2024届高考数学一轮复习第7章解答题模板构建4高考中的数列问题学案

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(2022·新高考Ⅰ卷 )记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Snan是公差为13的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：1a1+1a2＋…＋1an<2.
[规范解答]
(1)解：已知a1＝1，Snan是公差为13的等差数列，
所以Snan＝1＋13(n－1)＝13n＋23，整理得Sn＝13nan＋23an①，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
故当n≥2时，Sn－1＝13n-1an-1+23an-1②，
①－②得：13an＝13nan－13nan－1－13an－1，
故(n－1)an＝(n＋1)an－1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
化简得：anan-1＝n+1n-1，an-1an-2＝nn-2，…，a3a2＝42，a2a1＝31，
所以ana1＝nn+12，
故an＝nn+12(首项符合通项)，
所以an＝nn+12. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
(2)证明：由于an＝nn+12，
所以1an＝2nn+1＝21n-1n+1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
所以1a1+1a2＋…＋1an
＝21-12+12-13+…+1n-1n+1
＝2×1-1n+1<2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分

第一步：利用等差数列的通项公式求出Sn与an的关系式；
第二步：利用递推求差的方法导出数列的递推公式；
第三步：利用累乘法求数列的通项公式；
第四步：根据数列的特征，利用裂项相消法求和；
第五步：利用放缩法证明不等式；
第六步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤．
类型一　等差数列与等比数列综合
1．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.
(1)求证：a1＝b1；
(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．
(1)证明：设等差数列{an}的公差为d，
由a2－b2＝a3－b3，得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，则d＝2b1.
由a2－b2＝b4－a4，得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，
即a1＋d－2b1＝4d－(a1＋3d)，
所以a1＝b1.
(2)解：由(1)知，d＝2b1＝2a1，
由bk＝am＋a1知，b1·2k-1＝a1＋(m－1)d＋a1，
所以b1·2k-1＝b1＋(m－1)·2b1＋b1，即2k-1＝2m.
又1≤m≤500，故2≤2k-1≤1 000，则2≤k≤10，
故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素个数为9.
2．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知2Snn＋n＝2an＋1.
(1)求证：{an}是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
(1)证明：由已知有：2Sn＋n2＝2nan＋n①，
所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2(n＋1)an＋1＋n＋1②，
②－①可得：2an＋1＝2(n＋1)an＋1－2nan－2n，
整理得：an＋1＝an＋1，
由等差数列的定义知{an}为等差数列．
(2)解：由已知有a72＝a4·a9，由(1)知公差为1，
故(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12，
所以an＝－12＋(n－1)×1＝n－13，
故可得：a10，
故Sn在n＝12或者n＝13时取最小值，S12＝S13＝-12+0×132＝－78，
故Sn的最小值为－78.
类型二　数列求和
1．在①a4是a3与a5－8的等差中项；②S2，S3＋4，S4成等差数列中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在公比为2的等比数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(n＋1)log2an，求数列1bn的前n项和Tn.
解：(1)选①：因为a3，a4，a5－8成等差数列，
所以2a4＝a3＋a5－8，
所以16a1＝4a1＋16a1－8，解得a1＝2，
所以an＝2n.
选②：因为S2，S3＋4，S4成等差数列，
所以2(S3＋4)＝S2＋S4，即2a11-231-2+4＝a11-221-2+a11-241-2，所以14a1＋8＝18a1，
解得a1＝2，所以an＝2n.
(2)因为an＝2n，
所以bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)，
所以1bn＝1nn+1＝1n-1n+1，
所以Tn＝1-12+12-13＋…＋1n-1n+1＝1-12+12-13+…+1n-1n+1＝1－1n+1＝nn+1.
2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a1＝2，a2＋a3＋a4＝18.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝|2an－1 000|，求数列{bn}的前15项和T15(用具体数值作答)．
解：(1)因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，所以an＋1－an＝an－an－1，所以{an}为等差数列．设公差为d，因为a1＝2，a2＋a3＋a4＝18，所以3a1＋6d＝18，所以d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n，即an＝2n.
(2)因为bn＝|2an－1 000|，所以bn＝|(2)2n－1 000|＝|2n－1 000|，
所以bn＝1 000-2n，n≤9，2n-1 000，n≥10，
所以T15＝(1 000－21)＋(1 000－22)＋…＋(1 000－29)＋(210－1 000)＋(211－1 000)＋…＋(215－1 000)＝3×1 000－(21＋22＋…＋29)＋(210＋211＋…＋215)＝3×1 000－21-291-2+2101-261-2＝3 000－(210－2)＋210(26－1)＝66 490.