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2024届高考数学一轮复习第8章第6节双曲线学案
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这是一份2024届高考数学一轮复习第8章第6节双曲线学案，共26页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第六节 双曲线
考试要求：1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
2．了解双曲线的简单几何性质．
一、教材概念·结论·性质重现
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当a
(3)当a>c时，点P不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2a2-y2b2＝1
(a>0，b>0)
y2a2-x2b2＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
离心率
e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2+b2
实虚轴
实轴|A1A2|＝2a；
虚轴|B1B2|＝2b；
实半轴长a，虚半轴长b
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3．双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a(通径)．
过双曲线的焦点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为2b2a；与两支相交所得弦长的最小值为2a.
(4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.
(5)双曲线的离心率公式可表示为e＝1+b2a2.
(6)双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的形状与e的关系：|k|＝ba＝c2a2-1＝e2-1，e越大，即渐近线斜率的绝对值就越大，双曲线开口就越开阔．
(7)x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)与y2b2-x2a2＝1(a＞0，b＞0)互为共轭双曲线，其离心率倒数的平方和为1.
(8)已知双曲线方程为x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)，与其渐近线相同的双曲线方程可设为x2a2-y2b2＝λ(λ≠0)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． ( × )
(2)方程x2m-y2n＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线． ( × )
(3)双曲线方程x2m2-y2n2＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2-y2n2＝0，即xm±yn＝0. ( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2. ( √ )
2．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是( )
A．28
B．14－82
C．14＋82
D．82
C 解析：根据双曲线定义可知，|PF2|－|PF1|＝42，|QF2|－|QF1|＝42，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝82，所以|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2|PQ|＋82＝14＋82.故选C．
3．双曲线y29-x24＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±94x B．y＝±49x
C．y＝±32x D．y＝±23x
C 解析：双曲线y29-x24＝1中，a＝3，b＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±32x.
4．焦点是(0，±2)，且与双曲线x23-y23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是( )
A．x2－y23＝1 B．y2－x23＝1
C．x2－y2＝2 D．y2－x2＝2
D 解析：由已知，得双曲线焦点在y轴上，且为等轴双曲线．故选D．
5．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
x28-y28＝1 解析：当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为x2a2-y2a2＝1，
把A(3，－1)代入方程得9a2-1a2＝1，a2＝8，所以双曲线的标准方程为x28-y28＝1.
当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为y2a2-x2a2＝1，
把A(3，－1)代入方程得1a2-9a2＝1，a2＝－8(舍)．
故所求双曲线方程为x28-y28＝1.
考点1 双曲线的定义——基础性
1．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )
A．x＝0 B．x22-y214＝1(x≥2)
C．x22-y214＝1 D．x22-y214＝1或x＝0
D 解析：动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都外切；②动圆M与两圆都内切；③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切．
在①②情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x＝0；
在③的情况下，设动圆M的半径为r，
则|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2.
故得|MC1|－|MC2|＝22；
在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝22.
由③④得|MC1|－|MC2|＝±22.已知|C1C2|＝8，
根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，且a＝2，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程为x22-y214＝1.故选D．
2．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( )
A．19 B．26
C．43 D．50
B 解析：如图所示，
由双曲线的定义可得PF2-PF1=2a，①QF2-QF1=2a，②
①＋②得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a，
所以△F2PQ的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|
＝4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.
1．定义理解：①距离之差的绝对值，不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是一支．
②2a<|F1F2|，否则轨迹是射线或不存在．
2．方程理解：
①求双曲线方程时，注意标准形式的判断及焦点位置，否则x2与y2的系数会错．
②注意a，b，c的关系易错易混．大小关系c>a>0，c>b>0；数量关系c2＝a2＋b2.这两个关系与椭圆中的均不同，不能混淆．
考点2 双曲线的标准方程——综合性
(1)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212+y23＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A．x28-y210＝1 B．x24-y25＝1
C．x25-y24＝1 D．x24-y23＝1
B 解析：椭圆x212+y23＝1的焦点坐标为(±3，0)，则双曲线的焦点坐标为(±3，0)，可得c＝3，双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，可得ba＝52，即c2-a2a2＝54，可得ca＝32，解得a＝2，b＝5，所求的双曲线C的方程为x24-y25＝1.故选B．
(2)(多选题)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列说法正确的是( )
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为n
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±-mnx
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
ACD 解析：对于A，当m＞n＞0时，有1n＞1m＞0，方程化为x21m+y21n＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．
对于B，当m＝n＞0时，方程化为x2＋y2＝1n，表示半径为1n的圆，故B错误．
对于C，当m＞0，n＜0时，方程化为x21m-y2-1n＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝1m，b＝-1n，渐近线方程为y＝± -mnx；当m＜0，n＞0时，方程化为y21n-x2-1m＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝ 1n，b＝-1m，渐近线方程为y＝± -mnx，故C正确．
对于D，当m＝0，n＞0时，方程化为y＝± 1n，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．
将本例(2)的方程变为(m－1)x2＋my2＝m(m－1)(m∈R)，则该方程可以表示哪些曲线？
解：对于方程(m－1)x2＋my2＝m(m－1)，
①当m＝1时，方程即y2＝0，即 y＝0，表示x轴．
②当m＝0时，方程即x2＝0，即 x＝0，表示y轴．
③当m≠1，且 m≠0时，方程即x2m+y2m-1＝1，
若m＝m－1，即m∈∅时，方程不可能是圆；
若m(m－1)＜0，方程表示双曲线；
若m(m－1)＞0且m≠m－1，方程表示椭圆．
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值；与双曲线x2a2-y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2-y2b2＝λ(λ≠0)；也可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
1．若双曲线x2m－y2＝1的焦距为8，则实数m的值是( )
A．15 B．17
C．15 D．17
C 解析：由题意知：2c＝8，c＝4，a2＝m，b2＝1，
因为c2＝a2＋b2，所以16＝m＋1，解得m＝15.故选C．
2．已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A．x25-y220＝1 B．x220-y25＝1
C．3x225-3y2100＝1 D．3x2100-3y225＝1
A 解析：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝bax与直线y＝2x＋10平行，
所以ba＝2，且左焦点为(－5，0)．所以a2＋b2＝c2＝25.解得a2＝5，b2＝20.
故双曲线方程为x25-y220＝1.故选A．
考点3 双曲线的几何性质——应用性
考向1 双曲线的渐近线
已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点．若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±3x B．y＝±33x
C．y＝±2x D．y＝±12x
B 解析：设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，四边形AFBF′是矩形，所以S△ABF＝S△AFF′，即bc＝8，由x2+y2=c2，x2a2-y2b2=1，得y＝±b2c，所以|MN|＝2b2c＝2，所以b2＝c，所以b＝2，c＝4，所以a＝23，C的渐近线方程为y＝±33x.故选B．
求双曲线的渐近线的方法
(1)由条件求出a，b的值，根据双曲线焦点的位置写出渐近线方程．
(2)由条件c2＝a2＋b2得到关于a，b的方程，构造关于ba的方程，通过解方程求ba，进而写出渐近线方程．
考向2 双曲线的离心率
(2022·浙江卷)已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)且x1<0
求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2+b2a2＝1＋b2a2直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
考向3 与双曲线有关的最值和范围问题
若双曲线x24-y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( )
A．8 B．9
C．10 D．12
B 解析：由题意知，双曲线x24-y212＝1的左焦点F的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋4-12+0-42＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．
所以|PF|＋|PA|的最小值为9.
与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换求解．
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决.
1．已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋3y－4＝0垂直，则该双曲线的离心率为( )
A．233 B．43
C．2 D．4
C 解析：由题意可知ba·-33＝－1，所以ba＝3，
所以e＝ca＝1+ba2＝2.故选C．
2．已知点F是双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1＋2，＋∞) B．(1，1＋2)
C．(2，＋∞) D．(2，1＋2)
C 解析：因为双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，
所以∠AEF＝∠BEF.
因为∠AEB是钝角，所以AF＞EF.
因为F为右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，
所以AF＝b2a.
因为EF＝a＋c，所以b2a＞a＋c，即c2－ac－2a2＞0.
解得ca＞2或ca<－1.
双曲线的离心率的范围是(2，＋∞)．故选C．
拓展考点 焦点三角形
椭圆或双曲线上的点P(x0，y0)与左、右焦点构成的三角形称为焦点三角形，其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边．
(1)在椭圆中，
①焦点三角形的周长是定值，l＝2a＋2c.
②△PF1F2中三边的关系，除定义|PF1|＋|PF2|＝2a外，还有余弦定理：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ.
③|PF1|·|PF2|的最大值为a2(当且仅当x0＝0时取得)，最小值为b2(当且仅当x0＝±a时取得)．
④S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin θ＝b2tan θ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，最大值为bc.
(2)在双曲线中，双曲线上的一点(非实轴端点)与两个焦点构成的三角形为焦点△PF1F2，由余弦定理与定义可得S△PF1F2＝b2tanθ2＝c·|yP|.
已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1)解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝PF12+PF22-F1F222PF1PF2，
即cos 60°＝m+n2-2mn-4c22mn＝4a2-4c22mn－1≥2a2-c2m+n22－1＝2a2-c2a2－1＝1－2c2a2＝1－2e2，当且仅当m＝n时取“＝”，所以e2≥14.
又e∈(0，1)，所以e∈12，1.
(2)证明：由(1)，知cos 60°＝m+n2-2mn-4c22mn＝4a2-4c22mn－1，所以mn＝43b2，
所以S△F1PF2＝12mn sin 60°＝33b2，
即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
如图所示，已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积．
解：在△MF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝MF12+MF22－2|MF1|·|MF2|·cos θ.①
因为|F1F2|2＝4c2，|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1|·|MF2|＝4a2＋2|MF1|·|MF2|，
所以①式化为4c2＝4a2＋2|MF1|·|MF2|(1－cos θ)，
所以|MF1|·|MF2|＝2b21-cosθ，
所以S△MF1F2＝12|MF1|·|MF2|·sin θ＝b2sinθ1-cosθ＝b2·2sinθ2·cosθ21-1-2sin2θ2＝b2tanθ2.
已知A，F，P分别为双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点．若∠PFA＝2∠PAF恒成立，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．3
C．2 D．1＋3
[四字程序]
读
想
算
思
A，F分别是双曲线的左顶点和右焦点，P是双曲线右支上的动点
1．双曲线的离心率的表达式是什么？
2．如何把几何条件∠PFA＝2∠PAF转化为代数式
设∠PAF＝α，建立∠PAF和∠PFA之间的联系
数形
结合
∠PFA＝2∠PAF，求双曲线的离心率
1．e＝ca＝1+b2a2.
2．转化为直线的倾斜角，进而用直线的斜率表示二者之间的关系
tan ∠PFA＝tan 2α＝
2tanα1-tan2α
利用特殊值法或者代数运算，都要结合图形解决问题
思路参考：特殊值法，不妨设∠PFA＝90°求解．
C 解析：因为∠PFA＝2∠PAF恒成立，
不妨令∠PFA＝90°，则∠PAF＝45°.
在双曲线x2a2-y2b2＝1中，令x＝c，易得Pc，±b2a.
因为tan∠PAF＝1，所以b2a＝a＋c，
所以c2－ac－2a2＝0，
所以(c＋a)(c－2a)＝0，
解得c＝2a，即e＝2.
思路参考：利用诱导公式表示出直线PA，PF之间斜率的关系求解．
C 解析：设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，kPA＝k1，kPF＝k2，k2＝tan (π－2α)＝-2tanα1-tan2α＝-2k11-k12.
设点P(x0，y0)，故x02a2-y02b2＝1.①
因为k2＝y0x0-c，k1＝y0x0+a，
所以y0x0-c＝-2y0x0+ax0+a2-y02.②
联立①②消去y0得：
4-c2a2x02＋(4a－2c)x0＋c2－2ac＝0，(*)
当且仅当4-c2a2=0， 4a-2c=0，c2-2ac=0 时，(*)式恒成立，
此时e＝ca＝2.
思路参考：构造相似三角形，结合平面几何知识求解．
C 解析：如图1，∠ACB＝2∠ABC，由平面几何知识，
△ACD∽△BAD，故bc＝ca+b，
所以c2－b2＝ab，反之亦然．
图1
在双曲线中，设点P(x0，y0)，
过点P作PM⊥AF，如图2.
图2
因为∠PFA＝2∠PAF，
同理可得|PA|2－|PF|2＝|AF|·|PF|.
又|PA|2－|PF|2＝(|AM|2＋|MP|2)－(|MF|2＋|MP|2)＝(|AM|＋|MF|)(|AM|－|MF|)＝|AF|·(2x0＋a－c)，
所以|PF|＝2x0＋a－c.
由双曲线的焦半径公式知，|PF|＝ex0－a，
所以2x0＋a－c＝ex0－a，此时e＝ca＝2.
思路参考：设出点P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解．
C 解析：如图，作PM⊥AF于点M，
设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，设点P(m，n)．
在Rt△PAM中，tan α＝nm+a，
在Rt△PFM中，tan 2α＝nc-m.
因为tan 2α＝2tanα1-tan2α，
所以nc-m＝2nm+am+a2-n2，
所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－n2，
所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－m2a2-1b2，
所以－2m2＋2(c－a)m＋2ac＝1-b2a2m2＋2am＋c2恒成立．
所以-2=1-b2a2，c-a=a， 2a=c， 所以e＝ca＝2.
1．本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几何性质寻找a，c的关系式．
2．基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率公式和正切的二倍角公式．本题的解答体现了数学运算的核心素养．
3．基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体现了基础性和综合性的统一．
已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
A．2 B．2
C．322 D．22
D 解析：(方法一)由离心率e＝ca＝2，得c＝2a.又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到双曲线C的渐近线的距离为41+1＝22.
(方法二)离心率e＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，所以点(4，0)到双曲线C的渐近线的距离为41+1＝22.
课时质量评价(四十八)
A组 全考点巩固练
1．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x22-y214＝1(x≥2) B．x22-y214＝1(x≤－2)
C．x22+y214＝1(x≥2) D．x22+y214＝1(x≤－2)
A 解析：设动圆M的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，所以|MC1|－|MC2|＝22＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点，实轴长为2a＝22的双曲线的右支上，即a＝2，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为x22-y214＝1(x≥2)．
2．已知双曲线C：x216-y2b2＝1(b＞0)，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l分别交C的左、右支于点A，B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝( )
A．4 B．8
C．16 D．32
C 解析：由双曲线定义知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，由于|AF1|＝|BF1|，所以两式相加可得|AF2|－|BF2|＝4a，而|AB|＝|AF2|－|BF2|，
所以|AB|＝4a，由双曲线方程知a＝4，所以|AB|＝16.故选C．
3．已知双曲线x24-y2b2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A．x24-3y24＝1 B．x24-4y23＝1
C．x24-y24＝1 D．x24-y212＝1
D 解析：根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x，y)，
所以x2+y2=4，y=b2 x ⇒x=4b2+4， y=4b2+4·b2，
所以xy＝16b2+4·b2＝b2⇒b2＝12，故双曲线的方程为x24-y212＝1.故选D．
4．设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积是( )
A．72 B．3
C．52 D．2
B 解析：由题意可得a＝1，b＝3，c＝2，
所以|F1F2|＝2c＝4.
因为|OP|＝2，
所以|OP|＝12|F1F2|，所以△PF1F2为直角三角形，
所以PF1⊥PF2，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝16.
因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，
所以|PF1|·|PF2|＝6，
所以△PF1F2的面积为S＝12|PF1|·|PF2|＝3.故选B．
5．已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，点P在双曲线上，△PF1F2是等腰三角形且底角的余弦值为34，则该双曲线的离心率为( )
A．43 B．53
C．74 D．2
D 解析：不妨设点P在第一象限，如图，|PF2|＝2c，|PF1|＝2c＋2a，
所以12PF1PF2＝c+a2c＝34，所以ca＝2.(当PF1＝F1F2时不成立)
6．(多选题)已知双曲线E：x2m-y24＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x＋3y＝0，则下列说法正确的是( )
A．双曲线E的焦点在x轴上
B．m＝49
C．双曲线E的实轴长为6
D．双曲线E的离心率为103
AD 解析：由m＞0，可知双曲线E的焦点一定在x轴上，故A正确；根据题意得ba＝2m＝13，所以m＝36，故B错误；双曲线E的实轴长为2m＝12，故C错误；双曲线E的离心率e＝ca＝m+4m＝103，故D正确．故选AD．
7．已知F为双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
2 解析：如图，A(a，0)．
由BF⊥x轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且Bc，b2a，
则kAB＝b2a-0c-a＝3，即b2＝3ac－3a2.
又因为c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，
所以e2－3e＋2＝0.解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2.
8．(2022·全国甲卷)若双曲线y2－x2m2＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
33 解析：双曲线y2－x2m2＝1(m>0)的渐近线为y＝±xm，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝2m1+m2＝1，解得m＝33或m＝－33(舍去)．
9．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为43.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋22与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)．
由已知得a＝23，c＝4，再由a2＋b2＝c2，
得b2＝4，所以双曲线C的标准方程为x212-y24＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋22与x212-y24＝1联立，得(1－3k2)x2－122kx－36＝0.
由题意知1-3k2≠0， Δ=-122k2+4×1-3k2×36＞0，xA+xB=122k1-3k2＜0， xAxB=-361-3k2＞0，
解得33＜k＜1.
所以当33＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．
B组 新高考培优练
10．(多选题)已知双曲线C：x22－y2＝λ(λ<0)，则( )
A．双曲线C的实轴长为定值
B．双曲线C的焦点在y轴上
C．双曲线C的离心率为定值
D．双曲线C的渐近线方程为y＝±22x
BCD 解析：由曲线C：x22－y2＝λ(λ<0)，整理可得y2-λ-x2-2λ＝1(λ<0)，所以曲线表示焦点在y轴上的双曲线，且a2＝－λ(λ<0)，不是定值，所以A不正确，B正确；离心率e＝ca＝1+a2b2＝1+12＝62为定值，所以C正确；渐近线的方程为x22＝y2，即y＝±22x，所以D正确．故选BCD．
11．已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点落在直线y＝x－2上，双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为( )
A．x23-y24＝1 B．x24-y23＝1
C．x2－y23＝1 D．x23－y2＝1
D 解析：依题意得，直线y＝x－2与x轴的交点(2，0)是双曲线的一个焦点，于是有a2＋b2＝4.又双曲线的焦点到渐近线的距离为b＝1，因此有a2＝3，故双曲线的方程为x23－y2＝1.
12．已知双曲线y2a2-x2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e∈(1，2]，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是( )
A．0，π6 B．0，π3
C．π6，π2 D．π3，π2
C 解析：因为双曲线y2a2-x2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e∈(1，2]，所以1＜ca≤2，所以1＜c2a2≤4，又c2＝a2＋b2，所以0＜b2a2≤3，所以a2b2≥13，所以ab≥33.y2a2-x2b2＝1(a＞0，b＞0)经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝abx，设该渐近线的倾斜角为α，则tan α＝ab≥33.又α∈0，π2，所以α∈π6，π2.
13．(2022·全国甲卷)记双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值：________．
2 (满足10，b>0)，所以C的渐近线方程为y＝±bax，结合渐近线的特点，只需01，所以1
55 解析：因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，
而c2＝5a2，即2c＝25a，
所以cos ∠AF2F1＝F1F22+AF22-AF122F1F2AF2＝20a2+4a2-16a22×25a×2a＝55.
15．已知双曲线C：x23－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝________．
3 解析：因为双曲线x23－y2＝1的渐近线方程为y＝±33x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝33x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°.又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－3(x－2)．
由y=-3x-2，y=33x， 得x=32，y=32，
所以M32，32，所以|OM|＝322+322＝3，
所以|MN|＝3|OM|＝3.
16．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解：(1)由题知c＝13，设椭圆方程为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，
双曲线方程为x2m2-y2n2＝1(m＞0，n＞0)，
则a-m=4， 7·13a=3·13m，解得a=7，m=3.则b＝6，n＝2.
故椭圆方程为x249+y236＝1，双曲线方程为x29-y24＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝213，
所以cos ∠F1PF2＝PF12+PF22-F1F222PF1PF2＝102+42-21322×10×4＝45.
第六节 双曲线
考试要求：1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
2．了解双曲线的简单几何性质．
一、教材概念·结论·性质重现
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当a
(3)当a>c时，点P不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2a2-y2b2＝1
(a>0，b>0)
y2a2-x2b2＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
离心率
e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2+b2
实虚轴
实轴|A1A2|＝2a；
虚轴|B1B2|＝2b；
实半轴长a，虚半轴长b
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3．双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a(通径)．
过双曲线的焦点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为2b2a；与两支相交所得弦长的最小值为2a.
(4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.
(5)双曲线的离心率公式可表示为e＝1+b2a2.
(6)双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的形状与e的关系：|k|＝ba＝c2a2-1＝e2-1，e越大，即渐近线斜率的绝对值就越大，双曲线开口就越开阔．
(7)x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)与y2b2-x2a2＝1(a＞0，b＞0)互为共轭双曲线，其离心率倒数的平方和为1.
(8)已知双曲线方程为x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)，与其渐近线相同的双曲线方程可设为x2a2-y2b2＝λ(λ≠0)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． ( × )
(2)方程x2m-y2n＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线． ( × )
(3)双曲线方程x2m2-y2n2＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2-y2n2＝0，即xm±yn＝0. ( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2. ( √ )
2．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是( )
A．28
B．14－82
C．14＋82
D．82
C 解析：根据双曲线定义可知，|PF2|－|PF1|＝42，|QF2|－|QF1|＝42，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝82，所以|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2|PQ|＋82＝14＋82.故选C．
3．双曲线y29-x24＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±94x B．y＝±49x
C．y＝±32x D．y＝±23x
C 解析：双曲线y29-x24＝1中，a＝3，b＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±32x.
4．焦点是(0，±2)，且与双曲线x23-y23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是( )
A．x2－y23＝1 B．y2－x23＝1
C．x2－y2＝2 D．y2－x2＝2
D 解析：由已知，得双曲线焦点在y轴上，且为等轴双曲线．故选D．
5．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
x28-y28＝1 解析：当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为x2a2-y2a2＝1，
把A(3，－1)代入方程得9a2-1a2＝1，a2＝8，所以双曲线的标准方程为x28-y28＝1.
当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为y2a2-x2a2＝1，
把A(3，－1)代入方程得1a2-9a2＝1，a2＝－8(舍)．
故所求双曲线方程为x28-y28＝1.
考点1 双曲线的定义——基础性
1．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )
A．x＝0 B．x22-y214＝1(x≥2)
C．x22-y214＝1 D．x22-y214＝1或x＝0
D 解析：动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都外切；②动圆M与两圆都内切；③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切．
在①②情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x＝0；
在③的情况下，设动圆M的半径为r，
则|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2.
故得|MC1|－|MC2|＝22；
在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝22.
由③④得|MC1|－|MC2|＝±22.已知|C1C2|＝8，
根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，且a＝2，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程为x22-y214＝1.故选D．
2．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( )
A．19 B．26
C．43 D．50
B 解析：如图所示，
由双曲线的定义可得PF2-PF1=2a，①QF2-QF1=2a，②
①＋②得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a，
所以△F2PQ的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|
＝4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.
1．定义理解：①距离之差的绝对值，不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是一支．
②2a<|F1F2|，否则轨迹是射线或不存在．
2．方程理解：
①求双曲线方程时，注意标准形式的判断及焦点位置，否则x2与y2的系数会错．
②注意a，b，c的关系易错易混．大小关系c>a>0，c>b>0；数量关系c2＝a2＋b2.这两个关系与椭圆中的均不同，不能混淆．
考点2 双曲线的标准方程——综合性
(1)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212+y23＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A．x28-y210＝1 B．x24-y25＝1
C．x25-y24＝1 D．x24-y23＝1
B 解析：椭圆x212+y23＝1的焦点坐标为(±3，0)，则双曲线的焦点坐标为(±3，0)，可得c＝3，双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，可得ba＝52，即c2-a2a2＝54，可得ca＝32，解得a＝2，b＝5，所求的双曲线C的方程为x24-y25＝1.故选B．
(2)(多选题)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列说法正确的是( )
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为n
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±-mnx
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
ACD 解析：对于A，当m＞n＞0时，有1n＞1m＞0，方程化为x21m+y21n＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．
对于B，当m＝n＞0时，方程化为x2＋y2＝1n，表示半径为1n的圆，故B错误．
对于C，当m＞0，n＜0时，方程化为x21m-y2-1n＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝1m，b＝-1n，渐近线方程为y＝± -mnx；当m＜0，n＞0时，方程化为y21n-x2-1m＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝ 1n，b＝-1m，渐近线方程为y＝± -mnx，故C正确．
对于D，当m＝0，n＞0时，方程化为y＝± 1n，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．
将本例(2)的方程变为(m－1)x2＋my2＝m(m－1)(m∈R)，则该方程可以表示哪些曲线？
解：对于方程(m－1)x2＋my2＝m(m－1)，
①当m＝1时，方程即y2＝0，即 y＝0，表示x轴．
②当m＝0时，方程即x2＝0，即 x＝0，表示y轴．
③当m≠1，且 m≠0时，方程即x2m+y2m-1＝1，
若m＝m－1，即m∈∅时，方程不可能是圆；
若m(m－1)＜0，方程表示双曲线；
若m(m－1)＞0且m≠m－1，方程表示椭圆．
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值；与双曲线x2a2-y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2-y2b2＝λ(λ≠0)；也可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
1．若双曲线x2m－y2＝1的焦距为8，则实数m的值是( )
A．15 B．17
C．15 D．17
C 解析：由题意知：2c＝8，c＝4，a2＝m，b2＝1，
因为c2＝a2＋b2，所以16＝m＋1，解得m＝15.故选C．
2．已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A．x25-y220＝1 B．x220-y25＝1
C．3x225-3y2100＝1 D．3x2100-3y225＝1
A 解析：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝bax与直线y＝2x＋10平行，
所以ba＝2，且左焦点为(－5，0)．所以a2＋b2＝c2＝25.解得a2＝5，b2＝20.
故双曲线方程为x25-y220＝1.故选A．
考点3 双曲线的几何性质——应用性
考向1 双曲线的渐近线
已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点．若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±3x B．y＝±33x
C．y＝±2x D．y＝±12x
B 解析：设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，四边形AFBF′是矩形，所以S△ABF＝S△AFF′，即bc＝8，由x2+y2=c2，x2a2-y2b2=1，得y＝±b2c，所以|MN|＝2b2c＝2，所以b2＝c，所以b＝2，c＝4，所以a＝23，C的渐近线方程为y＝±33x.故选B．
求双曲线的渐近线的方法
(1)由条件求出a，b的值，根据双曲线焦点的位置写出渐近线方程．
(2)由条件c2＝a2＋b2得到关于a，b的方程，构造关于ba的方程，通过解方程求ba，进而写出渐近线方程．
考向2 双曲线的离心率
(2022·浙江卷)已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)且x1<0
求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2+b2a2＝1＋b2a2直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
考向3 与双曲线有关的最值和范围问题
若双曲线x24-y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( )
A．8 B．9
C．10 D．12
B 解析：由题意知，双曲线x24-y212＝1的左焦点F的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋4-12+0-42＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．
所以|PF|＋|PA|的最小值为9.
与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换求解．
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决.
1．已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋3y－4＝0垂直，则该双曲线的离心率为( )
A．233 B．43
C．2 D．4
C 解析：由题意可知ba·-33＝－1，所以ba＝3，
所以e＝ca＝1+ba2＝2.故选C．
2．已知点F是双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1＋2，＋∞) B．(1，1＋2)
C．(2，＋∞) D．(2，1＋2)
C 解析：因为双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，
所以∠AEF＝∠BEF.
因为∠AEB是钝角，所以AF＞EF.
因为F为右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，
所以AF＝b2a.
因为EF＝a＋c，所以b2a＞a＋c，即c2－ac－2a2＞0.
解得ca＞2或ca<－1.
双曲线的离心率的范围是(2，＋∞)．故选C．
拓展考点 焦点三角形
椭圆或双曲线上的点P(x0，y0)与左、右焦点构成的三角形称为焦点三角形，其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边．
(1)在椭圆中，
①焦点三角形的周长是定值，l＝2a＋2c.
②△PF1F2中三边的关系，除定义|PF1|＋|PF2|＝2a外，还有余弦定理：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ.
③|PF1|·|PF2|的最大值为a2(当且仅当x0＝0时取得)，最小值为b2(当且仅当x0＝±a时取得)．
④S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin θ＝b2tan θ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，最大值为bc.
(2)在双曲线中，双曲线上的一点(非实轴端点)与两个焦点构成的三角形为焦点△PF1F2，由余弦定理与定义可得S△PF1F2＝b2tanθ2＝c·|yP|.
已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1)解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝PF12+PF22-F1F222PF1PF2，
即cos 60°＝m+n2-2mn-4c22mn＝4a2-4c22mn－1≥2a2-c2m+n22－1＝2a2-c2a2－1＝1－2c2a2＝1－2e2，当且仅当m＝n时取“＝”，所以e2≥14.
又e∈(0，1)，所以e∈12，1.
(2)证明：由(1)，知cos 60°＝m+n2-2mn-4c22mn＝4a2-4c22mn－1，所以mn＝43b2，
所以S△F1PF2＝12mn sin 60°＝33b2，
即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
如图所示，已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积．
解：在△MF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝MF12+MF22－2|MF1|·|MF2|·cos θ.①
因为|F1F2|2＝4c2，|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1|·|MF2|＝4a2＋2|MF1|·|MF2|，
所以①式化为4c2＝4a2＋2|MF1|·|MF2|(1－cos θ)，
所以|MF1|·|MF2|＝2b21-cosθ，
所以S△MF1F2＝12|MF1|·|MF2|·sin θ＝b2sinθ1-cosθ＝b2·2sinθ2·cosθ21-1-2sin2θ2＝b2tanθ2.
已知A，F，P分别为双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点．若∠PFA＝2∠PAF恒成立，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．3
C．2 D．1＋3
[四字程序]
读
想
算
思
A，F分别是双曲线的左顶点和右焦点，P是双曲线右支上的动点
1．双曲线的离心率的表达式是什么？
2．如何把几何条件∠PFA＝2∠PAF转化为代数式
设∠PAF＝α，建立∠PAF和∠PFA之间的联系
数形
结合
∠PFA＝2∠PAF，求双曲线的离心率
1．e＝ca＝1+b2a2.
2．转化为直线的倾斜角，进而用直线的斜率表示二者之间的关系
tan ∠PFA＝tan 2α＝
2tanα1-tan2α
利用特殊值法或者代数运算，都要结合图形解决问题
思路参考：特殊值法，不妨设∠PFA＝90°求解．
C 解析：因为∠PFA＝2∠PAF恒成立，
不妨令∠PFA＝90°，则∠PAF＝45°.
在双曲线x2a2-y2b2＝1中，令x＝c，易得Pc，±b2a.
因为tan∠PAF＝1，所以b2a＝a＋c，
所以c2－ac－2a2＝0，
所以(c＋a)(c－2a)＝0，
解得c＝2a，即e＝2.
思路参考：利用诱导公式表示出直线PA，PF之间斜率的关系求解．
C 解析：设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，kPA＝k1，kPF＝k2，k2＝tan (π－2α)＝-2tanα1-tan2α＝-2k11-k12.
设点P(x0，y0)，故x02a2-y02b2＝1.①
因为k2＝y0x0-c，k1＝y0x0+a，
所以y0x0-c＝-2y0x0+ax0+a2-y02.②
联立①②消去y0得：
4-c2a2x02＋(4a－2c)x0＋c2－2ac＝0，(*)
当且仅当4-c2a2=0， 4a-2c=0，c2-2ac=0 时，(*)式恒成立，
此时e＝ca＝2.
思路参考：构造相似三角形，结合平面几何知识求解．
C 解析：如图1，∠ACB＝2∠ABC，由平面几何知识，
△ACD∽△BAD，故bc＝ca+b，
所以c2－b2＝ab，反之亦然．
图1
在双曲线中，设点P(x0，y0)，
过点P作PM⊥AF，如图2.
图2
因为∠PFA＝2∠PAF，
同理可得|PA|2－|PF|2＝|AF|·|PF|.
又|PA|2－|PF|2＝(|AM|2＋|MP|2)－(|MF|2＋|MP|2)＝(|AM|＋|MF|)(|AM|－|MF|)＝|AF|·(2x0＋a－c)，
所以|PF|＝2x0＋a－c.
由双曲线的焦半径公式知，|PF|＝ex0－a，
所以2x0＋a－c＝ex0－a，此时e＝ca＝2.
思路参考：设出点P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解．
C 解析：如图，作PM⊥AF于点M，
设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，设点P(m，n)．
在Rt△PAM中，tan α＝nm+a，
在Rt△PFM中，tan 2α＝nc-m.
因为tan 2α＝2tanα1-tan2α，
所以nc-m＝2nm+am+a2-n2，
所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－n2，
所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－m2a2-1b2，
所以－2m2＋2(c－a)m＋2ac＝1-b2a2m2＋2am＋c2恒成立．
所以-2=1-b2a2，c-a=a， 2a=c， 所以e＝ca＝2.
1．本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几何性质寻找a，c的关系式．
2．基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率公式和正切的二倍角公式．本题的解答体现了数学运算的核心素养．
3．基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体现了基础性和综合性的统一．
已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
A．2 B．2
C．322 D．22
D 解析：(方法一)由离心率e＝ca＝2，得c＝2a.又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到双曲线C的渐近线的距离为41+1＝22.
(方法二)离心率e＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，所以点(4，0)到双曲线C的渐近线的距离为41+1＝22.
课时质量评价(四十八)
A组 全考点巩固练
1．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x22-y214＝1(x≥2) B．x22-y214＝1(x≤－2)
C．x22+y214＝1(x≥2) D．x22+y214＝1(x≤－2)
A 解析：设动圆M的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，所以|MC1|－|MC2|＝22＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点，实轴长为2a＝22的双曲线的右支上，即a＝2，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为x22-y214＝1(x≥2)．
2．已知双曲线C：x216-y2b2＝1(b＞0)，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l分别交C的左、右支于点A，B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝( )
A．4 B．8
C．16 D．32
C 解析：由双曲线定义知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，由于|AF1|＝|BF1|，所以两式相加可得|AF2|－|BF2|＝4a，而|AB|＝|AF2|－|BF2|，
所以|AB|＝4a，由双曲线方程知a＝4，所以|AB|＝16.故选C．
3．已知双曲线x24-y2b2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A．x24-3y24＝1 B．x24-4y23＝1
C．x24-y24＝1 D．x24-y212＝1
D 解析：根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x，y)，
所以x2+y2=4，y=b2 x ⇒x=4b2+4， y=4b2+4·b2，
所以xy＝16b2+4·b2＝b2⇒b2＝12，故双曲线的方程为x24-y212＝1.故选D．
4．设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积是( )
A．72 B．3
C．52 D．2
B 解析：由题意可得a＝1，b＝3，c＝2，
所以|F1F2|＝2c＝4.
因为|OP|＝2，
所以|OP|＝12|F1F2|，所以△PF1F2为直角三角形，
所以PF1⊥PF2，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝16.
因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，
所以|PF1|·|PF2|＝6，
所以△PF1F2的面积为S＝12|PF1|·|PF2|＝3.故选B．
5．已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，点P在双曲线上，△PF1F2是等腰三角形且底角的余弦值为34，则该双曲线的离心率为( )
A．43 B．53
C．74 D．2
D 解析：不妨设点P在第一象限，如图，|PF2|＝2c，|PF1|＝2c＋2a，
所以12PF1PF2＝c+a2c＝34，所以ca＝2.(当PF1＝F1F2时不成立)
6．(多选题)已知双曲线E：x2m-y24＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x＋3y＝0，则下列说法正确的是( )
A．双曲线E的焦点在x轴上
B．m＝49
C．双曲线E的实轴长为6
D．双曲线E的离心率为103
AD 解析：由m＞0，可知双曲线E的焦点一定在x轴上，故A正确；根据题意得ba＝2m＝13，所以m＝36，故B错误；双曲线E的实轴长为2m＝12，故C错误；双曲线E的离心率e＝ca＝m+4m＝103，故D正确．故选AD．
7．已知F为双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
2 解析：如图，A(a，0)．
由BF⊥x轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且Bc，b2a，
则kAB＝b2a-0c-a＝3，即b2＝3ac－3a2.
又因为c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，
所以e2－3e＋2＝0.解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2.
8．(2022·全国甲卷)若双曲线y2－x2m2＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
33 解析：双曲线y2－x2m2＝1(m>0)的渐近线为y＝±xm，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝2m1+m2＝1，解得m＝33或m＝－33(舍去)．
9．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为43.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋22与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)．
由已知得a＝23，c＝4，再由a2＋b2＝c2，
得b2＝4，所以双曲线C的标准方程为x212-y24＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋22与x212-y24＝1联立，得(1－3k2)x2－122kx－36＝0.
由题意知1-3k2≠0， Δ=-122k2+4×1-3k2×36＞0，xA+xB=122k1-3k2＜0， xAxB=-361-3k2＞0，
解得33＜k＜1.
所以当33＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．
B组 新高考培优练
10．(多选题)已知双曲线C：x22－y2＝λ(λ<0)，则( )
A．双曲线C的实轴长为定值
B．双曲线C的焦点在y轴上
C．双曲线C的离心率为定值
D．双曲线C的渐近线方程为y＝±22x
BCD 解析：由曲线C：x22－y2＝λ(λ<0)，整理可得y2-λ-x2-2λ＝1(λ<0)，所以曲线表示焦点在y轴上的双曲线，且a2＝－λ(λ<0)，不是定值，所以A不正确，B正确；离心率e＝ca＝1+a2b2＝1+12＝62为定值，所以C正确；渐近线的方程为x22＝y2，即y＝±22x，所以D正确．故选BCD．
11．已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点落在直线y＝x－2上，双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为( )
A．x23-y24＝1 B．x24-y23＝1
C．x2－y23＝1 D．x23－y2＝1
D 解析：依题意得，直线y＝x－2与x轴的交点(2，0)是双曲线的一个焦点，于是有a2＋b2＝4.又双曲线的焦点到渐近线的距离为b＝1，因此有a2＝3，故双曲线的方程为x23－y2＝1.
12．已知双曲线y2a2-x2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e∈(1，2]，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是( )
A．0，π6 B．0，π3
C．π6，π2 D．π3，π2
C 解析：因为双曲线y2a2-x2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e∈(1，2]，所以1＜ca≤2，所以1＜c2a2≤4，又c2＝a2＋b2，所以0＜b2a2≤3，所以a2b2≥13，所以ab≥33.y2a2-x2b2＝1(a＞0，b＞0)经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝abx，设该渐近线的倾斜角为α，则tan α＝ab≥33.又α∈0，π2，所以α∈π6，π2.
13．(2022·全国甲卷)记双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值：________．
2 (满足1
55 解析：因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，
而c2＝5a2，即2c＝25a，
所以cos ∠AF2F1＝F1F22+AF22-AF122F1F2AF2＝20a2+4a2-16a22×25a×2a＝55.
15．已知双曲线C：x23－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝________．
3 解析：因为双曲线x23－y2＝1的渐近线方程为y＝±33x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝33x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°.又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－3(x－2)．
由y=-3x-2，y=33x， 得x=32，y=32，
所以M32，32，所以|OM|＝322+322＝3，
所以|MN|＝3|OM|＝3.
16．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解：(1)由题知c＝13，设椭圆方程为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，
双曲线方程为x2m2-y2n2＝1(m＞0，n＞0)，
则a-m=4， 7·13a=3·13m，解得a=7，m=3.则b＝6，n＝2.
故椭圆方程为x249+y236＝1，双曲线方程为x29-y24＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝213，
所以cos ∠F1PF2＝PF12+PF22-F1F222PF1PF2＝102+42-21322×10×4＝45.
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