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2022-2023学年浙江省台州市三区三校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年浙江省台州市三区三校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省台州市三区三校联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子是最简二次根式的是( )
A. 12 B. 22 C. 0.5 D. 8
2. 下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是( )
A. 5，12，14 B. 6，8，9 C. 8，13，15 D. 7，24，25
3. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A. 测量两条对角线是否相等
B. 度量两个角是否是90°
C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D. 测量两组对边是否分别相等
4. 如图，直线y1=x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2=−x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P(m,2)是△ABC内部(包括边上)的一点，则m的最大值与最小值之差为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
5. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：|a−2|+ (a−4)2的结果为( )
A. 2 B. −2 C. 2a−6 D. −2a+6
6. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=4，OH=3，则DH的长( )
A. 125 B. 245 C. 485 D. 965
7. 某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y(元)与销售量x(件)的函数关系如图所示，则售完这100件商品可盈利元．( )
A. 200
B. 250
C. 400
D. 500
8. 已知A(a,b)、B(c,d)是一次函数y=kx−2x−1图象上的不同的两个点，若(c−a)(d−b)<0，则k的取值范围是( )
A. k<3 B. k>3 C. k<2 D. k>2
9. 如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为( )
A. 2 3+2
B. 5− 33
C. 3− 3
D. 3+1
10. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线一点，连接AE交CD于F，作∠AEG=∠AEB，EG交CD的延长线于G，连接AG，当CE=BC=2时，作FH⊥AG于H，连接DH，则DH的长为
A. 2− 2 B. 2−1 C. 22 D. 23
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 在函数y= 1−x2中，自变量x的取值范围是______ ．
12. 如图，直线y=kx+b经过A(−4,0)和B(−3,2)两点，则不等式0
13. 在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为(0,0)、(6,0)、(8,6)、(2,6)，若一次函数y=mx−6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为______．
14. 在面积为36的▱ABCD中，M、F分别为AB、AD的中点，EF为BC边上的高，若AD=6，CE=1，则EM的长为______．
15. 按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形(阴影部分)的周长为______ ．
16. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=8，BC=12，点O，P分别是边AB，AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是______．
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1)( 5−1)2+ 15÷ 3；
(2)( 2)2− 27+(12)−2+|1− 3|．
18. (本小题6.0分)
如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋于AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)求秋千的长度．
(2)如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送______ m.
19. (本小题6.0分)
在矩形ABCD中，AB=3，AD=9，对角线AC、BD交于点O，一直线过O点分别交AD、BC于点E、F，且ED=4，求证：四边形AFCE为菱形．
20. (本小题6.0分)
如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺，分别在图1、图2中按要求作图(保留作图痕迹，不这写作法)．
(1)在图1中，在AB边上求作一点N，连接CN，使得CN=AM；
(2)在图2中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使得CQ=AM．
21. (本小题8.0分)
阅读理解题：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：一次函数y=x−1，它的相关函数为y=−x+1(x<0)x−1(x>0)，已知一次函数y=−2x+4，请回答下列问题：
(1)该一次函数的相关函数为______ ．
(2)当−2≤x≤2时，求该一次函数的相关函数的最大值和最小值；
(3)已知直线y=b与y轴垂直(b为垂足的纵坐标)，当直线y=b与该一次函数的相关函数的图象只有一个交点时，直接写出b的取值范围．
22. (本小题10.0分)
菱形ABCD中，∠ABC=60°，△BEF为等边三角形，将△BEF绕点B顺时针旋转，G为线段DF的中点，连接AG、EG．
(1)如图1，E为边AB上一点(点A、E不重合)，则EG、AG的关系是______ ，请说明理由．
(2)将△BEF旋转至如图2所示位置，(1)中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
23. (本小题10.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y=−43x+4与坐标轴交于A，B两点，点C为AB的中点，动点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动.以CP，CQ为邻边构造平行四边形CPDQ，设点P运动的时间为t秒．
(1)直接写出点C的坐标______ ．
(2)如图2，过点D作DG⊥y轴，过点C作CH⊥x轴.证明：△PDG≌△CQH．
(3)如图3，连接OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 12= 22，故A不符合题意；
B、 22是最简二次根式，故B符合题意；
C、 0.5= 22，故C不符合题意；
D、 8=2 2，故D不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义，判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵52+122≠142，∴三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
B、∵62+82≠92，∴三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
C、∵82+132≠152，∴三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
D、∵72+242=252，∴三条线段能组成直角三角形，符合题意．
故选：D．
如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．由此判定即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】C
【解析】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项C符合题意；
D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵点P(m,2)是△ABC内部(包括边上)的一点，
∴点P在直线y=2上，如图所示，
当P为直线y=2与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y=2与直线y1的交点时，m取最小值，
∵y2=−x+3中令y=2，则x=1，
y1=x+3中令y=2，则x=−1，
∴m的最大值为1，m的最小值为−1．
则m的最大值与最小值之差为：1−(−1)=2．
故选：B．
由于P的纵坐标为2，故点P在直线y=2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y=2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．
本题考查一次函数的性质，要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值，由于P的纵坐标为1，故作出直线y=2有助于判断P的位置．
5.【答案】A
【解析】解：根据实数a在数轴上的位置得知：2
故原式=a−2+4−a=2．
故选：A．
根据数轴先确定a−2、a−4的正负，然后再去绝对值、根号，合并同类项即可解决问题．
本题考查数轴及二次根式、绝对值的化简，关键是根据数轴得出a−2与a−4的正负情况．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=2OA=8，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴BD=2OH，
∵OH=3，
∴BD=6，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×8×6=24.AB= AO2+OB2= 42+32=5，
∵菱形ABCD的面积=AB⋅DH=5DH=24，
∴DH=245．
故选：B．
由菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，则AC=2OA=8，再由直角三角形斜边上的中线性质得BD=6，即可解决问题．
本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：当40≤x≤80时，设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0,k,b为常数)，
代入点(40,800)和点(80,1300)，
得40k+b=80080k+b=1300，
解得k=252b=300，
∴y=252x+300(40≤x≤80)，
当x=100时，y=252×100+300=1550，
1550−13×100=250(元)，
∴售完这100件商品可盈利250元，
故选：B．
先求出40≤x≤80时，y与x的函数关系式，再将x=100代入求出总销售额，进一步根据“总销售额−总成本=总盈利”计算即可．
本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵A(a,b)、B(c,d)是一次函数y=kx−2x−1图象上的不同的两个点，
∴b=ka−2a−1，d=kc−2c−1，且a≠c，
∴d−b=(c−a)(k−2)，
∴k−2=d−bc−a，
∵(c−a)(d−b)<0，
∴k−2<0，
∴k<2．
故选：C．
将点A，点B坐标代入解析式可求k−2=d−bc−a，即可求解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，求出k−2=d−bc−a是关键，是一道基础题．
9.【答案】D
【解析】解：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，
则∠BHE=∠DGE=90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB=2，∠ABC=60°，
∵四边形ABED是正方形，
∴BE=DE=2，∠ABE=∠BED=90°，
∴∠EBH=180°−∠ABC−∠ABE=180°−60°−90°=30°，
∴EH=12BE=2×12=1，BH= BE2−EH2= 3，
∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，
∴∠EGF=∠EHB=∠DFH=90°，
∴四边形EGFH是矩形，
∴FG=EH=1，∠BEH+∠BEG=∠GEH=90°，
∵∠DEG+∠BEG=90°，
∴∠BEH=∠DEG，
在△BEH和△DEG中，
∠BHE=∠DGE∠BEH=∠DEGBE=DE，
∴△BEH≌△DEG(AAS)，
∴DG=BH= 3，
∴DF=DG+FG= 3+1，
故选：D．
过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，利用解直角三角形可得EH=1，BH= 3，再证明△BEH≌△DEG，可得DG=BH= 3，即可求得答案．
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形，题目的综合性很好，难度不大．
10.【答案】C
【解析】解：在BC上取一点J，使JE=GE，连AJ.过H做HK⊥AD于K，HI⊥GD于I．
易证△AEJ≌△AEG(SAS)．
∴AJ=AG，∠JAE=∠GAE，
又∵AB=AD，∠ABJ=∠ADG=90°，
∴△BAJ≌△DAG(HL)．
∠BAJ=∠DAG，∴∠BAD=∠JAG=90°，∴∠JAE=∠GAE=45°，
∴△AHF 为等腰直角三角形．
∵∠AHF=∠ ADF=90°，
∴∠HAK=∠HFI．
在△AKH于△HFI中
∠HAK=∠HFI∠AKH=∠FIHAH=FH，
∴△AKH ≌△FIH(AAS)．
∴HK=HI，
∴四边形HKDI 为正方形．
设ID=KD=x，则FI=FD+DI=1+x，AK=AD−KD=2−x，
∵FI=AK，∴1+x=2−x，
∴x=12，即ID=12，
∴ HD= 2ID= 22．
故选C
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
11.【答案】x≤1
【解析】解：根据题意得：1−x≥0，
解得：x≤1．
故答案为：x≤1．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】−4
13.【答案】−35或−6
【解析】
【分析】
由题意直线y=mx−6m经过定点B(6,0)，又一次函数y=mx−6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，即可推出直线y=mx−6m经过AD的中点M(1,3)或经过CD的中点N(5,6)，利用待定系数法即可解决问题．
本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是发现直线y=mx−6m经过定点B(6,0)，属于中考填空题中的压轴题．
【解答】
解：∵AB=CD，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵直线y=mx−6m经过定点B(6,0)，
又∵直线y=mx−6m把平行四边形ABCD的面积分成1：3的两部分．
∴直线y=mx−6m经过AD的中点M(1,3)或经过CD的中点N(5,6)，
∴m−6m=3或5m−6m=6，
∴m=−35或−6，
故答案为−35或−6．
14.【答案】5
【解析】解：如图，过点M作MN⊥EF于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=6，
∵EF⊥AD，
∴S平行四边形ABCD=AD⋅EF，
∴6EF=36，
∴EF=6，
∵F为AD的中点，
∴AF=DF=12AD=3，
∵CE=1，
∴BE=BC−CE=6−1=5，
∵MN⊥EF，EF⊥AD，
∴MN//AD，
∵M为AB的中点，
∴N为EF的中点，
∴MN是梯形ABEF的中位线，EN=12EF=3，
∴MN=12(AF+BE)=12(3+5)=4，
在Rt△EMN中，根据勾股定理得：
ME= MN2+NE2= 42+32=5．
故答案为：5．
根据题意画出图形，过点M作MN⊥EF于点N，根据平行四边形的面积求出EF=6，然后证明MN是梯形ABEF的中位线，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，梯形中位线定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
15.【答案】20 2
【解析】解：延长BG，交AE与点C，
∵∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC
∴CE=5
∵△CED是等腰直角三角形，
∴CD=5 2
∵CD=GF，
∴中间的小正方形的边长是5 2，因而周长是20 2．
故答案为20 2
延长BG，交AE与点C，则易证△ABC是等腰直角三角形，因而AB=AC，则CE=5，△CED是等腰直角三角形，则CD=5 2，根据CD=GF，即中间的小正方形的边长是5 2，因而周长是20 2．
能够注意到延长BG交AE于C，从而把问题转化为求直角三角形的边的问题，是解决本题的基本思路．
16.【答案】4 10−2 13
【解析】解：如图，连接EO、PO、OC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠OAP=90°，
在Rt△OBC中，BC=12，OB=4，
∴OC== 42+122=4 10，
在Rt△AOP中，OA=4，PA=6，
∴OP= 42+62=2 13，
∵OE=OC=4 10，PE≥OE−OP，
∴PE的最小值为4 10−2 13．
故答案为：4 10−2 13．
如图，连接EO、PO、OC.根据三边关系，PE≥OE−OP，求出OE，OP即可解决问题．
本题考查了翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题．
17.【答案】解：(1)原式=5−2 5+1+ 15÷3
=6−2 5+ 5
=6− 5；
(2)原式=2−3 3+4+ 3−1
=5−2 3．
【解析】(1)先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可；
(2)先利用二次根式的性质、负整数指数幂和绝对值的意义计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
18.【答案】4
【解析】解：(1)由题意得：BF=1.6m，BC=3m，DE=0.6m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE=BF=1.6m，
∴CD=CE−DE=1.6−0.6=1(m)，
∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
设秋千的长度为x m，
则AB=AD=x m，AC=AD−CD=(x−1)m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即(x−1)2+32=x2，
解得：x=5，
即秋千的长度是5m；
(2)当BF=2.6m时，CE=2.6m，
∵DE=0.6m，
∴CD=CE−DE=2.6−0.6=2(m)，
由(2)可知，AD=AB=5m，
∴AC=AD−CD=5−2=3(m)，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC= AB2−AC2= 52−32=4(m)，
即需要将秋千AD往前推送4m，
故答案为：4．
(1)由题意得BF=1.6m，BC=3m，DE=0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE=BF=1.6m，则CD=CE−DE=1m；设秋千的长度为x m，则AB=AD=x m，AC=AD−CD=(x−1)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
(2)当BF=2.6m时，CE=2.6m，则CD=CE−DE=2m，得AC=AD−CD=3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可．
此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC=9，OA=OC，∠ABC=90°，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠EOA=∠FOC，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AE=AD−ED=9−4=5，
∴CF=5，
∴BF=BC−CF=4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF= AB2+BF2= 32+42=5，
∴AE=AF，
∴平行四边形AFCE为菱形．
【解析】证△AEO≌△CFO(ASA)，得AE=CF，则四边形AFCE是平行四边形，再求出AE=5，然后由勾股定理求出AF=5，则AE=AF，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的平与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明△AEO≌△CFO是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图1，CN即为所求．
(2)如图2，CQ即为所求．
【解析】(1)如图，连接BD交AN于J，作直线CJ交AB于N，线段CN即为所求．
(2)如图，连接AB，BD交于点O，作直线MO交AD于Q，连接CQ，线段CQ即为所求．
本题考查作图−复杂作图，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】y=2x−4(x<0)−2x+4(x≥0)
【解析】解：(1)根据相关函数的定义得：y=2x−4(x<0)−2x+4(x≥0)，
故答案为：y=2x−4(x<0)−2x+4(x≥0)；
(2)如图
当−2≤x≤2时，y=2x−4(x<0)在−2≤x<0上y随x的增大而增大，
当x=−2时，y=−2×2−4=−8，
所以y=2x−4(x<0)在−2≤x<0上的最小值为−8，
同理：y=−2x+4(x≥0)在0≤x≤2上y随x的增大而减小，
所以y=−2x+4(x≥0)的最大值为4，
综上：该相关函数的最大值为4，最小值为−8；
(3)由题意画出图象如下：
图中两条虚线y=4、y=−4刚好是直线y=b与该一次函数的相关函数的图象相交的临界情况，
由图象易知，当直线y=b与该一次函数的相关函数的图象只有一个交点时：−4≤b≤4．
故b的范围是：−4≤b≤4．
(1)根据相关函数的定义直接写出；
(2)根据相关函数的增减性结合x的范围求得最值；
(3)结合函数图象判断求解．
本题考查了一次函数的图象及性质，准确理解题意求出相关函数及作出图象是解题关键．注意数形结合思想的运用．
22.【答案】EG⊥AG
【解析】解：(1)如图1，
延长EG交AD于N，
∵△BEF是等边三角形，
∴∠BEF=60°，EF=BE，
∴∠AEF=180°−∠BEF=120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AB=AD，
∴∠BAD=180°−∠ABC=120°，
∴∠BAD=∠AEF，
∴AD//EF，
∴∠NDG=∠GFE，
在△NDG和△EFG中，
∠NDM=∠MFEMD=MF∠NMD=∠EMF，
∴△NDG≌△EFG(ASA)，
∴DN=EF，EG=GN，
∴DN=BE，
∵AD=AB，
∴AD−DN=AB−BE，
即AE=AN，
∴AG平分∠EAD，EG⊥AG，
∴∠EAG=12∠BAD=60°，
∴EG= 3AG，
故答案为：EG⊥AG，EM= 3AG；
(2)如图2，
(1)中的结论仍然成立，理由如下：
延长AG= 3AG至Q，使GQ=AG，连接FQ，交AB于R，
在△AGD和△QGF中，
AM=MQ∠AGD=∠QGFDG=FG，
∴△AGD≌△QGF(SAS)，
∴FQ=AD，∠AG=GQ，∠ADG=∠QFG，
∴AD//FQ，
∴∠ARQ=180°−∠BAD=60°，
∴∠FRB=∠ARQ=60°，
∵△BEF是等边三角形，
∴EF=BE，∠BEF=60°，
∴∠ARB=∠BEF，
∴∠QFE=∠ABE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴FQ=AB，
在△QFE和△ABE中，
FQ=AB∠QFE=∠ABEEF=BE，
∴△QFE≌△ABE(SAS)，
∴EQ=AE，∠QEF=∠AEB，
∴∠QFE−∠AEF=∠AEB−∠AEF，
∴∠AEQ=∠BEF=60°，
∴△AEQ是等边三角形，
∴EG⊥AQ，∠AEG=12∠AEQ=30°，
∴EG= 3AM．
(1)延长EG交AD于N，证明△NDG≌△EFG，进一步得出结论；
(2)延长AG至Q，使MQ=AG，连接FQ，交AB于R，△AGD≌△QGF，进而证明△QFE≌△ABE，进一步得出结论．
本题考查了等边三角形性质，菱形性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握“倍长中线”等模型．
23.【答案】(32,2)
【解析】(1)解：令x=0，则y=4，
∴A(0,4)，
令y=0，则−43x+4=0，
∴x=3，
∴B(3,0)，
∵C为AB的中点，
∴C的横坐标为0+32=32，
C的纵坐标为4+02=2，
∴C(32,2)．
故答案为：(32,2)；
(2)证明：∵CH⊥x轴，PG⊥x轴，
∴PG∖user2//CH，
∴∠GPC+∠PCH=180°，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴PD//CQ，PD=CQ，
∴∠DPC+∠PCQ=180°，
∴∠GPC+∠PCH=∠DPC+∠PCQ，即∠GPD+∠DPC+∠PCH=∠DPC+∠PCH+∠HCQ，
∴∠GPD=∠HCQ，
∵DG⊥y轴，CH⊥x轴，
∴∠PGD=∠CHQ=90°，
在△PDG和△CQH中：
∠GPD=∠HCQ∠PGD=∠CHQPD=CQ
∴△PDG≌△CQH(AAS)；
(3)解：由(2)知：△PDG≌△CQH，
∴PG=CH，DG=HQ，
由题意知：AP=t，OQ=2t，
∴P(0,4−t)，Q(2t,0)，
∴PQ的中点为(t,4−t2)，
∵C(32,2)，
∴CH=PG=2，OH=32，直线OC解析式为y=43x，
∴D的纵坐标为4−t−2=2−t，
当D在直线OC上时，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴CD与PQ互相平分，
∴PQ的中点(t,4−t2)在直线OC上，
∴43t=4−t2，
∴t=1211，
当D在直线OB上时，
2−t=0，
∴t=2，
当D在直线BC上时，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴CD与PQ互相平分，
∴PQ的中点(t,4−t2)在直线BC上，
∴−43t+4=4−t2，
∴t=125，
综上所述，当t=1211或2或125时，点D恰好落在△OBC的边所在的直线上．
(1)先求出A，B的坐标，然后根据中点坐标公式求解即可；
(2)先根据平行线的性质得出∠GPC+∠PCH=180°，∠DPC+∠PCQ=180°，然后根据等式的性质以及角的和差得出∠GPD=∠HCQ，最后根据“AAS”证明△PDG≌△CQH即可；
(3)分三种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
2022-2023学年浙江省台州市三区三校联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子是最简二次根式的是( )
A. 12 B. 22 C. 0.5 D. 8
2. 下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是( )
A. 5，12，14 B. 6，8，9 C. 8，13，15 D. 7，24，25
3. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A. 测量两条对角线是否相等
B. 度量两个角是否是90°
C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D. 测量两组对边是否分别相等
4. 如图，直线y1=x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2=−x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P(m,2)是△ABC内部(包括边上)的一点，则m的最大值与最小值之差为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
5. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：|a−2|+ (a−4)2的结果为( )
A. 2 B. −2 C. 2a−6 D. −2a+6
6. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=4，OH=3，则DH的长( )
A. 125 B. 245 C. 485 D. 965
7. 某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y(元)与销售量x(件)的函数关系如图所示，则售完这100件商品可盈利元．( )
A. 200
B. 250
C. 400
D. 500
8. 已知A(a,b)、B(c,d)是一次函数y=kx−2x−1图象上的不同的两个点，若(c−a)(d−b)<0，则k的取值范围是( )
A. k<3 B. k>3 C. k<2 D. k>2
9. 如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为( )
A. 2 3+2
B. 5− 33
C. 3− 3
D. 3+1
10. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线一点，连接AE交CD于F，作∠AEG=∠AEB，EG交CD的延长线于G，连接AG，当CE=BC=2时，作FH⊥AG于H，连接DH，则DH的长为
A. 2− 2 B. 2−1 C. 22 D. 23
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 在函数y= 1−x2中，自变量x的取值范围是______ ．
12. 如图，直线y=kx+b经过A(−4,0)和B(−3,2)两点，则不等式0
13. 在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为(0,0)、(6,0)、(8,6)、(2,6)，若一次函数y=mx−6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为______．
14. 在面积为36的▱ABCD中，M、F分别为AB、AD的中点，EF为BC边上的高，若AD=6，CE=1，则EM的长为______．
15. 按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形(阴影部分)的周长为______ ．
16. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=8，BC=12，点O，P分别是边AB，AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是______．
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1)( 5−1)2+ 15÷ 3；
(2)( 2)2− 27+(12)−2+|1− 3|．
18. (本小题6.0分)
如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋于AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)求秋千的长度．
(2)如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送______ m.
19. (本小题6.0分)
在矩形ABCD中，AB=3，AD=9，对角线AC、BD交于点O，一直线过O点分别交AD、BC于点E、F，且ED=4，求证：四边形AFCE为菱形．
20. (本小题6.0分)
如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺，分别在图1、图2中按要求作图(保留作图痕迹，不这写作法)．
(1)在图1中，在AB边上求作一点N，连接CN，使得CN=AM；
(2)在图2中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使得CQ=AM．
21. (本小题8.0分)
阅读理解题：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：一次函数y=x−1，它的相关函数为y=−x+1(x<0)x−1(x>0)，已知一次函数y=−2x+4，请回答下列问题：
(1)该一次函数的相关函数为______ ．
(2)当−2≤x≤2时，求该一次函数的相关函数的最大值和最小值；
(3)已知直线y=b与y轴垂直(b为垂足的纵坐标)，当直线y=b与该一次函数的相关函数的图象只有一个交点时，直接写出b的取值范围．
22. (本小题10.0分)
菱形ABCD中，∠ABC=60°，△BEF为等边三角形，将△BEF绕点B顺时针旋转，G为线段DF的中点，连接AG、EG．
(1)如图1，E为边AB上一点(点A、E不重合)，则EG、AG的关系是______ ，请说明理由．
(2)将△BEF旋转至如图2所示位置，(1)中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
23. (本小题10.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y=−43x+4与坐标轴交于A，B两点，点C为AB的中点，动点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动.以CP，CQ为邻边构造平行四边形CPDQ，设点P运动的时间为t秒．
(1)直接写出点C的坐标______ ．
(2)如图2，过点D作DG⊥y轴，过点C作CH⊥x轴.证明：△PDG≌△CQH．
(3)如图3，连接OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 12= 22，故A不符合题意；
B、 22是最简二次根式，故B符合题意；
C、 0.5= 22，故C不符合题意；
D、 8=2 2，故D不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义，判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵52+122≠142，∴三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
B、∵62+82≠92，∴三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
C、∵82+132≠152，∴三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
D、∵72+242=252，∴三条线段能组成直角三角形，符合题意．
故选：D．
如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．由此判定即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】C
【解析】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项C符合题意；
D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵点P(m,2)是△ABC内部(包括边上)的一点，
∴点P在直线y=2上，如图所示，
当P为直线y=2与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y=2与直线y1的交点时，m取最小值，
∵y2=−x+3中令y=2，则x=1，
y1=x+3中令y=2，则x=−1，
∴m的最大值为1，m的最小值为−1．
则m的最大值与最小值之差为：1−(−1)=2．
故选：B．
由于P的纵坐标为2，故点P在直线y=2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y=2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．
本题考查一次函数的性质，要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值，由于P的纵坐标为1，故作出直线y=2有助于判断P的位置．
5.【答案】A
【解析】解：根据实数a在数轴上的位置得知：2
故原式=a−2+4−a=2．
故选：A．
根据数轴先确定a−2、a−4的正负，然后再去绝对值、根号，合并同类项即可解决问题．
本题考查数轴及二次根式、绝对值的化简，关键是根据数轴得出a−2与a−4的正负情况．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=2OA=8，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴BD=2OH，
∵OH=3，
∴BD=6，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×8×6=24.AB= AO2+OB2= 42+32=5，
∵菱形ABCD的面积=AB⋅DH=5DH=24，
∴DH=245．
故选：B．
由菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，则AC=2OA=8，再由直角三角形斜边上的中线性质得BD=6，即可解决问题．
本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：当40≤x≤80时，设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0,k,b为常数)，
代入点(40,800)和点(80,1300)，
得40k+b=80080k+b=1300，
解得k=252b=300，
∴y=252x+300(40≤x≤80)，
当x=100时，y=252×100+300=1550，
1550−13×100=250(元)，
∴售完这100件商品可盈利250元，
故选：B．
先求出40≤x≤80时，y与x的函数关系式，再将x=100代入求出总销售额，进一步根据“总销售额−总成本=总盈利”计算即可．
本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵A(a,b)、B(c,d)是一次函数y=kx−2x−1图象上的不同的两个点，
∴b=ka−2a−1，d=kc−2c−1，且a≠c，
∴d−b=(c−a)(k−2)，
∴k−2=d−bc−a，
∵(c−a)(d−b)<0，
∴k−2<0，
∴k<2．
故选：C．
将点A，点B坐标代入解析式可求k−2=d−bc−a，即可求解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，求出k−2=d−bc−a是关键，是一道基础题．
9.【答案】D
【解析】解：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，
则∠BHE=∠DGE=90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB=2，∠ABC=60°，
∵四边形ABED是正方形，
∴BE=DE=2，∠ABE=∠BED=90°，
∴∠EBH=180°−∠ABC−∠ABE=180°−60°−90°=30°，
∴EH=12BE=2×12=1，BH= BE2−EH2= 3，
∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，
∴∠EGF=∠EHB=∠DFH=90°，
∴四边形EGFH是矩形，
∴FG=EH=1，∠BEH+∠BEG=∠GEH=90°，
∵∠DEG+∠BEG=90°，
∴∠BEH=∠DEG，
在△BEH和△DEG中，
∠BHE=∠DGE∠BEH=∠DEGBE=DE，
∴△BEH≌△DEG(AAS)，
∴DG=BH= 3，
∴DF=DG+FG= 3+1，
故选：D．
过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，利用解直角三角形可得EH=1，BH= 3，再证明△BEH≌△DEG，可得DG=BH= 3，即可求得答案．
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形，题目的综合性很好，难度不大．
10.【答案】C
【解析】解：在BC上取一点J，使JE=GE，连AJ.过H做HK⊥AD于K，HI⊥GD于I．
易证△AEJ≌△AEG(SAS)．
∴AJ=AG，∠JAE=∠GAE，
又∵AB=AD，∠ABJ=∠ADG=90°，
∴△BAJ≌△DAG(HL)．
∠BAJ=∠DAG，∴∠BAD=∠JAG=90°，∴∠JAE=∠GAE=45°，
∴△AHF 为等腰直角三角形．
∵∠AHF=∠ ADF=90°，
∴∠HAK=∠HFI．
在△AKH于△HFI中
∠HAK=∠HFI∠AKH=∠FIHAH=FH，
∴△AKH ≌△FIH(AAS)．
∴HK=HI，
∴四边形HKDI 为正方形．
设ID=KD=x，则FI=FD+DI=1+x，AK=AD−KD=2−x，
∵FI=AK，∴1+x=2−x，
∴x=12，即ID=12，
∴ HD= 2ID= 22．
故选C
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
11.【答案】x≤1
【解析】解：根据题意得：1−x≥0，
解得：x≤1．
故答案为：x≤1．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】−4
13.【答案】−35或−6
【解析】
【分析】
由题意直线y=mx−6m经过定点B(6,0)，又一次函数y=mx−6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，即可推出直线y=mx−6m经过AD的中点M(1,3)或经过CD的中点N(5,6)，利用待定系数法即可解决问题．
本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是发现直线y=mx−6m经过定点B(6,0)，属于中考填空题中的压轴题．
【解答】
解：∵AB=CD，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵直线y=mx−6m经过定点B(6,0)，
又∵直线y=mx−6m把平行四边形ABCD的面积分成1：3的两部分．
∴直线y=mx−6m经过AD的中点M(1,3)或经过CD的中点N(5,6)，
∴m−6m=3或5m−6m=6，
∴m=−35或−6，
故答案为−35或−6．
14.【答案】5
【解析】解：如图，过点M作MN⊥EF于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=6，
∵EF⊥AD，
∴S平行四边形ABCD=AD⋅EF，
∴6EF=36，
∴EF=6，
∵F为AD的中点，
∴AF=DF=12AD=3，
∵CE=1，
∴BE=BC−CE=6−1=5，
∵MN⊥EF，EF⊥AD，
∴MN//AD，
∵M为AB的中点，
∴N为EF的中点，
∴MN是梯形ABEF的中位线，EN=12EF=3，
∴MN=12(AF+BE)=12(3+5)=4，
在Rt△EMN中，根据勾股定理得：
ME= MN2+NE2= 42+32=5．
故答案为：5．
根据题意画出图形，过点M作MN⊥EF于点N，根据平行四边形的面积求出EF=6，然后证明MN是梯形ABEF的中位线，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，梯形中位线定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
15.【答案】20 2
【解析】解：延长BG，交AE与点C，
∵∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC
∴CE=5
∵△CED是等腰直角三角形，
∴CD=5 2
∵CD=GF，
∴中间的小正方形的边长是5 2，因而周长是20 2．
故答案为20 2
延长BG，交AE与点C，则易证△ABC是等腰直角三角形，因而AB=AC，则CE=5，△CED是等腰直角三角形，则CD=5 2，根据CD=GF，即中间的小正方形的边长是5 2，因而周长是20 2．
能够注意到延长BG交AE于C，从而把问题转化为求直角三角形的边的问题，是解决本题的基本思路．
16.【答案】4 10−2 13
【解析】解：如图，连接EO、PO、OC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠OAP=90°，
在Rt△OBC中，BC=12，OB=4，
∴OC== 42+122=4 10，
在Rt△AOP中，OA=4，PA=6，
∴OP= 42+62=2 13，
∵OE=OC=4 10，PE≥OE−OP，
∴PE的最小值为4 10−2 13．
故答案为：4 10−2 13．
如图，连接EO、PO、OC.根据三边关系，PE≥OE−OP，求出OE，OP即可解决问题．
本题考查了翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题．
17.【答案】解：(1)原式=5−2 5+1+ 15÷3
=6−2 5+ 5
=6− 5；
(2)原式=2−3 3+4+ 3−1
=5−2 3．
【解析】(1)先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可；
(2)先利用二次根式的性质、负整数指数幂和绝对值的意义计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
18.【答案】4
【解析】解：(1)由题意得：BF=1.6m，BC=3m，DE=0.6m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE=BF=1.6m，
∴CD=CE−DE=1.6−0.6=1(m)，
∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
设秋千的长度为x m，
则AB=AD=x m，AC=AD−CD=(x−1)m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即(x−1)2+32=x2，
解得：x=5，
即秋千的长度是5m；
(2)当BF=2.6m时，CE=2.6m，
∵DE=0.6m，
∴CD=CE−DE=2.6−0.6=2(m)，
由(2)可知，AD=AB=5m，
∴AC=AD−CD=5−2=3(m)，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC= AB2−AC2= 52−32=4(m)，
即需要将秋千AD往前推送4m，
故答案为：4．
(1)由题意得BF=1.6m，BC=3m，DE=0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE=BF=1.6m，则CD=CE−DE=1m；设秋千的长度为x m，则AB=AD=x m，AC=AD−CD=(x−1)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
(2)当BF=2.6m时，CE=2.6m，则CD=CE−DE=2m，得AC=AD−CD=3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可．
此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC=9，OA=OC，∠ABC=90°，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠EOA=∠FOC，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AE=AD−ED=9−4=5，
∴CF=5，
∴BF=BC−CF=4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF= AB2+BF2= 32+42=5，
∴AE=AF，
∴平行四边形AFCE为菱形．
【解析】证△AEO≌△CFO(ASA)，得AE=CF，则四边形AFCE是平行四边形，再求出AE=5，然后由勾股定理求出AF=5，则AE=AF，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的平与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明△AEO≌△CFO是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图1，CN即为所求．
(2)如图2，CQ即为所求．
【解析】(1)如图，连接BD交AN于J，作直线CJ交AB于N，线段CN即为所求．
(2)如图，连接AB，BD交于点O，作直线MO交AD于Q，连接CQ，线段CQ即为所求．
本题考查作图−复杂作图，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】y=2x−4(x<0)−2x+4(x≥0)
【解析】解：(1)根据相关函数的定义得：y=2x−4(x<0)−2x+4(x≥0)，
故答案为：y=2x−4(x<0)−2x+4(x≥0)；
(2)如图
当−2≤x≤2时，y=2x−4(x<0)在−2≤x<0上y随x的增大而增大，
当x=−2时，y=−2×2−4=−8，
所以y=2x−4(x<0)在−2≤x<0上的最小值为−8，
同理：y=−2x+4(x≥0)在0≤x≤2上y随x的增大而减小，
所以y=−2x+4(x≥0)的最大值为4，
综上：该相关函数的最大值为4，最小值为−8；
(3)由题意画出图象如下：
图中两条虚线y=4、y=−4刚好是直线y=b与该一次函数的相关函数的图象相交的临界情况，
由图象易知，当直线y=b与该一次函数的相关函数的图象只有一个交点时：−4≤b≤4．
故b的范围是：−4≤b≤4．
(1)根据相关函数的定义直接写出；
(2)根据相关函数的增减性结合x的范围求得最值；
(3)结合函数图象判断求解．
本题考查了一次函数的图象及性质，准确理解题意求出相关函数及作出图象是解题关键．注意数形结合思想的运用．
22.【答案】EG⊥AG
【解析】解：(1)如图1，
延长EG交AD于N，
∵△BEF是等边三角形，
∴∠BEF=60°，EF=BE，
∴∠AEF=180°−∠BEF=120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AB=AD，
∴∠BAD=180°−∠ABC=120°，
∴∠BAD=∠AEF，
∴AD//EF，
∴∠NDG=∠GFE，
在△NDG和△EFG中，
∠NDM=∠MFEMD=MF∠NMD=∠EMF，
∴△NDG≌△EFG(ASA)，
∴DN=EF，EG=GN，
∴DN=BE，
∵AD=AB，
∴AD−DN=AB−BE，
即AE=AN，
∴AG平分∠EAD，EG⊥AG，
∴∠EAG=12∠BAD=60°，
∴EG= 3AG，
故答案为：EG⊥AG，EM= 3AG；
(2)如图2，
(1)中的结论仍然成立，理由如下：
延长AG= 3AG至Q，使GQ=AG，连接FQ，交AB于R，
在△AGD和△QGF中，
AM=MQ∠AGD=∠QGFDG=FG，
∴△AGD≌△QGF(SAS)，
∴FQ=AD，∠AG=GQ，∠ADG=∠QFG，
∴AD//FQ，
∴∠ARQ=180°−∠BAD=60°，
∴∠FRB=∠ARQ=60°，
∵△BEF是等边三角形，
∴EF=BE，∠BEF=60°，
∴∠ARB=∠BEF，
∴∠QFE=∠ABE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴FQ=AB，
在△QFE和△ABE中，
FQ=AB∠QFE=∠ABEEF=BE，
∴△QFE≌△ABE(SAS)，
∴EQ=AE，∠QEF=∠AEB，
∴∠QFE−∠AEF=∠AEB−∠AEF，
∴∠AEQ=∠BEF=60°，
∴△AEQ是等边三角形，
∴EG⊥AQ，∠AEG=12∠AEQ=30°，
∴EG= 3AM．
(1)延长EG交AD于N，证明△NDG≌△EFG，进一步得出结论；
(2)延长AG至Q，使MQ=AG，连接FQ，交AB于R，△AGD≌△QGF，进而证明△QFE≌△ABE，进一步得出结论．
本题考查了等边三角形性质，菱形性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握“倍长中线”等模型．
23.【答案】(32,2)
【解析】(1)解：令x=0，则y=4，
∴A(0,4)，
令y=0，则−43x+4=0，
∴x=3，
∴B(3,0)，
∵C为AB的中点，
∴C的横坐标为0+32=32，
C的纵坐标为4+02=2，
∴C(32,2)．
故答案为：(32,2)；
(2)证明：∵CH⊥x轴，PG⊥x轴，
∴PG∖user2//CH，
∴∠GPC+∠PCH=180°，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴PD//CQ，PD=CQ，
∴∠DPC+∠PCQ=180°，
∴∠GPC+∠PCH=∠DPC+∠PCQ，即∠GPD+∠DPC+∠PCH=∠DPC+∠PCH+∠HCQ，
∴∠GPD=∠HCQ，
∵DG⊥y轴，CH⊥x轴，
∴∠PGD=∠CHQ=90°，
在△PDG和△CQH中：
∠GPD=∠HCQ∠PGD=∠CHQPD=CQ
∴△PDG≌△CQH(AAS)；
(3)解：由(2)知：△PDG≌△CQH，
∴PG=CH，DG=HQ，
由题意知：AP=t，OQ=2t，
∴P(0,4−t)，Q(2t,0)，
∴PQ的中点为(t,4−t2)，
∵C(32,2)，
∴CH=PG=2，OH=32，直线OC解析式为y=43x，
∴D的纵坐标为4−t−2=2−t，
当D在直线OC上时，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴CD与PQ互相平分，
∴PQ的中点(t,4−t2)在直线OC上，
∴43t=4−t2，
∴t=1211，
当D在直线OB上时，
2−t=0，
∴t=2，
当D在直线BC上时，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴CD与PQ互相平分，
∴PQ的中点(t,4−t2)在直线BC上，
∴−43t+4=4−t2，
∴t=125，
综上所述，当t=1211或2或125时，点D恰好落在△OBC的边所在的直线上．
(1)先求出A，B的坐标，然后根据中点坐标公式求解即可；
(2)先根据平行线的性质得出∠GPC+∠PCH=180°，∠DPC+∠PCQ=180°，然后根据等式的性质以及角的和差得出∠GPD=∠HCQ，最后根据“AAS”证明△PDG≌△CQH即可；
(3)分三种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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