2023届四川省名校联考高考仿真测试（五）数学（文）试题含解析

这是一份2023届四川省名校联考高考仿真测试（五）数学（文）试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合．集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，
故，因此，.
故选：B.
2．若复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据两复数对应的点关于虚轴对称得到，再利用复数的除法法则进行求解.
【详解】因为复数、在复平面内对应的点关于虚轴对称，
且，所以，
则.
故选：D.
3．已知函数则“”是“有2个零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先由零点存在性定理得到时，函数有1个零点，再求出时，当时，有1个零点，从而得到充分性与必要性都成立，求出答案.
【详解】当时，单调递增，
又，，
由零点存在性定理可知：只有1个零点，且该零点为负数；
当时，令，解得：或（舍去）
若有零点，则，即，
此时有1个零点，且该零点为正数．
综上：当时，有两个零点，充分性成立
当有两个零点时，，必要性成立，
故“”是“有2个零点”的充要条件．
故选：C
4．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【分析】根据程序框图的意义，结合指数对数的关系，求得答案.
【详解】由，得到，当从1一直取到最后一个小于等于4100的数，且实数为整数的值时，计数这样的情况的次数，即为最后输出的的值.
由，可得输出的值为13.
故选：C
5．已知奇函数的图象关于直线对称，且在区间上单调，则的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】由条件结合余弦型函数的性质列关系式求.
【详解】因为函数为奇函数，所以，，
又函数的图象关于直线对称，所以，，所以，，
由函数为奇函数且在区间上单调，所以函数在区间，所以函数的周期，所以，又，所以，
故选：C.
6．在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先用正弦定理求出外接圆的半径，然后利用求出三棱锥外接球的半径，即可算出表面积.
【详解】设外接圆的半径为，圆心为，
根据正弦定理，则，故，
设三棱锥外接球的半径为，球心为O，

由，可知为等腰三角形，
过作于，则为中点，由平面，平面，
故，则共面，
因为平面，平面，所以，
又，故，于是四边形为平行四边形，
因为，所以四边形为为矩形，
则，故三棱锥的外接球的表面积为.
故选：A.
7．已知椭圆：，定点，，有一动点满足，若点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设动点，求出其轨迹，求出，即得解.
【详解】解：设动点，由题得，
化简得.
所以动点的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆.
因为点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，
所以.
所以椭圆的离心率.
因为椭圆的离心率，
所以椭圆的离心率的取值范围为.
故选：D
8．已知关于x，y的不等式组表示的平面区域为M，在区域M内随机取一点，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先作出线性区域以及内部，而满足不等式的点在内，利用面积之比即可．
【详解】作出不等式组表示的平面区域M（及其内部），而满足不等式的点在内，
由题意可得，，，，则，，
∴所求概率.
故选:B.
9．下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用函数在上的单调性可判断C选项；利用正弦函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A，，A对；
对于B，，则，则，如取，，则，
故不能推出，B错；
对于C，令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
因为，则，即，即，可得，C错；
对于D，由，则，
因为函数在上为增函数，故，D错．
故选：A．
10．已知动圆过点，且与直线相切，记动圆的圆心轨道为，过上一动点作曲线的两条切线，切点分别为，直线与轴相交于点，下列说法不正确的是（ ）
A．的方程为
B．直线过定点
C．为钝角（为坐标原点）
D．以为直径的圆与直线相交
【答案】D
【分析】设动圆圆心为，根据题意可求得动圆的圆心轨迹方程，判断A；利用导数的几何意义表示曲线的切线方程，进而可求得直线的方程，可说明其过定点，判断B；利用向量的数量积的计算，可判断C；根据抛物线的定义结合几何性质可判断D.
【详解】设动圆圆心为，

依题意得：，即的方程为，故A正确；
由得，，∴，∴切线的方程为：，
即，又，∴，
同理可得切线的方程为，
又切线经过点，∴，
故直线的方程为，∴直线过定点，故B正确；
联立消去整理得，故，，
则
，∴为钝角，故C正确；
由于直线恒过抛物线焦点，设中点为，过向直线作垂线，
垂足分别为，连接，
由抛物线定义，，
∴，
∴以为直径为圆与直线相切，故D错误，
故选：D．
11．已知函数与相交于，两点，与相交于，两点，若，，，四点的横坐标分别为，且，则下列等式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据，分别代入，即可判断A,B，根据， 关于直线的对称，因此可知对称，对称，即可根据对称性判断CD.
【详解】由题意可知是方程 的一个根，则，将 代入得，
所以也是方程的一个根，所以，故，故A正确，
由题意可知是方程 的一个根，则，
则，所以也是方程的一个根，
所以，故，故B正确，
设点在函数上，则满足，
即，点关于直线的对称点为，
对于，令，则，由，即，
所以，即点也在函数上，
即关于直线的对称，
又 关于直线的对称，因此可知对称，对称，
故 和，
所以 ，，故D正确，
由于， ，故C错误，
故选：C

12．如图，在平面四边形中，，现将沿折起，并连接，使得平面平面，若所得三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理可以证得为直角，又为直角，进而利用直角三角形的性质得到外接球的球心为斜边AB的中点，然后根据球的面积公式求得球的半径，进而计算求得三棱锥的体积.
【详解】∵平面ACD⊥平面ABC，平面ABC∩平面BCD=AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥平面ACD，
又∵AD⊂平面ACD，∴AD⊥BC，
又∵AD⊥DC，BC∩DC=C，BC⊂平面BCD，DC⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD，
又∵BD⊂平面BCD，∴AD⊥BD，即为直角，
又∵为直角，
∴取的中点，连接OC，OD，
由直角三角形的斜边上的中线性质OA=OB=OC=OD，
可得为三棱锥外接球的球心，
由三棱锥外接球的表面积为，可得外接球的半径，
∴，
∵BC⊥平面ACD，为直角，
∴三棱锥的体积为
故选：C
二、填空题
13．若，，则____________
【答案】
【分析】先求得，然后求得.
【详解】，
，，
，，
，
所以.
故答案为：
14．已知，，，若，则________．
【答案】
【分析】根据向量垂直数量积为零，列出方程即可求解.
【详解】因为已知，，，
所以，
又因为，
所以，解得.
故答案为：
15．已知双曲线的右焦点为，过双曲线上一点（）的直线与直线相交于点，与直线相交于点，则______.
【答案】
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再利用两点间距离公式化简计算作答.
【详解】因为在双曲线，即有，又
由得，由得，
因此，，，
则，
所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
16．已知函数，若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，且，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据给定分段函数，求出函数的解析式，确定给定方程有两个不等实根的a的取值范围，再将目标函数用a表示出即可求解作答.
【详解】函数在上单调递增，，在上单调递增，，
当，即时，，且，
当，即时，，且，
当，即时，，且，
因此，在坐标系内作出函数的图象，如图，
再作出直线，则方程有两个不等实根，当且仅当直线与函数的图象有两个不同交点，
观察图象知方程有两个不等实根，当且仅当，
此时，且，即，且，则有，
令，求导得，令，
当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即，因此函数在上单调递增，
，而，于是当时，，有，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
三、解答题
17．已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）对于数列,根据,利用和的关系求解;对于数列,因为其前项积,根据即可求解;
（2）由（1）知,利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）当时,,
∴,
当时,,
化简得,
∵,∴,
∴数列是首项为,公差为的等差数列,
∴.
当时,,
当时,，当时也满足，
所以.
（2）,
设①,
则②,
①-②得,
∴.
18．如图， 在多面体中， 平面， 四边形是平行四边形.为的中点.
(1)证明: 平面.
(2)若是棱上一点， 且， 求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证平面，再证四边形是平行四边形即可得，从而平面.
（2）根据条件求出，设点到平面的距离为，再由即可求得.
【详解】（1）证明：因为平面，所以.
因为，，且平面，平面
所以平面.
因为，且为的中点，所以，
又因为，所以四边形是平行四边形，则，所以平面.
（2）因为，所以，，
又，所以，，
所以，，
所以.
设点到平面的距离为，则.
又，所以，
由，得，即点到平面的距离为.
19．某大学为调研学生在、两家餐厅用餐的满意度，从在、两家都用过餐的学生中随机抽取了人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为分.整理评分数据，将分数以为组距分为组：、、、、、，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表：

（1）在抽样的人中，求对餐厅评分低于的人数；
（2）从对餐厅评分在范围内的人中随机选出人，求人中恰有人评分在范围内的概率.
（3）如果从、两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.
【答案】（1）20人；（2）；（3）选择餐厅用餐，理由见解析.
【分析】（1）由餐厅分数的频率分布直方图得频率，从而得人数；
（2）对餐厅评分在范围内的有人，记为、，对餐厅评分在范围内的有人，记为、、，用列举法写出任选2人可能，计数后可计算出所求概率；
（3）由（1）（2）比较得分低于30分的人数可得结论．
【详解】（1）由餐厅分数的频率分布直方图，得对餐厅评分低于分的频率为：
，
∴对餐厅评分低于的人数为人，
（2）对餐厅评分在范围内的有人，设为、，
对餐厅评分在范围内的有人，设为、、，
从这人中随机选出人的选法为：
、、、、、、、、、，共种，
其中恰有人评分在范围内的选法包括：
、、、、、，共种，
故人中恰有人评分在范围内的概率为，
（3）从两个餐厅得分低于分的人数所占的比例来看，由（1）得，抽样的人中，
餐厅评分低于的人数为，
∴餐厅评分低于分的人数所占的比例为，
餐厅评分低于分的人数为，
∴餐厅得分低于分的人数所占的比例为，
∴会选择餐厅用餐.
20．已知抛物线的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C的焦点F且与C交于A，B两点，的面积的最小值为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，都有，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点
【分析】（1）设，代入抛物线，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定，计算得到答案.
（2）设的方程为，代入抛物线得到根与系数的关系，根据垂直关系得到，计算得到定点.
【详解】（1）斜率不为零，设代入，，
设，则，
，
当时，取最小值，，，抛物线C的方程为：．
（2）假设存在，设，由题意，斜率不为零，
设的方程为代入，可得，
，，，
故，即，即，
，解得，故存在定点满足题意．
21．已知函数，.
(1)若，讨论的零点个数；
(2)若函数有零点，证明：.
【答案】(1)当时，函数没有零点，当时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点；
(2)证明见解析.
【分析】(1)根据函数的零点的定义可得的零点与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，利用导数研究函数的图象，结合图象研究的零点个数；(2)设函数的零点为，由条件结合数量积的性质可得，在证明，结合(1)可以证明.
【详解】（1）由已知，其中，
令可得，若，则，矛盾，所以，
所以， 设，其中，则函数的零点个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，
因为，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
且，作函数的图象如下：
所以当时，直线与函数的图象没有交点，
当时，直线与函数的图象有一个交点，
当时，直线与函数的图象有两个交点，
所以当时，函数没有零点，当时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点；
（2）因为函数有零点，又，所以存在使得，
即，设，，
因为，所以，
所以，所以，
设，则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，，所以当时，，
所以，所以，即，
所以，由(1) ，所以，
所以.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
22．如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧，所在圆的圆心分别为，，M是半圆弧上的一个动点．
(1)当时，求点M的极坐标；
(2)以O为坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系．若点N为线段的中点，求点N的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)（为参数，且）
【分析】（1）由题意得到点M的极角为，在中，利用正弦定理列出方程，求得的长，即可求解；
（2）求得的参数方程为，结合线段的中点N的坐标为，利用中点坐标公式，即可求解.
【详解】（1）解：由，，可得点M的极角为．
在等腰中，由正弦定理得，即．
所以，所以点M的极坐标为．
（2）解：由题意，在直角坐标系中，点M在以为圆心，1为半径的半圆弧上，
其参数方程为（为参数，且）．
设线段的中点N的坐标为，
又由点，，
根据中点坐标公式可得 ，
所以点N的轨迹方程为（为参数，且）．
23．设函数的最小值为t
(1)求t的值；
(2)若a，b，c为正实数，且，求证：.
【答案】(1)3；
(2)证明见解析.
【分析】（1）分类讨论去中的绝对值，转化为分段函数，求出每段函数值的取值范围，即可求解；
（2）由（1）得，利用已知等式有，再应用基本不等式，即可证明结论.
【详解】（1）（1）
当时，；当时，；
当时，，
所以当时，取最小值.
（2）由（1）可知，因为，，为正实数，
.
当且仅当，即，，时取等号，
所以.