高考数学真题分项汇编（全国通用）五年（2019-2023）专题04+导数及其应用（解答题）（文）

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

专题04   导数及应用（解答题）

 函数导数应用是高考必考知识点 ，解答题主要是压轴题的形式出现，常考题型如图所示：

考点01  利用导数求函数单调性，求参数

一、解答题

1．（2023·年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，．

2．（2023年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程．

(2)若函数在单调递增，求的取值范围．

3．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．

4．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．

(1)若，求a；

(2)求a的取值范围．

5．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.

6．（2020年全国高考Ⅰ卷（文）数学试题）已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

7．（2020年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．

考点02 恒成立问题

 1．（2023年全国新高考Ⅱ卷（文））（1）证明：当时，；

（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．

2．（2020年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．

3．（2019·全国Ⅰ卷数学试题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

4．（2019年全国高考Ⅱ卷（文））已知函数.证明：

（1）存在唯一的极值点；

（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

考点03 三角函数相关导数问题

一、解答题

1．（2023·全国甲卷）已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若，求的取值范围．

2．（2023·全国新课标Ⅱ卷）（1）证明：当时，；

（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．

3．（2022·天津·统考高考真题）已知，函数

(1)求函数在处的切线方程；

(2)若和有公共点，

（i）当时，求的取值范围；

（ii）求证：．

4．（2021年全国高考Ⅰ卷数学试题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

考点04  导数类综合问题

2022年8月11日高中数学作业

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．

(1)求的值；

(2)设函数，求的单调区间；

(3)求的极值点个数．

2．（2023·天津·统考高考真题）已知函数．

(1)求曲线在处切线的斜率；

(2)当时，证明：；

(3)证明：．

3．（2022年全国新高考Ⅰ卷）已知函数和有相同的最小值．

(1)求a；

(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

4．（2022·全国新高考Ⅱ卷（文））已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，，求a的取值范围；

(3)设，证明：．

5．（2022·北京·统考高考真题）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)设，讨论函数在上的单调性；

(3)证明：对任意的，有．

6．（2021·全国乙卷）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．

7．（2021年全国高考Ⅱ卷（文））已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点

①；

②．

8．（2020·全国高考Ⅱ卷）已知函数f（x）=2lnx+1．

（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；

（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．

9．（2020·全国高考Ⅲ卷(文)）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有三个零点，求的取值范围．

10（2021·年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.