资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩13页未读，
继续阅读
所属成套资源：2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）
成套系列资料，整套一键下载
第1章 全等三角形（全章复习与测试）-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）
展开
这是一份第1章 全等三角形（全章复习与测试）-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版），文件包含第1章全等三角形全章复习与测试解析版docx、第1章全等三角形全章复习与测试原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
第1章 全等三角形全章复习与测试
1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；
一、全等三角形的判定与性质
全等三角形对应边相等，对应角相等.
全等三角形判定1——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
全等三角形判定4——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
直角三角形全等的判定——“HL”
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
二、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，
可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
一．全等图形（共4小题）
1．（2022秋•鼓楼区期中）关于全等图形的描述，下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的图形 B．面积相等的图形
C．能够完全重合的图形 D．周长相等的图形
【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．
【解答】解：A、形状相同的图形相似但不一定全等，故错误，不符合题意；
B、面积相等的图形不一定全等，故错误，不符合题意；
C、能够完全重合的图形是全等图形，正确，符合题意；
D、周长相等的图形不一定是全等图形，故错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了全等图形的定义，了解能够完全重合的图形是全等形是解答本题的关键，难度不大．
2．（2022秋•宿豫区期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1﹣∠2﹣∠3的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【分析】根据网格特点，可得出∠1＝90°，∠2＝∠4，∠3+∠4＝45°，进而可求解．
【解答】解：如图，则∠1＝90°，∠2＝∠4，∠3+∠4＝45°，
∴∠1﹣∠2﹣∠3＝90°﹣45°＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．
3．（2022秋•浦口区校级月考）如图，在四边形ABCD与A'B'C′D'中，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'．下列条件中：①∠A＝∠A′，AD＝A′D′；②∠A＝∠A'，CD＝C'D'；③∠A＝∠A′，∠D＝∠D′；④AD＝A′D′，CD＝C′D′．添加上述条件中的其中一个，可使四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，上述条件中符合要求的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④
【分析】连接AC、A′C′，通过证明△ABC≌△A′B′C′（SAS），△ACD≌△A′C′D′（SAS），即可得到结论．
【解答】解：连接AC、A′C′，
在△ABC与△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），
∴AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∵∠BAD＝∠B′A′D′，
∴∠BAD﹣∠DAC＝∠B′A′D′﹣∠D′A′C′，
∴∠DAC＝∠D′A′C′，
在△ACD和△A′C′D中，
，
∴△ACD≌△A′C′D′（SAS），
∴∠D＝∠D′，∠ACD＝∠A′C′D′，CD＝C′D′，
∴∠BCD＝∠B′C′D′，
∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，
AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，
∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
同理根据③④的条件证得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
综上所述，符合要求的条件是①③④，
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等形，全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．
4．（2022秋•江都区月考）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 180° ．
【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，进而得出答案．
【解答】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4＝90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．
故答案为：180°．
【点评】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．
二．全等三角形的性质（共3小题）
5．（2022秋•无锡期末）如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝70°，∠B＝40°，则∠F的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠E＝40°，∠F＝∠C，∠A＝∠D＝70°，然后利用三角形内角和定理计算出∠F的度数，进而可得答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E＝40°，∠F＝∠C，∠A＝∠D＝70°，
∴∠F＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠F＝70°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
6．（2022秋•南通期末）如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝20°，∠C＝60°，则∠CEB的度数为（ ）
A．80° B．90 C．100° D．110
【分析】在△CAD中，根据三角形内角和定理求出∠CDA的度数，再根据“全等三角形对应角相等”可得∠CEB的度数．
【解答】解：∵∠A＝20°，∠C＝60°，，
∴∠CDA＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣60°＝100°，
∵△CAD≌△CBE，
∴∠CEB＝∠CDA＝100°（全等三角形对应角相等）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．（2022秋•建邺区期末）如图，△ABC≌△AMN，点M在BC上，连接CN，下列结论：
①AM平分∠BMN
②∠CMN＝∠BAM
③∠MAC＝∠MNC
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质及角的和差求解即可．
【解答】解：∵△ABC≌△AMN，
∴AB＝AM，∠ABC＝∠AMN，
∴∠ABM＝∠AMB，
∴∠AMB＝∠AMN，
∴AM平分∠BMN，
故①正确，符合题意；
∵△ABC≅△AMN，
∴∠ABC＝∠AMN，
∵∠AMC＝∠AMN+∠NMC＝∠ABC+∠BAM，
∴∠CMN＝∠BAM，
故②正确，符合题意；
∵△ABC≅△AMN，
∴∠BAC＝∠MAN，AB＝AM，AC＝AN，∠ACB＝∠ANM，
∴∠BAM＝∠CAN，∠ACN＝∠ANC，∠ABM＝∠AMB，
∴∠ACN＝∠ANC＝∠ABM＝∠AMB，
∵∠AMB＝∠MAC+∠ACB，∠ANC＝∠ANM+∠MNC，
∴∠MAC＝∠MNC
故③正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
三．全等三角形的判定（共3小题）
8．（2022秋•徐州期末）根据下列条件，能确定△ABC（存在且唯一）的是（ ）
A．AB＝2，BC＝3，AC＝6 B．AC＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．AB＝5，BC＝3，∠B＝30° D．∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°
【分析】根据全等三角形的判定方法，若各选项的条件满足三角形全等的条件，则可确定三角形的形状和大小，否则三角形的形状和大小不能确定．
【解答】解：A、AB＝2，BC＝3，AC＝6，2+3＜6，不能组成三角形，故不符合题意；
B、AC＝4，BC＝3，∠A＝60°，△ABC的形状和大小不能确定，故不符合题意；
C、AB＝5，BC＝3，∠B＝30°，则利用“SAS”可判断△ABC是唯一的，故符合题意；
D、∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°，△ABC的大小不能确定，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
9．（2022秋•邗江区期末）如图，若BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，则添加不能使△ABC≌△DEC的条件是（ ）
A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．AC＝DC D．∠A＝∠D
【分析】已知条件中已经有一边一角，需要证明全等，再可以添加角，也可以添加边，若添加边，只能添加AC＝DC，若添加角，另两组角随便添加即可．
【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB＝∠DCE，
A、根据BC＝CE，AB＝DE，∠ACB＝∠DCE不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；
B、因为∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠E，BC＝CE，所以符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
C、因为BC＝CE，∠ACB＝∠DCE，AC＝CD，所以符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
D、因为∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCE，BC＝CE，所以符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形的判定定理是解题的关键．
10．（2022秋•常州期末）已知：如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOD≌△BOC．
【分析】由∠AOC＝∠BOD，可得∠AOD＝∠BOC，再根据SAS即可得证．
【解答】证明：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD，
即∠AOD＝∠BOC．
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键．
四．直角三角形全等的判定（共2小题）
11．（2022秋•建邺区校级期中）下列说法：①斜边和斜边上的高线分别相等的两个直角三角形全等；②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；③斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等；④斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．①③④
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可．
【解答】解：如图，
已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，CD＝C′D′，
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，
证明：设点O，O′分别为AB，A′B′的中点，则CO＝C′O′，
∵CD⊥AB于D，C'D'⊥A'B'于D'，
∴∠CDB＝∠C′D′B′＝90°，
∴Rt△CDO≌Rt△C′D′O′（HL），
∴∠COD＝∠C'O'D'，
∵CO＝BO，C′O′＝B′O′，
∴∠OCB＝∠B，∠O′C′B′＝∠B′，
∴∠B＝（180°﹣∠COB），∠B'＝（180°﹣∠C′O′B′），
∴∠B＝∠B'，
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS），故①正确；
两个锐角分别等的两个直角三角形不一定全等，故②不正确；
斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形可利用AAS得出两个直角三角形全等，故③正确；
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形可利用HL得出两个直角三角形全等，故④正确．
其中所有正确结论的序号是①③④，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定定理，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键．
12．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．
【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因为∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根据平角定义可得∠ACB＝90°．
【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），
∴∠EAC＝∠BCF，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
五．全等三角形的判定与性质（共10小题）
13．（2022秋•东台市月考）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
∴∠F＝∠DEC，
∴BF∥CE，故④正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误，
正确的结论为：①③④，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
14．（2022秋•如东县期末）如图，在△ABC中，，直线l经过边AB的中点D，与BC交于点M，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为E，F，则AE+CF的最大值为 4 ．
【分析】过点B作BH⊥EF，交EF的延长线于H，证明△ADE≌△BDH，根据全等三角形的性质得到AE＝BH，得到答案．
【解答】解：过点B作BH⊥EF，交EF的延长线于H，
在△ADE和△BDH中，
，
∴△ADE≌△BDH（AAS），
∴AE＝BH，
∴AE+CF的最大值是BH+CF的最大值，
由题意可知：BH+CF≤BC，
∴AE+CF的最大值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
15．（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠B，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE＝CF．求证：DE＝DF．
【分析】证明△ADE≌△CFD（SAS），可得结论．
【解答】证明：连接DC．
∵BC＝AC，∠BCA＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D为AB中点，
∴BD＝CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．
∵∠A+∠ACD＝∠ACD+∠FCD＝90°，
∴∠A＝∠FCD，
在△ADE和△CFD中，
，
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用等腰直角三角形的性质得出证明全等需要的条件．
16．（2022秋•秦淮区期末）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2．求证OB＝OC．
【分析】证明△ABC≌△DCB（AAS），得∠OBC＝∠OCB，再利用等腰三角形的判定即可解决问题．
【解答】证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（AAS），
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△DCB．
17．（2022秋•宿豫区期末）如图，在△ABC和△BAD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：AC＝BD．
【分析】根据题意得到∠DAB＝∠CBA，利用ASA定理证明△ADB≌△BCA，根据全等三角形的对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠DAB＝∠CBA，
在△ADB和△BCA中，
，
∴△ADB≌△BCA（ASA），
∴AC＝BD．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
18．（2022秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D在AB边上，BC＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△DCE≌△CBF；
（2）若AB＝AC，求证：DE＝DB．
【分析】（1）先证明∠FBC＝∠DCE，再根据AAS可证△DCE≌△CBF；
（2）过点C作CH⊥BD于点H，根据等腰三角形的性质可得∠BCH＝∠DCH，BH＝DH，再证明∠ACD＝∠DCH，根据角平分线的性质可知DE＝DH，进一步即可得证．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∠BFA＝90°，
∵∠A＝45°，
∴∠ABF＝45°，
∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC，
∵∠DBC＝∠ABF+∠FBC，∠BDC＝∠A+∠DCE，
∴∠FBC＝∠DCE，
在△DCE和△CBF中，
，
∴△DCE≌△CBF（AAS）；
（2）过点C作CH⊥BD于点H，如图所示：
∵BC＝CD，
∴∠BCH＝∠DCH，BH＝DH，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠FBC＝∠DCE，
∴∠BCD＝∠ABF＝45°，
∴∠DCH＝22.5°，∠BDC＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴∠ACD＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠ACD＝∠DCH，
∵DE⊥AC，CH⊥BD，
∴DE＝DH，
∴DE＝DB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19．（2022秋•鼓楼区期末）如图，点A、C、D在同一直线上，BC⊥AD，垂足为C，BC＝CD，点E在BC上，AC＝EC，连接AB，DE．
（1）求证：△ABC≌△EDC；
（2）写出AB与DE的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）在Rt△ACB和Rt△ECD中，由ASA证明三角形全等；
（2）根据（1）得出∠AFD＝90°即可．
【解答】（1）证明：∵BC⊥AD，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，
在Rt△ACB和Rt△ECD中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS）；
（2）解：AB⊥DE．理由：
如图延长DE交AB于点F，
∵△ABC≌△EDC，
∴∠B＝∠D，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠D+∠A＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴AB⊥DE．
【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，关键是掌握三角形全等的判定．
20．（2022秋•玄武区期末）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝AE，BC＝DE，延长BC，DE交于点M．
（1）求证：点A在∠M的平分线上；
（2）若AC∥DM，AB＝12，BM＝18，求BC的长．
【分析】（1）连接AM，证明Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），可得AB＝AD，根据角平分线的性质即可解决问题；
（2）证明CM＝AC，设BC＝x，所以CM＝AC＝18﹣x，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接AM，
在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝AE，BC＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），
∴AB＝AD，
∵AB⊥BM，AD⊥DM，
∴MA平分∠BMD，
∴点A在∠BMD的平分线上；
（2）解：∵AC∥DM，
∴∠CAM＝∠AMD，
∴∠AMB＝∠CAM，
∴CM＝AC，
设BC＝x，
∴CM＝AC＝18﹣x，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴122+x2＝（18﹣x）2，
∴x＝5．
∴BC＝5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到Rt△ABC≌Rt△ADE．
21．（2022秋•如皋市校级期末）如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC＝70°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．
【分析】（1）直接根据ASA可证明△ABE≌△CAD；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求出∠BAC＝40°，从而得到∠BAD＝65°，再根据平行线的性质即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAE＝∠ACD，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（ASA）；
（2）解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵∠ABE＝25°，
∴∠CAD＝∠ABE＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝40°+25°＝65°，
∵CD∥AB，
∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣65°＝115°．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点是解题的关键．
22．（2022秋•镇江期末）已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，且AE＝BF．
求证：（1）△ADE≌△BCF；
（2）AE∥BF．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADE＝∠BCF＝90°，根据全等三角形的判定证明即可；
（2）由（1）得△AED≌△BFC，则有∠A＝∠B，则可判断AE∥BF．
【解答】证明：（1）∵ED⊥AB，FC⊥AB，
∴∠ADE＝∠BCF＝90°，
∵AC＝BD，
∴AC+CD＝BD+CD，
即AD＝BC，
在Rt△ADE与Rt△BCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）；
（2）由（1）得△AED≌△BFC，
∴∠A＝∠B，
∴AE∥BF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，解此题的关键是推出AD＝BC．
六．全等三角形的应用（共4小题）
23．（2022秋•泗阳县期中）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），
∵△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
24．（2022秋•邗江区校级月考）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的度数和为 90° ，并证明你的结论．
【分析】由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．
【解答】解：∠ABC+∠DFE＝90°，理由如下：
由题意可得：△ABC与△DEF均是直角三角形，且BC＝EF，AC＝DF．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ABC＝∠DEF，
∵∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠ABC+∠DFE＝90°．
故答案为：90°．
【点评】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．
25．（2022秋•灌南县校级月考）如图，两根旗杆相距12m，某人从B点沿BA走向A点，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，求：这个人从B点到M点运动了多长时间？
【分析】根据∠CMD＝90°，利用互余关系可以得出：∠ACM＝∠DMB，证明三角形全等的另外两个条件容易看出．利用全等的性质可求得AC＝BM＝3，从而求得运动时间．
【解答】解：∵∠CMD＝90°，
∴∠CMA+∠DMB＝90°，
又∵∠CAM＝90°
∴∠CMA+∠ACM＝90°，
∴∠ACM＝∠DMB，
在△ACM和△BMD中，
，
∴△ACM≌△BMD（AAS），
∴AC＝BM＝3m，
∴他到达点M时，运动时间为3÷1＝3（s）．
答：这个人从B点到M点运动了3s．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得Rt△ACM≌Rt△BMD．
26．（2021秋•灌云县月考）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？
（2）请说明方案可行的理由．
【分析】（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；
（2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学的方案只能知道两三角形的两边相等，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．
【解答】解：（1）甲同学的方案可行；
（2）甲同学方案：
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD；
乙同学方案：
在△ABD和△CBD中，
只能知道DC＝DA，DB＝DB，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．
【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解决问题的关键．
一．选择题（共7小题，满分21分，每小题3分）
1．（3分）如图是两个全等三角形，则∠1＝（ ）
A．62° B．72° C．76° D．66°
【分析】根据全等三角形的对应角相等解答．
【解答】解：第一个图中，∠1＝180°﹣42°﹣62°＝76°，
∵两个三角形全等，
∴∠1＝76°，
故选：C．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
2．（3分）如图，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是（ ）
A．∠BAC＝∠DAC B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．AB∥CD
【分析】根据全等三角形的性质得出∠BAC＝∠DCA，∠D＝∠B，∠DAC＝∠BCA，根据平行线的判定得出AD∥BC，AB∥CD即可．
【解答】解：∵△ABC≌△CDA，
∴∠BAC＝∠DCA，∠D＝∠B，∠DAC＝∠BCA，
∴AD∥BC，AB∥CD，
即只有选项A错误，选项B、选项C、选项D都正确；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，注意：①全等三角形的对应角相等，对应边相等，②内错角相等，两直线平行．
3．（3分）如图，点B，E，C，F共线，∠A＝∠D，AB＝DE，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠DEF B．AC＝DF C．AC∥DF D．BE＝CF
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，
∴当添加∠B＝∠DEF时，根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF；
当条件AC＝DF时，根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF；
当添加AC∥DF时，则∠ACB＝∠DFE，根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
4．（3分）如图，E是线段AB的中点，∠AEC＝∠DEB，再添加一个条件，使得△AED≌△BEC，所添加的条件不正确的是（ ）
A．AD＝BC B．DE＝CE C．∠A＝∠B D．∠C＝∠D
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：∵∠AEC＝∠DEB，
∴∠AED＝∠BEC，
∵E是线段AB的中点，
∴AE＝BE，
A、添加AD＝BC，不能判定△AED≌△BEC，符合题意；
B、添加DE＝CE，利用SAS能判定△AED≌△BEC，不符合题意；
C、添加∠A＝∠B，利用ASA能判定△AED≌△BEC，不符合题意；
D、添加∠C＝∠D，利用AAS能判定△AED≌△BEC，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，等式的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
5．（3分）下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．有两条边对应相等
C．一条边和一锐角对应相等
D．一条边和一个角对应相等
【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．
【解答】解：∵A、两条直角边对应相等
可利用SAS判定两直角三角形全等，
B、两边对应相等，可利用HL或SSA判定两直角三角形全等；
C、一条边和一锐角对应相等，可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等．
D、一条边和一个角对应相等不能判定两直角三角形全等．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定定理HL，此题难度不大，是一道基础题．
6．（3分）根据下列条件能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．AB＝5，AC＝6，∠A＝45° D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
【分析】根据三角形的三边关系定理即可判断选项A，根据全等三角形的判定定理判断选项B，选项C，选项D即可．
【解答】解：A．3+4＜8，不符合三角形三边关系定理，不能作出三角形，故本选项不符合题意；
B．不符合全等三角形的判定定理，不能作出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C．符合全等三角形的判定定理SAS，能作出唯一的三角形，故本选项符合题意；
D．不符合全等三角形的判定定理，不能作出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形的三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
7．（3分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AB＝AC+CD，若∠BAC＝81°，则∠ACB的大小为（ ）
A．36° B．66° C．79° D．89°
【分析】在AB上截取AC'＝AC，连接DC'，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：在AB上截取AC'＝AC，连接DC'，
∵AB＝AC+CD，
∴BC'＝DC，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠C'AD＝∠DAC，
在△ACD和△AC'D中，
，
∴△ACD≌△AC'D（SAS），
∴C'D＝CD，∠ACD＝∠AC'D，
∴DC'＝BC'，
∴△BC'D是等腰三角形，
∴∠C'BD＝∠C'DB，
设∠C'BD＝∠C'DB＝x，则∠ACD＝∠AC'D＝2x，
∵∠BAC＝81°，
∴x+2x+81°＝180°，
解得：x＝33°，
∴∠ACB＝33°×2＝66°，
故选：B．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
8．（3分）如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB＝30°，∠A′CB′＝70°，则∠ACA′的度数是 40° ．
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠A′CB′，然后求解即可．
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB＝∠A′CB′＝70°，
∴∠ACA′＝∠ACB﹣∠A′CB＝70°﹣30°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
9．（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽AB．只要测量CD的长度即可，该做法的依据是 根据SAS证明△AOB≌△COD ．
【分析】本题让我们了解测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一SAS，只需要测量易测量的边CD上．测量方案的操作性强．
【解答】解：连接AB，CD，如图，
∵点O分别是AC、BD的中点，
∴OA＝OC，OB＝OD．
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
∴CD＝AB．
即：需要测量CD的长度，即为工件内槽宽AB．
其依据是根据SAS证明△AOB≌△COD．
故答案为：根据SAS证明△AOB≌△COD．
【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
10．（3分）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ 135° ．
【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：∠1＝∠3，
则∠1+∠2＝∠2+∠3＝135°．
故答案为：135°．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确借助网格分析是解题关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE＝∠CDF，请你添加一个条件，使DE＝DF成立．你添加的条件是 答案不唯一，如AB＝AC或∠B＝∠C
或∠BED＝∠CFD或∠AED＝∠AFD ．（不再添加辅助线和字母）
【分析】答案不唯一根据AB＝AC，推出∠B＝∠C，根据ASA证出△BED和△CFD全等即可；添加∠BED＝∠CDF，根据AAS即可推出△BED和△CFD全等；根据∠AED＝∠AFD推出∠B＝∠C，根据ASA证△BED≌△CFD即可．
【解答】解：答案不唯一，如AB＝AC或∠B＝∠C或∠BED＝∠CFD，或∠AED＝∠AFD等；
理由是：①条件为AB＝AC，
理由是：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CDF中
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴DE＝DF；
②条件为：∠B＝∠C，
由①知：DE＝DF；
③条件为∠BED＝∠CFD，
理由是：∵在△BDE和△CDF中
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
④条件为：∠AED＝∠AFD，
理由是：∵∠AED＝∠AFD，∠AED＝∠B+∠BDE，∠AFD＝∠C+∠CDF，
∴∠B＝∠C，
由①知：△BED≌△CFD，
所以DE＝DF；
故答案为：答案不唯一，如AB＝AC或∠B＝∠C或∠BED＝∠CFD或∠AED＝∠AFD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
12．（3分）如图，△ABC≌△BAD，如果AB＝6，BD＝5，AD＝4，那么AC＝ 5 ．
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答．
【解答】解：∵△ABC≌△BAD，BD＝5，
∴AC＝BD＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质的应用，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
13．（3分）如图，AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠DBC，请你再补充一个条件，使得△ACB≌△DBC，这个条件可以是 ∠A＝∠D ，理由是 AAS ；这个条件也可以是 AC＝DB ，理由是 SAS ；这个条件还可以是 ∠ABC＝∠DCB ，理由是 ASA ．
【分析】条件可以是∠A＝∠D，可利用AAS判定△ACB≌△DBC；条件也可以是AC＝DB，可利用SAS判定△ACB≌△DBC；条件还可以是∠ABC＝∠DCB，可利用ASA判定△ACB≌△DBC．
【解答】解：添加∠A＝∠D，
在△ACB和△DBC中，
，
∴△ACB≌△DBC（AAS）；
添加AC＝DB，
在△ACB和△DBC中，
，
∴△ACB≌△DBC（SAS）；
添加∠ABC＝∠DCB，
在△ACB和△DBC中，
，
∴△ACB≌△DBC（ASA）；
故答案为：∠A＝∠D；AAS；AC＝DB；SAS；∠ABC＝∠DCB；ASA．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．（3分）三角形在日常生活和生产中有很多应用，如图房屋支架、起重机的臂膀中都有三角形结构，这是利用了三角形的 稳定 性．
【分析】根据三角形的稳定性进行解答．
【解答】解：房屋支架、起重机的臂膀中都有三角形结构，这是利用了三角形的稳定性．
故答案为：稳定．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
15．（3分）如图所示，AD、A1D1分别是锐角△ABC和△A1B1C1中边BC、B1C1的高，且AB＝A1B1，AD＝A1D1，若要使△ABC≌△A1B1C1，可补充的条件是 ∠C＝∠C1 （只需要填写一个你认为适当的条件即可）
【分析】根据HL推出Rt△ADB≌Rt△A1D1B1，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠B1，根据AAS推出全等即可．
【解答】解：∠C＝∠C1，
理由是：∵AD、A1D1分别是锐角△ABC和△A1B1C1中边BC、B1C1的高，
∴∠ADB＝∠A1D1B1＝90°，
在Rt△ADB和Rt△A1D1B1中
∴Rt△ADB≌Rt△A1D1B1（HL），
∴∠B＝∠B1，
在△ABC和△A1B1C1中
∴△ABC≌△A1B1C1（AAS），
故答案为：∠C＝∠C1．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟练地掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
三．解答题（共8小题）
16．如图，把一个三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角板的三个顶点A、B、C分别槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论．
【分析】易发现AD与BE所在的△ABD与△BCE在滑动过程中始终全等，因而AD＝BE．
【解答】解：AD＝BE，AD⊥BE．
理由如下：
∵∠D＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠EBC＝90°
∴∠BAD＝∠EBC；
又∵AB＝BC，∠D＝∠E；
∴△ABD≌△BCE（AAS）；
∴AD＝BE，AD⊥BE．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；证明两条线段相等，一般证明它们所在的三角形全等．本题中不论三角板如何滑动，始终有AB＝BC，∠ABC＝90度，做题时要注意找规律．
17．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB＝ED ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．并写出证明过程．
【分析】根据题意可得∠B＝∠D，∠BAC＝∠DEF＝90°，根据全等三角形的判定定理可知只需要添加一条对应边相等即可，由此求解即可．
【解答】解：添加条件AB＝ED，证明如下：
在Rt△ABC和Rt△EDF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL等等．
18．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED＝105°，∠CAD＝15°，∠B＝50°，求∠DGF的度数．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AED＝105°，∠D＝∠B＝50°，求得∠ACF＝180°﹣∠ACB＝75°，根据三角形的内角和定理即可得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠AED＝105°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝∠AED＝105°，∠D＝∠B＝50°，
∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝75°，
∵∠CAD＝15°，
∴∠AFC＝180°﹣∠CAF﹣∠ACF＝90°，
∴∠DGF＝∠AFC﹣∠D＝90°﹣50°＝40°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E在AD上，连接BE、CE．
（1）图中有 3 对全等三角形；
（2）请选一对加以证明．
【分析】（1）图中有3对全等三角形，△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE；
（2）由SSS证明△ABD≌△ACD，得出对应角相等∠BAE＝∠CAE，由SAS证明△ABE≌△ACE，得出对应边相等BE＝CE，由SSS证明△BDE≌△CDE．
【解答】解：（1）图中有3对全等三角形：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE．
故答案为3；
（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
∴∠BAE＝∠CAE．
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（SAS）；
∴BE＝CE．
在△BDE和△CDE中，
，
∴△BDE≌△CDE（SSS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法，等腰三角形的性质；熟练掌握三角形全等的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
20．如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD＝2BE．
【分析】由角边角证明△AME≌△BAE得BE＝ME，BM＝2BE，再证明△ACD≌△BCM得AD＝BM，等量代换证明AD＝2BE．
【解答】证明：延长BE和AC后相交于点M，
如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
又∵AD是∠A的平分线，
∠MAE＝∠BAE，
又∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°，
在△AME和△BAE中
∴△AME≌△BAE（ASA）
∴BE＝ME，
∴BM＝2BE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ADC+∠DAC＝90°，
又∵∠BDE+∠DBE＝90°，
∠ADC＝∠BDE，
∴∠DAC＝∠MBC，
在△ACD和△BCM中，
∴△ACD≌△BCM（ASA）
∴AD＝BM
∴AD＝2BE．
【点评】本题综合考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形中两锐角互余，等角（或同角）的余角相等，全等三角形的判定与性质，等量代换等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅线构建三角形证明全等．
21．如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．小明测得C，D间的距离为90m，求在A点处小明与游艇的距离．
【分析】先根据全等三角形的判定定理证得△ABS≌△CBD，再根据全等三角形的性质定理即可求得结论．
【解答】解：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA），
∴AS＝CD，
∵CD＝90m，
∴AS＝CD＝90m，
答：在A点处小明与游艇的距离为90m．
【点评】本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，由全等三角形的判定定理证得△ABS≌△CBD是解决问题的关键．
22．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．
【分析】能够完全重合的两个图形角全等图形，全等图形的形状相同，大小相等，然后观察图形着图中的虚线进行分割，再结合正方形展开图的特点即可完成解答．
【解答】解：如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为两个全等的图形．（答案不唯一）
【点评】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD＝CD，求证：AB＝AC．
小明解决上面问题的思路是，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，从而完成此题，请按照小明的思路将此题补充完整并证明AB＝AC．
【分析】延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，由SAS证明△BDE≌△CDA，得出BE＝AC，∠E＝∠CAD，由角平分线得出∠BAD＝∠CAD，∠E＝∠BAD，证出AB＝BE，即可得出结论．
【解答】证明：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，如图1所示：
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC，∠E＝∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠E＝∠BAD，
∴AB＝BE，
∴AB＝AC
【点评】考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，图形比较复杂，有一定难度，通过作辅助线，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
第1章 全等三角形全章复习与测试
1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；
一、全等三角形的判定与性质
全等三角形对应边相等，对应角相等.
全等三角形判定1——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
全等三角形判定4——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
直角三角形全等的判定——“HL”
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
二、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，
可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
一．全等图形（共4小题）
1．（2022秋•鼓楼区期中）关于全等图形的描述，下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的图形 B．面积相等的图形
C．能够完全重合的图形 D．周长相等的图形
【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．
【解答】解：A、形状相同的图形相似但不一定全等，故错误，不符合题意；
B、面积相等的图形不一定全等，故错误，不符合题意；
C、能够完全重合的图形是全等图形，正确，符合题意；
D、周长相等的图形不一定是全等图形，故错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了全等图形的定义，了解能够完全重合的图形是全等形是解答本题的关键，难度不大．
2．（2022秋•宿豫区期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1﹣∠2﹣∠3的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【分析】根据网格特点，可得出∠1＝90°，∠2＝∠4，∠3+∠4＝45°，进而可求解．
【解答】解：如图，则∠1＝90°，∠2＝∠4，∠3+∠4＝45°，
∴∠1﹣∠2﹣∠3＝90°﹣45°＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．
3．（2022秋•浦口区校级月考）如图，在四边形ABCD与A'B'C′D'中，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'．下列条件中：①∠A＝∠A′，AD＝A′D′；②∠A＝∠A'，CD＝C'D'；③∠A＝∠A′，∠D＝∠D′；④AD＝A′D′，CD＝C′D′．添加上述条件中的其中一个，可使四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，上述条件中符合要求的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④
【分析】连接AC、A′C′，通过证明△ABC≌△A′B′C′（SAS），△ACD≌△A′C′D′（SAS），即可得到结论．
【解答】解：连接AC、A′C′，
在△ABC与△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），
∴AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∵∠BAD＝∠B′A′D′，
∴∠BAD﹣∠DAC＝∠B′A′D′﹣∠D′A′C′，
∴∠DAC＝∠D′A′C′，
在△ACD和△A′C′D中，
，
∴△ACD≌△A′C′D′（SAS），
∴∠D＝∠D′，∠ACD＝∠A′C′D′，CD＝C′D′，
∴∠BCD＝∠B′C′D′，
∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，
AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，
∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
同理根据③④的条件证得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
综上所述，符合要求的条件是①③④，
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等形，全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．
4．（2022秋•江都区月考）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 180° ．
【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，进而得出答案．
【解答】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4＝90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．
故答案为：180°．
【点评】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．
二．全等三角形的性质（共3小题）
5．（2022秋•无锡期末）如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝70°，∠B＝40°，则∠F的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠E＝40°，∠F＝∠C，∠A＝∠D＝70°，然后利用三角形内角和定理计算出∠F的度数，进而可得答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E＝40°，∠F＝∠C，∠A＝∠D＝70°，
∴∠F＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠F＝70°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
6．（2022秋•南通期末）如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝20°，∠C＝60°，则∠CEB的度数为（ ）
A．80° B．90 C．100° D．110
【分析】在△CAD中，根据三角形内角和定理求出∠CDA的度数，再根据“全等三角形对应角相等”可得∠CEB的度数．
【解答】解：∵∠A＝20°，∠C＝60°，，
∴∠CDA＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣60°＝100°，
∵△CAD≌△CBE，
∴∠CEB＝∠CDA＝100°（全等三角形对应角相等）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．（2022秋•建邺区期末）如图，△ABC≌△AMN，点M在BC上，连接CN，下列结论：
①AM平分∠BMN
②∠CMN＝∠BAM
③∠MAC＝∠MNC
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质及角的和差求解即可．
【解答】解：∵△ABC≌△AMN，
∴AB＝AM，∠ABC＝∠AMN，
∴∠ABM＝∠AMB，
∴∠AMB＝∠AMN，
∴AM平分∠BMN，
故①正确，符合题意；
∵△ABC≅△AMN，
∴∠ABC＝∠AMN，
∵∠AMC＝∠AMN+∠NMC＝∠ABC+∠BAM，
∴∠CMN＝∠BAM，
故②正确，符合题意；
∵△ABC≅△AMN，
∴∠BAC＝∠MAN，AB＝AM，AC＝AN，∠ACB＝∠ANM，
∴∠BAM＝∠CAN，∠ACN＝∠ANC，∠ABM＝∠AMB，
∴∠ACN＝∠ANC＝∠ABM＝∠AMB，
∵∠AMB＝∠MAC+∠ACB，∠ANC＝∠ANM+∠MNC，
∴∠MAC＝∠MNC
故③正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
三．全等三角形的判定（共3小题）
8．（2022秋•徐州期末）根据下列条件，能确定△ABC（存在且唯一）的是（ ）
A．AB＝2，BC＝3，AC＝6 B．AC＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．AB＝5，BC＝3，∠B＝30° D．∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°
【分析】根据全等三角形的判定方法，若各选项的条件满足三角形全等的条件，则可确定三角形的形状和大小，否则三角形的形状和大小不能确定．
【解答】解：A、AB＝2，BC＝3，AC＝6，2+3＜6，不能组成三角形，故不符合题意；
B、AC＝4，BC＝3，∠A＝60°，△ABC的形状和大小不能确定，故不符合题意；
C、AB＝5，BC＝3，∠B＝30°，则利用“SAS”可判断△ABC是唯一的，故符合题意；
D、∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°，△ABC的大小不能确定，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
9．（2022秋•邗江区期末）如图，若BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，则添加不能使△ABC≌△DEC的条件是（ ）
A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．AC＝DC D．∠A＝∠D
【分析】已知条件中已经有一边一角，需要证明全等，再可以添加角，也可以添加边，若添加边，只能添加AC＝DC，若添加角，另两组角随便添加即可．
【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB＝∠DCE，
A、根据BC＝CE，AB＝DE，∠ACB＝∠DCE不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；
B、因为∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠E，BC＝CE，所以符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
C、因为BC＝CE，∠ACB＝∠DCE，AC＝CD，所以符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
D、因为∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCE，BC＝CE，所以符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形的判定定理是解题的关键．
10．（2022秋•常州期末）已知：如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOD≌△BOC．
【分析】由∠AOC＝∠BOD，可得∠AOD＝∠BOC，再根据SAS即可得证．
【解答】证明：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD，
即∠AOD＝∠BOC．
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键．
四．直角三角形全等的判定（共2小题）
11．（2022秋•建邺区校级期中）下列说法：①斜边和斜边上的高线分别相等的两个直角三角形全等；②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；③斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等；④斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．①③④
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可．
【解答】解：如图，
已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，CD＝C′D′，
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，
证明：设点O，O′分别为AB，A′B′的中点，则CO＝C′O′，
∵CD⊥AB于D，C'D'⊥A'B'于D'，
∴∠CDB＝∠C′D′B′＝90°，
∴Rt△CDO≌Rt△C′D′O′（HL），
∴∠COD＝∠C'O'D'，
∵CO＝BO，C′O′＝B′O′，
∴∠OCB＝∠B，∠O′C′B′＝∠B′，
∴∠B＝（180°﹣∠COB），∠B'＝（180°﹣∠C′O′B′），
∴∠B＝∠B'，
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS），故①正确；
两个锐角分别等的两个直角三角形不一定全等，故②不正确；
斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形可利用AAS得出两个直角三角形全等，故③正确；
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形可利用HL得出两个直角三角形全等，故④正确．
其中所有正确结论的序号是①③④，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定定理，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键．
12．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．
【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因为∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根据平角定义可得∠ACB＝90°．
【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），
∴∠EAC＝∠BCF，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
五．全等三角形的判定与性质（共10小题）
13．（2022秋•东台市月考）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
∴∠F＝∠DEC，
∴BF∥CE，故④正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误，
正确的结论为：①③④，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
14．（2022秋•如东县期末）如图，在△ABC中，，直线l经过边AB的中点D，与BC交于点M，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为E，F，则AE+CF的最大值为 4 ．
【分析】过点B作BH⊥EF，交EF的延长线于H，证明△ADE≌△BDH，根据全等三角形的性质得到AE＝BH，得到答案．
【解答】解：过点B作BH⊥EF，交EF的延长线于H，
在△ADE和△BDH中，
，
∴△ADE≌△BDH（AAS），
∴AE＝BH，
∴AE+CF的最大值是BH+CF的最大值，
由题意可知：BH+CF≤BC，
∴AE+CF的最大值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
15．（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠B，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE＝CF．求证：DE＝DF．
【分析】证明△ADE≌△CFD（SAS），可得结论．
【解答】证明：连接DC．
∵BC＝AC，∠BCA＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D为AB中点，
∴BD＝CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．
∵∠A+∠ACD＝∠ACD+∠FCD＝90°，
∴∠A＝∠FCD，
在△ADE和△CFD中，
，
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用等腰直角三角形的性质得出证明全等需要的条件．
16．（2022秋•秦淮区期末）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2．求证OB＝OC．
【分析】证明△ABC≌△DCB（AAS），得∠OBC＝∠OCB，再利用等腰三角形的判定即可解决问题．
【解答】证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（AAS），
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△DCB．
17．（2022秋•宿豫区期末）如图，在△ABC和△BAD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：AC＝BD．
【分析】根据题意得到∠DAB＝∠CBA，利用ASA定理证明△ADB≌△BCA，根据全等三角形的对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠DAB＝∠CBA，
在△ADB和△BCA中，
，
∴△ADB≌△BCA（ASA），
∴AC＝BD．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
18．（2022秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D在AB边上，BC＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△DCE≌△CBF；
（2）若AB＝AC，求证：DE＝DB．
【分析】（1）先证明∠FBC＝∠DCE，再根据AAS可证△DCE≌△CBF；
（2）过点C作CH⊥BD于点H，根据等腰三角形的性质可得∠BCH＝∠DCH，BH＝DH，再证明∠ACD＝∠DCH，根据角平分线的性质可知DE＝DH，进一步即可得证．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∠BFA＝90°，
∵∠A＝45°，
∴∠ABF＝45°，
∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC，
∵∠DBC＝∠ABF+∠FBC，∠BDC＝∠A+∠DCE，
∴∠FBC＝∠DCE，
在△DCE和△CBF中，
，
∴△DCE≌△CBF（AAS）；
（2）过点C作CH⊥BD于点H，如图所示：
∵BC＝CD，
∴∠BCH＝∠DCH，BH＝DH，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠FBC＝∠DCE，
∴∠BCD＝∠ABF＝45°，
∴∠DCH＝22.5°，∠BDC＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴∠ACD＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠ACD＝∠DCH，
∵DE⊥AC，CH⊥BD，
∴DE＝DH，
∴DE＝DB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19．（2022秋•鼓楼区期末）如图，点A、C、D在同一直线上，BC⊥AD，垂足为C，BC＝CD，点E在BC上，AC＝EC，连接AB，DE．
（1）求证：△ABC≌△EDC；
（2）写出AB与DE的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）在Rt△ACB和Rt△ECD中，由ASA证明三角形全等；
（2）根据（1）得出∠AFD＝90°即可．
【解答】（1）证明：∵BC⊥AD，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，
在Rt△ACB和Rt△ECD中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS）；
（2）解：AB⊥DE．理由：
如图延长DE交AB于点F，
∵△ABC≌△EDC，
∴∠B＝∠D，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠D+∠A＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴AB⊥DE．
【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，关键是掌握三角形全等的判定．
20．（2022秋•玄武区期末）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝AE，BC＝DE，延长BC，DE交于点M．
（1）求证：点A在∠M的平分线上；
（2）若AC∥DM，AB＝12，BM＝18，求BC的长．
【分析】（1）连接AM，证明Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），可得AB＝AD，根据角平分线的性质即可解决问题；
（2）证明CM＝AC，设BC＝x，所以CM＝AC＝18﹣x，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接AM，
在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝AE，BC＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），
∴AB＝AD，
∵AB⊥BM，AD⊥DM，
∴MA平分∠BMD，
∴点A在∠BMD的平分线上；
（2）解：∵AC∥DM，
∴∠CAM＝∠AMD，
∴∠AMB＝∠CAM，
∴CM＝AC，
设BC＝x，
∴CM＝AC＝18﹣x，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴122+x2＝（18﹣x）2，
∴x＝5．
∴BC＝5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到Rt△ABC≌Rt△ADE．
21．（2022秋•如皋市校级期末）如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC＝70°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．
【分析】（1）直接根据ASA可证明△ABE≌△CAD；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求出∠BAC＝40°，从而得到∠BAD＝65°，再根据平行线的性质即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAE＝∠ACD，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（ASA）；
（2）解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵∠ABE＝25°，
∴∠CAD＝∠ABE＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝40°+25°＝65°，
∵CD∥AB，
∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣65°＝115°．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点是解题的关键．
22．（2022秋•镇江期末）已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，且AE＝BF．
求证：（1）△ADE≌△BCF；
（2）AE∥BF．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADE＝∠BCF＝90°，根据全等三角形的判定证明即可；
（2）由（1）得△AED≌△BFC，则有∠A＝∠B，则可判断AE∥BF．
【解答】证明：（1）∵ED⊥AB，FC⊥AB，
∴∠ADE＝∠BCF＝90°，
∵AC＝BD，
∴AC+CD＝BD+CD，
即AD＝BC，
在Rt△ADE与Rt△BCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）；
（2）由（1）得△AED≌△BFC，
∴∠A＝∠B，
∴AE∥BF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，解此题的关键是推出AD＝BC．
六．全等三角形的应用（共4小题）
23．（2022秋•泗阳县期中）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），
∵△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
24．（2022秋•邗江区校级月考）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的度数和为 90° ，并证明你的结论．
【分析】由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．
【解答】解：∠ABC+∠DFE＝90°，理由如下：
由题意可得：△ABC与△DEF均是直角三角形，且BC＝EF，AC＝DF．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ABC＝∠DEF，
∵∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠ABC+∠DFE＝90°．
故答案为：90°．
【点评】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．
25．（2022秋•灌南县校级月考）如图，两根旗杆相距12m，某人从B点沿BA走向A点，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，求：这个人从B点到M点运动了多长时间？
【分析】根据∠CMD＝90°，利用互余关系可以得出：∠ACM＝∠DMB，证明三角形全等的另外两个条件容易看出．利用全等的性质可求得AC＝BM＝3，从而求得运动时间．
【解答】解：∵∠CMD＝90°，
∴∠CMA+∠DMB＝90°，
又∵∠CAM＝90°
∴∠CMA+∠ACM＝90°，
∴∠ACM＝∠DMB，
在△ACM和△BMD中，
，
∴△ACM≌△BMD（AAS），
∴AC＝BM＝3m，
∴他到达点M时，运动时间为3÷1＝3（s）．
答：这个人从B点到M点运动了3s．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得Rt△ACM≌Rt△BMD．
26．（2021秋•灌云县月考）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？
（2）请说明方案可行的理由．
【分析】（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；
（2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学的方案只能知道两三角形的两边相等，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．
【解答】解：（1）甲同学的方案可行；
（2）甲同学方案：
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD；
乙同学方案：
在△ABD和△CBD中，
只能知道DC＝DA，DB＝DB，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．
【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解决问题的关键．
一．选择题（共7小题，满分21分，每小题3分）
1．（3分）如图是两个全等三角形，则∠1＝（ ）
A．62° B．72° C．76° D．66°
【分析】根据全等三角形的对应角相等解答．
【解答】解：第一个图中，∠1＝180°﹣42°﹣62°＝76°，
∵两个三角形全等，
∴∠1＝76°，
故选：C．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
2．（3分）如图，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是（ ）
A．∠BAC＝∠DAC B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．AB∥CD
【分析】根据全等三角形的性质得出∠BAC＝∠DCA，∠D＝∠B，∠DAC＝∠BCA，根据平行线的判定得出AD∥BC，AB∥CD即可．
【解答】解：∵△ABC≌△CDA，
∴∠BAC＝∠DCA，∠D＝∠B，∠DAC＝∠BCA，
∴AD∥BC，AB∥CD，
即只有选项A错误，选项B、选项C、选项D都正确；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，注意：①全等三角形的对应角相等，对应边相等，②内错角相等，两直线平行．
3．（3分）如图，点B，E，C，F共线，∠A＝∠D，AB＝DE，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠DEF B．AC＝DF C．AC∥DF D．BE＝CF
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，
∴当添加∠B＝∠DEF时，根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF；
当条件AC＝DF时，根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF；
当添加AC∥DF时，则∠ACB＝∠DFE，根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
4．（3分）如图，E是线段AB的中点，∠AEC＝∠DEB，再添加一个条件，使得△AED≌△BEC，所添加的条件不正确的是（ ）
A．AD＝BC B．DE＝CE C．∠A＝∠B D．∠C＝∠D
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：∵∠AEC＝∠DEB，
∴∠AED＝∠BEC，
∵E是线段AB的中点，
∴AE＝BE，
A、添加AD＝BC，不能判定△AED≌△BEC，符合题意；
B、添加DE＝CE，利用SAS能判定△AED≌△BEC，不符合题意；
C、添加∠A＝∠B，利用ASA能判定△AED≌△BEC，不符合题意；
D、添加∠C＝∠D，利用AAS能判定△AED≌△BEC，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，等式的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
5．（3分）下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．有两条边对应相等
C．一条边和一锐角对应相等
D．一条边和一个角对应相等
【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．
【解答】解：∵A、两条直角边对应相等
可利用SAS判定两直角三角形全等，
B、两边对应相等，可利用HL或SSA判定两直角三角形全等；
C、一条边和一锐角对应相等，可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等．
D、一条边和一个角对应相等不能判定两直角三角形全等．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定定理HL，此题难度不大，是一道基础题．
6．（3分）根据下列条件能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．AB＝5，AC＝6，∠A＝45° D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
【分析】根据三角形的三边关系定理即可判断选项A，根据全等三角形的判定定理判断选项B，选项C，选项D即可．
【解答】解：A．3+4＜8，不符合三角形三边关系定理，不能作出三角形，故本选项不符合题意；
B．不符合全等三角形的判定定理，不能作出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C．符合全等三角形的判定定理SAS，能作出唯一的三角形，故本选项符合题意；
D．不符合全等三角形的判定定理，不能作出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形的三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
7．（3分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AB＝AC+CD，若∠BAC＝81°，则∠ACB的大小为（ ）
A．36° B．66° C．79° D．89°
【分析】在AB上截取AC'＝AC，连接DC'，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：在AB上截取AC'＝AC，连接DC'，
∵AB＝AC+CD，
∴BC'＝DC，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠C'AD＝∠DAC，
在△ACD和△AC'D中，
，
∴△ACD≌△AC'D（SAS），
∴C'D＝CD，∠ACD＝∠AC'D，
∴DC'＝BC'，
∴△BC'D是等腰三角形，
∴∠C'BD＝∠C'DB，
设∠C'BD＝∠C'DB＝x，则∠ACD＝∠AC'D＝2x，
∵∠BAC＝81°，
∴x+2x+81°＝180°，
解得：x＝33°，
∴∠ACB＝33°×2＝66°，
故选：B．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
8．（3分）如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB＝30°，∠A′CB′＝70°，则∠ACA′的度数是 40° ．
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠A′CB′，然后求解即可．
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB＝∠A′CB′＝70°，
∴∠ACA′＝∠ACB﹣∠A′CB＝70°﹣30°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
9．（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽AB．只要测量CD的长度即可，该做法的依据是 根据SAS证明△AOB≌△COD ．
【分析】本题让我们了解测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一SAS，只需要测量易测量的边CD上．测量方案的操作性强．
【解答】解：连接AB，CD，如图，
∵点O分别是AC、BD的中点，
∴OA＝OC，OB＝OD．
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
∴CD＝AB．
即：需要测量CD的长度，即为工件内槽宽AB．
其依据是根据SAS证明△AOB≌△COD．
故答案为：根据SAS证明△AOB≌△COD．
【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
10．（3分）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ 135° ．
【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：∠1＝∠3，
则∠1+∠2＝∠2+∠3＝135°．
故答案为：135°．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确借助网格分析是解题关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE＝∠CDF，请你添加一个条件，使DE＝DF成立．你添加的条件是 答案不唯一，如AB＝AC或∠B＝∠C
或∠BED＝∠CFD或∠AED＝∠AFD ．（不再添加辅助线和字母）
【分析】答案不唯一根据AB＝AC，推出∠B＝∠C，根据ASA证出△BED和△CFD全等即可；添加∠BED＝∠CDF，根据AAS即可推出△BED和△CFD全等；根据∠AED＝∠AFD推出∠B＝∠C，根据ASA证△BED≌△CFD即可．
【解答】解：答案不唯一，如AB＝AC或∠B＝∠C或∠BED＝∠CFD，或∠AED＝∠AFD等；
理由是：①条件为AB＝AC，
理由是：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CDF中
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴DE＝DF；
②条件为：∠B＝∠C，
由①知：DE＝DF；
③条件为∠BED＝∠CFD，
理由是：∵在△BDE和△CDF中
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
④条件为：∠AED＝∠AFD，
理由是：∵∠AED＝∠AFD，∠AED＝∠B+∠BDE，∠AFD＝∠C+∠CDF，
∴∠B＝∠C，
由①知：△BED≌△CFD，
所以DE＝DF；
故答案为：答案不唯一，如AB＝AC或∠B＝∠C或∠BED＝∠CFD或∠AED＝∠AFD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
12．（3分）如图，△ABC≌△BAD，如果AB＝6，BD＝5，AD＝4，那么AC＝ 5 ．
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答．
【解答】解：∵△ABC≌△BAD，BD＝5，
∴AC＝BD＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质的应用，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
13．（3分）如图，AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠DBC，请你再补充一个条件，使得△ACB≌△DBC，这个条件可以是 ∠A＝∠D ，理由是 AAS ；这个条件也可以是 AC＝DB ，理由是 SAS ；这个条件还可以是 ∠ABC＝∠DCB ，理由是 ASA ．
【分析】条件可以是∠A＝∠D，可利用AAS判定△ACB≌△DBC；条件也可以是AC＝DB，可利用SAS判定△ACB≌△DBC；条件还可以是∠ABC＝∠DCB，可利用ASA判定△ACB≌△DBC．
【解答】解：添加∠A＝∠D，
在△ACB和△DBC中，
，
∴△ACB≌△DBC（AAS）；
添加AC＝DB，
在△ACB和△DBC中，
，
∴△ACB≌△DBC（SAS）；
添加∠ABC＝∠DCB，
在△ACB和△DBC中，
，
∴△ACB≌△DBC（ASA）；
故答案为：∠A＝∠D；AAS；AC＝DB；SAS；∠ABC＝∠DCB；ASA．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．（3分）三角形在日常生活和生产中有很多应用，如图房屋支架、起重机的臂膀中都有三角形结构，这是利用了三角形的 稳定 性．
【分析】根据三角形的稳定性进行解答．
【解答】解：房屋支架、起重机的臂膀中都有三角形结构，这是利用了三角形的稳定性．
故答案为：稳定．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
15．（3分）如图所示，AD、A1D1分别是锐角△ABC和△A1B1C1中边BC、B1C1的高，且AB＝A1B1，AD＝A1D1，若要使△ABC≌△A1B1C1，可补充的条件是 ∠C＝∠C1 （只需要填写一个你认为适当的条件即可）
【分析】根据HL推出Rt△ADB≌Rt△A1D1B1，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠B1，根据AAS推出全等即可．
【解答】解：∠C＝∠C1，
理由是：∵AD、A1D1分别是锐角△ABC和△A1B1C1中边BC、B1C1的高，
∴∠ADB＝∠A1D1B1＝90°，
在Rt△ADB和Rt△A1D1B1中
∴Rt△ADB≌Rt△A1D1B1（HL），
∴∠B＝∠B1，
在△ABC和△A1B1C1中
∴△ABC≌△A1B1C1（AAS），
故答案为：∠C＝∠C1．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟练地掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
三．解答题（共8小题）
16．如图，把一个三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角板的三个顶点A、B、C分别槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论．
【分析】易发现AD与BE所在的△ABD与△BCE在滑动过程中始终全等，因而AD＝BE．
【解答】解：AD＝BE，AD⊥BE．
理由如下：
∵∠D＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠EBC＝90°
∴∠BAD＝∠EBC；
又∵AB＝BC，∠D＝∠E；
∴△ABD≌△BCE（AAS）；
∴AD＝BE，AD⊥BE．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；证明两条线段相等，一般证明它们所在的三角形全等．本题中不论三角板如何滑动，始终有AB＝BC，∠ABC＝90度，做题时要注意找规律．
17．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB＝ED ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．并写出证明过程．
【分析】根据题意可得∠B＝∠D，∠BAC＝∠DEF＝90°，根据全等三角形的判定定理可知只需要添加一条对应边相等即可，由此求解即可．
【解答】解：添加条件AB＝ED，证明如下：
在Rt△ABC和Rt△EDF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL等等．
18．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED＝105°，∠CAD＝15°，∠B＝50°，求∠DGF的度数．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AED＝105°，∠D＝∠B＝50°，求得∠ACF＝180°﹣∠ACB＝75°，根据三角形的内角和定理即可得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠AED＝105°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝∠AED＝105°，∠D＝∠B＝50°，
∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝75°，
∵∠CAD＝15°，
∴∠AFC＝180°﹣∠CAF﹣∠ACF＝90°，
∴∠DGF＝∠AFC﹣∠D＝90°﹣50°＝40°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E在AD上，连接BE、CE．
（1）图中有 3 对全等三角形；
（2）请选一对加以证明．
【分析】（1）图中有3对全等三角形，△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE；
（2）由SSS证明△ABD≌△ACD，得出对应角相等∠BAE＝∠CAE，由SAS证明△ABE≌△ACE，得出对应边相等BE＝CE，由SSS证明△BDE≌△CDE．
【解答】解：（1）图中有3对全等三角形：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE．
故答案为3；
（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
∴∠BAE＝∠CAE．
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（SAS）；
∴BE＝CE．
在△BDE和△CDE中，
，
∴△BDE≌△CDE（SSS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法，等腰三角形的性质；熟练掌握三角形全等的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
20．如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD＝2BE．
【分析】由角边角证明△AME≌△BAE得BE＝ME，BM＝2BE，再证明△ACD≌△BCM得AD＝BM，等量代换证明AD＝2BE．
【解答】证明：延长BE和AC后相交于点M，
如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
又∵AD是∠A的平分线，
∠MAE＝∠BAE，
又∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°，
在△AME和△BAE中
∴△AME≌△BAE（ASA）
∴BE＝ME，
∴BM＝2BE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ADC+∠DAC＝90°，
又∵∠BDE+∠DBE＝90°，
∠ADC＝∠BDE，
∴∠DAC＝∠MBC，
在△ACD和△BCM中，
∴△ACD≌△BCM（ASA）
∴AD＝BM
∴AD＝2BE．
【点评】本题综合考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形中两锐角互余，等角（或同角）的余角相等，全等三角形的判定与性质，等量代换等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅线构建三角形证明全等．
21．如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．小明测得C，D间的距离为90m，求在A点处小明与游艇的距离．
【分析】先根据全等三角形的判定定理证得△ABS≌△CBD，再根据全等三角形的性质定理即可求得结论．
【解答】解：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA），
∴AS＝CD，
∵CD＝90m，
∴AS＝CD＝90m，
答：在A点处小明与游艇的距离为90m．
【点评】本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，由全等三角形的判定定理证得△ABS≌△CBD是解决问题的关键．
22．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．
【分析】能够完全重合的两个图形角全等图形，全等图形的形状相同，大小相等，然后观察图形着图中的虚线进行分割，再结合正方形展开图的特点即可完成解答．
【解答】解：如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为两个全等的图形．（答案不唯一）
【点评】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD＝CD，求证：AB＝AC．
小明解决上面问题的思路是，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，从而完成此题，请按照小明的思路将此题补充完整并证明AB＝AC．
【分析】延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，由SAS证明△BDE≌△CDA，得出BE＝AC，∠E＝∠CAD，由角平分线得出∠BAD＝∠CAD，∠E＝∠BAD，证出AB＝BE，即可得出结论．
【解答】证明：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，如图1所示：
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC，∠E＝∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠E＝∠BAD，
∴AB＝BE，
∴AB＝AC
【点评】考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，图形比较复杂，有一定难度，通过作辅助线，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
相关试卷
2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）-第12章 全等三角形全章复习与测试（原卷版+解析版）： 这是一份2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）-第12章 全等三角形全章复习与测试（原卷版+解析版），文件包含第12章全等三角形全章复习与测试原卷版docx、第12章全等三角形全章复习与测试解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
第3章 勾股定理全章复习与测试-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）： 这是一份第3章 勾股定理全章复习与测试-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版），文件包含第3章勾股定理全章复习与测试解析版docx、第3章勾股定理全章复习与测试原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
第2章 轴对称图形全章复习与测试-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）： 这是一份第2章 轴对称图形全章复习与测试-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版），文件包含第2章轴对称图形全章复习与测试解析版docx、第2章轴对称图形全章复习与测试原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共94页， 欢迎下载使用。
