2024届高考数学一轮复习第1章第5节一元二次不等式及其解法学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第1章第5节一元二次不等式及其解法学案，共18页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第五节　一元二次不等式及其解法
考试要求：1．会判断一元二次方程实根的存在及实根的个数，了解函数零点与方程根的关系．
2．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．

一、教材概念·结论·性质重现
1．一元二次不等式
一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c为常数，a≠0.
2．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝
b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象



一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a
没有
实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
xx≠－b2a
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
解集
a a＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a ∅
{x|b

1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记a＝0时的情形．
2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)对∀x∈R恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔a=b=0，c>0 或a>0，Δ<0.
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔a=b=0，c<0 或a<0，Δ<0.
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)不等式x-2x+1≤0的解集为[－1，2]. (　×　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0. (　√　)
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.
(　×　)
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　)
2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝(　　)
A．[－2，－1] B．[－1，2)
C．[－1，1] D．[1，2)
A　解析：A＝{x|x2－2x－3≥0}＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝{x|－2≤x≤－1}．
3．函数f(x)＝3x-x2的定义域为(　　)
A．[0，3]
B．(0，3)
C．(－∞，0]∪[3，＋∞)
D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
A　解析：要使函数f(x)＝3x-x2有意义，则3x－x2≥0，解得0≤x≤3.
4．若函数y＝mx2-1-mx+m的定义域为R，则实数m的取值范围是_________．
13，+∞　解析：要使 y＝mx2-1-mx+m有意义，即 mx2－(1－m)x＋m≥0对∀x∈R恒成立，则 m>0， 1-m2-4m2≤0，解得m≥13.
5．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为x-12 －14　解析：依题意－12，13是方程 ax2＋bx＋2＝0的两个根．
由根与系数的关系得-12+13=-ba，-12×13=2a，解得a＝－12，b＝－2，所以a＋b＝－14.


考点1　一元二次不等式的解法——综合性

考向1　不含参数的一元二次不等式的解法
(1)函数y＝7+6x-x2的定义域是_________．
[－1，7]　解析：要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7.故所求函数的定义域为[－1，7].
(2)解不等式：0 解：原不等式等价于x2-x-2＞0，x2-x-2≤4
⇔x2-x-2＞0，x2-x-6≤0⇔x-2x+1＞0，x-3x+2≤0
⇔x＞2或x＜-1，-2≤x≤3.
借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}．

解一元二次不等式的一般方法和步骤

考向2　含参数的一元二次不等式的解法
解不等式x2－(a＋1)x＋a<0.
解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0.
当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为∅；
当a<1时，原不等式的解集为(a，1)．

将本例中不等式改为ax2－x＋a<0，求不等式的解集．
解：①a＝0时，原不等式即为－x<0，解得x>0.
②Δ＝1－4a2>0，即－12 时，令ax2－x＋a＝0，解得x1＝1+1-4a22a，x2＝1-1-4a22a.
当－12x2}．
当0x2，原不等式解集为{x|x2 ③Δ＝1－4a2<0，即a>12或a<－12时．
当a>12时，原不等式解集为∅.
当a<－12时，原不等式解集为R.
④Δ＝1－4a2＝0，即a＝±12时．
当a＝12时，原不等式解集为∅.
当a＝－12时，原不等式解集为{x|x≠－1}．
综上所述：①a<－12时，原不等式解集为R，
②a＝－12时，原不等式解集为{x|x≠－1}，
③－121-1-4a22a，
④a＝0时，原不等式解集为{x|x>0}，
⑤0 ⑥a≥12时，原不等式解集为∅.


解含参数一元二次不等式的分类讨论依据

提醒：含参数讨论问题最后要综上所述．

1．设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为_________．
-1，23　解析：3x2＋x－2<0变形为(x＋1)·(3x－2)<0，解得－1 2．已知函数f(x)＝3，x<12，1x，x≥12，则不等式x2·f(x)＋x－2≤0的解集是_________．
{x|－1≤x≤1}　解析：原不等式等价于x<12， 3x2+x-2≤0或x≥12， x2·1x +x-2≤0，即x<12，-1≤x≤23或x≥12，x≤1，所以－1≤x<12或12≤x≤1，即解集为{x|－1≤x≤1}．
3．已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2-ax>a2.
解：因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.
①当a>0时，－a4 原不等式的解集为xx<-a4或x>a3．
②当a＝0时，x2>0，
原不等式的解集为{x|x≠0}．
③当a<0时，－a4>a3，
原不等式的解集为xx－a4．
综上所述，当a>0时，不等式的解集为xx<-a4或x>a3；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为xx-a4．

考点2　一元二次方程与一元二次不等式——基础性

1．(2022·济南模拟)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为xx<-13或x>12，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为(　　)
A．x-13 B．xx<-13或x>12
C．{x|－3 D．{x|x<－3或x>2}
C　解析：由题意知a>0，且12，－13是方程ax2－5x＋b＝0的两根，所以-13+12=5a，-13×12=ba，解得a=30，b=-5，所以不等式bx2－5x＋a＝－5x2－5x＋30>0，
即x2＋x－6<0，
解得－3 2．已知不等式ax2－bx－1>0的解集是x-12 A．{x|2 B．{x|x≤2或x≥3}
C．x13 D．xx<13或x>12
B　解析：因为不等式ax2－bx－1>0的解集是-12 所以ax2－bx－1＝0的解是x1＝－12和x2＝－13，且a<0，
所以-12-13=ba， -12×-13=-1a，
解得a=-6，b=5.
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.所以不等式x2－bx－a≥0的解集是{x|x≤2或x≥3}．
3．若关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(1, 3)
C．(－1，3)
D．(－∞， 1)∪(3，＋∞)
C　解析：由关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，可知a＝b<0，所以不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1
1．一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以借助根与系数的关系求待定系数．

考点3　一元二次不等式的恒成立问题——应用性

考向1　在实数集R上的恒成立问题
若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[－2，2]
C．(－2，2] D．(－∞，－2)
C　解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则a-2<0， Δ=4a-22+16a-2<0，
即a-2<0，a2<4， 解得－2 综上，实数a的取值范围是(－2，2].

一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)对∀x∈R恒成立的充要条件是a>0， b2-4ac<0.
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)对∀x∈R恒成立的充要条件是a<0， b2-4ac<0.
考向2　在给定区间上的恒成立问题
若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
A　解析：(方法一)令f(x)＝x2－2x＋a.则由题意，得f-1=-12-2×-1+a≤0，f2=22-2×2+a≤0，
解得a≤－3.故选A.
(方法二)当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立．令f(x)＝-x2＋2x(x∈[－1，2])．而f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x＝－1时，f(x)min＝－3，所以a≤－3.故选A.

给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x) min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x) min≤a，即n≤a.

函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立．
则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2.
所以实数a的取值范围是[－6，2].
(2)对于任意x∈[－2，2]，f(x)≥a恒成立，
即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2，2]恒成立．
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ≤0或②Δ＞0， -a2＜-2， g-2=7-3a≥0
或③Δ＞0， -a2＞2， g2=7+a≥0.
解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅，
解③得－7≤a<－6.
综上可知，实数a的取值范围为[－7，2].
课时质量评价(五)
A组　全考点巩固练
1．(2022·菏泽一中月考)已知集合A＝(－1，3]，B＝xx+2x-1≤0，则A∩B＝(　　)
A．[－2，1) B．(－1，1]
C．(－1，1) D．[－2，3]
C　解析：∵A＝(－1，3]，B＝{x|－2≤x<1}，
∴A∩B＝(－1，1)．
2．不等式x2－4x>2ax＋a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，4)
B．(－4，－1)
C．(－∞，－4)∪(－1，＋∞)
D．(－∞，1)∪(4，＋∞)
B　解析：不等式 x2－4x>2ax＋a在R上恒成立，即Δ＝(2a＋4)2＋4a＝4a2＋20a＋16<0，所以－4 3．(2023·济南模拟)已知不等式ax2＋bx－2＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式ax2＋(b－1)x－3＞0的解集为(　　)
A．R B．∅
C．{x|－1＜x＜3} D．{x|x＜－1或x＞3}
D　解析：因为不等式ax2＋bx－2＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，
所以－1，2是方程ax2＋bx－2＝0的两根，
故-1+2=-ba，-1×2=-2a，解得a＝1，b＝－1，
则不等式ax2＋(b－1)x－3＝x2－2x－3＞0的解集为{x|x＞3或x＜－1}．故选D.
4．(多选题)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)，则下列说法正确的是(　　)
A．若不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，则k＝－25
B．若不等式的解集为xx∈R，x≠1k，则k＝66
C．若不等式的解集为R，则k＜－66
D．若不等式的解集为∅，则k≥66
ACD　解析：对于A，因为不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，所以k＜0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，所以(－3)＋(－2)＝2k，解得k＝－25，故A正确；对于B，因为不等式的解集为xx∈R，x≠1k，所以k<0， Δ=4-24k2=0，解得k＝－66，故B错误；对于C，由题意，得k<0， Δ=4-24k2<0，解得k＜－66，故C正确；对于D，由题意，得k>0， Δ=4-24k2≤0，解得k≥66，故D正确．
5．不等式2x+1x-5≥－1的解集为_________．
xx≤43或x>5　解析：将原不等式移项通分得3x-4x-5≥0，
等价于(3x-4)x-5≥0，x-5≠0.
解得x≤43或x>5.
所以原不等式的解集为xx≤43或x>5.
6．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是-12，-13，则不等式x2－bx－a＜0的解集为_________．
(2，3)　解析：由题意知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的两根．所以，由根与系数的关系得-12+-13=ba，-12×-13=-1a，
解得a=-6，b=5. 所以不等式x2－bx－a＜0，即为x2－5x＋6＜0，易得解集为(2，3)．
7．甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100·5x+1-3x元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围．
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？求最大利润．
解：(1)根据题意得2005x+1-3x≥3 000，整理得5x－14－3x≥0，即5x2－14x－3≥0.又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元， x的取值范围是[3, 10].
(2)设利润为y元，则y＝900x·1005x+1-3x
＝9×1045+1x-3x2
＝9×104-31x-162+6112 ，
故x＝6时， ymax＝457 500元，即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．
B组　新高考培优练
8．已知R是实数集，集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝xx-62x-1≥0，则A∩(∁RB)＝(　　)
A．(1，6) B．[－1，2]
C．12，2 D．12，2
C　解析：由x2－x－2≤0，可得A＝{x|－1≤x≤2}．
由x-62x-1≥0，得(x-6)2x-1≥0，2x-1≠0，
所以B＝xx<12或x≥6，
所以∁RB＝x12≤x<6，
所以A∩(∁RB)＝x12≤x≤2.故选C.
9．(2023·青岛质检)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(ac≠0)，若f(x)<0的解集为(－1，m)，则下列说法正确的是(　　)
A．f(m－1)<0
B．f(m－1)>0
C．f(m－1)必与m同号
D．f(m－1)必与m异号
D　解析：因为f(x)<0的解集为(－1，m)，
所以－1，m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(ac≠0)的两个实数根，且a>0.
所以f(x)＝a(x＋1)(x－m)．
所以f(m－1)＝－am与m必异号．
故选D.
10．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价的方法来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件，那么要保证每天所赚的利润在320元以上，每件售价应定为(　　)
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
C　解析：设销售价定为每件x元，利润为y元，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
由题意得(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，解得12 所以每件销售价应为12元到16元之间．故选C.
11．已知a＞0，且a≠1，函数f(x)＝loga2x2+1，x≥0，ax，x＜0. 若f(f(－1))＝2，则a＝________，f(x)≤4的解集为________________．
2　-∞，62　解析：由题可知，f(f(－1))＝f(a-1)＝loga2a2+1＝2，则a2＝2a2＋1，即a4－a2－2＝0，解得a2＝2，故a＝2.
当x≥0时，f(x)＝log2(2x2+1)≤4，解得0≤x≤62；
当x＜0时，f(x)＝(2)x≤4恒成立．故不等式的解集为-∞，62.
12．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)．若关于x的不等式f(x) 9　解析：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝x+a22＋b－a24.
因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－a24＝0，即b＝a24.
所以f(x)＝x+a22.
又f(x) 即－a2-c 所以-a2-c=m，①-a2+c=m+6.②
②－①，得2c＝6，所以c＝9.
13．解不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(x∈R)．
解：若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等价于x-1a(x－1)>0，
解得x<1a或x>1.
若a>0，原不等式等价于x-1a(x－1)<0.
①当a＝1时，1a＝1，x-1a(x－1)<0无解．
②当a>1时，1a<1，解x-1a(x－1)<0得1a ③当01，解x-1a(x－1)<0得1 综上所述：当a<0时，解集为xx<1a或x>1；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；
当0 当a＝1时，解集为∅；
当a>1时，解集为x1a