中考数学二轮精品专题复习 圆(解答题一)

2023年中考数学真题知识点汇编之《圆(解答题一)》一．解答题（共30小题）1．（2023•大连）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O于点D，连接OD交BC于点E．（1）求∠BED的度数；（2）如图2，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点F，过点D作DG∥AF交AB于点G．若AD＝235，DE＝4，求DG的长．2．（2023•威海）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴相切于点C，与y轴相交于点A（0，8），B（0，2）．连接AC，BC．（1）求点P的坐标；（2）求cos∠ACB的值．3．（2023•北京）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．4．（2023•贵州）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．（1）写出图中一个度数为30°的角：　 　，图中与△ACD全等的三角形是 　 　；（2）求证：△AED∽△CEB；（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．5．（2023•无锡）如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E．过点D的线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD．（1）求∠F 的度数；（2）若 DE•DC＝8，求⊙O的半径．6．（2023•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD＝2∠DAF．（1）求证：CF是⊙O切线；（2）若AF＝10，sinF=23，求CD的长．7．（2023•通辽）如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠A．（1）求证：△ACD∽△DCB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）若tanE=35，AC＝10，求⊙O的半径．8．（2023•辽宁）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若BF＝1，sin∠AFE=45，求BC的长．9．（2023•常德）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是BD的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．10．（2023•内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．（1）求证：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（请用两种证法解答）（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．11．（2023•湖北）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长．12．（2023•鄂州）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为EB的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．13．（2023•张家界）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AD＝10，cosB=35，求FD的长．14．（2023•东营）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，CD＝23，求BD的长．15．（2023•齐齐哈尔）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　 　，∠BDC＝　 　°；（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：　 　；（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝1，则S△ABP　 　．16．（2023•武汉）​如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；（2）若AB＝4，BC=5，求⊙O的半径．17．（2023•菏泽）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．（1）求证：BC＝DE；（2）P是AE上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．18．（2023•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BC=BD，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD＝2∠F，连接BD．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）判断△DGB的形状，并说明理由；（3）当BD＝2时，求FG的长．19．（2023•齐齐哈尔）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD＝5，tan∠ADB=3，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）​20．（2023•绥化）如图，MN为⊙O的直径，且MN＝15，MC与ND为圆内的一组平行弦，弦AB交MC于点H．点A在MC上，点B在NC上，∠OND+∠AHM＝90°．（1）求证：MH•CH＝AH•BH；（2）求证：AC=BC；（3）在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧ND的轴对称图形，使其交直径MN于点G．若sin∠CMN=35，求NG的长．21．（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 　 　度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若PB=22PA，则PBPC的值为 　 　．22．（2023•济宁）如图，作CF⊥OE，交BE于点F，若EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．​23．（2023•福建）如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．（1）求证：AO∥BE；（2）求证：AO平分∠BAC．24．（2023•广西）如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．25．（2023•聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CD＝12，tan∠ABC=34，求⊙O的半径．26．（2023•广东）综合探究如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．（1）求证：AA'⊥CA'；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA′=3CA′；②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．27．（2023•郴州）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝120°，CD＝23，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．28．（2023•荆州）如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．（1）求证：①CD是⊙O的切线；②△DEF∽△DBA；（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．29．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与EQ的长度，并比较大小．30．（2023•陕西）（1）如图①，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝10000m，BC＝DE＝6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．2023年中考数学真题知识点汇编之《圆(解答题一)》参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2023•大连）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O于点D，连接OD交BC于点E．（1）求∠BED的度数；（2）如图2，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点F，过点D作DG∥AF交AB于点G．若AD＝235，DE＝4，求DG的长．【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；（2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AD为∠CAB的平分线，∴∠BAC＝2∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA，∴∠BOD＝∠BAD+∠ODA＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BAC，∴OD∥AC，∴∠OEB＝∠ACB＝90°，∴∠BED＝90°；（2）连接BD，设OA＝OB＝OD＝r，则OE＝r﹣4，AC＝2OE＝2r﹣8，AB＝2r，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，由（1）得，∠BED＝90°，∴∠BED＝∠BEO＝90°，∴BE2＝OB2﹣OE2，BE2＝BD2﹣DE2，∴BD2＝AB2﹣AD2＝BE2+DE2＝OB2﹣OE2+DE2，∴(2r)2−(235)2=r2﹣（r﹣4）2+42，解得r＝7或r＝﹣5（不合题意舍去），∴AB＝2r＝14，∴BD=AB2−AD2=142−(235)2=214，∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AB，∵DG⊥AF，∴DG⊥AB，∴S△ABD=12AD⋅BD=12AB⋅DG，∴DG=AD⋅BDAB=235×41414=210．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．2．（2023•威海）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴相切于点C，与y轴相交于点A（0，8），B（0，2）．连接AC，BC．（1）求点P的坐标；（2）求cos∠ACB的值．【考点】切线的性质；解直角三角形；坐标与图形性质；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有【专题】与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】（1）过P作PH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH＝BH＝3，求得OH＝5，连接PC，PB，根据切线的性质得到PC⊥x轴，得到PC＝OH＝5，根据勾股定理得到PH=PB2−BH2=4；（2）连接AP并延长交⊙P于M，连接BM，得到∠ABM＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）∵点A（0，8），B（0，2），∴AB＝6，过P作PH⊥AB于H，∴AH＝BH＝3，∴OH＝5，连接PC，PB，∵⊙P与x轴相切于点C，∴PC⊥x轴，∴∠PHB＝∠PCO＝∠COH＝90°，∴四边形PCOH是矩形，∴PC＝OH＝5，∵PH=PB2−BH2=4，∴点P的坐标为（4，5）；（2）连接AP并延长交⊙P于M，连接BM，则∠ABM＝90°，∴BM=AM2−AB2=102−62=8，∴cos∠ACB＝cos∠AMB=BMAM=810=45．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，正确都作出辅助线是解题的关键．3．（2023•北京）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】（1）由圆周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°；（2）由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC=12∠ADC＝30°，由平行线的性质求出∠F＝90°，由圆内接四边形的性质求出∠FBC＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性质得到BC=12BD，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD是圆的直径，∴BD垂直平分AC，∴AD＝CD，∵AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°∵BD⊥AC，∴∠BDC=12∠ADC＝30°，∵CF∥AD，∴∠F+∠BAD＝90°，∴∠F＝90°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠FBC+∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°，∴BC＝2BF＝4，∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BC=12BD，∵BD是圆的直径，∴圆的半径长是4．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，由垂径定理推出△ACD是等边三角形．4．（2023•贵州）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．（1）写出图中一个度数为30°的角：　∠1　，图中与△ACD全等的三角形是 　△BCD　；（2）求证：△AED∽△CEB；（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．【考点】垂径定理；相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定．菁优网版权所有【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】（1）⊙O是等边三角形ABC的外接圆，可知点O为外心，故CD为AB的中线、垂线、∠ACB平分线（三线合一），并利用HL定理证明△ACD≌△BCD；（2）利用两三角形两个对应角相等，可证明两三角形相似；（3）由四边形OAEB四条边相等，可知它为菱形．【解答】（1）解：∵已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴点O是等边三角形ABC的外心，∴CE⊥AB，∠1＝∠2＝30°．∴∠ADC＝∠BDC＝90°，又∵AC＝BC，CD＝CD，∴Rt△ACD≌Rt△BCD（HL定理）．故答案为：∠1（答案不唯一），△BCD．（2）证明：∵∠ADE＝∠CBE＝90°，∠3＝∠CAE﹣∠CAB＝90°﹣60°＝30°＝∠2，∴△AED∽△CEB．（3）解：∵∠CAE＝90，∠1＝30°，∴AE=12CE．同理可证，BE=12CE．∴OA＝OB＝AE＝BE，∴四边形OAEB为菱形．【点评】本题考查等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理与菱形的判定，知识点比较多，但难度不大，一定要牢牢掌握，并能运用自如．5．（2023•无锡）如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E．过点D的线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD．（1）求∠F 的度数；（2）若 DE•DC＝8，求⊙O的半径．【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力．【分析】（1）连接OD，利用切线性质和平行线性质求得∠AOD＝90°，再利用圆周角定理求得∠ACD的度数，最后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得答案；（2）结合（1）中所求易证得△DAE∽△DCA，再利用相似三角形性质及勾股定理即可求得答案．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵FD为⊙O的切线，∴∠ODF＝90°，∵DF∥AB，∴∠AOD＝180°﹣∠ODF＝90°，∴∠ACD=12∠AOD＝45°，∵CF＝CD，∴∠F＝∠CDF=180°−45°2=67.5°；（2）∵OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠EAD＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠EAD，∵∠ADE＝∠CAD，∴△DAE∽△DCA，∴DEDA=DADC，∴DA2＝DE•DC＝8，∵DA＞0，∴DA＝22，∵OA2+OD2＝2OA2＝DA2＝4，OA＞0，∴OA＝2，即⊙O的半径为2．【点评】本题考查圆与相似三角形的综合应用，（2）中利用相似三角形的判定及性质求得DA2＝DE•DC＝8是解题的关键．6．（2023•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD＝2∠DAF．（1）求证：CF是⊙O切线；（2）若AF＝10，sinF=23，求CD的长．【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】（1）先根据垂径定理得出CB=DB，进而得出∠COB＝∠DOB，再根据圆周角定理得出∠DOB＝2∠DAF，结合已知∠FCD＝2∠DAF得出∠FCD＝∠COB，根据CD⊥AB得出∠COB+∠OCE＝90°，于是有∠FCD+∠OCE＝90°，从而问题得证；（2）在Rt△OCF中，根据∠F的正弦值设出OC＝2x，OF＝3x，再根据OF的长即可求出x的值，然后证得∠OCE＝∠F，即可求出OE的长，根据勾股定理求出CE的长，最后根据垂径定理即可求出CD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD，∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，∴CB=DB，∴∠COB＝∠DOB，∵∠DOB＝2∠DAF，∴∠COB＝2∠DAF，∵∠FCD＝2∠DAF，∴∠FCD＝∠COB，∵CD⊥AB，∴∠CEO＝90°，∴∠COB+∠OCE＝90°，∴∠FCD+∠OCE＝90°，即∠OCF＝90°，∴OC⊥CF，又OC为⊙O的半径，∴CF是⊙O切线；（2）解：如图，连接OC，由（1）知OC⊥CF，∴sinF=OCOF=23，设OC＝2x，则OF＝3x，∴OA＝OC＝2x，∵AF＝10，∴OA+OF＝10，即2x+3x＝10，解得，x＝2，∴OC＝4，∵OC⊥CF，∴∠OCE+∠FCE＝90°，∵CD⊥AB，∴∠F+∠FCE＝90°，∴∠F＝∠OCE，∴sinF＝sin∠OCE，在Rt△CEO中，sin∠OCE=OEOC=23，即OE4=23，∴OE=83，由勾股定理得，CE=OC2−OE2=42−(83)2=453，∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，∴CD=2CE=853．【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，熟知经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线．7．（2023•通辽）如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠A．（1）求证：△ACD∽△DCB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）若tanE=35，AC＝10，求⊙O的半径．【考点】圆的综合题．菁优网版权所有【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】（1）由相似三角形的判定可得出答案；（2）连接OD，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，证出OD⊥CD，由切线的判定可得出结论；（3）由相似三角形的性质得出∴CDAC=BCCD=BDAD=35，由比例线段求出CD和BC的长，可求出AB的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠BAD，∴△ACD∽△DCB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠BDC＝∠A，∴∠BDC+∠ODB＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠ADB＝90°，tan∠BED=35，∴tan∠BAD=BDAD=35，∵△BDC∽△DAC，∴CDAC=BCCD=BDAD=35，∵AC＝10，∴CD10=35，∴CD＝6，∴BC6=35，∴BC=185，∴AB＝AC﹣BC＝10−185=325．∴⊙O的半径为165．【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．8．（2023•辽宁）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若BF＝1，sin∠AFE=45，求BC的长．【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得OE⊥EF即可；（2）根据锐角三角函数可求出半径，进而得到AB的长，再根据直角三角形的边角关系求出AC，由勾股定理求出BC即可．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠FOE＝∠OAE+∠OEA＝2∠OAE，∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE，又∵∠AFE＝∠ABC，∴∠CAB+∠ABC＝∠FOE+∠AFE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°＝∠FOE+∠AFE，∴∠OEF＝90°，即OE⊥EF，∵OE是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r+1，∵sin∠AFE=45=OEOF=rr+1，∴r＝4，∴AB＝2r＝8，在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACAB=sin∠AFE=45，AB＝8，∴AC=45×8=325，∴BC=AB2−AC2=245．【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义以及勾股定理，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．9．（2023•常德）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是BD的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．【考点】切线的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及圆心角、弦、弧之间的关系可得∠CAE＝∠OCA，进而得到OC∥AE，再根据平行线的性质得出OC⊥EC即可；（2）利用相似三角形的性质，勾股定理以及圆心角、弧、弦之间的关系进行计算即可．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵点C是BD的中点，∴∠OAC＝∠CAE，∴∠CAE＝∠OCA，∴OC∥AE，∵AE⊥CE，∴OC⊥CE，∵OC是半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵BC＝6，AC＝8，∴AB=BC2+AC2=10，又∵∠BAC＝∠CAE，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△AEC∽△ACB，∴ECCB=ACAB，即EC6=810，∴EC=245，∵点C是BD的中点，即BC=CD，∴CD＝BC＝6，∴DE=62−(245)2=185，答：DE=185，EC=245．【点评】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系，掌握切线的判定方法，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系是正确解答的前提．10．（2023•内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．（1）求证：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（请用两种证法解答）（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．【考点】圆周角定理．菁优网版权所有【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力．【分析】（1）方法一：连接BD，利用圆周角定理及角的和差即可证得结论；方法二：连接BC，利用圆周角定理求得∠ACB＝90°，再利用圆内接四边形的性质及三角形的外角性质即可证得结论；（2）根据方法二中的图形易证得△PBC∽△PCA，结合已知条件，根据相似三角形的对应边成比例求得PB的长，继而求得AP的长．【解答】（1）证明：方法一：如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ADC﹣∠BDC＝∠ADB，∠BDC＝∠BAC，∴∠ADC﹣∠BAC＝90°；方法二：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠PBC＝∠BAC+∠ACB，∴∠PBC﹣∠BAC＝90°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠PBC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠PBC，∴∠ADC﹣∠BAC＝90°；（2）解：由图可得∠ADC＝∠PBC，∵ACP＝∠ADC，∴∠PBC＝∠ACP，即∠PBC＝∠PCA，∵∠BPC＝∠CPA，∴△PBC∽△PCA，∴PBPC=PCPA，∴PC2＝PA•PB，∵⊙O的半径为3，∴AB＝6，∴PA＝PB+6，∵CP＝4，∴42＝（PB+6）•PB，解得：PB＝2或PB＝﹣8（舍去），则AP＝2+6＝8．【点评】本题考查圆与相似三角形的综合应用，（2）中结合已知条件证得△PBC∽△PCA是解题的关键．11．（2023•湖北）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长．【考点】切线的判定与性质；等腰三角形的性质；垂径定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．【分析】（1）证明△ABD≌△CED（AAS），得出AB＝CE，则四边形ABCE是平行四边形，AE∥BC，作AH⊥BC于H．得出AH为BC的垂直平分线，则OA⊥AE，又点A在⊙O上，即可得证；（2）过点D作DM⊥BC于M，连接OB，垂径定理得出BH＝HC=12BC＝3，勾股定理得OH＝4，进而可得AH，勾股定理求得AB，证明DM∥AH，可得△CMD∽△CHA，根据相似三角形的性质得出MH，DM，然后求得BM，勾股定理求得BD，证明△FCD∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明，∵AB∥CE，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠ECD，又∵AD＝CD，∴△ABD≌△CED（ AAS），∴AB＝CE．∴四边形ABCE是平行四边形．∴AE∥BC．作AH⊥BC于H．∵AB＝AC，∴AH为BC的垂直平分线．∴点O在AH上．∴AH⊥AE．即OA⊥AE，又点A在⊙O上，∴AE为⊙O的切线；（2）解：过点D作DM⊥BC于M，连接OB，∵AH为BC的垂直平分线，∴BH＝HC=12BC＝3，∴OH=OB2−BH2=52−32=4，∴AH＝OA+OH＝5+4＝9，∴AB＝AC=AH2+CH2=92+32=310，∴CD=12AC=3210，∵AH⊥BC，DM⊥BC，∴DM∥AH∴△CMD∽△CHA，又AD＝CD，∴DMAH=CMCH=CDCA=12，∴MH=12HC=32，DM=12AH=92，∴BM＝BH+MH＝3+32=92，∴BD=BM2+DM2=(92)2+(92)2=922，∵∠CFD＝∠BAD，∠FDC＝∠ADB，∴△FCD∽△ABD，∴FCAB=CDBD，∴FC310=3210922，∴FC＝52．【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．12．（2023•鄂州）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为EB的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．【考点】切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．菁优网版权所有【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】（1）连接OC，由等弧所对的圆周角相等得出∠EAC＝∠BAC，根据同圆的半径相等得出∠BAC＝∠OCA，于是有∠EAC＝∠OCA，可得出AE∥OC，再根据CD⊥AE，即可得出OC⊥DF，从而问题得证；（2）连接CE，BC，先根据切割线定理求出AD的长，然后由勾股定理求出AC、CE的长，再根据等弧所对的弦相等得出BC＝CE，在Rt△ACB中根据勾股定理求出AB的长，即可求出⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，∵点C为EB的中点，∴EC=BC，∴∠EAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OCA，∴AE∥OC，∴∠ADC＝∠OCF，∵CD⊥AE，∴∠ADC＝90°，∴∠OCF＝90°，即OC⊥DF，又OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接CE，BC，由（1）知CD是⊙O的切线，∴CD2＝DE•AD，∵DE＝1，DC＝2，∴AD＝4，在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=AD2+CD2=42+22=25，在Rt△DCE中，由勾股定理得CE=CD2+DE2=22+12=5，∵点C是EB的中点，∴EC=BC，∴EC＝BC=5，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由勾股定理得AB=AC2+BC2=(25)2+(5)2=5，∴⊙O的半径长是2.5．【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理的推论，勾股定理，弧、弦之间的关系定理，熟练掌握这些定理是解题的关键．13．（2023•张家界）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AD＝10，cosB=35，求FD的长．【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；（2）由cosB=35，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB=35，∴cos∠ADC=35，在Rt△ACD中，∵cos∠ADC=35=CDAD，AD＝10，∴CD＝AD•cos∠ADC＝10×35=6，∴AC=AD2−CD2=8，∴CDAC=34，∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴CDAC=FCFA=FDFC=34，设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+10，又∵FC2＝FD•FA，即（4x）2＝3x（3x+10），解得x=307（取正值），∴FD＝3x=907．【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．14．（2023•东营）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，CD＝23，求BD的长．【考点】切线的判定与性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠CED＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；（2）连接AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，因为AB＝AC，CD＝23，所以BD＝CD＝23．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC于点E，∴∠ODE＝∠CED＝90°，∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，CD＝23，∴BD＝CD＝23，∴BD的长是23．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理等知识，证明OD∥AC是解题的关键．15．（2023•齐齐哈尔）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　BE＝CF　，∠BDC＝　30　°；（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：　BF＝CF+2AM　；（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝1，则S△ABP　7+74或7−74　．【考点】圆周角定理；规律型：图形的变化类；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．菁优网版权所有【专题】几何变换；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力；应用意识．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论；（2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAF即可得出结论；（3）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAE即可得出结论；（4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点P，利用勾股定理计算出BP，再利用第3小题的结论得到三角形的高，△ABP的面积即可求出．【解答】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°，理由如下：如图1所示：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，又∵∠BAC＝∠EAF＝30°，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴BE＝CF，∴∠ABE＝∠ACD，∵∠AOE∠ABE+∠BAC，∠AOE＝∠ACD+∠BDC，∴∠BDC＝∠BAC＝30°；（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，理由如下：如图2所示：证明：∵∠BAC＝∠EAF＝120°，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF（SAS）∴BE＝CF，∴∠AEB＝∠AFC，∵∠EAF＝120°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°；（3）BF＝CF+2AM，理由如下：如图3所示：∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴∠CAB＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠FAE﹣∠CAE，即：∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CF，∵AM⊥BF，AE＝AF，EAF＝90°，∴EF＝2AM，∵BF＝BE+EF，∴BF＝CF+2AM；（4））如图4所示：连接BD，以BD为直径作圆，由题意，取满足条件的点P，P′，则PD＝P′D＝1．∠BPD＝∠BP′D＝90°，∴BD＝22，∴BP=BD2−BP2=(22)2−12=7，连接PA，作AF⊥PB于点F，在BP上截取BE＝PD，∵∠PDA＝ABE，AD＝AB，∴△ADP≌△ABE（SAS），∴AP＝AE，∠BAE＝∠DAP，∴∠PAE＝90°，由（3）可得：PB＝PD＝2AF，∴AF=PB−PD2=7−12，∴S△PAB=12PBAF=7−74，同理可得：S△P′AB=7+74，故△ABP的面积为：7+74或7−74．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．16．（2023•武汉）​如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；（2）若AB＝4，BC=5，求⊙O的半径．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】（1）利用圆周角定理可得∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12∠BOC，结合∠ACB＝2∠BAC可证明结论；（2）过点O作半径OD⊥AB于点E，可得AE＝BE，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BD＝BC，结可求得BE＝2，DB=5，利用勾股定理可求解DE＝1，再利用勾股定理可求解圆的半径．【解答】（1）证明：∵∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12∠BOC，∠ACB＝2∠BAC，∴∠AOB＝2∠BOC；（2）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，∴AE＝BE，∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB=12∠AOB，∴∠DOB＝∠BOC．∴BD＝BC．∵AB＝4，BC=5，∴BE＝2，DB=5，在 Rt△BDE 中，∠DEB＝90°，∴DE=BD2−BE2=1，在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB2＝（OB﹣1）2+22，解得OB=52，即⊙O的半径是 52．【点评】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系，掌握圆周角定理是解题的关键．17．（2023•菏泽）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．（1）求证：BC＝DE；（2）P是AE上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．【考点】圆的综合题．菁优网版权所有【专题】三角形；与圆有关的计算；图形的相似；运算能力；推理能力．【分析】（1）由D是 BC的中点得 CD=BD由垂径定理得BC=BD得到 BC=DE，根据同圆中，等 弧对等弦即可证明；（2）连接OD，证明△ACB∽△OFD，设⊙O的半径为r，利用相似三角形的性质得r＝5，AB＝2r＝10，由勾股定理求得BC，得到 tan∠CAB=BCAC=86=43，即可得到 tan∠BPC=43；（3）过点B作 BG⊥CP 交CP于点G，证明△CBG是等腰直角三角形，解直角三角形得到 CG=BG=BCcos45°=42，由 tan∠BPC=43 得到 BGGP=43，解得 GP=32，即可求解．【解答】（1）证明：∵D是 BC 的中点，∴CD=BD，∵DE⊥AB且AB为⊙O的直径，∴BE=BD，∴BC=DE，∴BC＝DE；（2）解：连接OD，∵CD=BD，∴∠CAB＝∠DOB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠DFO＝90°，∴△ACB∽△OFD，∴ACAB=OFOD，设⊙O的半径为r，则 62r=r−2r，解得r＝5，经检验，r＝5是方程的根，∴AB＝2r＝10，∴BC=AB2−AC2=8，∴tan∠CAB=BCAC=86=43，∵∠BPC＝∠CAB，∴tan∠BPC=43；（3）解：如图，过点B作BG⊥CP交CP于点G，∴∠BGC＝∠BGP＝90°，∵∠ACB＝90°，CP是∠ACB 的平分线，∴∠ACP＝∠BCP＝45°，∴∠CBG＝45°，∴CG=BG=BCcos45°=42，∴tan∠BPC=43，∴BGGP=43，∴GP=32CP=42+32=72．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟 练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．18．（2023•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BC=BD，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD＝2∠F，连接BD．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）判断△DGB的形状，并说明理由；（3）当BD＝2时，求FG的长．【考点】圆的综合题．菁优网版权所有【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】（1）连接OC，由圆周有定理得出∠BOD＝∠BOC，由等腰三角形的性质证出∠GBF＝90°，由切线的判定可得出结论；（2）由垂径定理得出DB＝BC，DC⊥AB，证出∠DCB＝∠CDB，由直角三角形的性质得出∠DGB＝∠DBG，则可得出结论；（3）由（2）可知，DB＝DG，∠F＝∠DBF，则可得出答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵BD=BC，∴∠BOD＝∠BOC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠BOC＝2∠A，又∵∠BOD＝2∠F，∴∠A＝∠F，又∵∠AGE＝∠BGF，∴∠AEG＝∠GBF，∵DE⊥AC，∴∠AEG＝90°，∴∠GBF＝90°，∴OB⊥BF，∵OB为半径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：△DGB为等腰三角形，理由：∵DB=BC，∴DB＝BC，DC⊥AB，∴∠DCB＝∠CDB，∵OB⊥BF，∴DC∥BF，∴∠BDC＝∠DBF，又∵∠BDC＝∠A，∴∠DBF＝∠A，又∵∠A＝∠F，∴∠DBF＝∠F，∵∠GBF＝90°，∴∠F+∠DGB＝90°，∠DBG+∠DBF＝90°，∴∠DGB＝∠DBG，∴DB＝DG，即△DBG为等腰三角形；（3）解：由（2）可知，DB＝DG，∠F＝∠DBF，∴DF＝DB，∴DF＝DG＝DB＝2，∴FG＝4．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．19．（2023•齐齐哈尔）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD＝5，tan∠ADB=3，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）​【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形；角平分线的性质；勾股定理；圆周角定理．菁优网版权所有【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【分析】（1）连接OD，由OA＝OD，得到∠OAD＝∠ODA，由角平分线定义得到∠OAD＝∠BAD，因此∠ODA＝∠BAD推出OD∥AB，得到半径OD⊥BC，即可证明问题；（2）连接OF，DE，由tan∠ADB=3，得到∠ADB＝60°，由直角三角形的性质求出AD长，由锐角的余弦求出AE长，得到圆的半径长，由OD∥AB，推出阴影的面积＝扇形OAF的面积，由扇形面积公式即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠BAD，∴∠ODA＝∠BAD，∴OD∥AB，∴∠ODC＝∠B＝90°，∴半径OD⊥BC于点D，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接 OF，DE，∵∠B＝90°，tan∠ADB=3，∴∠ADB＝60°，∠BAD＝30°，∵BD＝5，∴AD＝2BD＝10，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠BAD＝30°，在 Rt△ADE 中，AD＝10，∵cos∠DAE=ADAE=32，∴AE=2033，∴OA=12AE=1033，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，∵OA＝OF，∴△AOF 是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∵OD∥AB，∴S△ADF＝S△AOF，∴S阴影＝S扇形OAF=60π×(1033)2360=50π9．【点评】本题考查切线的判定，扇形面积的计算，解直角三角形，圆周角定理，角平分线定义，关键是证明OD∥AB；推出S阴影＝S扇形OAF．20．（2023•绥化）如图，MN为⊙O的直径，且MN＝15，MC与ND为圆内的一组平行弦，弦AB交MC于点H．点A在MC上，点B在NC上，∠OND+∠AHM＝90°．（1）求证：MH•CH＝AH•BH；（2）求证：AC=BC；（3）在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧ND的轴对称图形，使其交直径MN于点G．若sin∠CMN=35，求NG的长．【考点】圆的综合题．菁优网版权所有【专题】三角形；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【分析】（1）证明△AMH∽△CBH即可；（2）连接OC，交AB于点F，根据平行线的性质和已知条件证明垂直平分即可；（3）利用对称的性质作辅助线，根据已知条件，转化为解直角三角形问题即可．【解答】（1）证明：∵∠ABC 和∠AMC是 AC 所对的圆周角，∴∠ABC＝∠AMC，∵∠AHM＝∠CHB，∴△AMH∽△CBH，∴AHCH=MHBH，∴MH•CH＝AH•BH．（2）证明：连接OC，交AB于点F，∵MC与ND为一组平行弦，即：MC∥ND，∴∠OND＝∠OMC，∵OM＝OC，∴∠OMC＝∠OCM，∵∠OND+∠AHM＝90°，∴∠OCM+∠AHM＝∠OCM+∠CHB＝90°，∴∠HFC＝90°，∴OC⊥AB，∴OC是AB的垂直平分线，AC=BC；（3）解：连接DM、DG，过点D作DE⊥MN，垂足为E，设点G的对称点 G'，连接G′D、G′N，∵DG＝DG'，∠G′ND＝∠GND，DM=DG′，DG'＝DM，∴DG＝DM，∴△DGM 是等腰三角形，∵DE⊥MN，∴GE＝ME，∵DN∥CM，∴∠CMN＝∠DNM，∵MN为直径，∴∠MDN＝90°，∴∠MDE+∠EDN＝90°，∵DE⊥MN，∴∠DEN＝90°，∴∠DNM+∠EDN＝90°，∴sin∠EDM=sin∠DNM=sin∠CMN=35，在Rt△MND中，MN＝15，∴sin∠DNM=MDMN=35MD15=35，∴MD＝9，在Rt△MED中，sin∠EDM=35=MEMD，∴ME9=35，∴ME=275，∴NG=MN−MG=MN−2ME=15−2×275=215，∴NG=215，故答案为：215．【点评】本题考查了圆的综合问题，同弧所对圆周角相等、构建合适的辅助线是解题的关键；熟练掌握相 似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、熟悉锐角三角函数解决直角三角形．21．（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 　45　度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若PB=22PA，则PBPC的值为 　8+227　．【考点】圆的综合题．菁优网版权所有【专题】几何综合题；推理能力．【分析】【感知】根据圆周角定理即可得出答案；【探究】先构造出△PBC≌△EBA（SAS），得出PB＝EB，进而得出△PBE是等边三角形，即可得出结论；【应用】先构造出△PBC≌△EBA（SAS），进而判断出∠PBG＝90°，进而得出△PBG是等腰直角三角形，即可得出结论；【解答】【感知】解：∵∠AOB＝90°，∴∠APB=12∠AOB＝45°（在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半），故答案为：45；【探究】证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS），∴PB＝EB，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠APB＝60°，∴△PBE为等边三角形，∴PB＝PE＝AE+AP＝PC+AP；【应用】解：如图③，延长PA至点G，使AG＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAG＝180°，∴∠BCP＝∠BAG，∵BA＝BC，∴△PBC≌△GBA（SAS），∴PB＝GB，∠PBC＝∠GBA，∵∠ABC＝90°，∴∠PBG＝∠GBA+∠ABP＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴PG=2BP，∵PG＝PA+AG＝PA+PC，∴PC＝PG﹣PA＝22PA﹣PA＝（22−1）PA，∴PBPC=22PA(22−1)PA=8+227，故答案为：8+227．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．22．（2023•济宁）如图，作CF⊥OE，交BE于点F，若EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．​【考点】圆的综合题．菁优网版权所有【专题】几何综合题；圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】（1）根据CF⊥OE，OC是半径，可得CF是圆O的切线，根据BE是圆O的切线，由切线长定理可得BF＝CF，进而根据 sinE=CFEF=12，得出∠E＝30°，∠EOB＝60°，根据CD＝CB得出CD=CB，根据垂径定理的推论得出OC⊥BD，进而得出∠ADB＝90°＝∠EBO，根据含30度角的直角三角形的性质，得出AD＝BO=12AB，即可证明△ABD≌△OEB（AAS）；（2）延长ND至H使得DH＝BM，连接CH，BD，根据圆内接四边形对角互补得出∠HDC＝∠MBC，证明△HDC≌△MBC（SAS），结合已知条件证明△CNH≌△CNM（SAS），得出NH＝MN，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵CF⊥OE，OC是半径，∴CF是圆O的切线，∵BE是圆O的切线，∴BF＝CF，∵EF＝2BF，∴EF＝2CF，sinE=CFEF=12，∴∠E＝30°，∠EOB＝60°，∵CD＝CB，∴CD=CB，∴OC⊥BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°＝∠EBO，∵∠E+∠EBD＝90°，∠ABD+∠EBD＝90°，∴∠E＝∠ABD＝30°，∴AD＝BO=12AB，∴△ABD≌△OEB（AAS）；（2）解：MN＝BM+DN，理由如下：延长ND至H使得DH＝BM，连接CH，BD，如图2所示，∵∠CBM+∠NDC＝180°，∠HDC+∠NDC＝180°，∴∠HDC＝∠MBC，∵CD＝CB，DH＝BM，∴△HDC≌△MBC（SAS），∴∠BCM＝∠DCH，CM＝CH，由（1）可得∠ABD＝30°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝60°，∴∠DCB＝180°﹣∠A＝120°，∵∠MCN＝60°，∴∠BCM+∠NCD＝120°﹣∠NCM＝120°﹣60°＝60°，∴∠DCH+∠NCD＝∠NCH＝60°，∴∠NCH＝∠NCM，∵NC＝NC，∴△CNH≌△CNM（SAS），∴NH＝MN，∴MN＝DN+DH＝DN+BM，∴MN＝BM+DN．【点评】本题属于圆的综合题，考查了切线的判定，切线长定理，垂径定理的推论，全等三角形的性质与判定，根据特殊角的三角函数值求角度，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．23．（2023•福建）如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．（1）求证：AO∥BE；（2）求证：AO平分∠BAC．【考点】切线的性质；角平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】（1）根据切线的性质得到AF⊥OA，求得∠OAF＝90°，根据圆周角定理得到∠CBE＝90°，求得∠OAF＝∠CBE，根据平行线的性质得到∠BAF＝∠ABC，于是得到∠OAB＝∠ABE，根据平行线的判定定理即可得到AO∥BE；（2）根据圆周角定理得到∠ABE＝∠ACE，根据等腰三角形的性质得到∠ACE＝∠OAC，等量代换得到∠ABE＝∠OAC，由（1）知，∠OAB＝∠ABE，根据角平分线的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE＝90°，∴∠OAF＝∠CBE，∵AF∥BC，∴∠BAF＝∠ABC，∴∠OAF﹣∠BAF＝∠CBE﹣∠ABC，即∠OAB＝∠ABE，∴AO∥BE；（2）∵∠ABE 与∠ACE 都是EA所对的圆周角，∴∠ABE＝∠ACE，∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC，∴∠ABE＝∠OAC，由（1）知，∠OAB＝∠ABE，∴∠OAB＝∠OAC，∴AO平分∠BAC．【点评】本题考查了切线的性质，角平分线的定义、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、熟练掌握切线的性质是解题的关键．24．（2023•广西）如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．【考点】切线的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【分析】（1）由切线的性质得PA⊥OA，而PO平分∠APD，OB⊥PD，所以OB＝OA，则点B在⊙O上，即可证明PB是⊙O的切线；（2）由OA＝OB＝4，OC＝5，得AC＝OA+OC＝9，BC=OC2−OB2=3，由PAAC=OBBC=tan∠ACP=43，得PA=43AC＝12，所以PA的长是12．【解答】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，且OA是⊙O的半径，∴PA⊥OA，∵PO平分∠APD，OB⊥PD于点B，OA⊥PA于点A，∴OB＝OA，∴点B在⊙O上，∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．（2）解：∵OA＝OB＝4，OC＝5，∴AC＝OA+OC＝4+5＝9，∵∠OBC＝90°，∴BC=OC2−OB2=52−42=3，∵∠A＝90°，∴PAAC=OBBC=tan∠ACP=43，∴PA=43AC=43×9＝12，∴PA的长是12．【点评】此题重点考查切线的性质定理、角平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，根据角平分线的性质证明OB＝OA是解题的关键．25．（2023•聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CD＝12，tan∠ABC=34，求⊙O的半径．【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的性质；勾股定理；圆周角定理．菁优网版权所有【专题】数形结合；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；几何直观；应用意识．【分析】（1）连接OE，由题意得到OD＝OE，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，求得∠OED＝∠CDE，根据平行线的判定定理得到OE∥CD，根据∠ACB＝90°，得到OE⊥AC，于是得到结论；（2）过D作DF⊥AB，根据角平分线的小知道的CD＝DF，根据勾股定理得到BD=DF2+BF2=20，求得AC＝BC•tan∠ABC＝24，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OE，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ODE，∴∠OED＝∠CDE，∴OE∥CD，∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过D作DF⊥AB，∵AD平分∠A＝BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，∴CD＝DF，∵CD＝12，tan∠ABC=34，∴BF=DFtan∠ABC=16，∴BD=DF2+BF2=20，∴BC＝CD+BD＝32，∴AC＝BC•tan∠ABC＝24，∴AD=AC2+CD2=125，∵OE∥CD，∴△AEO∽△ACD，∴EOCD=AOAD，∴EO12=125−OD125=125−EO125，解得EO＝15﹣35，∴⊙O的半径为15﹣35．【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．26．（2023•广东）综合探究如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．（1）求证：AA'⊥CA'；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA′=3CA′；②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．【考点】圆的综合题．菁优网版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】（1）根据轴对称的性质可得AE＝A′E，AA′⊥BD，根据四边形ABCD是矩形，得出OA＝OC，从而OE∥A′C，从而得出AA′⊥CA′；（2）①设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，可证得OG＝OF＝OE，从而得出∠EAO＝∠GAO＝∠GBO，进而得出∠EAO＝30°，从而AA′=3CA′；②设⊙O切CA′于点H，连接OH，可推出AA′＝2OH，CA′＝2OE，从而AA′＝CA′，进而得出∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∠AOE＝∠ACA′＝45°，从而得出AE＝OE，OD＝OA=2AE，设OA＝OE＝x，则OD＝OA=2x，在Rt△ADE中，由勾股定理得出x2+[(2−1)x]2=1，从而求得x2=2+24，进而得出⊙O的面积．【解答】（1）证明：∵点A关于BD的对称点为A′，∴AE＝A′E，AA′⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∴OE∥A′C，∴AA′⊥CA′；（2）①证明：如图2，设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，∴OF⊥CD，OF＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD=12BD，AB∥CD，AC＝BD，OA=12AC，∴OG⊥AB，∠FDO＝∠BOG，OA＝OB，∴∠GAO＝∠GBO，∵∠DOF＝∠BOG，∴△DOF≌△BOG（ASA），∴OG＝OF，∴OG＝OE，由（1）知：AA′⊥BD，∴∠EAO＝∠GAO，∵∠EAB+∠GBO＝90°，∴∠EAO+∠GAO+∠GBO＝90°，∴3∠EAO＝90°，∴∠EAO＝30°，由（1）知：AA′⊥CA′，∴tan∠EAO=CA′AA′，∴tan30°=CA′AA′，∴AA′=3CA′；②解：如图3，设⊙O切CA′于点H，连接OH，∴OH⊥CA′，由（1）知：AA′⊥CA′，AA′⊥CA′，OA＝OC，∴OH∥AA′，OE∥CA′，∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，∴OHAA′=OCAC=12，OECA′=OAAC=12，∴AA′＝2OH，CA′＝2OE，∴AA′＝CA′，∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∴∠AOE＝∠ACA′＝45°，∴AE＝OE，OD＝OA=2AE，设AE＝OE＝x，则OD＝OA=2x，∴DE＝OD﹣OE＝（2−1）x，在Rt△ADE中，由勾股定理得，x2+[(2−1)x]2=1，∴x2=2+24，∴S⊙O＝π•OE2=2+24⋅π．【点评】本题考查了圆的切线性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．27．（2023•郴州）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝120°，CD＝23，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；圆周角定理．菁优网版权所有【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；推理能力．【分析】（1）连接OC，由AB是直径，可得∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，再证∠OCA＝∠A＝∠BCD，从而有∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，即可证明．（2）由圆周角定理求得∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可解答．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，tan∠AOC=CDOC=tan60°，CD＝23，∴23OC=3，解得OC＝2，∴阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形BOC=12×23×2−60×π×2360=23−2π3．【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式及解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键．28．（2023•荆州）如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．（1）求证：①CD是⊙O的切线；②△DEF∽△DBA；（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．【考点】圆的综合题．菁优网版权所有【专题】与圆有关的计算；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力；应用意识．【分析】（1）①由四边形ABCD是菱形，DH⊥AB，可得∠CDH＝∠DHA＝90°，CD⊥OD，故CD是⊙O的切线；②连接HF，由DH为⊙O直径，有∠DFH＝90°，可得∠DHF＝∠DBA＝∠DEF，又∠EDF＝∠BDA，从而△DEF∽△DBA；（2）连接AC交BD于G．由菱形ABCD，BD＝6，得AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3，AG=AB2−GB2=4，故AC＝2AG＝8，用面积法可得DH=245，即得sin∠DEE＝sin∠DAH=DHAD=2425．【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∵DH⊥AB，∴∠CDH＝∠DHA＝90°，∴CD⊥OD，∵D为⊙O的半径的外端点，∴CD是⊙O的切线；②连接HF，∴∠DEF＝∠DHF，∵DH为⊙O直径，∴∠DFH＝90°，∴∠DHF＝90°﹣∠BDH，∵∠DHB＝90°，∴∠DBA＝90°﹣∠BDH，∴∠DHF＝∠DBA＝∠DEF，∵∠EDF＝∠BDA，∴△DEF∽△DBA；（2）解：连接AC交BD于G．∵菱形ABCD，BD＝6，∴AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3，在Rt△AGB中，AG=AB2−GB2=4，∴AC＝2AG＝8，∵S菱形ABCD=12AC•BD＝AB•DH，∴DH=12×8×65=245，由△DEF∽△DBA知：∠DFE＝∠DAH，∴sin∠DEE＝sin∠DAH=DHAD=2455=2425．【点评】本题考查圆的综合应用，涉及锐角三角函数，勾股定理，菱形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理．29．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与EQ的长度，并比较大小．【考点】圆的综合题．菁优网版权所有【专题】几何综合题；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】（1）连接OM，利用垂径定理得出MC=12MN＝24cm，由勾股定理计算即可得出答案；（2）由切线的性质证明OE⊥GH，进而得到OE⊥MN，利用锐角三角函数的定义求出OD，再与（1）中OC相减即可得出答案；（3）由半圆的中点为Q得到∠OOB＝90°，得到∠QOE＝30°，分别求出线段EF与EQ 的长度，再相减比较即可．【解答】解：（1）连接OM，∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN＝48cm，∴MC=12MN＝24cm，∵AB＝50cm，∴OM=12AB＝25cm，在Rt△OMC 中，OC=OM2−MC2=252−242=7（cm）；（2）∵GH与半圆的切点为E，∴OE⊥GH，∵MN∥GH，∴OE⊥MN于点D，∵∠ANM＝30°，ON＝25cm，∴OD=12ON=252cm，∴操作后水面高度下降高度为：252−7=112cm；（3）∵OE⊥MN于点D，∠ANM＝30°，∴∠DOB＝60°，∵半圆的中点为Q，∴AQ=QB，∴∠QOB＝90°，∴∠QOE＝30°，∴EF＝tan∠QOE•OE=2533（cm），EQ的长为30×π×25180=25π6（cm），∵2533−256π=503−25π6=25(23−π)6＞0，∴EF＞EQ．【点评】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，直角三角形的性质，圆的切线的性质，弧长公式和解直角三角形的知识，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键．30．（2023•陕西）（1）如图①，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝10000m，BC＝DE＝6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．【考点】圆的综合题．菁优网版权所有【专题】几何综合题；与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】（1）连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'，则PM≥OM﹣4≥OM'﹣4，由直角三角形的性质得出OM'＝AM'•tan30°＝43，则可得出答案；（2）分别在BC，AE上作BB'＝AA'＝r＝30（m），连接A'B'，B'O、OP、OE、B′E．证出四边形BB'ON是平行四边形．由平行四边形的性质得出BN＝B′O．当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值．作⊙O'，使圆心O'在B'E上，半径r＝30（m），作O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H．证明△B'O'H∽△B'EA'，由相似三角形的性质得出O′HEA′=B′HB′A′，求出O'H的长可得出答案．【解答】解：（1）如图①，连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'，则 OP+PM≥OM．∵⊙O半径为4，∴PM≥OM﹣4≥OM'﹣4，∵OA＝OB．∠AOB＝120°，∴∠A＝30°，∴OM'＝AM'•tan30°＝12tan30°＝43，∴PM≥OM'﹣4＝43−4，∴线段PM的最小值为43−4；（2）如图②，分别在BC，AE上作BB'＝AA'＝r＝30（m），连接A'B'，B'O、OP、OE、B′E．∵OM⊥AB，BB'⊥AB，ON＝BB'，∴四边形BB'ON是平行四边形．∴BN＝B′O．∵B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E，∴BN+PE≥B'E﹣r，∴当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值．作⊙O'，使圆心O'在B'E上，半径r＝30（m），作O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H．∴O'H∥A'E，∴△B'O'H∽△B'EA'，∴O′HEA′=B′HB′A′，∵⊙O'在矩形AFDE区域内（含边界），∴当⊙O'与FD相切时，B′H最短，即B′H＝10000﹣6000+30＝4030（m）．此时，O′H也最短．∵M'N'＝O'H，∴M'N'也最短．∴O'H=EA′⋅B′HB′A′=(10000−30)×403010000=4017.91（m），∴O'M'＝O'H+30＝4047.91（m），∴此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长为4047.91m．【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．考点卡片1．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．2．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．3．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．4．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE5．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．6．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．7．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．8．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．9．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．10．菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形11．垂径定理（1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．12．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．13．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．14．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．15．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．16．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．17．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．18．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．19．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．20．圆的综合题圆的综合题．21．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．22．解直角三角形（1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/9 9:11:45；用户：组卷3；邮箱：zyb003@xyh.com；学号：41418966