【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到三角形ABC的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案；
（2）结合第一问得到内切球半径，求出内切球体积，再根据将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.
【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为，，，
由勾股定理逆定理可知：底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，，
又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，
所以
设圆柱底面圆的半径为，
则，
圆柱体积
所以剩下的几何体的体积
（2）由（1）可知该直三棱柱的内切球半径为，
则内切球球的体积
直三棱柱可补形为棱长分别为的长方体，
它的外接球的球半径满足，即
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.
21．（2023·全国·高一专题练习）已知球与正四面体的六条棱都相切，求球与正四面体的体积之比．
【答案】
【分析】由题意设正四面体棱长为，球半径为，由表示球的半径，进而求出球与正四面体的体积之比.
【详解】
如图，设正四面体棱长为，球半径为，取的中点为，中点，连接，则，
，同理，
是的公垂线，则的长是的距离，
，
又由球与正四面体的六棱都相切，得是该球的直径，即，
，
，
又
故
22．（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱的母线，，，，C是上的一个动点.
(1)求圆柱的表面积；
(2)求四棱锥的体积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出圆柱底面半径为r，进而求出结果;
（2）利用余弦定理结合基本不等式求出，再利用体积公式求出结果.
【详解】（1）
连接BD，在中，，，，
由余弦定理，得
，
所以，设圆柱底面半径为r，
由正弦定理，得，
所以，故圆柱的表面积.
（2）由（1）知，中，，，
由余弦定理，得
，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，，
所以四棱锥的体积，
，
故四棱锥的体积的最大值为.
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