中考数学专题与圆有关的计算和证明课件PPT

这是一份中考数学专题与圆有关的计算和证明课件PPT，共53页。PPT课件主要包含了图Z4-1，■题型精练，图Z4-2，图Z4-3，图Z4-4，图Z4-5，图Z4-6，图Z4-7，图Z4-8，图Z4-9等内容，欢迎下载使用。

解:(1)∵直线l是斜边AB的垂直平分线,∴OC⊥AB,AC=CB,OA=OB,∴∠A=∠OBA,又在☉O中,OD=OC,且∠ODB=90°,∴BO平分∠ABD,即有∠OBA=∠OBD,∴Rt△ABD中,∠A=∠OBA=∠OBD=30°,∴△AOB中,∠AOB=180°-∠A-∠OBA=120°.
解:(1)证明:连接OD,如图所示.∵AD∥OC,∴∠COD=∠ADO,∠COB=∠DAO,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO,∴∠COD=∠COB.
2.[2019·衡阳]如图Z4-3,点A,B,C在半径为8的☉O上.过点B作BD∥AC,交OA延长线于点D,连接BC,且∠BCA=∠OAC=30°.(1)求证:BD是☉O的切线;(2)求图中阴影部分的面积.
解:(1)证明:如图,连接OB交AC于E,∵∠BCA=30°,∴∠AOB=60°.在△AOE中,又∵∠OAC=30°,∴∠OEA=90°,∴OB⊥AC.∵BD∥AC,∴OB⊥BD.∵OB为☉O的半径,∴BD为☉O的切线.
2.[2019·衡阳]如图Z4-3,点A,B,C在半径为8的☉O上.过点B作BD∥AC,交OA延长线于点D,连接BC,且∠BCA=∠OAC=30°.(2)求图中阴影部分的面积.
例2 [2019·湘西州改编]如图Z4-4①,△ABC内接于☉O,CD平分∠ACB,与AB,☉O分别交于点G,D,过点D作EF∥AB,分别交CA,CB的延长线于点E,F,连接BD.(1)求证:EF是☉O的切线;(2)若AC=4BF,求证:BD=2BF;(3)如图②,∠ABC的平分线交CD于点I,求证:DI2=DG·DC.
(2)若AC=4BF,求证:BD=2BF;
(3)如图②,∠ABC的平分线交CD于点I,求证:DI2=DG·DC.
【方法点析】圆中证线段的等量关系,可以从圆心角(圆周角,弧)相等的角度入手证明,当然也可以找全等三角形,如果是证明倍数关系,或者乘积关系,常常找包含对应边的相似三角形,或者进行一些边的等价代换后再证明三角形相似.
■ 题型精练1.如图Z4-5,已知AB是☉O的直径,点C是半径OA上一动点(点C与点O,A不重合),过点C作AB的垂线交☉O于点D,连接OD,过点B作BF∥OD交☉O于点E,交射线CD于点F.求证:BE=2OC.
2.如图Z4-6,在☉O中,弦AC⊥BD,垂足为E,连接AB,CD.(1)如图①,点M是弦AB中点,连接ME并延长交CD于N,求证:MN⊥CD;(2)如图②,CF是☉O的直径,连接DF,BC,求证:AB=DF.
2.如图Z4-6,在☉O中,弦AC⊥BD,垂足为E,连接AB,CD.(2)如图②,CF是☉O的直径,连接DF,BC,求证:AB=DF.
3.[2020·怀化]如图Z4-7,在☉O中,AB为直径,点C为圆上一点,延长AB到点D,使CD=CA,且∠D=30°.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)分别过A,B两点作直线CD的垂线,垂足分别为E,F两点,过C点作AB的垂线,垂足为点G.求证:CG2=AE·BF.
3.[2020·怀化]如图Z4-7,在☉O中,AB为直径,点C为圆上一点,延长AB到点D,使CD=CA,且∠D=30°.(1)求证:CD是☉O的切线;
证明:(1)连接OC,如图所示,∵CA=CD,且∠D=30°,∴∠CAD=∠D=30°,∵OA=OC,∴∠CAD=∠ACO=30°,∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°,∴∠OCD=180°-∠D-∠COD=180°-30°-60°=90°,∴OC⊥CD,又∵OC为☉O的半径,∴CD是☉O的切线.
(2)分别过A,B两点作直线CD的垂线,垂足分别为E,F两点,过C点作AB的垂线,垂足为点G.求证:CG2=AE·BF.
证明:(2)由(1)知∠COB=60°,又OC=OB,∴△OCB为等边三角形,∴∠CBG=60°,又∵CG⊥AD,∴∠CGB=90°,∴∠GCB=90°-∠CBG=30°,又∵∠GCD=60°,∴CB是∠GCD的平分线,∵BF⊥CD,BG⊥CG,∴BF=BG,
例3 [2018·湘潭改编]如图Z4-8已知AB是☉O的直径,半径CO⊥AO,点M是☉O上的动点,且不与点A,C,B重合.(1)若☉O的半径为10.(i)如图①,点M在弧AC上,直线AM交OC延长线于点D,连接OM,当∠AOM=60°时,求DM的长.(ii)如图②,点M在弧CB上,线段AM交OC于点D,求AD·AM的值.
例3 [2018·湘潭改编]如图Z4-8已知AB是☉O的直径,半径CO⊥AO,点M是☉O上的动点,且不与点A,C,B重合.(1)若☉O的半径为10.(i)如图①,点M在弧AC上,直线AM交OC延长线于点D,连接OM,当∠AOM=60°时,求DM的长.
解:(1)(i)当∠AOM=60°时,∵☉O中OM=OA,∴△AMO是等边三角形,∴∠OAM=∠MOA=60°,又OC⊥AB,∴∠MOD=90°-∠MOA=30°,∠D=90°-∠A=30°,∴DM=OM=10.
例3 [2018·湘潭改编]如图Z4-8已知AB是☉O的直径,半径CO⊥AO,点M是☉O上的动点,且不与点A,C,B重合. (1)若☉O的半径为10.(ii)如图②,点M在弧CB上,线段AM交OC于点D,求AD·AM的值.
(2)如图③,点M在AB下方的圆弧上运动,连接CM交直径AB于点F,连接AM,BM,CB.(iii)当点F在半径OB上,且OF∶OB=1∶3时,求cs∠MCB的值.
(2)如图③,点M在AB下方的圆弧上运动,连接CM交直径AB于点F,连接AM,BM,CB.
【方法点析】圆中求线段的长,一般找线段所在直角三角形利用勾股定理,或者相似三角形利用边成比例列方程(也可用锐角三角函数替代);圆中求线段的积或比,可以采用分别求长,或者借助相似三角形或者锐角三角函数,进行整体求积或比.
■ 题型精练1.[2020·衡阳]如图Z4-9,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,☉O交AB于点E,交AC于点F.(1)判断BC与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.
解:(1)BC与☉O相切.理由:连接OD.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠DAC,∴∠ODA=∠DAC,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC,∵OD是☉O的半径,∴BC与☉O相切.
1.[2020·衡阳]如图Z4-9,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,☉O交AB于点E,交AC于点F.(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.
① ②图Z4-11
解:(1)证明:∵PA切☉O于点A,AC是☉O的直径,∴∠PAO=∠CDA=90°.∵CD⊥PB,∴∠CEP=90°,∴∠CEP=∠CDA=∠PAO,∴PB∥AD,∴∠POA=∠CAD,∴△APO∽△DCA.
解: (2)如图,连接OD,(i)∵AD=AO,OD=AO,∴△OAD是等边三角形,∴∠OAD=60°.∵PB∥AD,∴∠POA=∠OAD=60°.∵∠PAO=90°,∴∠P=90°-∠POA=90°-60°=30°.
解: (2) (ii)存在.如图,过点B作BQ⊥AC交☉O于Q,连接PQ,BC,CQ,由(i)得:∠POA=60°,∠PAO=90°,∴∠BOC=∠POA=60°,∠AOB=120°,∵OB=OC,∴△BOC为等边三角形,∠ACB=60°,
1.[2019·娄底]如图Z4-12,点D在以AB为直径的☉O上,AD平分∠BAC,DC⊥AC,过点B作☉O的切线交AD的延长线于点E.(1)求证:直线CD是☉O的切线;(2)求证:CD·BE=AD·DE.
证明:(1)如图,连接OD,∵在☉O中,OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.又∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠CAD,∴∠ODA=∠CAD.∵DC⊥AC,∴∠ADC+∠CAD=90°,∴∠ADC+∠ADO=90°,∴∠ODC=90°,即OD⊥CD,∴直线CD是☉O的切线.
1.[2019·娄底]如图Z4-12,点D在以AB为直径的☉O上,AD平分∠BAC,DC⊥AC,过点B作☉O的切线交AD的延长线于点E.(2)求证:CD·BE=AD·DE.
解:(1)证明:如图,连接OD,交BC于点G.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵AD平分∠EAB,∴∠OAD=∠DAE,∴∠DAE=∠ODA,∴OD∥AE.∵DE⊥AE,∴OD⊥EF,∴EF是☉O的切线.
解: (2)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴BC∥EF.又∵OD∥AE,∴四边形CEDG是平行四边形.∵DE⊥AE,∴∠E=90°,
解:(1)证明:连接OC,如图①,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵OC=OB,∴∠B=∠OCB,∵∠BCM=∠A,∴∠OCB+∠BCM=90°,即∠OCM=90°,∴OC⊥MN,又∵OC为☉O的半径,∴MN是☉O的切线.