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重难点04全等三角形中“手拉手”模型-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）
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这是一份重难点04全等三角形中“手拉手”模型-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版），文件包含重难点04全等三角形中“手拉手”模型解析版docx、重难点04全等三角形中“手拉手”模型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共86页， 欢迎下载使用。
重难点04全等三角形中“手拉手”模型
1.识别几何模型。
2.利用“手拉手”模型解决问题
【基本模型】
一、等边三角形手拉手-出全等
二、等腰直角三角形手拉手-出全等
两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Com]
① △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；
例1、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点.
若DE=13，BD=12，求线段AB的长.
【变式1】某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）试说明：DC与BE的位置关系．
【变式2】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
例2.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.
如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；
如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.
【变式1】如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE;DA∥EC.
【变式2】如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．
（1）求证：AC＝BD．
（2）求∠APB的度数．
例3、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，
⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；
⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？
【变式】（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD＝6，线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，点D、E、B恰好共线，求△BDC的面积；
（3）如图3，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FGAE．
一．填空题（共4小题）
1．（2020秋•工业园区月考）在△ABC中，∠ABC＝45°，AD、BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，连接CF．下列结论：（1）∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝BD：CD，④若BF＝2EC，则△FDC的周长等于AB的长．正确的是 （填序号）．
2．（2022秋•通州区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°．P是BC边上一点，CP＝CA，连接AP，以AP为边在AP的右上方作等边三角形APQ．若AB＝5，则点Q到边AB的距离为 ．
3．（2021秋•滨湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值为 ；△ADE面积的最大值为 ．
4．（2021秋•常州期末）如图，两条互相垂直的直线m、n交于点O，一块等腰直角三角尺的直角顶点A在直线m上，锐角顶点B在直线n上，D是斜边BC的中点．已知OD＝，BC＝4，则S△AOB＝ ．
二．解答题（共13小题）
5．（2022秋•宜兴市月考）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CD；
（2）证明：∠1＝∠3．
6．（2021秋•丹阳市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB到D，使得DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰Rt△CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．
（1）猜想线段BE与AD的数量和位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝cm，则BE＝ cm，DE＝ cm．
7．（2020秋•崇川区期末）如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE＝60°．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AE＝5，求CE的长．
8．（2021秋•江阴市校级月考）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC上一点（与点B不重合），过点C作∠ACE＝60°，且CE＝BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED．求证：AD＝DE．
9．（2022秋•崇川区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上的一点（不与点B、C重合），以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 度．
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①点D是在线段BC上移动时，如图2，则α、β之间有怎样的数量关系？试说明理由．
② 点D是在射线CB上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？试直接写出结论．
10．（2022秋•徐州期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．将一个含45°角的直角三角尺DEF按图1所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在BC边的中点处，将直角三角尺DEF绕点D旋转，设AB交DF于点N，AC交DE于点M，示意图如图2所示．
（1）[证明推断]求证：DN＝DM；小明给出的思路：若要证明DN＝DM，只需证明△BDN≌△ADM即可，请你根据小明的思路完成证明过程；
（2）[延伸发现]连接AE，BF，如图3所示，求证：AE＝BF；
（3）[迁移应用]延长EA交DF于点P，交BF于点Q．在图3中完成如上作图过程，猜想并证明AE和BF的位置关系．
11．（2022秋•东海县期中）【问题呈现】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是斜边AB上的一点，连接CD，试说明AD、BD、CD之间的数量关系，并说明理由．
【解决策略】小敏同学思考后是这样做的：将△CAD绕点C逆时针旋转90°，得到对应的△CBE，连接DE，如图1经过推理使问题得到解决．请回答：
（1）△DBE的形状是 ，△DCE的形状是 ；
（2）直接写出AD、BD、CD之间的数量关系是 ；
【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现“等边三角形”、“等腰直角三角形”字样，可以考虑旋转某个三角形，把分散的条件或结论集中到一起，从而使问题得到解决．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BCD＝45°，连接对角线AC、BD，∠ADB＝90°，AD＝BD，若CB＝2，CD＝4，求CA的长；
（4）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，若BC＝5，CD＝2，求A、C两点之间的最大距离．
12．（2021秋•淮安期末）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α．
（1）AD、BE相交于点M．
①求证：AD＝BE；
②用含α的式子表示∠AMB的度数；
（2）如图2，点P、Q分别是AD、BE的中点，连接CP、CQ，判断△CPQ的形状，并加以证明；
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝，AC＝3，以AB为直角边，B为直角顶点作等腰Rt△ABD，则CD＝ （直接写出结果）．
13．（2022秋•亭湖区校级月考）【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．
【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．
【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，
连接AO，下列结论：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°；④EO＝CO，其中正确的有 （将所有正确的序号填在横线上）．
【延伸应用】（3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
14．（2021秋•沭阳县月考）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ °．
（2）如图2，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？请探求点D的位置，并求出此时∠EDC的度数，直接写出你的结论．
15．（2022秋•江阴市期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．
（1）如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，则有 ≌ ．
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，并连接BE，CD，则∠BOD＝ °．
（3）如图3，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由．
16．（2022秋•阜宁县期中）【问题发现】
（1）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，容易发现：①∠BEC的度数为 ；②线段BD、CE之间的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，试探究∠BEC的度数及线段BE、CE、DE之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，∠AOB＝∠ACB＝90°，OA＝3，OB＝7，AC＝BC，求OC2的值．
17．（2021秋•兴化市期末）如图1，△ABC与△ADE是共顶点A的两个等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE、BD．
（1）求证：CE＝BD；
（2）如图2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，若AD＝25，BC＝20，S△ABC＝240，当点D旋转到线段BC上时，求CE的长；
（3）如图3，设F为BD、CE的交点，G、H分别为BD、CE的中点，∠BFC＝α，∠AGH＝β，试探究α与β的数量关系，并说明理由．
一、单选题
1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连结，若，，则（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点B、C、E在同一条直线上，与都是等边三角形，下列结论：①AE=BD；②；③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是______．（填序号）
三、解答题
3．（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，已知，，．
求证：．
4．（2022春·山东济南·八年级校考阶段练习）如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
求证：（1）；
（2）．
5．（2022秋·八年级课时练习）如图，点C是线段AB上任意一点（点C与点A，B不重合），分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．连接MN．
证明：（1）△ACE≌△DCB；
（2）△ACM≌△DCN；
（3）MN∥AB．
6．（2022秋·八年级课时练习）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．
（1）求证：AD=BE；
（2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的长．
7．（2022秋·八年级课时练习）如图，以的边、向外作等边和等边，连接、．问：线段和有什么数量关系？试证明你的结论．
8．（2022秋·八年级课时练习）如图，∠1=∠2，AD=AE，∠B=∠ACE，且B、C、D三点在一条直线上．若∠B=60°，求证：CE=AC+CD．
9．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，和都是等边三角形，且在同一直线上，连结交于，连接交于，连结．
求证：（1）；
（2）；
（3）是等边三角形．
10．（2022秋·八年级课时练习）如图，若和都是等边三角形，求的度数．
11．（2020春·吉林通化·九年级校考阶段练习）如图，A、B、C在同一直线上，且△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于点M，CD交BE于点N，MN∥AC，求证：
（1）∠BDN=∠BAM；
（2）△BMN是等边三角形．
12．（2022·四川自贡·九年级专题练习）如图，△ABD和△BCE都为等边三角形，连接AE、CD．求证：AE＝DC．
13．（2020秋·内蒙古呼和浩特·八年级校考阶段练习）如图，中，，中，，且，当把两个三角形如图①放置时，有．（不需证明）
（1）当把绕点旋转到图②③④的情况，其他条件不变，和还相等吗？请在图②③中选择一种情况进行证明；
（2）若图④中和交于点，连接，求证：平分．
14．（2023春·山东枣庄·八年级统考期中）已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点
【问题解决】
(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；
15．（2022秋·吉林·八年级校联考期中）如图，若 和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
16．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）如图，在中，，，是边上一点（点与不重合），连结，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结交于点，连接．
求证：．
17．（2022秋·新疆克孜勒苏·八年级校考阶段练习）如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．
(1)求证：≌；
(2)求的度数；
(3)求证：平分．
重难点04全等三角形中“手拉手”模型
1.识别几何模型。
2.利用“手拉手”模型解决问题
【基本模型】
一、等边三角形手拉手-出全等
二、等腰直角三角形手拉手-出全等
两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Com]
① △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；
例1、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点.
若DE=13，BD=12，求线段AB的长.
【变式1】某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）试说明：DC与BE的位置关系．
【变式2】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
例2.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.
如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；
如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.
【变式1】如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE;DA∥EC.
【变式2】如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．
（1）求证：AC＝BD．
（2）求∠APB的度数．
例3、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，
⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；
⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？
【变式】（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD＝6，线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，点D、E、B恰好共线，求△BDC的面积；
（3）如图3，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FGAE．
一．填空题（共4小题）
1．（2020秋•工业园区月考）在△ABC中，∠ABC＝45°，AD、BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，连接CF．下列结论：（1）∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝BD：CD，④若BF＝2EC，则△FDC的周长等于AB的长．正确的是 （填序号）．
2．（2022秋•通州区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°．P是BC边上一点，CP＝CA，连接AP，以AP为边在AP的右上方作等边三角形APQ．若AB＝5，则点Q到边AB的距离为 ．
3．（2021秋•滨湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值为 ；△ADE面积的最大值为 ．
4．（2021秋•常州期末）如图，两条互相垂直的直线m、n交于点O，一块等腰直角三角尺的直角顶点A在直线m上，锐角顶点B在直线n上，D是斜边BC的中点．已知OD＝，BC＝4，则S△AOB＝ ．
二．解答题（共13小题）
5．（2022秋•宜兴市月考）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CD；
（2）证明：∠1＝∠3．
6．（2021秋•丹阳市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB到D，使得DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰Rt△CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．
（1）猜想线段BE与AD的数量和位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝cm，则BE＝ cm，DE＝ cm．
7．（2020秋•崇川区期末）如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE＝60°．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AE＝5，求CE的长．
8．（2021秋•江阴市校级月考）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC上一点（与点B不重合），过点C作∠ACE＝60°，且CE＝BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED．求证：AD＝DE．
9．（2022秋•崇川区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上的一点（不与点B、C重合），以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 度．
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①点D是在线段BC上移动时，如图2，则α、β之间有怎样的数量关系？试说明理由．
② 点D是在射线CB上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？试直接写出结论．
10．（2022秋•徐州期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．将一个含45°角的直角三角尺DEF按图1所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在BC边的中点处，将直角三角尺DEF绕点D旋转，设AB交DF于点N，AC交DE于点M，示意图如图2所示．
（1）[证明推断]求证：DN＝DM；小明给出的思路：若要证明DN＝DM，只需证明△BDN≌△ADM即可，请你根据小明的思路完成证明过程；
（2）[延伸发现]连接AE，BF，如图3所示，求证：AE＝BF；
（3）[迁移应用]延长EA交DF于点P，交BF于点Q．在图3中完成如上作图过程，猜想并证明AE和BF的位置关系．
11．（2022秋•东海县期中）【问题呈现】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是斜边AB上的一点，连接CD，试说明AD、BD、CD之间的数量关系，并说明理由．
【解决策略】小敏同学思考后是这样做的：将△CAD绕点C逆时针旋转90°，得到对应的△CBE，连接DE，如图1经过推理使问题得到解决．请回答：
（1）△DBE的形状是 ，△DCE的形状是 ；
（2）直接写出AD、BD、CD之间的数量关系是 ；
【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现“等边三角形”、“等腰直角三角形”字样，可以考虑旋转某个三角形，把分散的条件或结论集中到一起，从而使问题得到解决．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BCD＝45°，连接对角线AC、BD，∠ADB＝90°，AD＝BD，若CB＝2，CD＝4，求CA的长；
（4）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，若BC＝5，CD＝2，求A、C两点之间的最大距离．
12．（2021秋•淮安期末）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α．
（1）AD、BE相交于点M．
①求证：AD＝BE；
②用含α的式子表示∠AMB的度数；
（2）如图2，点P、Q分别是AD、BE的中点，连接CP、CQ，判断△CPQ的形状，并加以证明；
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝，AC＝3，以AB为直角边，B为直角顶点作等腰Rt△ABD，则CD＝ （直接写出结果）．
13．（2022秋•亭湖区校级月考）【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．
【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．
【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，
连接AO，下列结论：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°；④EO＝CO，其中正确的有 （将所有正确的序号填在横线上）．
【延伸应用】（3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
14．（2021秋•沭阳县月考）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ °．
（2）如图2，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？请探求点D的位置，并求出此时∠EDC的度数，直接写出你的结论．
15．（2022秋•江阴市期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．
（1）如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，则有 ≌ ．
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，并连接BE，CD，则∠BOD＝ °．
（3）如图3，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由．
16．（2022秋•阜宁县期中）【问题发现】
（1）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，容易发现：①∠BEC的度数为 ；②线段BD、CE之间的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，试探究∠BEC的度数及线段BE、CE、DE之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，∠AOB＝∠ACB＝90°，OA＝3，OB＝7，AC＝BC，求OC2的值．
17．（2021秋•兴化市期末）如图1，△ABC与△ADE是共顶点A的两个等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE、BD．
（1）求证：CE＝BD；
（2）如图2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，若AD＝25，BC＝20，S△ABC＝240，当点D旋转到线段BC上时，求CE的长；
（3）如图3，设F为BD、CE的交点，G、H分别为BD、CE的中点，∠BFC＝α，∠AGH＝β，试探究α与β的数量关系，并说明理由．
一、单选题
1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连结，若，，则（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点B、C、E在同一条直线上，与都是等边三角形，下列结论：①AE=BD；②；③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是______．（填序号）
三、解答题
3．（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，已知，，．
求证：．
4．（2022春·山东济南·八年级校考阶段练习）如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
求证：（1）；
（2）．
5．（2022秋·八年级课时练习）如图，点C是线段AB上任意一点（点C与点A，B不重合），分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．连接MN．
证明：（1）△ACE≌△DCB；
（2）△ACM≌△DCN；
（3）MN∥AB．
6．（2022秋·八年级课时练习）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．
（1）求证：AD=BE；
（2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的长．
7．（2022秋·八年级课时练习）如图，以的边、向外作等边和等边，连接、．问：线段和有什么数量关系？试证明你的结论．
8．（2022秋·八年级课时练习）如图，∠1=∠2，AD=AE，∠B=∠ACE，且B、C、D三点在一条直线上．若∠B=60°，求证：CE=AC+CD．
9．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，和都是等边三角形，且在同一直线上，连结交于，连接交于，连结．
求证：（1）；
（2）；
（3）是等边三角形．
10．（2022秋·八年级课时练习）如图，若和都是等边三角形，求的度数．
11．（2020春·吉林通化·九年级校考阶段练习）如图，A、B、C在同一直线上，且△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于点M，CD交BE于点N，MN∥AC，求证：
（1）∠BDN=∠BAM；
（2）△BMN是等边三角形．
12．（2022·四川自贡·九年级专题练习）如图，△ABD和△BCE都为等边三角形，连接AE、CD．求证：AE＝DC．
13．（2020秋·内蒙古呼和浩特·八年级校考阶段练习）如图，中，，中，，且，当把两个三角形如图①放置时，有．（不需证明）
（1）当把绕点旋转到图②③④的情况，其他条件不变，和还相等吗？请在图②③中选择一种情况进行证明；
（2）若图④中和交于点，连接，求证：平分．
14．（2023春·山东枣庄·八年级统考期中）已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点
【问题解决】
(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；
15．（2022秋·吉林·八年级校联考期中）如图，若 和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
16．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）如图，在中，，，是边上一点（点与不重合），连结，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结交于点，连接．
求证：．
17．（2022秋·新疆克孜勒苏·八年级校考阶段练习）如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．
(1)求证：≌；
(2)求的度数；
(3)求证：平分．
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