暑假预习成果测试卷（第1-4章）-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

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暑假预习成果测试卷（第1-4章）
一、单选题
1．若，则下列比例式成立的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【解析】解：A、由得，，故本选项比例式不成立；
B、由得，，故本选项比例式成立；
C、由得，，故本选项比例式不成立；
D、由得，，故本选项比例式不成立．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．
2．点为线段的黄金分割点，且，则的长为（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用黄金分割点的概念即可求出的长度
【解析】解：根据题意得：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查黄金分割定理，解题关键是掌握黄金分割定理的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值为，叫黄金分割比．
3．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤1 B．a＜1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
【答案】D
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且＝（﹣2）2﹣4a＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解析】解：根据题意得a≠0且，
解得a＜1且a≠0．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与b2﹣4ac有如下关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．
4．某服装公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司、两个月营业额的月均增长率，设该公司、两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（   ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据增长后的量=增长前的量（1+增长率），即可表示出月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到万元，即可列方程．
【解析】解：该服装公司今年10月的营业额为万元，该公司，两个月营业额的月均增长率为，
该服装公司今年月的营业额为万元，月的营业额为万元．
根据题意得：，
即，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，根据题意正确列出方程是解题关键．
5．如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，那么的值是（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴
又，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、准对应关系是解题的关键．
6．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列说法错误的是（   ）

A．若，四边形是菱形
B．若，四边形是矩形
C．若且，四边形是正方形
D．若，四边形是正方形
【答案】D
【分析】由平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
A、若，则平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、若，则平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
C、若且，则平行四边形是正方形，故选项C不符合题意；
D、若，则平行四边形是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，熟练掌握各四边形的判定是解题的关键．
7．下列四组条件中，能识别与相似的是（    ）
A．，；，
B．，，，，，
C．，，，，，
D．，；，
【答案】C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析从而确定最后答案．
【解析】解：A不正确：
∵，；，，
∴，，
∴不相似；
B不正确：
∵与不是边，与，的夹角，
∴不相似；
C相似：
∵，，，，，，
∴，，
∴相似；
D不相似：
∵不是，的夹角，是边与的夹角，
∴不相似．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①若对应三边的比相等，则三角形相似；②若对应两边的比相等，及其夹角相等，则三角形相似；③若有两个角对应相等，则三角形相似．
8．在不透明口袋内装有除颜色外完全相同的5个小球，其中红球2个，白球3个，搅拌均匀后，随机抽取一个小球，是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用红球的个数除以所有球的个数即可求得抽到红球的概率．
【解析】解：∵共有5个球，其中红球有2个，
∴P（摸到红球）＝，
故选A．
【点睛】此题主要考查概率的意义及求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．掌握概率的意义是解题关键．
9．如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【解析】解：∵的位似比为2的位似图形是，且，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
10．如图，在中，，在边上，，，若的面积等于9，则的面积为（   ）

A．4 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【分析】过点作于，过点作于，首先根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可证得，再根据三角形的面积公式，可求得，根据相似三角形的性质，可求得，据此即可求得．
【解析】解：过点作于，过点作于，

，
，
，，
，
．
，
的面积等于9，
，
，
，
．
的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键．

二、填空题
11．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_________．
【答案】-1
【分析】根据一元二次方程的定义：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0．得出m-1≠0，m2+1=2，求出m的值即可．
【解析】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m2+1=2且m-1≠0，
解得：m=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，牢固掌握一元二次方程的定义是做出本题的关键．
12．在比例尺是的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行______千米．
【答案】900
【分析】由题意可知：上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达共飞了2小时，根据“比例尺是1：90000000”，又因为甲乙两地的图上距离是2厘米，求实际距离，进而求出答案．
【解析】解：甲乙两地的实际距离：
，
（千米），
（千米）；
答：这架飞机每小时行900千米．
故答案为：900．
【点睛】本题考查比例线段，正确根据比例进行计算是解题关键．
13．如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为______．
【答案】/
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【解析】解：∵两个相似三角形对应高的比为，
∴这两个三角形的面积比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
14．如图：已知中，D是AB上一点，添加一个条件_____，可使．

【答案】（答案不唯一）
【解析】解：由图可知∠CAD=∠BAC，再加一个对应角相等即可，

所以，可以为：∠ADC=∠ACB或∠ABC=∠ACD，
故答案为：∠ADC=∠ACB．
15．如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于___米．

【答案】10
【解析】解：如图所示，

作DH⊥AB与H，则DH=BC=8 m，CD=BH=2 m，
根据题意得∠ ADH = 45°，
所以△ADH为等腰直角三角形，
所以AH=DH=8 m，
所以AB=AH+BH=8+2=10 m．
故答案为：10．
16．正方形的对角线长为cm，则它的周长为__________cm．
【答案】16
【分析】根据正方形对角线的长，可将正方形的边长求出，进而可将正方形的周长求出．
【解析】解：设正方形的边长为x，
∵正方形的对角线长为cm，
∴，
解得：x=4，
∴正方形的边长为：4（cm），
∴正方形的周长为4×4=16（cm）．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
17．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接，相交于点E．设小正方形的边长为1，则的长为_________．

【答案】
【分析】先根据勾股定理计算的长，再根据，对应边成比例，得到，所以设，则，从而求出的长．
【解析】解：，
∵，
∴，
∴
设，则，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
18．如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．
  
【答案】②③④
【分析】根据等腰三角形的三线合一可知，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出，，，利用判断②；根据相似可以得到，判断③；利用将军饮马问题求出最小值判断④．
【解析】解：∵，，
∴，
在点P移动过程中，不一定，
相矛盾，
故①不正确；
  
延长交于点H,
则为矩形，
∴
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴
故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故③正确，
，
即当的最小值，作B、D关于的对称点,
把图中的向上平移到图2位置，使得，连接，即为的最小值，则，,
这时，
即的最小值是20，
故④正确；
故答案为：②③④
  
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

三、解答题
19．请用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，

【分析】（1）利用十字相乘法分解因式，即可得到两个一元一次方程，解得即可；
（2）利用十字相乘法分解因式，即可得到两个一元一次方程，解得即可；
（3）利用提取公因式法分解因式，即可得到两个一元一次方程，解得即可．
【解析】（1）解：，
或，
，；
（2），
或，
，；
（3），
，
或，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
20．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，．
求a的取值范围；
是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）a＜ ；（2）不存在.
【分析】（1）根据题意，应满足两个条件：△＞0，二次项系数不等于0，由此求解即可；（2）利用根与系数的关系求得字母的值后（注意检验原方程是否有实数根），结合（1）的取值范围解答即可．
【解析】（1）已知方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程，
∴a2≠0且满足△=（2a-1）2-4a2＞0，
∴a＜且a≠0；
（2）不存在这样的a．
∵方程的两个实数根x1，x2互为相反数，
则x1+x2=- ，
解得a=，
经检验a=是方程的根．
∵（1）中求得方程有两个不相等实数根，
a的取值范围是a＜且a≠0，
而a=＞（不符合题意）．
所以不存在这样的a值，使方程的两个实数根互为相反数．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、根的判别式、解分式方程．解决问题时，只要是一元二次方程或说方程有两个实数根，则二次项系数不得为0；凡是利用根与系数的关系求得未知字母的值时，一定要注意代入原方程，看是否有实数根．
21．如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为、．

(1)画出绕点顺时针旋转后得到的图形．
(2)在轴的左侧以为位似中心作的位似三角形，使新图与原图的相似比为：，并分别写出、的对应点、的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，，

【分析】（1）根据中心对称的性质即可得到结论；
（2）利用位似图形的性质得出，两点坐标在，坐标的基础上，同乘以，进而得出坐标画出图形即可．
【解析】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示即为所求，，．

【点睛】此题主要考查了作图位似变换，作图旋转变换，得出对应点坐标是解题关键．
22．抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

【答案】（1）50；（2）16；（3）56（4）抽取的两人恰好都是男生的概率为，树状图见解析
【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；
（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；
（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】（1）10÷20%=50（名）
答：本次抽样调查共抽取了50名学生.
（2）50-10-20-4=16（名）
答：测试结果为C等级的学生有16名.
图形统计图补充完整如下图所示：

（3）700×=56（名）
答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名.
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率=．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
23．如图，菱形的对角线、相交于点，，与交于点，

(1)求的长；
(2)求菱形的高．
【答案】(1)5
(2)

【分析】（1）通过结合菱形的性质可证四边形是矩形，再结合矩形的性质对角线相等即可求出的长．
（2）利用勾股定理求出的长，再利用对角线求出菱形面积，最后利用等积变形求出反求菱形的高．
【解析】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
（2）过作于，

∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即菱形ABCD的高是．
【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，菱形的面积计算方法，熟练掌握矩形的性质及菱形面积计算方法是解决本题的关键．
24．如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．
  
(1)求证：．
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据等边对等角得出，根据矩形的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）根据，得出，设，则， ，，根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解．
【解析】（1）解：∵，，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，即．
（2）∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，∵，
∴，，
∴，
解得，
∴．
  
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴交于点，与交于点，，，直线：交直线于点．

(1)求直线的解析式及点的坐标；
(2)如图1，为直线上一动点且在第一象限内，为轴上的动点，在右侧且，当时，求最小值；
(3)如图2，将沿着射线方向平移，平移后三点分别对应三点．当过点时，在平面内是否存在点，在直线是否存在点，使得以四个点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为，点的坐标为
(2)
(3)或或或

【分析】（1）直线交轴交于点，与交于点，，，可求出点的坐标，由此即可求出直线的解析式，根据直线：交直线于点，联立方程组求解即可求出点的坐标；
（2）求的最小值，如图所示，点在直线上，设，由可求出点的坐标，作点关于轴的对称点，当点在一条直线上时，值最小，根据点求出点的坐标，点的坐标，由此即可求解；
（3）以四个点为顶点的四边形为菱形，分类讨论：以，为邻边；以，为邻边，以为对角线；由此即可求解．
【解析】（1）解：∵直线交轴交于点，与交于点，，，
∴，，设直线的解析式为，
∴，解方程得，，
∴直线的解析式为，
∵直线：交直线于点，
∴，解方程组得，，
∴点的坐标为，
∴直线的解析式为，点的坐标为．
（2）解：已知直线：，，，

点在直线上，设，
∴，且，
∴，，
∴，解方程得，，即，
∴轴，
如图所示，作点关于轴的对称点，

∴，连接，过点作轴的平行线，过点作的平行线，两线交于点，则四边形为平行线，
∴，
当点在一条直线上时，值最小，
∵在右侧且，
∴，，设所在直线的解析式为，
∴，解方程组得，，
∴所在直线的解析式为，令，则，
∴，则，
∴，，，
在，中，，，
∴，即．
（3）解：直线：，直线：，，，，
∴，，由（1）可知，，
将沿着射线方向平移得，
∴，，
∴，，则，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
设点N的坐标为，
以，为邻边，此时，
∴，
解得：，
∴此时点N的坐标为或；
以，为邻边，此时，为对角线，则，
∴，
此时点N不在直线上；
当，以为对角线时，此时，
∴，
解得：或，
∴此时点N的坐标为或；
综上所述点N的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查一次函数以几何变换的综合，掌握一次函数图像的特点，几何变换中确定点坐标的方法，学会图形结合，分类讨论思想是解题的关键．
26．【问题发现】
（1）如图①，在正方形中，是上一点（点与，不重合），交于点，交于点．试猜想线段，和之间的数量关系，并证明；
【延伸探究】
（2）在其余条件不变的基础上延长，交于点，连接，，交于点，如图②．求证：；
【问题解决】
（3）如图③，是一块边长为米的正方形钢板由于磨损，该钢板的顶点，，均不能使用，王师傅计划过点裁出一个形如四边形的零件，其中点，，分别在，，边上，且为的中点，交于点，连接，求王师傅能裁出四边形的最大面积是多少？

【答案】（1），证明见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由四边形是正方形得，，再由同角的余角相等证明，即可证明，得，，则；
（2）先证明，得，则，再证明，得，所以，即可证明；
（3）作于点，连接、、，先证明当点与点不重合时，，则，而为定值，则此时，再证明当点与点重合时，则；设米，则米，可证明，得，则，所以当时，取得最大值，此时点与点重合，由此证明四边形的面积的最大值是．
【解析】（1）解：，
证明：如图，四边形是正方形，
，，
于点，于点，
，
，
，
，，
．
（2）证明：如图，四边形是正方形，
，，
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图，作于点，连接、、，

四边形是边长为米的正方形，为的中点，
米，米，
，
四边形是矩形，
米，米，
当点在线段上时，则米，
，
，
当点与点不重合时，，
，
，
，
，
当点与点重合时，则，
，
设米，则米，
，
，
，
，
，

当时，取得最大值，此时点与点重合，
四边形的面积的最大值是，
答：王师傅能裁出四边形的最大面积是．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、应用正方形的性质解决实际问题等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．