2022-2023学年山东省潍坊市诸城市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省潍坊市诸城市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省潍坊市诸城市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 25的算术平方根是(    )
A. ±5 B. −5 C. 5 D. ± 25
2. 不等式2−2x>0的解集在数轴上表示为(    )
A. B.
C. D.
3. 下列各式正确的是(    )
A. 23= 23 B. 5− 2= 3
C. ( 2+1)2=3+ 2 D. 27÷ 3=3
4. 若m<−1，则一次函数y=(m+1)x+m−1的图象可能是(    )
A. B.
C. D.
5. 把点A(m,m−2)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，点B正好落在x轴上，则点B的坐标为(    )
A. (−4,0) B. (0,0) C. (4,0) D. (0,−4)
6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为原点O，位似比为1：2，若点C(−2,3)，则点C′的坐标为(    )

A. (6,−3) B. (3,−6) C. (4,−6) D. (6,−4)
7. 如图，将矩形ABCD绕A点逆时针旋转α(0°<α<90°)得到矩形AB′C′D′，已知∠1=120°，则旋转角α的度数为(    )
A. 45°
B. 50°
C. 55°
D. 60°
8. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，矩形MNHD、矩形GDEF的顶点分别在△BCD，△ACD的三边上，且矩形MNHD∽矩形GDEF.可求两矩形的相似比的是(    )

A. ABAC B. BDCD C. CDCH D. CEEH
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法中正确的是(    )
A. 实数和数轴上的点是一一对应的
B. 负数都有立方根
C. 两个矩形是相似图形
D. 三边长为 3，2， 5的三角形是直角三角形
10. 小颖家，小亮家与学校在同一直线上且位于学校两侧，早上两人同时从家里出发去学校，走了12分钟后，小颖以3倍的速度跑向学校，小亮以2倍的速度跑向学校，两人同时到达学校，两人各自离家的距离S和他们所用时间t的图象如图所示，请问下列结论正确的是(    )

A. 两人的家到学校的距离相同
B. a=2000
C. 加速后，v颖=250m/min，v亮=200m/min
D. 两人从家出发12分钟时，相距150米
11. 如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一动点，下列条件中，能得到△ABP与△ECP相似的是(    )
A. ABCE=BPCP
B. P是BC的中点
C. ∠BAP=∠EPC
D. AB：BP=3：2
12. 如图，若直线l1：y1=kx+b与坐标轴交于A(0,1)，B(m,0)两点，与直线l2：y2=−2x+5交于点P(1.5,n)，直线l2交x轴于点C，交y轴于点D.则下列结论正确的是(    )
A. m=−32n=2
B. y=kx+by=−2x+5的解是x=1.5y=2
C. △APD的面积是3
D. 当y1>y2时，x<1.5


三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 要使代数式 x+2−1x+1有意义，则x应满足的条件是______ ．
14. 一小汽车正常行驶时，油箱中的剩余油量Q(升)与行驶里程x(千米)的关系式为Q=45−0.09x.从关系式可知这辆小汽车加满油箱最多可以行驶______ 千米．
15. 如图，在矩形ABCD中，E在AD边上，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在矩形ABCD的对称中心O处，若AB=1，则BC的长为______ ．


16. 在平面直角坐标系xOy中，进行如下操作：把点A(1,0)先向左平移1个单位，再向下平移1个单位到达点A1；把点A1先向右平移2个单位，再向上平移2个单位到达点A2；把点A2先向左平移3个单位，再向下平移3个单位到达点A3；把点A3先向右平移4个单位，再向上平移4个单位到达点A4；依此规律进行，点A2023的坐标为______ ．

四、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
(1)计算： 50+327−| 2− 3|− 9；
(2)解不等式组3x−12≥xx+13≥2x−12−1．
18. (本小题9.0分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A(4,2)，B(4,5)，C(1,1)均在格点上．
(1)画出△ABC向左平移4个单位得到的△A1B1C1，并写出点A的坐标；
(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点B2的坐标．

19. (本小题10.0分)
如图，AB//CD，AC与BD交于点E，且AB=6，AE=4，AC=9．
(1)求CD的长；
(2)求证：△ABE∽△ACB．

20. (本小题12.0分)
小亮和妈妈去超市买凳子，善于观察的小亮发现售货员把凳子整齐叠放在一起，如图所示，每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的.凳子的数量n(单位：个)与叠放在一起的凳子的总高度h(单位：cm)的关系如表：
凳子的数量n
1
2
3
4
…
叠放的凳子总高度h
45
50
55
60
…
根据以上信息，回答下列问题：
(1)判断叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间符合什么函数关系？请用待定系数法求h与n的函数关系式；
(2)若将该种凳子竖直叠放在层高为91cm超市货架上，最多能叠放多少个？

21. (本小题10.0分)
材料：“八年级下册课本第187页例2：四边形ABCD是一块正方形的土地，要在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路，把这块土地分成面积相等的四部分，你有哪些不同的方案？画出图形，并说明理由.”
小亮在学习了上述解决方案后，发现三种分割方案的图形都是中心对称图形.这对于他创作数学社团图标注入了灵感，经过思考，小亮设计了一个中心对称图形的社团图标，如图所示.已知O为正方形ABCD的对称中心，EF为⊙O的直径，连接BE，DF．
(1)请你说明此图标是中心对称图形；
(2)若DF⊥EF，则AD，DF，EF三者满足DF2+14EF2=12AD2.请证明．

22. (本小题12.0分)
某超市计划购进甲，乙两种商品进行销售.经了解，甲种商品的进价比乙种商品的进价高50%，超市用1500元购进甲种商品比用2000元购进乙种商品的重量少50千克，已知超市对甲，乙两种商品的售价分别为45元/千克和30元/千克．
(1)求甲，乙两种商品的进价分别是多少？
(2)若超市购进这两种商品共450千克，其中甲种商品的重量不高于乙种商品重量的2倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
23. (本小题13.0分)
如图，△ABC是等腰直角三角形且∠ACB=90°，将腰CA绕点C逆时针旋转角α(0°<α<60°)得到线段CD，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BD分别交CA，CE于点F，
(1)当α=50°时，求∠BGC的度数；
(2)连接AG，判断△AGD的形状，并证明；
(3)探究BG与CE之间的数量关系，直接写出结论．

答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：25的平方根为±5，则5是25的算术平方根．
故选：C．
根据平方根的知识点进行解答，x2=b(b≥0)则x=± b，算术平方根只能为正，据此得到答案．
本题主要考查算术平方根的知识点，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，正数是它的算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根．

2.【答案】A 
【解析】解：2−2x>0，
−2x>−2，
x<1，
在数轴上表示为：

故选：A．
先根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：A、 23= 63，原计算错误，不符合题意；
B、 5与 2不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
C、( 2+1)2=2+1+2 2=3+2 2，原计算错误，不符合题意；
D、 27÷ 3= 273= 9=3，正确，符合题意．
故选：D．
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：∵m<−1，
∴m+1<0，m−1<0，
∴一次函数y=(m+1)x+m−1的图象经过第二、三、四象限．
故选：B．
先根据m<−1判断出m+1与m−1的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：点A(m,m−2)先向左平移2个单位长度，在向上平移4个单位长度得到点B，
则点B坐标为(m−2,m+2)，
由点B正好落在x轴上知m+2=0，
解得m=−2，
则m−2=−4，
∴点B坐标为(−4,0)，
故选：A．
由点A(m,m−2)先向左平移2个单位长度，在向上平移4个单位长度得到点B，知点B坐标为(m−2,m+2)，再根据点B正好落在x轴上知m+2=0，得出到m的值，据此可得答案．
本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握平移的规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．

6.【答案】C 
【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为原点O，位似比为1：2，点C(−2,3)，
∴点C′的坐标为(−2×(−2),3×(−2))，即(4,−6)，
故选：C．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．

7.【答案】D 
【解析】解：∵将矩形ABCD绕A点逆时针旋转α(0°<α<90°)得到矩形AB′C′D′，
∴∠B′=∠B=90°，∠B′AD′=∠BAD=90°，
∵∠1=120°，
∴∠B′OA=60°，
∴∠B′AO=30°，
∴∠D′AO=60°，
即旋转角α的度数为60°，
故选：D．
根据矩形的性质以及旋转的性质得出∠B′=∠B=90°，∠B′AD′=∠BAD=90°，再根据平角的定义即可推出结果．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：连接FD，DN，

∵矩形FGDE∽矩形DMNH，
∴∠FDE=∠BDN，
∵∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°，
∴∠FCD=∠B，
∴△CFD∽△BND，
∴DN：DF=BD：CD，
故选：B．
由条件可以证明△CFD∽△BND，由相似三角形的性质，即可解决问题．
本题考查相似多边形，关键是连接FD，DN，证明△CFD∽△BND，即可解决问题．

9.【答案】AB 
【解析】解：A、实数和数轴上的点一一对应，正确，符合题意；
B、负数的立方根是负数，故原命题正确，符合题意；
C、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定相似，故原命题错误，不符合题意；
D、三边长为 3，2， 5的三角形不是直角三角形，故原命题错误，不符合题意，
故选：AB．
利用实数的性质、相似图形的定义及直角三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了相似图形的定义及实数的性质，解题的关键是了解有关的定义，难度不大．

10.【答案】ABC 
【解析】解：由图象可知，两图象最后相交于一点，
∴两人同时到达学校时离自己的家距离相等．
故A正确，符合题意．
当0≤x≤12时，小亮的速度为120012=100(米/分钟)；
当12 ∴a=1200+200×(16−12)=2000．
故B正确，符合题意．
加速后，小亮的速度上面已求出，为200(米/分钟)；
设加速后小颖的速度为v，则加速前其速度为v3，根据图象得
12×v3+(16−12)v=a=2000，解得v=250(米/分钟)．
故C正确，符合题意．
∵加速前，小亮和小颖的速度分别为100米/分钟和2503米/分钟，
∴两人从家出发12分钟时，相距12×(100−2503)=200(米)．
故D不正确，不符合题意．
故选：ABC．
根据题意和图象，对四个选项分别分析判断即可．
本题考查一次函数的应用，有一定的计算量，需要细心、认真．

11.【答案】CD 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=BC，
∵E是CD的中点，
∴CE：CD=1：2，
即CE：AB=1：2，
A、∵∠B=∠C，ABCE=BPCP，
∴△ABP∽△ECP，故A不符合题意；
B、∵P是BC中点，
∴BP=PC=12BC，
没办法判定△ABP与△ECP中各边成比例，故B不符合题意；
C、∵∠BAP=∠EPC时，∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE，
故C符合题意；
D、∵AB：BP=3：2，AB=BC，
∵BP=2PC，
∴PC：BP=1：2，
∴PC：BP=CE：AB=1：2，
∴△ABP∽△PCE，故D符合题意．
故选：CD．
由四边形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，又由E是CD的中点，易得CE：AB=1：2，然后分别利用相似三角形的判定定理，判定△ABP与△ECP相似．
本题考查了相似三角形的判定以及正方形的性质．注意灵活应用判定定理是解题的关键．

12.【答案】BC 
【解析】解：(1)把点P(1.5,n)代入y2=−2x+5得：n=−3+5=2，
∴P(1.5,2)，
把A(0,1)，P(1.5,2)代入y1=kx+b得，
b=1 1.5k+b=2 ，
解得：k=23 b=1 ，
∴y1=23x+1，
把B(m,0)代入y1=23x+1得：
0=23m+1，
解得：m=−32，
∴m=−23，n=2；
故A选项错误，不符合题意；
∵直线y1=kx+b与y2=−2x+5交于点P(1.5,2)，
∴方程组y=kx+b y=−2x+5 的解为：x=1.5 y=2 ，
故B选项正确，符合题意；
∵直线l2交交y轴于点D，
∴D(0,5)，
∴AD=5−1=4，
∴S△ADP=12×4×1.5=3，
故C选项错误，不符合题意；
由图可知，在交点左侧，即x<1.5，y1 故D选项错误，不符合题意；
故选：BC．
将点P坐标代入y2=−2x+5可求出n的值，得到P(1.5,2)，然后利用待定系数法求出y1=x+2，再把B(m,0)代入y1=x+2即可求出m的值；根据两条直线的交点坐标就是两条直线的解析式所组成的方程组的解可直接得出答案；求出D坐标，可得DA=5，然后根据三角形面积公式计算即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法的应用，直线交点与二元一次方程组的关系，坐标与图形性质等知识，掌握函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是关键．

13.【答案】x≥−2且x≠−1 
【解析】解：由题意得：x+2≥0，且x+1≠0，
解得：x≥−2且x≠−1．
故答案为：x≥−2且x≠−1．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得x+2≥0，且x+1≠0，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

14.【答案】500 
【解析】解：由Q=45−0.09x可知，Q随x的增大而减小．
∴当x最大时，Q最小．
∴当Q=45−0.09x=0时，解得x=500．
∴这辆小汽车加满油箱最多可以行驶500千米．
故答案为：500．
由Q与x的关系式可知，Q随x的增大而减小．故当Q=0时，解出x的值即为答案．
本题考查一次函数的应用，考查函数与自变量之间的对应关系，比较简单．

15.【答案】 3 
【解析】解：连接OD，
∵O是矩形ABCD中心，
∴B，O，D共线，
∵△ABE沿BE翻折到△OBE，
∴OB=BA，
∵四边形ABCD是矩形，O是它的中心，
∴BD=2OB=2AB=2×1=2，BC=AD，
∵∠BAD=90°，
∴AD= BD2−AB2= 22−12= 3，
∴BC=AD= 3．
故答案为： 3．
连接OD，由O是矩形ABCD中心，得到B，O，D共线，由翻折变换得到OB=AB，由矩形的性质得到BD=2OB=2AB=2，由勾股定理求出AD的长即可．
本题考查矩形的性质，中心对称，翻折变换，关键是掌握矩形的性质．

16.【答案】(−1011,−1012) 
【解析】解：如图，

观察图象可知A1(0,−1)，A3(−1,−2)，A5(−2,−3)……，
∴A2023(−1011,−1012)．
故答案为：(−1011,−1012)．
根据平移画出图象，观察图象，探究规律，利用规律解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化−平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．

17.【答案】解：(1) 50+327−| 2− 3|− 9
=5 2+3+( 3− 2)−3
=5 2+3+ 3− 2−3
=4 2+ 3；

(2)3x−12≥x①x+13≥2x−12−1②，
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x≤114，
所以不等式组的解集是1≤x≤114． 
【解析】(1)先根据算术平方根，立方根和绝对值进行计算，再根据实数的加减法法则进行计算即可；
(2)先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
本题考查了实数的混合运算和解一元一次不等式组，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(1)的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解(2)的关键．

18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为(0,2)；

(2)如图，△A2B2C1为所作，B2的坐标为：(1,−2)． 
【解析】(1)利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出A1、B1的对应点即可．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

19.【答案】解：(1)∵AE=4，AC=9
∴CE=AC−AE=9−4=5；
∵AB//CD，
∴△CDE∽△ABE；
∴CDAB=CEAE，
∴CD=AB⋅CEAE=6×54=152；
(2)证明：∵AEAB=46=23，ABAC=69=23，
∴AEAB=ABAC，
∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACB． 
【解析】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．
(1)根据相似三角形的判定和性质解答即可；
(2)利用相似三角形的判定解答即可．

20.【答案】解：(1)∵每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的，
∴叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间符合一次函数关系；
设h=kn+b，把(1,45)，(2,50)代入得：
45=k+b50=2k+b，
解得k=5b=40，
∴h=5n+40；
(2)根据题意得：5n+40≤91，
解得n≤10.2，
∵n为整数，
∴n最大值为10，
∴最多能叠放10个． 
【解析】(1)由每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的，可得叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间符合一次函数关系；用待定系数法可得h=5n+40；
(2)根据层高为91cm得：5n+40≤91，而n为整数，即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．

21.【答案】(1)解：连接OA，OB，OC，OD，

∵O为正方形ABCD的对称中心，EF为⊙O的直径，
∴OA=OB=OC=OD，OE=OF，且A、O、C共线，B、O、D共线，
∴此图标是中心对称图形；
(2)证明：∵O为正方形ABCD的对称中心，
∴∠BAD=90°，BD=2OD，
∴BD2=2AD2，
∴DF⊥EF，
∴OD2=DF2+OF2，
∵EF=2OF，
∴DF2+14EF2=12AD2． 
【解析】(1)根据中心对称图形的定义说明；
(2)根据勾股定理证明．
本题考查了作图的应用与设计，掌握勾股定理及中心对称图形的性质是解题的关键．

22.【答案】解：(1)设乙种商品的进价为x元，则甲种商品的进价为(1+50%)x元，根据题意得，
1500(1+50%)x=2000x−50，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的根，
∴(1+50%)×20=30元，
答：甲商品的进价为30元，乙商品的进价为20元；
(2)设购进乙商品a千克，甲商品(450−a)千克，总利润为w元，根据题意得，
450−a≤2a，解得a≥150，
w=(45−30)×(450−a)+(30−20)a=−5a+6750，
∵−5<0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a=150时，w最大=−5×150+6750=6000．
450−150=300千克，
综上，购进甲商品300千克，乙商品150千克时，才能获得最大利润，最大利润是6000元． 
【解析】(1)设乙种商品的进价为x元，则甲种商品的进价为(1+50%)x元，根据“用1500元购进甲种商品比用2000元购进乙种商品的重量少50千克”得到等量关系，列出分式方程，解方程即可．
(2)设购进乙商品a千克，甲商品(450−a)千克，总利润为w元，根据两种商品的进价和售价列出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可．
本题考查了分式方程解应用题和一次函数的实际应用，解题的关键是找出等量关系，列出方程和函数表达式．

23.【答案】解：(1)∵将腰CA绕点C逆时针旋转角α(0°<α<60°)得到线段CD，
∴DC=AC，∠ACD=α，
∵CE⊥AD，
∴AE=DE=12AD，∠DCE=∠ACE=12∠ACD=12α，
在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴DC=BC，∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+α，
∴∠BDC=∠CBD=180°−∠BCD2=45°−12α，
∵∠BGC是△CDG的一个外角，
∴∠BGC=∠BDC+∠DCE=45°−12α+12α=45°，
∴当α=50°时，∠BGC的度数为45°．
(2)△AGD的形状是等腰直角三角形，证明如下：
由(1)知AE=DE=12AD，∠BGC=45°，
∴∠DGE=∠BGC=45°，
∵CE⊥AD，
∴AG=DG，
∴∠AGE=∠DGE=45°，
∴∠AGD=∠AGE+∠DGE=90°，
∴△AGD的形状是等腰直角三角形．
(3)BG与CE之间的数量关系是BG= 2CE，理由如下：
在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，ACAB=sin∠ABC= 22，
∴ABAC= 2，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
由(2)知∠AGD=90°，△AGD是等腰直角三角形，
∴∠AGB=90°=∠AEC，∠DAG=∠ADG=45°=∠BAC，
∴∠DAG+∠CAG=∠BAC+∠CAG，即∠BAG=∠CAE，
∴△BAG∽△CAE，
∴BGCB=ABAC= 2，
∴BG= 2CE． 
【解析】(1)由旋转可知DC=AC、∠ACD=α，根据“等腰三角形三线合一”得到AE=DE=12AD，∠DCE=∠ACE=12∠ACD=12α，由已知可得DC=BC，∠BCD=90°+α，由“等边对等角”得到∠BDC=∠CBD=45°−12α，再由外角的性质即可求解；
(2)由(1)知AE=DE=12AD，∠BGC=45°，根据“对顶角相等”得到∠DGE=∠BGC=45°，根据线段垂直平分线的性质得到AG=DG，根据“等腰三角形三线合一”可得∠AGE=∠DGE=∠45°，从而得出结论；
(3)在等腰Rt△ABC中，∠BAC=∠ABC=45°，ABAC= 2，证明△BAG∽△CAE，即可得出结论．
本题考查了几何变换的中应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质．