高考数学真题分项汇编（2014-2023） 专题04 函数解答题（理科）（全国通用）（原卷版）

这是一份高考数学真题分项汇编（2014-2023） 专题04 函数解答题（理科）（全国通用）（原卷版），共23页。试卷主要包含了已知关于的函数与在区间上恒有，设常数，函数，设函数，其中，，已知函数，记是在区间上的最大值，已知，函数，其中，已知，函数等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-1" \h \u 题型一：函数概念及其性质 PAGEREF _Tc7254 \h 1
题型二：函数的零点问题2
题型三：函数的应用3
题型一：函数概念及其性质
1．(2020江苏高考·第19题)已知关于的函数与在区间上恒有．
(1)若，求的表达式；
(2)若，求的取值范围；
(3)若
求证：．
2．(2014高考数学上海理科·第20题)设常数，函数．
(1)若，求函数的反函数；
(2)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
3．(2014高考数学广东理科·第21题)设函数，其中，
(1)求函数的定义域；(用区间表示)
(2)讨论在上的单调性；
(3)若，求上满足条件的的集合(用区间表示)．
4．(2015高考数学浙江理科·第18题)(本题满分15分)已知函数，记是在区间上的最大值．
(1)证明：当时，；
(2)当，满足，求的最大值．
5．(2015高考数学上海理科·第23题) 对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为，设单调递增，，；
(1)验证是以为余弦周期的余弦周期函数；
(2)设，证明对任意，存在，使得；
(3)证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有．
6．(2017年高考数学上海(文理科)·第21题)设定义在上的函数满足:对于任意的、,当时,都有．
(1)若,求的取值范围;
(2)若为周期函数,证明:是常值函数;
(3)设恒大于零,是定义在上、恒大于零的周期函数,是的最大值．函数．证明:“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”．
7．(2016高考数学浙江理科·第18题)(本题满分15分)已知，函数，其中．
(Ⅰ)求使得等式成立的的取值范围；
(Ⅱ)(ⅰ)求的最小值；
(ⅱ)求在区间上的最大值．
8．已知，函数．
(1)当时，解不等式；
(2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
(3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．
题型二：函数的零点问题
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第22题)已知，函数，其中e=2．71828…为自然对数的底数．
(Ⅰ)证明：函数在上有唯一零点；
(Ⅱ)记x0为函数在上的零点，证明：
(ⅰ)；
(ⅱ)．
2．(2019·上海·第18题)已知.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时，有零点，求的范围.
3．(2016高考数学江苏文理科·第19题)已知函数．
(1)设，．
① 求方程的根；
② 若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
(2)若，，函数有且只有1个零点，求的值．
题型三：函数的应用
1．(2020江苏高考·第17题)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上、桥与平行，为铅垂线(在上)．经测量，左侧曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式．已知点到的距离为米．
(1)求桥的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中在上(不包括端点)．桥墩每米造价(万元)、桥墩每米造价(万元)()．问为多少米时，桥墩与的总造价最低?
2．(2018年高考数学上海·第19题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：
，
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
3．(2015高考数学上海理科·第20题)(本题满分14分)本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分
如图，、、三地有直道相通，千米，千米，千米，现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为(单位：千米)．甲的路线是，速度是千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时．乙到达地后在原地等待，设时，乙到达地．
(1)求与的值；
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离为千米．
当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过？说明理由．
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—函数解答题
目录
TOC \ "1-1" \h \u 题型一：函数概念及其性质 PAGEREF _Tc7254 \h 1
题型二：函数的零点问题9
题型三：函数的应用14
题型一：函数概念及其性质
1．(2020江苏高考·第19题)已知关于的函数与在区间上恒有．
(1)若，求的表达式；
(2)若，求的取值范围；
(3)若
求证：．
【答案】(1)；(2)；(3)证明详见解析
【解析】(1)由题设有对任意的恒成立．
令，则，所以．因此即对任意的恒成立，
所以，因此．故．
(2)令，．又．
若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意．当时，，符合题意．
当时， 在上递减，在上递增，则，
即，符合题意．综上所述，．
由
当，即时，在为增函数，
因为，故存在，使，不符合题意．
当，即时，，符合题意．
当，即时，则需，解得．
综上所述，的取值范围是．
(3)因为对任意恒成立，
对任意恒成立，
等价于对任意恒成立．
故对任意恒成立
令，当，，
此时，当，，
但对任意的恒成立．
等价于对任意的恒成立．
的两根为，则，
所以．
令，则．
构造函数，，
所以时，，递减，．
所以，即．
2．(2014高考数学上海理科·第20题)设常数，函数．
(1)若，求函数的反函数；
(2)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
【答案】解析：(1)因为，所以，……3分
得或，且．
因此，所求反函数为，或．……6分
(2)当时，，定义域为R，故函数是偶函数；……8分
当时，，定义域为，
，
故函数是奇函数；……11分
当且时，定义域关于原点不对称，故函数既不是奇函数，也不是偶函数．……14分
3．(2014高考数学广东理科·第21题)设函数，其中，
(1)求函数的定义域；(用区间表示)
(2)讨论在上的单调性；
(3)若，求上满足条件的的集合(用区间表示)．
【答案】解：(1)依题意有
故均有两根记为

注意到，故不等式的解集为 ，即
(2)令
则
令，注意到，故方程有两个不相等的实数根
记为，且
注意到结合图像可知
在区间上，单调递增
在区间上，单调递减
故在区间上单调递减，在区间上单调递增．
(3)
在区间上，令，即，即
方程的判别式，故此方程有4个不相等的实数根，记为
注意到，故，
，故
，故
故
结合和函数的图像
可得的解集为
附：的大致图像为
的大致图像为
4．(2015高考数学浙江理科·第18题)(本题满分15分)已知函数，记是在区间上的最大值．
(1)证明：当时，；
(2)当，满足，求的最大值．
【答案】(1)详见解析；(2)．
解析：
(1)分析题意可知在上单调，从而可知
，分类讨论的取值范围即可求解．；(2)分析题意可知
，再由可得，
，即可得证．
解析：(1)由，得对称轴为直线，由，得
，故在上单调，∴，当时，由
，得，即，当时，由
，得，即，综上，当时，
；(2)由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为．．
5．(2015高考数学上海理科·第23题) 对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为，设单调递增，，；
(1)验证是以为余弦周期的余弦周期函数；
(2)设，证明对任意，存在，使得；
(3)证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；
解析：(1)证明：，
所以是以为余弦周期的余弦周期函数；
(2)当或者时，由于单调递增，所以存在或使得成立；当，构造函数，则，，从而，所以存在，使得，即存在，使得成立，证毕．
(3)先证必要性
为方程在上的解，即，由可得，由于函数是以为余弦周期的余弦周期函数，所以，即为方程在上的解；
再证充分性
为方程在上的解，即，由可得，由于函数是以为余弦周期的余弦周期函数，所以，即为方程在上的解；
下证：对任意都有．
由于函数是以为余弦周期的余弦周期函数，所以，即有
，所以，
即或
所以或
①若，由，，可得．
所以，这与函数为增函数矛盾，舍去；
②若，由，，可得，
所以，即．
由此，对任意都有．
6．(2017年高考数学上海(文理科)·第21题)设定义在上的函数满足:对于任意的、,当时,都有．
(1)若,求的取值范围;
(2)若为周期函数,证明:是常值函数;
(3)设恒大于零,是定义在上、恒大于零的周期函数,是的最大值．函数．证明:“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”．
【答案】见解析
【解析】(1)记,若,,则,∵,,∴;
(2)若是周期函数,记其周期为,任取,则有,
又由题意,对任意,,
∴,
又∵,,并且所以对任意,为常数,证毕．
(3)充分性:
若为常值函数,记,设的一个周期为,
则,则对任意,,
故是周期函数成立．
必要性:
若是周期函数,记其一个周期为．
首先证明符号不变．
(i)设集合,若存在使得,则,且对任意均有,因为,∴,
∴对任意,,恒成立,所以是常数函数．
(ii)若存在,使得,且,则由题可知,,
那么必然存在正整数使得,,∴,且,又,而,矛盾．
综上,恒成立或恒成立或恒成立．
其次证明是常数函数．
(i)若恒成立．
任取,则必存在,使得,即,
∵∴
,
,
因为,,
因此若,必有,
且,
而由第(2)问证明可知对任意,为常数．
(ii)若恒成立．
任取,则必存在,使得,即,
∵∴
,
,
因为,,
因此若,必有,
且,
而由第(2)问证明可知对任意,为常数．
综上所述,必要性证毕．
7．(2016高考数学浙江理科·第18题)(本题满分15分)已知，函数，其中．
(Ⅰ)求使得等式成立的的取值范围；
(Ⅱ)(ⅰ)求的最小值；
(ⅱ)求在区间上的最大值．
【答案】【命题意图】本题主要考查函数的单调性与最值的求法、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力．
解析：(Ⅰ)由于，故
当时，，
当时，．
所以，使得等式成立的的取值范围为．
(Ⅱ)(ⅰ)设函数，，则
，，
所以，由的定义知，即
(ⅱ)当时，，
当时，．
所以
8．已知，函数．
(1)当时，解不等式；
(2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
(3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．
【答案】(1)．(2)．(3)．
解析：(1)由，得
解得．
(2)，，
当时，，经检验，满足题意．
当时，，经检验，满足题意．
当且时，，，．
是原方程的解当且仅当，即；
是原方程的解当且仅当，即．
于是满足题意的．
综上，的取值范围为．
(3)当时，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，时，
有最小值，由，得．
故的取值范围为．
题型二：函数的零点问题
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第22题)已知，函数，其中e=2．71828…为自然对数的底数．
(Ⅰ)证明：函数在上有唯一零点；
(Ⅱ)记x0为函数在上的零点，证明：
(ⅰ)；
(ⅱ)．
【答案】(I)证明见解析，(II)(i)证明见解析，(ii)证明见解析．
解析：(I)在上单调递增，
，
所以由零点存在定理得在上有唯一零点；
(II)(i)，
，
令
一方面： ，
在单调递增，，
，
另一方面：，
所以当时，成立，
因此只需证明当时，
因为
当时，，当时，，
所以，
在单调递减，，，
综上，．
(ii)，
，，
，因为，所以，
，
只需证明，
即只需证明，
令，
则，
，即成立，
因此．
2．(2019·上海·第18题)已知.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时，有零点，求的范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)当时，；
代入原不等式：；即：
移项通分：，得：；
依题意：在上有解
参编分离：，即求在值域，
在单调递增，；
，故：.
3．(2016高考数学江苏文理科·第19题)已知函数．
(1)设，．
① 求方程的根；
② 若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
(2)若，，函数有且只有1个零点，求的值．
【答案】(1)①；②；(2)；
【官方解答】(1)因为，所以．
①方程，即，亦即，
所以，于是，解得．
② 由条件知．
因为对于恒成立，且，
所以对于恒成立．
而，且，
所以，故实数的最大值为4．
(2)因为函数只有1个零点，而，
所以0是函数的唯一零点．
因为，又由，，知，
所以有唯一解．
令，则，
从而对任意，，所以是上的单调增函数．
于是当时，；当时，．
因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数．
下证．
若，则，于是．
又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为．
因为，所以．又，所以，与“0是函数的唯一零点”矛盾．
因此，．
若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾．
因此，．
于是，故，所以．
民间解答：(1)① ，由可得，
则，即，则，；
② 由题意得恒成立，
令，则由可得，
此时恒成立，即恒成立，
∵时，当且仅当时等号成立，
因此实数的最大值为．
(2)，
由，可得，令，则递增，
而，因此时，
因此时，，，则；
时，，，则；
则在递减，递增，因此最小值为，
① 若，时，，，则；
lgb2时，，，则；
因此且时，，因此在有零点，
且时，，因此在有零点，
则至少有两个零点，与条件矛盾；
② 若，由函数有且只有1个零点，最小值为，
可得，
由，因此
因此，即，即，
因此，则．
题型三：函数的应用
1．(2020江苏高考·第17题)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上、桥与平行，为铅垂线(在上)．经测量，左侧曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式．已知点到的距离为米．
(1)求桥的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中在上(不包括端点)．桥墩每米造价(万元)、桥墩每米造价(万元)()．问为多少米时，桥墩与的总造价最低?
【答案】(1)米(2)米
【解析】(1)由题意得
米
(2)设总造价为万元，，设，
(0舍去)
当时，；当时，，因此当时，取最小值，
答：当米时，桥墩与的总造价最低．
2．(2018年高考数学上海·第19题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：
，
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
【答案】(1)；(2)，在时单调递减，在时单调递增．实际意义为：当中的成员自驾时，该地上班族的人均通勤时间达到最小值36．875分钟．
解析：(1)由题意得且．
化简得，即．所以或．
综上所述，当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．
(2)①若，则．
②若，则．
所以．
当时，递减；
当时，的对称轴为，所以递减，递增．
综上所述，递减，递增．
即：当中的自驾人数比例在时，人均通勤时间随着成员自驾的比例增加而减少；当中的自驾人数比例在时，人均通勤时间随着成员自驾比例增加而增加，当中的成员自驾时，该地上班族的人均通勤时间达到最小值36．875分钟．
实际意义是：自驾人数在一定范围内增加时，交通顺畅；当随着范围进一步增加，交通拥堵，导致通勤时间增多．所以，对该地区要限制自驾人数．
3．(2015高考数学上海理科·第20题)(本题满分14分)本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分
如图，、、三地有直道相通，千米，千米，千米，现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为(单位：千米)．甲的路线是，速度是千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时．乙到达地后在原地等待，设时，乙到达地．
(1)求与的值；
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离为千米．
当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过？说明理由．
【答案】(1)，；(2)；最大值不超过3．
解析：(1)由题中条件可知小时，此时甲与点距离为千米，由余弦定理可知
，所以；
(2)易知，当时乙到达位置，所以
①当时，；
②当时，；综合①②，
当时，单调递减，此时函数的值域为；
当时，单调递增，此时函数的值域为；
当时，单调递减，此时函数的值域为；
由此，函数在上的值域为，而，即，
所以在上的最大值没有超过3．