四川省广元市宝轮中学2023届高三仿真考试（二）数学（文）试题（解析版）

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四川省广元市宝轮中学高2023届仿真考试（二）
数学（文）
考试时间120分钟；满分150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1. 设全集，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算出全集，再根据补集，求出集合M,分别判断各个选项即可.

【详解】由题意得，从而，故A正确，B，C，D都错误.
故选：A.

2. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的运算法则计算及复数的几何意义即可判定
【详解】，
即对应的点为位于第三象限.
故选：C
3. 命题 “”，则p为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定形式求解.
【详解】命题 “”为全称命题，其否定为特称命题，
即p：.
故选：C
4. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy=4的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】构成的数对有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共有16个，
其中满足xy=4的有（1，4），（4，1），（2，2），3个结果，
所以所求事件的概率为.
故选：C
5. 函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据奇偶性排除CD,再代入特值验证即可.
【详解】因为函数的定义域为,
且,
所以函数是偶函数,其函数图像关于轴对称,排除CD.
又,排除B.
故选:A.
6. 已知圆，则圆被轴所截得弦长为（ ）
A. 4 B. C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出圆心坐标与半径，求出圆心到轴的距离，再根据勾股定理计算可得.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆心到轴的距离为，所以弦长为.
故选：C
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用降幂公式及诱导公式计算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：A
8. 已知，，则（ ）
A. B. C. 25 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由指对互换，表示出，代入原式即可.
【详解】由， .
故选：A.
9. 执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的为（ ）

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据循环结构，本题可转化为当即结束，经计算即可得解.
【详解】根据题意，即经过次循环后，结合根据判断框，
可得，
所以，又，
所以时循环结束.
故选：B
10. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数．如图所示，三角形数，，，……在这个自然数中三角形数的个数是（    ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先找出规律，根据规律求出通项公式，利用通项公式可求答案.
【详解】由题意知，，……
可归纳为，则，，
故在中三角形数的个数为个.
故选：A．
11. 已知F1，F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，且与C的右支交于点Q，若（O为坐标原点），则C的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】因为，O是的中点，所以为PF2的中点．又，到渐近线的距离为，得出的余弦值，在△QF2F1中，利用双曲线的定义和余弦定理列方程求解即可.
【详解】根据对称性不妨设P为第一象限的点，
∵O为F1F2的中点，又，∴Q为PF2的中点，
又F2（c，0）到的距离，
∴|PF2|＝b，∴|QF2|＝，

连接，所以，又|F1F2|＝2c，
∵PO的斜率为，又QF2⊥PO，
∴QF2的斜率为，∴，∴，
在△QF2F1中，由余弦定理可得：
，化简可得a＝b，
∴双曲线C的离心率为＝.
故选：A.
12. 在三棱锥中，平面，且，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据已知条件用把三棱锥的体积表示出来，然后利用导数确定体积取最大值时的值，进而确定出三棱锥外接球的半径，从而求出体积.
【详解】设，则，
故三棱锥的体积.

设，则.
由，得；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
即三棱锥体积的最大值是，此时，即.
因为平面，
所以三棱锥外接球的半径，
则三棱锥外接球的体积为.
故选：B.
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13. 已知变量x，y满足约束条件，则的最大值是 _____.
【答案】5
【解析】
【分析】作出不等式组对应的平面区域，再由几何意义求解即可.
【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：

由得，
平移直线，
由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，
此时z最大，
由解得，此时，
故答案为：5.
14. 若向量，不共线，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量运算的坐标公式及向量垂直和共线的坐标表示列方程求，再根据数量积的坐标运算公式求.
【详解】因为向量，，
所以，
因为，
所以，
所以或，
又向量，不共线，
所以，所以，
所以，即，
所以，
故答案为：.
15. 已知数列满足，，则_______.
【答案】2
【解析】
【分析】先求不动点方程，根据方程无解再逐项计算根据周期求解即可.
【详解】第一步，求不动点，设，令得：，化简得：，显然该方程无解，这种情况下一般是周期不大的周期数列，
我们只需算出前几项，找出规律即可，
由题意，，所以，，，，，，
从而是以6为周期的周期数列，
故.
故答案为：2.
16. 已知函数的导函数为，且满足关系式.则的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先对已知关系式求导，然后令，求出，从而得到，然后根据解析式的特点，选择用基本不等式求最值，从而得到结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，
所以的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为.
故答案为：.
三、解答题
17. 我国某口罩生产企业在加大生产同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
【答案】（1）
（2）71
【解析】
【分析】(1)根据小矩形面积之和为1可计算得的值.(2)平均值为每组数据中的中点値乘以频率再相加即可.
【小问1详解】
由，
得.
【小问2详解】
样本平均数，
故可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71.
18. 在中，分别是角的对边，已知是锐角，且．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角余弦公式易得，结合已知及余弦定理列方程求m值.
（2）由余弦定理可得，应用基本不等式可得，注意等号成立条件，最后应用三角形面积公式求面积最大值即可.
【小问1详解】
由是锐角，且，则，
又，可得.
【小问2详解】
由（1）知：，即，
所以，当且仅当时等号成立，
又，则，
所以面积的最大值为.
19. 如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．

（1）求三棱锥的体积；
（2）若，且为锐角，求证：平面．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质可得面，即为体高，利用棱锥体积公式求体积即可；
（2）由三角形面积公式可得，根据已知及平方关系求余弦值，应用余弦定理求，易知，再由线面垂直的性质得，最后应用线面垂直的判定证结论.
【小问1详解】
面面，，面面，面，
所以面，又的面积为6，
所以三棱锥的体积.
【小问2详解】
由题设，即，又为锐角，
所以，
由，故，
所以，
由（1）知面，面，故，
，面，故平面.
20. 已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为.
（1）求双曲线C标准方程；
（2）过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在符合题意的椭圆，其方程为
【解析】
【分析】（1）设，
由及可得，

得，
再结合即可解决问题；
（2）设，则PM方程为，
联立渐近线方程得到，进一步得到，同理得到，
再利用计算即可得到答案.
【小问1详解】
设，
由，
所以， ①
又点在上，所以，
即， ②
由①②得：， ③
又E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，
|EF|的最小值为，
所以， ④
又，⑤
联立③④⑤解得：，
所以双曲线C的标准方程为：
【小问2详解】
假设存在，由（1）知的渐近线方程为，
则由题意如图：

所以由，
设，则直线方程为，
直线方程
由，得；
由，得
又，
所以，
所以，，
同理可得，，
由四边形是平行四边形，知，
所以，，
即，
所以，存在符合题意的椭圆，其方程为.
21. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线与直线相互垂直，探究函数的单调性；
（2）若函数有唯一的极值0，求的值.
【答案】（1）函数在上单调递减
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出，然后利用导数研究函数的单调性；
（2）设极值点，利用极值概念建立方程找到关系，构造函数，多次求导研究函数的单调性，确定函数的极值点，即可求解.
【小问1详解】
依题意，，故，解得，
则，故，则，
故当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
故，故，
则函数在上单调递减；
【小问2详解】
，则，
设唯一的极值点为，则
由得，，（*）
令，则，所以，
记，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，且，
所以当时，，从而单调递减，
当时，，从而单调递增，
故，从而在上单调递增，
又因为，所以，代入①可得，
当时，，，
因为是（*）的唯一零点，且，
所以是唯一的极值点，且极值为0，满足题意.
所以.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为：，已知直线l与曲线C相交于M，N两点．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）记线段MN的中点为P，若恒成立，求实数的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用可得曲线C的直角坐标方程，再由可得曲线C的极坐标方程；
（2）联立和得，设、，由得，利用的范围可得答案.
【小问1详解】
∵曲线C的参数方程为（为参数），
∴曲线C的直角坐标方程为，
化为一般式得：，
设，
∴，
∴曲线C的极坐标方程为：；
【小问2详解】
联立和，得，
设、，则，
由，得，
当时，取最大值，故实数的取值范围为.
23. 已知．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过讨论，去掉绝对值化简函数解析式，分段解出不等式，即可得到结果；
（2）由（1）可知，原问题转化为，解不等式，即可求出结果.
【小问1详解】
，
当时，不等式可化为，
解得，故；
当时，不等式可化为，
得，此时无解；
当时，不等式可化，
解得，故
综上所述：原不等式的解集是
【小问2详解】
不等式的解集为，
即，
当时，；
当时，；
当时，，
所以
∴，解得，
∴a的取值范围是