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第一次月考填空题压轴题十四大题型专练-2023-2024学年高一数学下学期常考考点精讲精练（人教A版必修第二册）
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这是一份第一次月考填空题压轴题十四大题型专练-2023-2024学年高一数学下学期常考考点精讲精练（人教A版必修第二册），文件包含高一下学期第一次月考填空题压轴题十四大题型专练原卷版docx、高一下学期第一次月考填空题压轴题十四大题型专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
题型1
相等向量与共线向量
1．（2023·全国·高三专题练习）已知如图，在正六边形ABCDEF中，与OA－OC＋CD相等的向量有 ．
①CF；②AD；③DA；④BE；⑤CE＋BC；⑥CA－CD；⑦AB＋AE．
2．（2023下·天津西青·高一校考期中）已知a，b是平面内两个不共线的向量，AB=ma+2b，BC=3a+mb，若A，B，C三点共线，则m= ．
3．（2023·全国·高三专题练习）给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|=|b|，则a=b或a=−b；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB=DC ，则ABCD为平行四边形；
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；
⑤已知λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线．
其中真命题的序号是 ．
4．（2022上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）设A，B，C是△ABC的三个内角，△ABC的外心为O，内心为I．OI≠0且OI与BC共线．若ktanA=1tanB2+1tanC2，则k= ．
题型2
向量线性运算的几何应用
5．（2023上·辽宁大连·高三辽师大附中校考阶段练习）已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB的角平分线，I为PC上一点，满足BI=BA+ λAC|AC|+AP|AP| (λ>0)，PA−PB=4，PA−PB=10，则BI⋅BABA的值为 .
6．（2023下·湖南娄底·高一统考期末）已知点P是△ABC所在平面内的一点，若AP=14AB+12AC，则S△APCS△APB=
．
7．（2023·四川成都·统考一模）已知G为ΔABC的重心，过点G的直线与边AB,AC分别相交于点P,Q，若AP=35AB,则ΔABC与ΔAPQ的面积之比为 .
8．（2023下·四川绵阳·高三校考阶段练习）ΔOAB中，∠AOB角平分线交AB于点C．设OA=a， OB=b，OC=c，且c=λa+μb.给出下列结论：① λ+μ=1；②λ=12，μ=12；③ λ=13，μ=23；④λ=ba+b,μ=aa+b；⑤ λ=aa+b,μ=ba+b.其中命题一定正确的序号是 .（把你认为正确的都填上）
题型3
向量的数量积问题
9．（2023下·浙江·高一台州市书生中学校联考期中）已知平面向量a，b，c，若a=a−b=2，a−c=1，那么b⋅c的取值范围是 .
10．（2023·四川乐山·统考一模）已知正方形ABCD边长为22，MN是正方形ABCD的外接圆的一条动弦，MN=2，P为正方形ABCD边上的动点，则MP⋅PN的最大值为 .
11．（2022·浙江温州·高一永嘉中学统考竞赛）如图，在△ABC中，AC=2,AB=6, ∠BAC的内角平分线交BC于点D，过C作CE⊥AD于点E，则CE⋅BECE2的值是 .
12．（2023下·广东佛山·高一石门中学校考阶段练习）已知△ABC所在平面内一点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则点O是△ABC的 心(填“内”、“外”、“重”、“垂”)，若△ABC的内角A=π3，边BC=2，则OB⋅BABA+CO⋅CACA的最大值是 ．
题型4
向量的夹角（夹角的余弦值）问题
13．（2023下·云南昆明·高一校考阶段练习）设x，y∈R，向量a=x,1，b=2,y，c=3,6，且a⊥c，b∥c，则向量a+b与a−c的夹角大小为 ．
14．（2023下·河北石家庄·高一校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，BC=3AB=6，E为AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE于点G，则∠EGF的余弦值为 ．
15．（2023上·浙江温州·高一统考期末）已知平面向量a,b,c，满足 a=2,b=3,c=1，且a−c⋅b−c=5， a−b与a+b夹角余弦值的最小值等于 .
16．（2023上·浙江温州·高三温州中学校联考期末）已知平面向量a,b满足a=a+b=1，a⋅b=−12，向量p满足p=2−λa+λb，当p与p−a的夹角余弦值取得最小值时，实数λ的值为 .
题型5
平面向量基本定理的应用
17．（2023下·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD=λAB+μAC，若AD=4AF，则λ＋2μ的值为 .
18．（2022下·河北保定·高一统考期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知HE=2EB,M为线段AB的中点，设P为中间小正方形EFGH内一点（不含边界）.若MP=λME−MB，则λ的取值范围为 .
19．（2023上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧BC上运动（包含B、C两个端点），∠BAC=23π，且AP=xAB+yAC，则x+y+xy的取值范围为 .
20．（2023下·天津南开·高一南开中学校考阶段练习）在△ABC中，E，F分别为AB，AC上的靠近 B，C的五等分点，且满足P为线段EF上的任一点，实数x，y满足PA→+xPB→+yPC→=0→，设 △ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记 SiS=λii=1，2，3，则λ2⋅λ3为取到最大值时，x，y的值分别为 ．
题型6
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
21．（2023·浙江·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为25，O是BC的中点，E是正方形内一动点，且OE=2，将线段DE绕点D逆时针旋转90°至线段DF，若OF=xBA+yBC，则x+y的最小值为 .
22．（2023下·河南郑州·高三校联考阶段练习）在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E为AC上一点．
（1）若AE=13AC，则ED= ；
（2）若BE·AC=0，则ED= ．
23．（2023下·江苏南通·高三海安高级中学阶段练习）已知等边ΔABC的边长为2，若AP=13(AB+AC)，AQ=AP+12BC，则ΔAPQ的面积为 ．
24．（2023上·山西太原·高三统考期末）赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD=λAB+μAC，若DF=2AF，则可以推出λ+μ= .
题型7
向量坐标运算的几何应用
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
25．（2023·上海普陀·统考一模）已知正三角形ABC的边长为3，点M是ΔABC所在平面内的任一动点，若|MA|=1，则|MA+MB+MC|的取值范围为 .
26．（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，点E是边CD上的一点，设AE在AC上的投影向量为a，且满足a=34AC，则CE等于 1 ；延长线段AE至点F，使得AE=2EF，若点H在线段BC上，则FH⋅AH的最小值为 ．
27．（2023下·天津武清·高一校考阶段练习）如图所示，梯形ABCD中，AD ∥ BC，点E为AB的中点，BA⋅BC=0，BD⋅BA=BD⋅AD=4，若向量CE在向量CB上的投影向量的模为4，设M，N分别为线段CD，AD上的动点，且CM=λCD，AN=19λAD，则EM⋅EN的取值范围是 .
28．（2023上·江苏常州·高二常州高级中学校考开学考试）已知点P在△ABC所在的平面内，则下列4个结论中正确的有 .
①若P为△ABC的外心，AB=3，AC=5，则PA⋅BC=−8；
②若△ABC为边长为2的正三角形，则PA⋅PB+PC的最小值为−1；
③若△ABC为锐角三角形且外心为P，AP=xAB+yAC且x+3y=1，则AB=BC；
④若AP=λABcsB+12AB+λACcsC+12ACλ>0，则动点P的轨迹经过△ABC的外心.
题型8
用向量解决夹角、线段的长度问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
29．（2023下·福建厦门·高一校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则cs∠EMF= .
30．（2023上·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）已知向量a，b的夹角为π4，b=2，若对任意x∈R，恒有b+xa≥b−12a，则函数f(t)=tb−a+tb−12at∈R的最小值为 .
31．（2023·天津河西·统考一模）在梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，M，N分别为线段DC和AB的中点，若AB=a，AD=b，用a，b表示MN= ．若MN⊥BC，则∠DAB余弦值的最小值为 ．
32．（2023上·浙江·高三温州中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知b＝1，c＝2且2csA（bcsC+ccsB）＝a，则A＝ ；若M为边BC的中点，则|AM|＝ .
题型9
向量与几何最值（范围）问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
33．（2023下·浙江宁波·高二校联考期末）已知平面向量a，b，cii=1,2满足a=2b=2a⋅b=2，ci−a=1，则c1−2λb+2c2−λbλ∈R的最小值为 .
34．（2023下·天津·高一校联考期中）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则EA⋅EB的取值范围为 .
35．（2023下·湖南益阳·高二统考期末）在△ABC中，AB=2，AC=32，∠BAC=135°，M是△ABC所在平面上的动点，则w=MA⋅MB+MB⋅MC+MC⋅MA的最小值为 ．
36．（2023·江苏南通·统考一模）若△ABC中，AB=2，BC=8，∠B=45∘，D为△ABC所在平面内一点且满足AB⋅AD⋅AC⋅AD=4，则AD长度的最小值为 ．
题型10
三角形（四边形）的面积问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
37．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）已知△ABC为锐角三角形，a，b，c，是角A，B，C分别所对的边，若asinA+C2=bsinA；且c=2，则△ABC面积的取值范围是 .
38．（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，∠BAC=π3，D为边BC上一点，满足AD=3且AB⋅DC−BD⋅AC=0，则△ABC面积的最小值为 ．
39．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在平面四边形ABCD中，AB=2,DA⋅DC=6,∠ABC=2π3,∠ACB=π6，则四边形ABCD的面积的最大值为 ．
40．（2022上·广东汕头·高三统考期末）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片直径AB=20cm，需要剪去四边形CEC1D，可以经过对折，沿DC,EC裁剪，展开就可以得到．
已知点C在圆上且AC=10cm，∠ECD=30°．则镂空四边形CEC1D的面积的最小值为 cm2．
题型11
求三角形中的边长或周长的最值或范围
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
41．（2022下·山东青岛·高一青岛二中校考期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3csinB+ccsB=a+b，且a+b=4，则△ABC周长的取值范围为 ，△ABC面积的最大值为 ．
42．（2023下·江苏盐城·高一统考期末）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+bc，则ab的取值范围是 ．
43．（2023下·江西·高三校联考阶段练习）记锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c+b=2acsB，则a2c+8b3a2b的取值范围为 .
44．（2023·甘肃·统考一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若csB+3sinB−2=0；且b=1，则△ABC周长的范围为 .
题型12
复数的模的几何意义
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
45．（2023上·广东惠州·高三博师高中校考阶段练习）设复数z满足z−1+i=1，z在复平面内对应的点为Px,y，则点P的轨迹方程为 .
46．（2023下·河北保定·高一保定市第三中学校考期中）已知复数z满足|z+2−2i|=1，则|z−2−2i|的最大值为 ．
47．（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）已知三个复数z1,z2,z3，并且z1=z2=z3=1，z1,z2所对应的向量OZ1，OZ2满足OZ1⋅OZ2=0，则z1+z2−z3的取值范围是 .
48．（2023·上海·统考二模）已知复数集合A={x+yi||x|≤1,|y|≤1,x,y∈R} B={z2|z2=(34+34i)z1,z1∈A}，其中i为虚数单位，若复数z∈A∩B，则z对应的点Z在复平面内所形成图形的面积为 .
题型13
根据复数的四则运算结果求复数特征
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
49．（2022下·浙江宁波·高一统考期末）设复平面内的不同三点A,B,C对应复数分别为z1,z2,z3，若z1−z2z1−z3=1+2i（i是虚数单位），则cs∠BAC的值为 .
50．（2023下·高一课时练习）已知a为实数，i为虚数单位，若复数z=(a2−1)+(a+1)i为纯虚数，则a+i20001+i=
.
51．（2023下·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）若复数z=i2−i（i是虚数单位）的共轭复数是z，则z−z的虚部是 ．
52．（2023·高一课时练习）如果复数z=2−bi1+2i的实部与虚部互为相反数，那么3zz+z+z= ．
题型14
复数范围内方程的根的问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
53．（2023下·高一课时练习）已知方程x2−2x+p=0,p∈R的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为3，则p= ．
54．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知x2−2x+m=0m∈R的两共轭虚根为x1，x2，且x1+x2=23，则m= ．
55．（2023·上海虹口·统考一模）设m，n∈R，i为虚数单位，若1−3i是关于x的二次方程x2+mx+n=0的一个虚根，则m+n= ．
56．（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）已知m∈R，关于z的方程z2+z+mz2+z+2m=0有四个复数根z1,z2,z3,z4．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为 ．
题型1
相等向量与共线向量
1．（2023·全国·高三专题练习）已知如图，在正六边形ABCDEF中，与OA－OC＋CD相等的向量有 ．
①CF；②AD；③DA；④BE；⑤CE＋BC；⑥CA－CD；⑦AB＋AE．
2．（2023下·天津西青·高一校考期中）已知a，b是平面内两个不共线的向量，AB=ma+2b，BC=3a+mb，若A，B，C三点共线，则m= ．
3．（2023·全国·高三专题练习）给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|=|b|，则a=b或a=−b；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB=DC ，则ABCD为平行四边形；
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；
⑤已知λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线．
其中真命题的序号是 ．
4．（2022上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）设A，B，C是△ABC的三个内角，△ABC的外心为O，内心为I．OI≠0且OI与BC共线．若ktanA=1tanB2+1tanC2，则k= ．
题型2
向量线性运算的几何应用
5．（2023上·辽宁大连·高三辽师大附中校考阶段练习）已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB的角平分线，I为PC上一点，满足BI=BA+ λAC|AC|+AP|AP| (λ>0)，PA−PB=4，PA−PB=10，则BI⋅BABA的值为 .
6．（2023下·湖南娄底·高一统考期末）已知点P是△ABC所在平面内的一点，若AP=14AB+12AC，则S△APCS△APB=
．
7．（2023·四川成都·统考一模）已知G为ΔABC的重心，过点G的直线与边AB,AC分别相交于点P,Q，若AP=35AB,则ΔABC与ΔAPQ的面积之比为 .
8．（2023下·四川绵阳·高三校考阶段练习）ΔOAB中，∠AOB角平分线交AB于点C．设OA=a， OB=b，OC=c，且c=λa+μb.给出下列结论：① λ+μ=1；②λ=12，μ=12；③ λ=13，μ=23；④λ=ba+b,μ=aa+b；⑤ λ=aa+b,μ=ba+b.其中命题一定正确的序号是 .（把你认为正确的都填上）
题型3
向量的数量积问题
9．（2023下·浙江·高一台州市书生中学校联考期中）已知平面向量a，b，c，若a=a−b=2，a−c=1，那么b⋅c的取值范围是 .
10．（2023·四川乐山·统考一模）已知正方形ABCD边长为22，MN是正方形ABCD的外接圆的一条动弦，MN=2，P为正方形ABCD边上的动点，则MP⋅PN的最大值为 .
11．（2022·浙江温州·高一永嘉中学统考竞赛）如图，在△ABC中，AC=2,AB=6, ∠BAC的内角平分线交BC于点D，过C作CE⊥AD于点E，则CE⋅BECE2的值是 .
12．（2023下·广东佛山·高一石门中学校考阶段练习）已知△ABC所在平面内一点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则点O是△ABC的 心(填“内”、“外”、“重”、“垂”)，若△ABC的内角A=π3，边BC=2，则OB⋅BABA+CO⋅CACA的最大值是 ．
题型4
向量的夹角（夹角的余弦值）问题
13．（2023下·云南昆明·高一校考阶段练习）设x，y∈R，向量a=x,1，b=2,y，c=3,6，且a⊥c，b∥c，则向量a+b与a−c的夹角大小为 ．
14．（2023下·河北石家庄·高一校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，BC=3AB=6，E为AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE于点G，则∠EGF的余弦值为 ．
15．（2023上·浙江温州·高一统考期末）已知平面向量a,b,c，满足 a=2,b=3,c=1，且a−c⋅b−c=5， a−b与a+b夹角余弦值的最小值等于 .
16．（2023上·浙江温州·高三温州中学校联考期末）已知平面向量a,b满足a=a+b=1，a⋅b=−12，向量p满足p=2−λa+λb，当p与p−a的夹角余弦值取得最小值时，实数λ的值为 .
题型5
平面向量基本定理的应用
17．（2023下·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD=λAB+μAC，若AD=4AF，则λ＋2μ的值为 .
18．（2022下·河北保定·高一统考期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知HE=2EB,M为线段AB的中点，设P为中间小正方形EFGH内一点（不含边界）.若MP=λME−MB，则λ的取值范围为 .
19．（2023上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧BC上运动（包含B、C两个端点），∠BAC=23π，且AP=xAB+yAC，则x+y+xy的取值范围为 .
20．（2023下·天津南开·高一南开中学校考阶段练习）在△ABC中，E，F分别为AB，AC上的靠近 B，C的五等分点，且满足P为线段EF上的任一点，实数x，y满足PA→+xPB→+yPC→=0→，设 △ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记 SiS=λii=1，2，3，则λ2⋅λ3为取到最大值时，x，y的值分别为 ．
题型6
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
21．（2023·浙江·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为25，O是BC的中点，E是正方形内一动点，且OE=2，将线段DE绕点D逆时针旋转90°至线段DF，若OF=xBA+yBC，则x+y的最小值为 .
22．（2023下·河南郑州·高三校联考阶段练习）在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E为AC上一点．
（1）若AE=13AC，则ED= ；
（2）若BE·AC=0，则ED= ．
23．（2023下·江苏南通·高三海安高级中学阶段练习）已知等边ΔABC的边长为2，若AP=13(AB+AC)，AQ=AP+12BC，则ΔAPQ的面积为 ．
24．（2023上·山西太原·高三统考期末）赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD=λAB+μAC，若DF=2AF，则可以推出λ+μ= .
题型7
向量坐标运算的几何应用
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
25．（2023·上海普陀·统考一模）已知正三角形ABC的边长为3，点M是ΔABC所在平面内的任一动点，若|MA|=1，则|MA+MB+MC|的取值范围为 .
26．（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，点E是边CD上的一点，设AE在AC上的投影向量为a，且满足a=34AC，则CE等于 1 ；延长线段AE至点F，使得AE=2EF，若点H在线段BC上，则FH⋅AH的最小值为 ．
27．（2023下·天津武清·高一校考阶段练习）如图所示，梯形ABCD中，AD ∥ BC，点E为AB的中点，BA⋅BC=0，BD⋅BA=BD⋅AD=4，若向量CE在向量CB上的投影向量的模为4，设M，N分别为线段CD，AD上的动点，且CM=λCD，AN=19λAD，则EM⋅EN的取值范围是 .
28．（2023上·江苏常州·高二常州高级中学校考开学考试）已知点P在△ABC所在的平面内，则下列4个结论中正确的有 .
①若P为△ABC的外心，AB=3，AC=5，则PA⋅BC=−8；
②若△ABC为边长为2的正三角形，则PA⋅PB+PC的最小值为−1；
③若△ABC为锐角三角形且外心为P，AP=xAB+yAC且x+3y=1，则AB=BC；
④若AP=λABcsB+12AB+λACcsC+12ACλ>0，则动点P的轨迹经过△ABC的外心.
题型8
用向量解决夹角、线段的长度问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
29．（2023下·福建厦门·高一校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则cs∠EMF= .
30．（2023上·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）已知向量a，b的夹角为π4，b=2，若对任意x∈R，恒有b+xa≥b−12a，则函数f(t)=tb−a+tb−12at∈R的最小值为 .
31．（2023·天津河西·统考一模）在梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，M，N分别为线段DC和AB的中点，若AB=a，AD=b，用a，b表示MN= ．若MN⊥BC，则∠DAB余弦值的最小值为 ．
32．（2023上·浙江·高三温州中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知b＝1，c＝2且2csA（bcsC+ccsB）＝a，则A＝ ；若M为边BC的中点，则|AM|＝ .
题型9
向量与几何最值（范围）问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
33．（2023下·浙江宁波·高二校联考期末）已知平面向量a，b，cii=1,2满足a=2b=2a⋅b=2，ci−a=1，则c1−2λb+2c2−λbλ∈R的最小值为 .
34．（2023下·天津·高一校联考期中）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则EA⋅EB的取值范围为 .
35．（2023下·湖南益阳·高二统考期末）在△ABC中，AB=2，AC=32，∠BAC=135°，M是△ABC所在平面上的动点，则w=MA⋅MB+MB⋅MC+MC⋅MA的最小值为 ．
36．（2023·江苏南通·统考一模）若△ABC中，AB=2，BC=8，∠B=45∘，D为△ABC所在平面内一点且满足AB⋅AD⋅AC⋅AD=4，则AD长度的最小值为 ．
题型10
三角形（四边形）的面积问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
37．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）已知△ABC为锐角三角形，a，b，c，是角A，B，C分别所对的边，若asinA+C2=bsinA；且c=2，则△ABC面积的取值范围是 .
38．（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，∠BAC=π3，D为边BC上一点，满足AD=3且AB⋅DC−BD⋅AC=0，则△ABC面积的最小值为 ．
39．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在平面四边形ABCD中，AB=2,DA⋅DC=6,∠ABC=2π3,∠ACB=π6，则四边形ABCD的面积的最大值为 ．
40．（2022上·广东汕头·高三统考期末）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片直径AB=20cm，需要剪去四边形CEC1D，可以经过对折，沿DC,EC裁剪，展开就可以得到．
已知点C在圆上且AC=10cm，∠ECD=30°．则镂空四边形CEC1D的面积的最小值为 cm2．
题型11
求三角形中的边长或周长的最值或范围
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
41．（2022下·山东青岛·高一青岛二中校考期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3csinB+ccsB=a+b，且a+b=4，则△ABC周长的取值范围为 ，△ABC面积的最大值为 ．
42．（2023下·江苏盐城·高一统考期末）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+bc，则ab的取值范围是 ．
43．（2023下·江西·高三校联考阶段练习）记锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c+b=2acsB，则a2c+8b3a2b的取值范围为 .
44．（2023·甘肃·统考一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若csB+3sinB−2=0；且b=1，则△ABC周长的范围为 .
题型12
复数的模的几何意义
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
45．（2023上·广东惠州·高三博师高中校考阶段练习）设复数z满足z−1+i=1，z在复平面内对应的点为Px,y，则点P的轨迹方程为 .
46．（2023下·河北保定·高一保定市第三中学校考期中）已知复数z满足|z+2−2i|=1，则|z−2−2i|的最大值为 ．
47．（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）已知三个复数z1,z2,z3，并且z1=z2=z3=1，z1,z2所对应的向量OZ1，OZ2满足OZ1⋅OZ2=0，则z1+z2−z3的取值范围是 .
48．（2023·上海·统考二模）已知复数集合A={x+yi||x|≤1,|y|≤1,x,y∈R} B={z2|z2=(34+34i)z1,z1∈A}，其中i为虚数单位，若复数z∈A∩B，则z对应的点Z在复平面内所形成图形的面积为 .
题型13
根据复数的四则运算结果求复数特征
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
49．（2022下·浙江宁波·高一统考期末）设复平面内的不同三点A,B,C对应复数分别为z1,z2,z3，若z1−z2z1−z3=1+2i（i是虚数单位），则cs∠BAC的值为 .
50．（2023下·高一课时练习）已知a为实数，i为虚数单位，若复数z=(a2−1)+(a+1)i为纯虚数，则a+i20001+i=
.
51．（2023下·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）若复数z=i2−i（i是虚数单位）的共轭复数是z，则z−z的虚部是 ．
52．（2023·高一课时练习）如果复数z=2−bi1+2i的实部与虚部互为相反数，那么3zz+z+z= ．
题型14
复数范围内方程的根的问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
53．（2023下·高一课时练习）已知方程x2−2x+p=0,p∈R的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为3，则p= ．
54．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知x2−2x+m=0m∈R的两共轭虚根为x1，x2，且x1+x2=23，则m= ．
55．（2023·上海虹口·统考一模）设m，n∈R，i为虚数单位，若1−3i是关于x的二次方程x2+mx+n=0的一个虚根，则m+n= ．
56．（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）已知m∈R，关于z的方程z2+z+mz2+z+2m=0有四个复数根z1,z2,z3,z4．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为 ．
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