1.2 一元二次方程的解法（二~三）-2023年新九年级数学同步精讲精练（苏科版）

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1.2一元二次方程的解法（二~三）
【推本溯源】
1.解下列方程
（x+1）²=16
解：x+1=4或x+1=-4
∴x1=3 x2=-5

2.再尝试一下下列方程
x²+2x=15 思路：去凑完全平方的形式
解： x²+2x=1=15+1 （两边同时架上1）
（x+1）²=16 （写成完全平方公式）
x+1=4或x+1=-4
∴x1=3 x2=-5

3.配方法：把一个一元二次方程变形为（x+h）²=k（h，k为常数）的形式，当k≥0时，就可以用直接开平放法求出方程的解，这种一元二次方程的解法叫做配方法。
配方法的解题步骤：
步骤
方法
举例（2x²-7x+3=0）
一化
二次项系数化1
左、右两边同时除以二次项系数

二移
移项
将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边

三配
配方
左、右两边同时加上一次项系数一半的平方

四开
开平方求根
直接开平方法





4.用配方法求
解：
我们把（b²-4ac≥0）称为一元二次方程的求根公式。，把一元二次方程中各项系数a、b、c的值直接代入这个公式，就可以求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

5.公式法的步骤
步骤
方法
举例（2x²-7x=-3）
第一步
把方程化为一般形式

确定a、b、c的值；
先变成2x²-7x+3=0
∵a=2 b=-7 c=3
第二步
求出b²-4ac的值
b²-4ac=49-24=25＞0
第三步
当b²-4ac≥0时，把a、b及b²-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；当b²-4ac＜0，方程没有实数根。


6.根的判别式
式子b²-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用它可以直接判断一元二次方程的根的情况。



的根的情况
回答方式
b²-4ac＞0
有两个不相等的实数根
X1= ，X2=
b²-4ac=0
有两个相等的实数根
X1=X2=
b²-4ac＜0
没有实数根
原方程无解
【解惑】
例1：下列配方有错误的是（　　）
A．，化为
B．，化为
C．，化为
D．，化为
【答案】D
【分析】根据配方法的一般步骤对各选项进行判断．
【详解】解：A、由可化为，所以A选项的计算正确，不合题意；
B、由可化为，所以B选项的计算正确，不合题意；
C、先化为，则可化为，所以C选项的计算正确，不合题意；
D、先化为，则可化为，所以D选项的计算错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
例2：多项式的最小值是_____．
【答案】3
【分析】利用完全平方公式把多项式化成一个偶次方加常数的形式，偶次方为0时，代数式有最小值．
【详解】解：

，
∵，
∴
∴的最小值是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握如何化为完全平方式．
例3：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）
A．且 B．且
C．且 D．
【答案】C
【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到且，由此即可求出的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当    时，方程没有实数根．
例4：请分别用公式法和配方法两种方法解方程：．
【答案】，
【分析】用配方法解方程，首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求解；用公式法解方程，首先找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
【详解】解：配方法，
移项得，
配方得：，即
开方得：
解得：，；
公式法：
∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程－公式法和配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用．
例5：将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列问题：
  
(1)图6中的“☆”的个数有_________个；
(2)图中的“☆”的个数有_________个；
(3)图中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明理由．
【答案】(1)35
(2)
(3)图中的“☆”的个数不可能是100个，理由见解析

【分析】（1）图1中的“☆”的个数有个，图2中的“☆”的个数有个，图3中的“☆”的个数有个，图4中的“☆”的个数有个，由此得到规律求解即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）令，解方程求出n的值，看n是否是正整数即可得到答案．
【详解】（1）解：图1中的“☆”的个数有个，
图2中的“☆”的个数有个，
图3中的“☆”的个数有个，
图4中的“☆”的个数有个，
……
∴可以得到规律，图n中的“☆”的个数有个，
∴图6中的“☆”的个数有个，
故答案为：；
（2）解：由（1）得图n中的“☆”的个数有个，
故答案为：；
（3）解：图中的“☆”的个数不可能是100个，理由如下：
令，则，
解得，
又∵为整数，
∴图中的“☆”的个数不可能是100个．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，正确理解题意找到规律是解题的关键．
【摩拳擦掌】
1．（2023·甘肃陇南·统考一模）用公式法解方程时，Δ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】Δ＝，给赋值并代入求值即可．
【详解】解：，
∵，
∴Δ＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键．
2．（2023·云南昆明·统考二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根判别式的意义可得，然后解不等式即可解答．
【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，解得，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，掌握①，一元二次方程有两个不相等的实数根；②，一元二次方程有两个相等的实数根；③，一元二次方程无实数根．
3．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
4.（2023·安徽六安·统考二模）关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据一元二次方程无实数根得且，即可得，又∵，可得一次函数的图象经过一、二、四象限，即可得．
【详解】解：∵一元二次方程无实数根，
∴且，
，
，
，
又∵，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，
∴一次函数的图象不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数的图像性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
5．（2023·全国·九年级假期作业）关于的一元二次方程＝的两根为________．
【答案】，
【分析】整理成一般式后，利用公式法求解可得．
【详解】解：整理得：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键．
6．（2023·辽宁锦州·统考一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____．
【答案】 且
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．
7．（2023·浙江·统考中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．
  
（1）若，则图1阴影部分的面积是__________；
（2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是__________．
【答案】
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据题意，解方程组得出，根据题意得出，进而得出，根据图2阴影部分的面积为，代入进行计算即可求解．
【详解】解：（1） ，图1阴影部分的面积是，
故答案为：．
（2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为，
∴，，即
∴（负值舍去）
∵，．
解得：
∵①
∴，
∴，
∴②
联立①②解得：（为负数舍去）或
∴，
图2阴影部分的面积是



故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
8．（2023·江苏·九年级假期作业）用配方法解方程：．
【答案】，
【分析】先将二次系数化为“1”，然后将常数项移到等号的右边，再在等号的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可把方程左边化成含未知数的完全平方式，最后两边开平方求解．
【详解】由，得，即，
配方，得：，即，解得：，
所以原方程的解为：，．
【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方是解题的关键．
9．（2023·上海·八年级假期作业）用配方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)方程无解
(2)方程无解

【分析】根据完全平方公式将方程的左边配成完全平方，右边为常数，再利用平方根的定义解方程即可.
【详解】（1）解：化简得：
，
，
，
∵，
∴原方程无解；
（2）解：化简得：
，
，
，
∵，
∴原方程无解；
【点睛】本题考查了用配方法求一元二次方程的解，掌握完全平方公式是解题关键．
【知不足】
1．（2023·河南驻马店·统考三模）关于x的一元二次方程，根的情况是（    ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】解：一元二次方程中的，
则这个方程根的判别式为，
所以这个方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
2．（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解方程：，开始出现错误的一步是（    ）
①，②，③，④．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】按照配方法的步骤逐步分析即可.
【详解】解：，
，
，
．
即．
从用配方法的解题过程中可知，第③步开始出现错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3．（2023·河南信阳·二模）定义运算：例如，则方程的根的情况为______．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】根据，可以将转化为，然后计算的值，即可判断该方程根的情况．
【详解】解：，，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用、根的判别式，新定义，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程．
4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）如图，我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．若，，则图中正方形的边长为___________．
  
【答案】2
【分析】根据题意可得，，则，设正方形的边长为x，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，
设正方形的边长为x，则，，
在中，，即，
解得：，（舍），
∴正方形的边长为2，
故答案为：2．
  
【点睛】本题考查勾股定理的应用、解一元二次方程，根据勾股定理列方程是解题的关键．
5．（2023春·湖南怀化·八年级校考期中）对于实数，，定义新运算为：．如果关于的方程有两个相等的实数根，则____．
【答案】

【分析】利用新运算的规定将原方程变形，再利用列出关于的方程解答即可．
【详解】∵，
∴，
即：，
∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
整理得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，一元二次方程的根的判别式，本题是新定义型，理解新定义的规定并正确应用是解题的关键．
6．（2023·全国·九年级假期作业）已知，则的值是_____．
【答案】
【分析】把已知条件式相加得到，利用非负数的性质求出a、b、c的值即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确根据已知条件式推出是解题的关键．
7．（2023春·广东云浮·九年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．

【分析】（1）用配方法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
【详解】（1）解：配方，得：，
即．
开方，得：，
解得，．
（2），，．
，
方程有两个不等的实数根，
即，．
【点睛】本题考查了用配方法、公式法求解一元二次方程；根据系数特点选择适当的方法是解题的关键．
8．（2022春·八年级单元测试）．
【答案】，
【分析】采用公式法解此方程，即可求解．
【详解】解：，
，，，
，
，
解得，，
所以，原方程的解为，．
【点睛】本题考查了采用公式法解一元二次方程，熟练掌握和运用解一元二次方程的方法是解决本题的关键．
9．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：（公式法）
【答案】，
【分析】利用对方程根的情况进行判断，然后利用公式法进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
10．（2018秋·广东江门·九年级期末）解方程：．
【答案】原方程无实数根
【分析】先整理成一般式，求出的值，判断方程无实数根．
【详解】解：，
整理得：，
∵，，，
∴，
∴原方程无实数根．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程公式法，熟练掌握公式法是解题的关键．
11．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)方程无解
(2)方程无解

【分析】先把原方程化为一般式，然后判断的符号，如果，则用公式法求解即可，如果，则原方程无解．
【详解】（1）解：
化为一般式得：，
∴，
∴，
∴原方程无解；
（2）解：，
化为一般式得，
∴，
∴，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键．
【一览众山小】
1．（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以，接着把方程两边加上，然后把方程左边配成完全平方式，从而得到、的值，最后计算它们的和即可．
【详解】解：，

，

，
，，

故选：．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
2．（2023·四川·统考中考真题）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】解：，
其中，，，
∴，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
3．（2023·河南周口·统考二模）定义运算：对任意实数，，总有，例如：，则方程的根的情况是（    ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】B
【分析】先根据新定义得到，再方程化为一般式为，然后计算根的判别式的值，从而得到方程根的情况．
【详解】解：方程转化为，
方程化为一般式为，
，
方程无实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
4．（2023·江苏连云港·统考中考真题）若（为实数），则的最小值为__________．
【答案】
【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．
【详解】解：
=
=
=
∵为实数，
∴
∴的最小值为,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值．
5．（2023·全国·九年级假期作业）不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)方程有两不等实根
(2)方程无实数根
(3)方程有两相等实根
(4)方程有两不等实根

【分析】先将方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况．
【详解】（1）解：，，，
，
方程有两不等实根；
（2）解：，，，
，
方程无实数根；
（3）解：，，，
，
方程有两相等实根；
（4）解：，，，
，
方程有两不等实根．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，，方程有两不相等的实数根，方程有两相等的实数根，，方程无实数根．
6．（2023·江苏·九年级假期作业）用配方法解方程：．
【答案】，
【分析】由，得，即，再利用直接开平方的方法解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，    
∴原方程的解为：，．
【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，掌握配方法的步骤是解本题的关键．
7．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）解方程：．
【答案】
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
8．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．
【答案】，
【分析】直接利用公式法求解即可．
【详解】解：，，，
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
9．（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，

【分析】（1）运用公式法求解即可；
（2）运用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，，，
，
，
，；
（2）解：，，，
，
，
，．
【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
10．（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，

【分析】运用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，，，
，
，
原方程的解为：，；
（2）解：，，，
，
，
原方程的解为：，．
【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
11．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解关于x的方程：．
【答案】见解析
【分析】先确定根的判别式的取值，再代入公式求出即可．
【详解】解：
因为，所以：
当，方程无实数解；
当，方程的解为；
当，方程的解为．
【点睛】本题考查解一元二次方程，本题中含字母系数，具体取值未知，因此注意需要分类讨论．
12．（2023·全国·九年级假期作业）阅读下列材料，解答问题．
材料：求代数式的最小值．
小明同学是这样解答的：
我们把这种解决问题的方法叫做“配方法”．
问题：
(1)请按照小明的解题思路，把解答过程补充完整．
(2)请运用“配方法”解决问题：若，求的立方根．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）由无论为何值，得到，从而即可得到答案；
（2）将式子化为，再根据，得到
，计算出的值，再代入进行计算即可．
【详解】（1）解：无论为何值，，
，
即当时，式子有最小值，故代数式的最小值是；
（2）解：，
，
即，
，
，
，
，
的立方根是．
【点睛】本题主要考查了配方法求解，求立方根，熟练掌握配方法是解题的关键．
13．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）（1）若，求m、n的值．
解：因为，所以
由此，可求出______；______；
根据上面的观察，探究下面问题：
（2），求的值；
【答案】（1）4，4；（2）
【分析】（1）先把原式变形为，然后利用偶次方的非负性进行求解即可；
（2）仿照（1）把原式变形为，然后利用偶次方的非负性求出x、y的值即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
故答案为；4，4；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了配方法的运用，偶次方的非负性，二次根式的加法等等，熟知配方法是解题的关键．
14．（2023·全国·九年级假期作业）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：，
解：原式
②，利用配方法求的最小值，
解：
∵，
∴当时，有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______．
(2)用配方法因式分解：．
(3)若，求的最小值．
(4)已知，则的值为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)4

【分析】（1）根据题意，由完全平方公式，可以知道横线上是，
（2）按照题干上的示例可以将分为，再利用完全平方公式即可求解，
（3）根据题意的方法，先将因式分解为完全平方的形式即，即可求出最小值，
（4）根据题意先将因式分解，变成完全平方的形式即，然后得出，，的值，代入即可求出结果．
【详解】（1）解： ，
故答案为：；
（2）解：



；
（3）解：

，
∵，
∴当时，有最小值为；
（4）解：，
，
，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了利用配方法解决数学中的问题；把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法；配方法在数学中应用比较广泛，既可以利用配方法进行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同时对于（4）中几个非负数的和为零时，可得这几个加数同时为零，求出未知数的值，这一知识在数学中经常运用，要熟练掌握．
15．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考二模）已知和都是等腰直角三角形（），．
  
(1)如图1：连，，求证：；
(2)若将绕点O顺时针旋转；
①如图2，当点N恰好在边上时，求证：；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②或

【分析】（1）利用SAS定理证明即可；
（2）①连接，证明，即可证；
②当点N在线段上时，连接，在中构造勾股定理的等量关系；当点M在线段上时，同理即可求得．
【详解】（1）证明：，
，
即．
和是等腰直角三角形，
，
；
（2）①证明：如图1，连接．
  
，
，
即．
和是等腰直角三角形，
，

，
，
．
是等腰直角三角形，
，
．
②或．
和是等腰直角三角形，，
，
，
，
如图2，当点N在线段上时，连接，设，
    
在中，，
解得（负根舍去）；
如图3，当点M在线段上时，连接，设，
  
在中，
解得：（负根舍去）．
综上，线段的长为或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，三点共线分类讨论，对几何题目的综合把握是解题关键．