高考数学复习规范答题提升课——数列综合问题（导学案）

这是一份高考数学复习规范答题提升课——数列综合问题（导学案），共3页。

规范答题提升课——数列综合问题
【知晓规范·考场不失分】
【明确思维·答题知策略】
[典例](12分)(2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:1a1+1a2+…+1an<2.
【审题导思】
问题1:求等差数列Snan的通项,需要哪些量? 已知公差为13,再求出S1a1.
问题2:如何用裂项法求和? 用裂项相消法求和时,要对通项进行变换,裂项后可以产生连续相互抵消的项.
【规范解答】
(1)因为a1=1,所以S1=a1=1,S1a1=1,…………1分
(基础得分点①,计算求值)
又因为Snan是公差为13的等差数列,
所以Snan=1+13(n-1)=n+23,
所以Sn=(n+2)an3, ……………………3分
(基础得分点②,等差数列通项公式的应用)
所以当n≥2时,Sn-1=(n+1)an−13,
所以an=Sn-Sn-1=(n+2)an3-(n+1)an−13,……4分
整理得(n-1)an=(n+1)an-1,
即anan−1=n+1n−1, …………………………5分
【分值分布】
基础分
发展分
终极分
≤3分
[4,8]分
≥9分
约25%
约45%
约30%
【满分指导】
(1)得步骤分:对于解题过程中是得分点的,有则给分,无则没分,对于得分点步骤一定要写全.
第(1)问中先求出数列Snan的首项得1分,再根据等差数列的通项公式求出数列Snan的通项,正确得出结论得2分;
第(2)问中正确写出1an=2n(n+1)得1分.
(2)得关键分:对于解题过程中的关键点,有则给分,无则没分,解题时一定要写清得分的关键点.
第(1)问中先分析当n≥2时的情形,由an=Sn-Sn-1得出anan−1=n+1n−1,这是解决此题的关键点,再验证n=1时也成立,有则给分,无则扣分.
(3)得计算分:第(1)问中正确求出数列Snan的首项得1分,错误不得分;
第(1)问中正确使用叠乘法计算出an=n(n+1)2得2分,(如采用其他方法,评分标准相同);
第(2)问中采用裂项法求和,计算正确得2分,错误不得分.
所以当n≥2时an=a1×a2a1×a3a2×…×an−1an−2×anan−1
………………………………6分
=1×31×42×…×nn−2×n+1n−1=n(n+1)2,……………7分
显然对于n=1也成立,
所以{an}的通项公式为an=n(n+1)2.…………8分
(发展得分点,化归:递推数列求通项公式)
(2)1an=2n(n+1)=2(1n-1n+1),…………………10分
所以1a1+1a2+…+1an=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=2(1-1n+1)<2.
(终极得分点,裂项法求数列的前n项和)
…………………………………12分
解题思维
技巧策略
求解数列问题的基本策略在于“归”——化归与归纳:
(1)对于非等差或等比数列,可从特殊情景出发,归纳出一般性的方法、规律;
(2)将已知数列化归为等差(比)数列,然后借助数列的性质或基本量运算求解.